第14讲 分式方程（4个知识点+6类题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（苏科版）

八年级下苏科版 第14讲 分式方程4个知识点+6类题型 课程标准 学习目标 1.分式方程 1.了解分式方程的概念，会解分式方程； 2.了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是不是分式方程的增根。 3.会用分式方程解决实际问题。 知识点1：分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 注意：和分式的概念类似，判断是否是分式方程，只看原式中分母是否有未知数，不看化简后。 【即学即练】 1．（2024秋•雷州市期末）下列是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•泗县月考）下列关于x的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点2：解分式方程和分式方程的增根 解分式方程步骤： ①去分母(方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程); ②按解整式方程的步骤求出未知数的值； ③验根(求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根).验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根。否则这个根就是原分式方程的根。 例如：解方程 【即学即练】 3．（2024秋•江油市期末）解分式方程的结果为（　　） A．x＝4 B． C． D．无解 4．（2024秋•淄博期末）解方程： （1）； （2）． 5．（2024秋•石家庄期末）已知关于x的分式方程有增根，则k的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3 6．（2024秋•隆回县期中）已知关于x的分式方程． （1）若方程的根为x＝4，求m的值； （2）若方程有增根，求m的值． 知识点3：含参数的分式方程 （一）代入分式方程的根求参数 7．（2024秋•营口期末）已知分式方程的解为x＝3，则a的值为（　　） A．2 B．3 C．7 D．13 8．（2024秋•绥棱县期末）若x＝3是分式方程0的解，则m的值是（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．3 （2） 分式方程无解求参数 分式方程无解需要考虑2种情况： ①整式方程无解，即分式方程化成整式方程 时， ； ②原方程有增根； 9．（2024秋•阎良区期末）如果分式方程无解，则a的值为（　　） A．﹣4 B． C．2 D．﹣2 10．（2024秋•浦东新区校级月考）若关于x的分式方程无解，求m的值． （3） 分式方程有解求参数 分式方程有解与无解相反，也是考虑2种情况： ①整式方程有解，即分式方程化成整式方程 时， ； ②求出来的根不是增根； 11．（2024秋•鄂州期末）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是　 　． 12．（2024秋•增城区期末）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣9 B．m＞﹣9且m≠﹣3 C．m＜﹣9 D．m＞﹣9且m≠0 13．（2024秋•东坡区期末）如果关于x的分式方程有正整数解，且关于y的不等式组无解，那么符合条件的所有整数a的和是（　　） A．﹣16 B．﹣15 C．﹣6 D．﹣4 （四）分式方程与不等式结合求参数 14．（2024秋•集宁区期末）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为（　　） A．11 B．14 C．16 D．9 15．（2025•九龙坡区校级开学）若关于x的一元一次不等式组有解且至多有2个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a之和为 　　． 16．（2024秋•海珠区校级期末）若关于x的方程的解为负数，且关于x的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．9 B．7 C．5 D．10 （五）综合题型 17．（2024秋•秀英区校级期中）已知，关于x的方程：． （1）若方程有增根，求m的取值； （2）若方程无解，求m的取值； （3）若方程的解为整数，求整数m的取值范围． 知识点4：分式方程的应用 列方程（组）解应用题的一般步骤 （1）根据题意设末知数； （2）分析题意寻找等量关系，列方程； （3）解所列方程； （4）检验所列方程的解是否符合题意； （5）写出完整的答案． 关键：分析题意寻找等量关系，列方程 【即学即练】 18．（2025•天心区开学）DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设R1单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．x+（x﹣2）＝1.2 19．（2024秋•文山州期末）绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树800棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前5天完成任务，则原计划每天种树多少棵．若原计划每天种树x棵，则可以列出方程为（　　） A． B． C． D． 20．（2024秋•殷都区期末）2024年11月《中华人民共和国首届青少年三大球运动会》在长沙举行，某校为响应国家政策，课后延时服务开设了多个社团．“排球少年”社团需要添置一些排球，第一次购买花费3000元，因报名学生较多排球不够，第二次又花费3000元购买，但单价比原来上涨了25%，结果第二次购买的排球比第一次少15个． （1）求购进的两批排球单价； （2）求该社团前后两次一共购买排球的数量． 21．（2024秋•石家庄期末）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．冬季，裕华区组织我校学生赴正定城市馆参加研学活动．为了让学生切身体会城市之美来之不易，特设了种草实践活动．活动中1、2两班需各种植36m2的草地，已知2班每小时比1班多制作6m2的草地，1班完成任务所需要的时间是2班完成任务所需时间的1.5倍，求1、2两班每小时各种植多少m2的草地？ （1）根据题意，小聪和小慧分别列出如下方程，请将画横线的部分补充完整． 小聪：设1班每小时种植x m2的草地，所列方程为：　 ； 小慧：设　 　，所列方程为：　 　； （2）任选其中一种方法求出1、2两班每小时各种植多少m2的草地： （3）制作活动开始1小时20分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回．由于1班无法在规定时间完成，2班决定在完成本班任务后，立即帮助1班共同完成剩余任务．如果两班速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？请说明理由． 【类型一：分式方程的概念】 1．（2024春•普陀区期末）下列关于x的方程中，属于分式方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•文登区校级期中）已知方程：①2；②；③；④；⑤；⑥1+3（x﹣2）＝7﹣x，其中是分式方程的是（　　） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 【类型二：解分式方程和分式方程的增根】 3．（2024秋•静安区期末）x＝3是下列哪个分式方程的根？（　　） A． B． C． D． 4．（2024秋•长寿区期末）已知A＝x2﹣2x+2，B＝x﹣3，下面关于A，B的三个结论：①关于x的方程的解是x＝﹣6，②A+4B+12＞0，③若式子的值为整数，则整数x的取值是4或2，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（2024秋•隆回县期末）若分式方程有增根，则m的值为（　　） A．﹣1 B．3 C．1 D．﹣3 6．（2024秋•潍坊期末）分式方程有增根，则m的值可能为（　　） A．6 B．8或12 C．10 D．12 7．（2024秋•淄博期末）解方程： （1）； （2）． 8．（2024秋•青龙县期末）解方程： （1）； （2）． 9．（2024秋•威海期中）（1）小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：解方程．小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少． （2）对于实数a，b．定义一种新运算“⊗”为：，这里等式右边是通常的四则运算．例如：，解方程（﹣2）⊗x＝1⊗x． 【类型三：含参数的分式方程】 10．（2024秋•山阳县期末）若关于x的方程无解，则m的取值为（　　） A．﹣6 B．﹣3 C．6 D．3 11．（2024秋•庄浪县期末）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣2 B．m＞﹣2 C．m＜﹣2且m≠﹣1 D．m＞﹣2且m≠﹣1 12．（2024秋•文登区校级期中）关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是多少？ 13．（2024春•南靖县期中）已知关于x的分式方程． （1）若该方程的解为x＝3，求m的值； （2）若此方程的解为负数，求m的取值范围． 【类型四：分式方程的应用】 14．（2024秋•江汉区期末）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是（　　） A． B． C． D． 15．（2024秋•集美区期末）某校开展“探索生活中的数学奥秘”的社会综合实践活动，某小组选择“汽车中的数学”作为探究方向．他们去汽车维修部考察，发现师傅会将汽车的前后轮进行对调，师傅告诉他们，大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度略高于后轮．如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣；如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高．为了解决这个问题，师傅建议行驶一定里程后，前后轮对调，可以使一组轮胎综合使用里程更长．于是他们提出“行驶多少里程后，前后轮胎对调，可以使得一组轮胎同时报废？”的研究课题． （1）若A型号轮胎安装在后轮位置可行驶的里程是安装在前轮位置的，设该型号的轮胎安装在前轮行驶a万千米后报废， ①用含有a的式子分别表示该型号轮胎安装在前轮和后轮上每万千米的损耗量； ②若一个全新的该型号轮胎安装在前轮行驶3万千米后，与后轮对调，又行驶了4万千米后报废，求a的值； （2）若B型号轮胎安装在前轮行驶x万千米后报废，安装在后轮行驶y万千米后报废，其中x＜y，小组成员猜想在行驶万千米后将前后轮对调，可以使得一组轮胎同时报废，你认为他的说法正确吗？若正确，请证明他的猜想；若不正确，请说明理由，并求出一组该型号新轮胎应行驶多少里程后，前后轮对调可使得前后轮同时报废． （参考公式：x3﹣y3＝（x﹣y）（x2+xy+y2）） 16．（2024秋•红花岗区期末）为推动城市“颜值”与“品质”双提升，红花岗区对遵义1935街区进行优化提升改造．改造后“街区”某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售．已知B种的单价比A种单价的2倍少5元，用400元购买A种的数量与用700元购买B种数量相等． （1）求A，B饰品每件的进价分别为多少元？ （2）该商铺计划共购进80个A，B两种文创饰品，购买总费用不超过2365元，且B种文创饰品的购买数量不少于A种文创饰品购买数量的．问：共有哪几种购买方案？ 17．（2024秋•鼓楼区校级期末）某超市用5000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次每千克的进价比第一次的进价提高了5元，购进干果数量是第一次的1.5倍． （1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？ （2）如果超市按每千克40元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的100千克按售价的6折售完，超市销售这种干果共盈利多少元？ 18．（2025•济南模拟）为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”活动，去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费2400元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍，每个足球的售价A品牌比B品牌便宜12元． （1）求去年A品牌足球和B品牌足球的单价； （2）今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买A、B两种足球共50个，已知今年该店对每个足球的售价进行了调整，A品牌比去年降低了5%，B品牌比去年提高了10%，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校至少要购买多少个A品牌足球？ 19．（2024秋•巫山县期末）新春佳节临近，又到了年货大采购的时节，某商铺的A、B两类年货大礼包成了热销产品，已知一个A类大礼包比一个B类大礼包的进价少10元，用6000元购进的B类大礼包的数量是用4000元购进的A类大礼包的数量的倍． （1）求一个A类大礼包、一个B类大礼包的进价分别是多少元？ （2）已知该商铺购进A、B两类年货大礼包共300个，一个A类大礼包的售价在进价基础上提高30%，一个B类大礼包的售价为80元，若该商铺购进的两类年货大礼包全部售出的利润不低于5100元，则该商铺至少要购进多少个B类年货大礼包？ 20．（2024秋•汉阳区期末）某商场首次购进件数相同的甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元． （1）求该商场购进的甲、乙两种商品进价每件各是多少元？ （2）该商场将购进的甲、乙两种商品销售完毕后，准备再次购入一定数量的甲、乙两种商品，由于市场行情波动，再次购入时，甲种商品单价上调了3m（m＞0）元/件，同时乙种商品单价下调了2m（m＞0）元/件， ①若再次购入与首次购进数量相同的甲、乙两种商品，且两种商品共花费4500元，求m的值； ②若再次购入甲、乙两种商品共100件（甲，乙件数不能为0），最后发现两种商品的总费用与实际购买甲种商品的件数无关，都是定值，请直接写出总费用的值 　 　． 21．（2024秋•临海市期末）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为（2a﹣2）m，宽为a m（a＞6）． （1）去年实践基地收获500kg蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ （2）今年从该基地中截取出一个边长为a m的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜300kg，B类蔬菜200kg．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． （3）该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加14m，宽增加a m，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数a的值． 22．（2024秋•思明区校级期末）嘟嘟商店分别花费9000元、4800元一次性购买甲乙两种电纸书，已知购买甲电纸书的数量比乙电纸书的数量多50%，每台甲电纸书比每台乙电纸书的价格贵200元． （1）求甲、乙型号电纸书分别进价为多少元； （2）该店发现销售情况良好，第一批货卖完货，以相同进价再次购入电纸书，预计用不少于1.78万元且不多于1.92万元的资金购进这两种型号电纸书共20台， ①请问有多少种进货方案？ ②若甲型号电纸书的售价为1500元，乙型号电纸书的售价为1450元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号电纸书．返还顾客现金a元，甲型号电纸书售价不变，若①中购进的电纸书全部售完，且各方案获利相同，求a的值． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/3 9:57:01；用户：19902929970；邮箱：19902929970；学号：37357472 【类型五：与分式方程有关的新定义和创新类题型】 23．（2024秋•闽清县期末）已知关于x的方程x的两根分别为m，，则关于x的方程x的根是（　　） A． B． C． D． 24．（2024秋•桥西区期末）对于实数a，b，定义一种新运算“☆”为：a☆b．例如：1☆3．则方程x☆（﹣2）1的解是（　　） A．x＝7 B．x＝6 C．x＝5 D．x＝4 25．（2024秋•新乐市期末）题目：当a≠b时，定义一种新运算：，例：．若F（m，2）﹣F（2，m）＝1，求m的值．嘉嘉的答案是，琪琪的答案是m＝0，下列判断正确的是（　　） A．只有嘉嘉的正确 B．只有琪琪的正确 C．嘉嘉，琪琪的答案合在一起才正确 D．嘉嘉，琪琪的答案合在一起也不正确 26．（2024秋•思明区校级期末）新定义：如果两个实数a（a≠0）、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对[a，b]称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：a＝2，b＝﹣3使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对[2，﹣3]就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． （1）判断下列数对是否为关于x的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”．①[2，1]（　　）；②[3，﹣4]（　　）． （2）请判断数对[n，n﹣3]是否有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的n需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． （3）若数对[﹣3，kn]（k＜﹣2，n≠0）是关于x的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 27．（2024秋•襄城县期末）如果两个实数a、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a、b组成的数对[a，b]称为关于x的分式方程的一个“关联数对”，如：a＝2、b＝﹣5使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对[2，﹣5]就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． （1）下列数对为关于x的分式方程的“关联数对”的有 　 （填序号）； ①[1，1] ②[3，﹣5] ③[﹣2，4] （2）若数对[n，8﹣n]是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值； （3）若数对[m﹣k，k]（m≠﹣1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程有整数解，求整数m的值． 28．（2024秋•宿城区校级期末）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． （1）判断方程6﹣4（1﹣x）＝2x与是否为“相似方程”，并说明理由； （2）已知关于x，y的二元一次方程y＝mx+6和y＝x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值． 29．（2024秋•济宁期中）通过观察，发现方程不难求得方程：的解是；的解是；的解是；… （1）观察上述方程及其解，可猜想关于x的方程的解是 　 　； （2）试验证：当都是方程的解； （3）利用你猜想的结论，解关于x的方程． 30．（2024秋•灌阳县期中）阅读： 对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为x1＝a，x2＝b． 应用上面的结论解答下列问题： （1）方程有两个解，分别为x1＝2，x2＝　 　． （2）关于x的方程的两个解分别为x1＝2，x2＝　 　． （3）关于x的方程的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值． 31．（2023秋•舞阳县期末）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得x1＝a，x2＝b．又因为（a+b），所以关于x的方程xa+b的解为x1＝a，x2＝b． （1）理解应用：方程的解为：x1＝　 　，x2＝　 　； （2）知识迁移：若关于x的方程x7的解为x1＝a，x2＝b，求a2+b2的值； （3）拓展提升：若关于x的方程k﹣x的解为x1＝t+1，x2＝t2+2，求k2﹣4k+4t3的值． 【类型六：用换元法解分式方程】 32．（2024春•闵行区期末）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（　　） 33．（2024秋•垫江县期末）阅读下面材料，解答后面的问题 解方程：． 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0， 解得：y＝±2， 经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1， 当y＝﹣2时，，解得：x，经检验：x＝﹣1或x都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝﹣1或 x．上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： （1）若在方程中，设，则原方程可化为：　 　； （2）若在方程中，设，则原方程可化为：　 　； （3）模仿上述换元法解方程：． 34．（2024春•龙泉驿区期中）阅读下面材料，解答后面的问题． 解方程：． 解：设，则原方程化为：， 方程两边同时乘y得：y2﹣9＝0， 解得：y1＝3，y2＝﹣3． 经检验：y1＝3，y2＝﹣3都是方程的解． 当y＝3时，，解得：； 当y＝﹣3时，，解得：x． 经检验：或x2．都是原分式方程的解． ∴原分式方程的解为或x2． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： （1）在方程中，设，则原方程换元后为：　 　； （2）模仿上述换元法解方程：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下苏科版 第14讲 分式方程4个知识点+6类题型 课程标准 学习目标 1.分式方程 1.了解分式方程的概念，会解分式方程； 2.了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是不是分式方程的增根。 3.会用分式方程解决实际问题。 知识点1：分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 注意：和分式的概念类似，判断是否是分式方程，只看原式中分母是否有未知数，不看化简后。 【即学即练】 1．（2024秋•雷州市期末）下列是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，对每个选项进行判断，找出是等式，且分母含有未知数方程，即可得解． 【解答】解：A、是一个代数式，不是方程，所以A不是分式方程，不符合题意； B、是一元一次方程，是整式方程，所以B不是分式方程，不符合题意； C、是一元一次方程，是整式方程，所以C不是分式方程，不符合题意； D、分母含有未知数x，所以D是分式方程，符合题意． 故选：D． 2．（2024春•泗县月考）下列关于x的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可． 【解答】解：②，④是分式方程； ①，③是一元一次方程； 所以是分式方程的是②④， 故选：B． 知识点2：解分式方程和分式方程的增根 解分式方程步骤： ①去分母(方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程); ②按解整式方程的步骤求出未知数的值； ③验根(求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根).验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根。否则这个根就是原分式方程的根。 例如：解方程 【即学即练】 3．（2024秋•江油市期末）解分式方程的结果为（　　） A．x＝4 B． C． D．无解 【分析】先去分母，然后通过去括号、移项、合并同类项解方程即可，注意：分式方程需要验根． 【解答】解：去分母，得x+3（x﹣4）＝x﹣2， 去括号，得x+3x﹣12＝x﹣2， 移项、合并同类项，得3x＝10， 化系数为1，得x， 检验：当x时，（x﹣2）（x﹣4）≠0， ∴x是原方程的解． 故选：B． 4．（2024秋•淄博期末）解方程： （1）； （2）． 【分析】（1）方程两边同乘2x﹣1，转化为一元一次方程，再求解即可，最后检验； （2）方程两边同乘（x+3）（x﹣3），转化为一元一次方程，再求解即可，最后检验． 【解答】解：（1）原方程两边同乘2x﹣1，得：2+3x＝2（2x﹣1）， 整理得：2+3x＝4x﹣2， 解得：x＝4， 经检验，x＝4是方程的解， 所以原分式方程的解为x＝4； （2）原方程变形得：， 方程两边同乘（x+3）（x﹣3）得：18+x2﹣9＝x2+3x， 整理得：3x＝9， 解得：x＝3， 经检验，x＝3是方程的增根， 原分式方程无解． 5．（2024秋•石家庄期末）已知关于x的分式方程有增根，则k的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3 【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x﹣2＝0，据此求出x的值，代入整式方程求出k的值即可． 【解答】解：去分母，得：k﹣3＝x﹣2， 由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2， 把x＝2代入整式方程，可得：k＝3． 故选：D． 6．（2024秋•隆回县期中）已知关于x的分式方程． （1）若方程的根为x＝4，求m的值； （2）若方程有增根，求m的值． 【分析】（1）根据分式方程的性质先去分母，再移项并合并同类项，结合题意，通过求解一元一次方程，即可得到答案； （2）根据分式方程增根的性质，首先得方程的增根为x＝﹣2 或 x＝2，再通过计算即可得到答案． 【解答】解：（1）原方程整理得mx＝﹣8． 当方程的根为x＝4，则4m＝﹣8．得m＝﹣2； （2）若原分式方程有增根，则（x+2）（x﹣2）＝0．所以 x＝﹣2 或 x＝2． 当 x＝﹣2 时，﹣2m＝﹣8．得m＝4． 当 x＝2 时，2m＝﹣8．得m＝﹣4． 所以若原分式方程有增根，则m＝±4． 知识点3：含参数的分式方程 （一）代入分式方程的根求参数 7．（2024秋•营口期末）已知分式方程的解为x＝3，则a的值为（　　） A．2 B．3 C．7 D．13 【分析】将x＝3代入进行计算即可． 【解答】解：把x＝3代入得：， 解得：a＝7， 故选：C． 8．（2024秋•绥棱县期末）若x＝3是分式方程0的解，则m的值是（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．3 【分析】把x＝3代入分式方程计算即可求出m的值． 【解答】解：把x＝3代入分式方程得， 解得m＝5． 故选：B． （2） 分式方程无解求参数 分式方程无解需要考虑2种情况： ①整式方程无解，即分式方程化成整式方程 时， ； ②原方程有增根； 9．（2024秋•阎良区期末）如果分式方程无解，则a的值为（　　） A．﹣4 B． C．2 D．﹣2 【分析】关于x的分式方程2无解，即分式方程去掉分母化为整式方程，整式方程的解就是方程的增根，即x＝4，据此即可求解． 【解答】解：去分母得：x＝2（x﹣4）﹣a 解得：x＝a+8 根据题意得：a+8＝4 解得：a＝﹣4． 故选：A． 10．（2024秋•浦东新区校级月考）若关于x的分式方程无解，求m的值． 【分析】先把分式方程化为整式方程得到（m﹣1）x＝﹣1，由于关于x的分式方程无解，分两种情况可求得m． 【解答】解：， 去分母，得mx﹣1﹣1＝x﹣3， （m﹣1）x＝﹣1． ∵关于x的分式方程无解， 当m﹣1＝0时，原方程无解， ∴m＝1； ∵最简公分母x﹣3＝0， ∴x＝3， 当x＝3时，得． 综上：m的值为1或． （3） 分式方程有解求参数 分式方程有解与无解相反，也是考虑2种情况： ①整式方程有解，即分式方程化成整式方程 时， ； ②求出来的根不是增根； 11．（2024秋•鄂州期末）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是　m＜3且m≠1　． 【分析】先解关于x的分式方程，它的解x用含量m的代数式表示，再根据“原分式方程有解”和“方程的解是正数”建立关于m的不等式，求解即可． 【解答】解：解分式方程得：， ∴x﹣1≠0，即， 解得：m≠1， ∵方程的解是正数， ∴， 解得：m＜3， ∴m＜3且m≠1， 故答案为：m＜3且m≠1． 12．（2024秋•增城区期末）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣9 B．m＞﹣9且m≠﹣3 C．m＜﹣9 D．m＞﹣9且m≠0 【分析】先根据等式的性质求出分式方程的解是x，再根据关于x的方程的解为正数得出0，根据分式的分母不为0得出3，再求出m的范围即可． 【解答】解：方程3中分母x﹣3≠0， 即x≠3， ∵， ∴x+m＝3x﹣9． ∴x﹣3x＝﹣9﹣m， ∴﹣2x＝﹣9﹣m， ∴x， ∵关于x的方程的解为正数， ∴0且3， 解得：m＞﹣9且m≠﹣3． 故选：B． 13．（2024秋•东坡区期末）如果关于x的分式方程有正整数解，且关于y的不等式组无解，那么符合条件的所有整数a的和是（　　） A．﹣16 B．﹣15 C．﹣6 D．﹣4 【分析】根据分式方程有正整数解确定出a的值，再由不等式组无解确定出满足题意a的值，求出之和即可． 【解答】解：分式方程去分母得：2+ax﹣2x+6＝﹣4， 整理得：（a﹣2）x＝﹣12（a﹣2≠0）， 解得：x， 由分式方程有正整数解，得到a＝1，0，﹣1，﹣2，﹣4，﹣10， 当a＝﹣2时，x＝3，原分式方程无解， 所以a＝1，0，﹣1，﹣4，﹣10， 不等式组整理得：， 解得：a≤y＜﹣9， 由不等式组无解，即a≥﹣9， ∴a＝1，0，﹣1，﹣4，之和为﹣4， 故选：D． （四）分式方程与不等式结合求参数 14．（2024秋•集宁区期末）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为（　　） A．11 B．14 C．16 D．9 【分析】先解不等式组，再解分式方程，从而确定a的取值，进而解决此题． 【解答】解：解不等式，得x≤1． 解不等式x+1，得x＞a﹣2． ∵关于x的不等式组无解， ∴a﹣2≥1． ∴a≥3． ∵， ∴3﹣ay﹣（3﹣y）＝﹣6． ∴3﹣ay﹣3+y＝﹣6． ∴（1﹣a）y＝﹣6． ∴y． ∵关于y的分式方程有正整数解， ∴3且1﹣a＝﹣1或﹣2或﹣3或﹣6． ∴a＝2或a＝3（当a＝3，此时y＝3是增根，故舍去）或a＝4或a＝7． 综上：a＝4或7． ∴满足条件的整数a和为4+7＝11． 故选：A． 15．（2025•九龙坡区校级开学）若关于x的一元一次不等式组有解且至多有2个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a之和为 　﹣3　． 【分析】根据一元一次不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据分式方程的整数解以及增根的定义，进一步确定a的值即可． 【解答】解：不等式1的解集为x＜1， 关于x的不等式3（x﹣1）≥a﹣3的解集为x， ∵关于x的一元一次不等式组有解且至多有2个整数解， ∴﹣11， 解得﹣3≤a＜3， 关于y的分式方程1的两边都乘以y+2得， 3+a＝y+y+2， 解得y， 由于关于y的分式方程1有整数解，即y是整数， ∴a为奇数， 由于分式方程的增根是y＝﹣2，即2， 解得a＝﹣5， 综上所述，﹣3≤a＜3且a为奇数，即a＝﹣3或a＝﹣1或a＝1， ∴所有满足条件的整数a之和为﹣3﹣1+1＝﹣3， 故答案为：﹣3． 16．（2024秋•海珠区校级期末）若关于x的方程的解为负数，且关于x的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．9 B．7 C．5 D．10 【分析】先解关于x的方程，根据此方程的解是负数且分式分母不能为0，求出a的取值范围，再解关于x的不等式组，根据不等式组无解，求出a的取值范围，然后找出两个解集的公共部分，再求出所有满足条件的整数a的值，求出它们的和即可． 【解答】解：， a（x+1）+（x+1）（x﹣1）＝（x+a）（x﹣1）， ax+a+x2﹣1＝x2﹣x+ax﹣a， x2﹣x2+ax﹣ax+x＝1﹣a﹣a， x＝1﹣2a， ∵关于x的方程的解为负数， ∴1﹣2a＜0且1﹣2a≠±1， 解得：且a≠1； ， 由①得：x＜a， 由②得：x≥4， ∵关于x的不等式组无解， ∴a≤4， ∴a的取值范围为：且a≠1， ∴所有满足条件的整数a的值为：2或3或4， ∴所有满足条件的整数a的值之和是：2+3+4＝9， 故选：A． （五）综合题型 17．（2024秋•秀英区校级期中）已知，关于x的方程：． （1）若方程有增根，求m的取值； （2）若方程无解，求m的取值； （3）若方程的解为整数，求整数m的取值范围． 【分析】（1）解分式方程得（m﹣9）x＝3，将增根x＝﹣1，x＝1分别代入（m﹣9）x＝3，解得m＝6或12； （2）当m﹣9＝0时，方程无解，解得m＝9，故m＝6或9或12时方程无解； （3）方程的解为x，若方程的解为整数，则m﹣9＝±3，±1，分别求出m的值，并将方程无解或有增根时对应的m的值舍去即可． 【解答】解：（1）去分母，得3（x﹣1）+6（x+1）＝mx， 去括号，得3x﹣3+6x+6＝mx， 移项、合并同类项，得（m﹣9）x＝3． 当x＝﹣1时，得9﹣m＝3， 解得m＝6； 当x＝1时，得m﹣9＝3， 解得m＝12． ∴若方程有增根，m的取值为6或12． （2）∵（m﹣9）x＝3， ∴当m﹣9＝0时原分式方程无解， ∴m＝9， ∵当m＝6或12时方程有增根， ∴若方程无解，m的取值为6或9或12． （3）∵（m﹣9）x＝3， ∴x， ∵方程的解为整数， ∴m﹣9＝±3，±1． 当m﹣9＝3时，m＝12（舍去）； 当m﹣9＝﹣3时，m＝6（舍去）； 当m﹣9＝1时，m＝10； 当m﹣9＝﹣1时，m＝8； ∴m＝8或10． 知识点4：分式方程的应用 列方程（组）解应用题的一般步骤 （1）根据题意设末知数； （2）分析题意寻找等量关系，列方程； （3）解所列方程； （4）检验所列方程的解是否符合题意； （5）写出完整的答案． 关键：分析题意寻找等量关系，列方程 【即学即练】 18．（2025•天心区开学）DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设R1单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．x+（x﹣2）＝1.2 【分析】设R1单独处理需要x小时，则R2单独处理数据的时间（x﹣2）小时，根据两队合作1.2小时完成，可得出方程． 【解答】解：依题意得， 故选：C． 19．（2024秋•文山州期末）绿水青山就是金山银山，为了创造良好的生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树800棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前5天完成任务，则原计划每天种树多少棵．若原计划每天种树x棵，则可以列出方程为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前5天完成任务，可以列出相应的分式方程． 【解答】解：由题意可得， 5， ∴， 故选：B． 20．（2024秋•殷都区期末）2024年11月《中华人民共和国首届青少年三大球运动会》在长沙举行，某校为响应国家政策，课后延时服务开设了多个社团．“排球少年”社团需要添置一些排球，第一次购买花费3000元，因报名学生较多排球不够，第二次又花费3000元购买，但单价比原来上涨了25%，结果第二次购买的排球比第一次少15个． （1）求购进的两批排球单价； （2）求该社团前后两次一共购买排球的数量． 【分析】（1）设第一批购进的排球单价为x元，则第二批购进的排球单价为（1+25%）x元，由题意列出方程，然后解方程并检验即可； （2）分别求出第一、二批购进的排球的数量即可． 【解答】解：（1）设第一批购进的排球单价为x元，则第二批购进的排球单价为（1+25%）x元， 由题意得：， 解得x＝40， 经检验，x＝40是原分式方程的解； ∴第二批购进的排球单价为（1+25%）x＝1.25×40＝50， 答：第一批购进的排球单价为40元，第二批购进的排球单价为50元； （2）第一批购进的排球的数量为3000÷40＝75（个）， 则第二批购进的排球数量为75﹣15＝60（个）， 所以该社团前后两次一共购买排球的数量为：75+60＝135（个）， 答：该社团前后两次一共购买排球的数量为135个． 21．（2024秋•石家庄期末）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．冬季，裕华区组织我校学生赴正定城市馆参加研学活动．为了让学生切身体会城市之美来之不易，特设了种草实践活动．活动中1、2两班需各种植36m2的草地，已知2班每小时比1班多制作6m2的草地，1班完成任务所需要的时间是2班完成任务所需时间的1.5倍，求1、2两班每小时各种植多少m2的草地？ （1）根据题意，小聪和小慧分别列出如下方程，请将画横线的部分补充完整． 小聪：设1班每小时种植x m2的草地，所列方程为：　　； 小慧：设　2班所用时间为y小时　，所列方程为：　6　； （2）任选其中一种方法求出1、2两班每小时各种植多少m2的草地： （3）制作活动开始1小时20分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回．由于1班无法在规定时间完成，2班决定在完成本班任务后，立即帮助1班共同完成剩余任务．如果两班速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？请说明理由． 【分析】（1）根据所列方程运用的等量关系进行作答即可； （2）解分式方程即可； （3）求出剩余需要制作的方格数量，再求出两队合作一小时所作的方格数，即可得出结果． 【解答】解：（1）小聪：设1班每小时种植x m2的草地，2班每小时种植（x+6）m2的草地，所列方程为：； 小薏：设2班所用时间为y小时，则1班所用时间为1.5y，所列方程为：； 故答案为：；设2班所用时间为y小时；6； （2）设1班每小时种植x m2的草地，2班每小时种植（x+6）m2的草地，根据题意得： ， 解得：x＝12， 经检验x＝12是原方程的解， ∴x+6＝18， 答：1班每小时种植12m2的草地，2班每小时种植18m2的草地； （3）不能；1小时20分钟小时， 1班已完成：； 2班已完成：； 还剩余：36﹣16+36﹣24＝32（m2）； 两队合作1小时可完成：（12+18）×1＝30（m2）， ∵30＜32， ∴两班速度保持不变，他们不能在乘车前完成任务． 【类型一：分式方程的概念】 1．（2024春•普陀区期末）下列关于x的方程中，属于分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分母中含有未知数的有理方程即为分式方程，据此进行判断即可． 【解答】解：A中方程的分母中不含未知数，则A不符合题意； B中方程的分母中不含未知数，则B不符合题意； C中方程不是有理方程，则C不符合题意； D中方程符合分式方程的定义，则D符合题意； 故选：D． 2．（2024秋•文登区校级期中）已知方程：①2；②；③；④；⑤；⑥1+3（x﹣2）＝7﹣x，其中是分式方程的是（　　） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 【分析】根据分式方程的定义进行判断即可． 【解答】解：根据分式方程的定义，②④⑤是分式方程，①⑥是一元一次方程，③是二元一次方程， 故选：C． 【类型二：解分式方程和分式方程的增根】 3．（2024秋•静安区期末）x＝3是下列哪个分式方程的根？（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，把x＝3分别代入个选项进行判断即可． 【解答】解：A．当x＝3时，x﹣3＝0，x+3≠0，故x＝3不是分式方程的解； B．当x＝3时，左边，右边，左边＝右边，故x＝3是分式方程的解； C．当x＝3时，x2+3x≠0，左边，右边， 左边≠右边，故x＝3不是分式方程的解； D．当x＝3时，x2﹣9＝0，故x＝3不是此分式方程的解． 故选：B． 4．（2024秋•长寿区期末）已知A＝x2﹣2x+2，B＝x﹣3，下面关于A，B的三个结论：①关于x的方程的解是x＝﹣6，②A+4B+12＞0，③若式子的值为整数，则整数x的取值是4或2，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】先建立分式方程，解方程后可判断①；求解A+4B+12，再结合配方法可判断②；把化为x+1，再结合分式的值可判断③． 【解答】解：①把B＝x﹣3代入关于x的方程中得： ， 去分母得：x（x﹣3）+x+3＝（x﹣3）（x+3），x2﹣3x+x+3＝x2﹣9， ∴x＝6， 经检验：x＝6是原分式方程的解， 故①错误； ②A+4B+12 ＝x2﹣2x+2+4（x﹣3）+12 ＝x2﹣2x+2+4x﹣12+12 ＝x2+2x+2 ＝（x+1）2+1＞0， 故②正确； ③ ＝x+1， ∵式子的值为整数，x为整数， ∴x﹣3＝±1或x﹣3＝±5，∴x＝4或x＝2或x＝8或x＝﹣2，故③不正确； ∴正确的结论有1个． 故选：B． 5．（2024秋•隆回县期末）若分式方程有增根，则m的值为（　　） A．﹣1 B．3 C．1 D．﹣3 【分析】化分式方程为整式方程然后把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【解答】解：去分母得：3x＝2（x﹣1）﹣m， ∵分式方程有增根， ∴x﹣1＝0，即x＝1， 把x＝1代入整式方程得：3＝﹣m， ∴m＝﹣3． 故选：D． 6．（2024秋•潍坊期末）分式方程有增根，则m的值可能为（　　） A．6 B．8或12 C．10 D．12 【分析】先根据解分式方程的方法求得x＝10﹣m，然后再根据分式方程有增根，可得x2﹣4＝0，解得x＝±2，把x的值代入10﹣m进行计算即可． 【解答】解：， 方程两边同时乘（x+2）（x﹣2），得2（x+2）﹣m＝3（x﹣2）， 去括号，得2x+4﹣m＝3x﹣6， 解得：x＝10﹣m， ∵分式方程有增根， ∴x2﹣4＝0， ∴x＝±2， 当x＝2时，10﹣m＝2，则m＝10﹣2＝8； 当x＝﹣2时，10﹣m＝﹣2，则m＝10+2＝12， ∴m的值可能为8或12． 故选：B． 7．（2024秋•淄博期末）解方程： （1）； （2）． 【分析】（1）方程两边同乘2x﹣1，转化为一元一次方程，再求解即可，最后检验； （2）方程两边同乘（x+3）（x﹣3），转化为一元一次方程，再求解即可，最后检验． 【解答】解：（1）原方程两边同乘2x﹣1，得：2+3x＝2（2x﹣1）， 整理得：2+3x＝4x﹣2， 解得：x＝4， 经检验，x＝4是方程的解， 所以原分式方程的解为x＝4； （2）原方程变形得：， 方程两边同乘（x+3）（x﹣3）得：18+x2﹣9＝x2+3x， 整理得：3x＝9， 解得：x＝3， 经检验，x＝3是方程的增根， 原分式方程无解． 8．（2024秋•青龙县期末）解方程： （1）； （2）． 【分析】（1）方程两边同乘x（x﹣3），将分式方程化为整式方程，求解即可； （2）方程两边同乘（x﹣1）（x+2），将分式方程化为整式方程，求解即可． 【解答】解：（1）， 方程两边同乘x（x﹣3），得x﹣3＝4x， 解得x＝﹣1， 检验：当x＝﹣1时，x（x﹣3）≠0， 所以分式方程的解是x＝﹣1； （2）， 方程两边同乘（x﹣1）（x+2），得x（x+2）＝（x﹣1）（x+2）+7， 解得x＝5， 检验：当x＝5时，（x﹣1）（x+2）≠0， 所以分式方程的解是x＝5． 9．（2024秋•威海期中）（1）小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：解方程．小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少． （2）对于实数a，b．定义一种新运算“⊗”为：，这里等式右边是通常的四则运算．例如：，解方程（﹣2）⊗x＝1⊗x． 【分析】（1）先把原分式方程去分母，再把x＝2代入对应的方程中求解即可； （2）先根据新定义计算出（﹣2）⊗x，1⊗x的结果，再根据题意建立方程求解即可． 【解答】解：（1）设？为m，则方程为：， 去分母得：2x+m＝3（x﹣2）， 由于x＝2是原分式方程的增根， ∴4+m＝0，解得m＝﹣4， ∴原分式方程中“？”代表的数是﹣4． （2）根据题意得： ，， ∴， 去分母得：2（1+x）＝2（4﹣2x）， 解得：x＝1， 检验，当x＝1时，（4﹣2x）（1+x）＝2×2＝4≠0， ∴x＝1是原分式方程的解． 【类型三：含参数的分式方程】 10．（2024秋•山阳县期末）若关于x的方程无解，则m的取值为（　　） A．﹣6 B．﹣3 C．6 D．3 【分析】根据题意，先去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解除分式方程，再考虑分式方程无解的情况，即产生增根，据此求出m． 【解答】解：， 2x﹣4（x﹣3）＝﹣m， 2x﹣4x+12＝﹣m， ﹣2x＝﹣m﹣12， x， 因为x＝3是方程的增根， 所以， m＝﹣6， 所以当m＝﹣6时，原分式方程无解． 故选：A． 11．（2024秋•庄浪县期末）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣2 B．m＞﹣2 C．m＜﹣2且m≠﹣1 D．m＞﹣2且m≠﹣1 【分析】先将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，由分式方程的解为正数以及分式有意义的条件确定m的取值范围． 【解答】解：化为整式方程得，x﹣m+2m＝2（x﹣1）， 解得：x＝m+2， 由条件可知：m+2＞0，即m＞﹣2， 又∵x﹣1≠0，1﹣x≠0， 解得：x≠1， ∴m+2≠1 ∴m≠﹣1 ∴m的取值范围为m＞﹣2且m≠﹣1， 故选：D． 12．（2024秋•文登区校级期中）关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是多少？ 【分析】把分式方程与一元一次不等式的解分别求出，再根据题意求a的范围，最后确定a的整数解，再相加即可． 【解答】解：关于x的分式方程化为整式方程是：ax﹣3+（x﹣2）＝﹣（3x﹣1）， 解得：， ∵关于x的分式方程的解为正数， ∴a+4＞0， ∴a＞﹣4， ∵关于x的分式方程可能会产生增根2， ∴， ∴a≠﹣1， 解关于y的一元一次不等式组得：， ∵关于y的一元一次不等式组有解， ∴a﹣3＜0， ∴a＜3， 综上，﹣4＜a＜3且a≠﹣1， ∵a为整数， ∴a＝﹣3或﹣2或0或1或2， ∴满足条件的整数a的值之和是：﹣3﹣2+0+1+2＝﹣2． 13．（2024春•南靖县期中）已知关于x的分式方程． （1）若该方程的解为x＝3，求m的值； （2）若此方程的解为负数，求m的取值范围． 【分析】（1）将分式方程的解x＝3代入方程，即可计算字母的值． （2）先化分式方程为整式方程，求得解，根据解为负数，计算字母的范围即可． 【解答】解：（1）把x＝3代入原方程， 得：， 解得m＝4； （2）方程两边同时乘以x+1， 得3x﹣1﹣m＝x+1， 得． ∵方程的解为负数， ∴， 解得m＜﹣2， ∵原分式方程有解， ∴， 解得m≠﹣4， ∴m＜﹣2且m≠﹣4． 【类型四：分式方程的应用】 14．（2024秋•江汉区期末）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是（　　） A． B． C． D． 【分析】等量关系式：绫布出售一尺收入+罗布出售一尺共收入＝120文，据此列方程，即可求解． 【解答】解：由绫布出售一尺收入+罗布出售一尺共收入＝120文得方程为： ， 故选：B． 15．（2024秋•集美区期末）某校开展“探索生活中的数学奥秘”的社会综合实践活动，某小组选择“汽车中的数学”作为探究方向．他们去汽车维修部考察，发现师傅会将汽车的前后轮进行对调，师傅告诉他们，大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度略高于后轮．如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣；如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高．为了解决这个问题，师傅建议行驶一定里程后，前后轮对调，可以使一组轮胎综合使用里程更长．于是他们提出“行驶多少里程后，前后轮胎对调，可以使得一组轮胎同时报废？”的研究课题． （1）若A型号轮胎安装在后轮位置可行驶的里程是安装在前轮位置的，设该型号的轮胎安装在前轮行驶a万千米后报废， ①用含有a的式子分别表示该型号轮胎安装在前轮和后轮上每万千米的损耗量； ②若一个全新的该型号轮胎安装在前轮行驶3万千米后，与后轮对调，又行驶了4万千米后报废，求a的值； （2）若B型号轮胎安装在前轮行驶x万千米后报废，安装在后轮行驶y万千米后报废，其中x＜y，小组成员猜想在行驶万千米后将前后轮对调，可以使得一组轮胎同时报废，你认为他的说法正确吗？若正确，请证明他的猜想；若不正确，请说明理由，并求出一组该型号新轮胎应行驶多少里程后，前后轮对调可使得前后轮同时报废． （参考公式：x3﹣y3＝（x﹣y）（x2+xy+y2）） 【分析】（1）①根据分式的意义，写出分式即可； ②根据轮胎总量不变，列出分式方程求解即可； （2）根据两条轮胎的总量都不变，把x，y当做常数，列出二元一次方程组求解即可． 【解答】解：（1）①∵轮胎安装在后轮位置可行驶的里程是安装在前轮位置的， ∴后轮上可以行驶a万千米， ∴前轮每万千米的损耗量为，后轮上每万千米的损耗量为； ②根据总耗损量不变可得： 341， 解得：a＝6； （2）不正确； B型轮胎在前轮每万千米耗损，在后轮每万千米耗损， 当行驶万千米后互换，然后两组轮胎行驶t万千米后同时报废，可得： ， 整理得：（3x﹣y）xy＝（3y﹣x）xy， 解得：x＝0或y＝0或x＝y，均不符合题意， ∴他的说法错误， 设行驶m万千米后互换，再行驶n万千米后，两条轮胎同时报废， ∴， 解得：m， ∴该型号新轮胎应行驶万千米后，前后轮对调可使得前后轮同时报废． 16．（2024秋•红花岗区期末）为推动城市“颜值”与“品质”双提升，红花岗区对遵义1935街区进行优化提升改造．改造后“街区”某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售．已知B种的单价比A种单价的2倍少5元，用400元购买A种的数量与用700元购买B种数量相等． （1）求A，B饰品每件的进价分别为多少元？ （2）该商铺计划共购进80个A，B两种文创饰品，购买总费用不超过2365元，且B种文创饰品的购买数量不少于A种文创饰品购买数量的．问：共有哪几种购买方案？ 【分析】（1）设A饰品每件的进价为x元，则B饰品每件的进价为（2x﹣5）元，根据题意列出分式方程解方程，并检验，即可求解； （2）设购买A饰品m个，则购买B饰品（80﹣m）个，根据题意列出一元一次不等式组，求得整数解，即可求解． 【解答】解：（1）设A饰品每件的进价为x元，则B饰品每件的进价为（2x﹣5）元，根据题意列方程得， ， 整理得，100x＝2000， 解得：x＝20， 经检验，x＝20是原方程的解且符合题意； ∴B饰品每件的进价为2×20﹣5＝35（元）， 所以A饰品每件的进价为20元，B饰品每件的进价为35元， 答：A饰品每件的进价为20元，B饰品每件的进价为35元； （2）设购买A饰品m个，则购买B饰品（80﹣m）个，根据题意列不等式组得， ， 解得29≤m≤32， ∵m为正整数， ∴m＝29，30，31，32， ∴共有4种方案， 方案一：购买A饰品29个，购买B饰品51个； 方案二：购买A饰品30个，购买B饰品50个； 方案三：购买A饰品31个，购买B饰品49个； 方案四：购买A饰品32个，购买B饰品48个． 17．（2024秋•鼓楼区校级期末）某超市用5000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次每千克的进价比第一次的进价提高了5元，购进干果数量是第一次的1.5倍． （1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？ （2）如果超市按每千克40元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的100千克按售价的6折售完，超市销售这种干果共盈利多少元？ 【分析】（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次购进干果的进价是每千克（x+5）元，根据某超市用5000元购进某种干果销售，超市又调拨9000元资金购进该种干果，购进干果数量是第一次的1.5倍，列出分式方程，解分式方程即可； （2）根据数量＝总价÷单价，可求出两次购进干果的数量，再由利润＝销售收入﹣成本，即可得出答案． 【解答】解：（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次购进干果的进价是每千克（x+5）元， 由题意得：1.5， 解得：x＝25， 经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意， 答：该种干果的第一次进价是每千克25元； （2）第一次购进该干果的数量是：5000÷25＝200（千克）， 再次购进该干果的数量是：200×1.5＝300（千克）， 获得的利润为：（200+300﹣100）×40+100×40×0.6﹣5000﹣9000＝4400（元）， 答：超市销售这种干果共盈利4400元． 18．（2025•济南模拟）为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”活动，去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费2400元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍，每个足球的售价A品牌比B品牌便宜12元． （1）求去年A品牌足球和B品牌足球的单价； （2）今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买A、B两种足球共50个，已知今年该店对每个足球的售价进行了调整，A品牌比去年降低了5%，B品牌比去年提高了10%，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校至少要购买多少个A品牌足球？ 【分析】（1）设去年A品牌足球售价为x元，则B品牌足球售价为（x+12）元，根据去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费2400元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设学校要购买y个A品牌足球，则学校要购买（50﹣y）个B品牌足球，根据今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设去年A品牌足球售价为x元，则B品牌足球售价为（x+12）元， 由题意得：1.5， 解得：x＝48． 经检验，x＝48是原分式方程的解，且符合题意， ∴x+12＝60， 答：A品牌足球售价为48元，B品牌足球售价为60元； （2）设学校要购买y个A品牌足球，则学校要购买（50﹣y）个B品牌足球， 由题意得：48×（1﹣5%）y+60×（1+10%）（50﹣y）（2880+2400）， 解得：y，∵y为正整数，∴y的最小值为33， 答：学校至少要购买33个A品牌足球． 19．（2024秋•巫山县期末）新春佳节临近，又到了年货大采购的时节，某商铺的A、B两类年货大礼包成了热销产品，已知一个A类大礼包比一个B类大礼包的进价少10元，用6000元购进的B类大礼包的数量是用4000元购进的A类大礼包的数量的倍． （1）求一个A类大礼包、一个B类大礼包的进价分别是多少元？ （2）已知该商铺购进A、B两类年货大礼包共300个，一个A类大礼包的售价在进价基础上提高30%，一个B类大礼包的售价为80元，若该商铺购进的两类年货大礼包全部售出的利润不低于5100元，则该商铺至少要购进多少个B类年货大礼包？ 【分析】（1）设一个A类大礼包的进价是x元，则一个B类大礼包的进价是（x+10）元，根据用6000元购进的B类大礼包的数量是用4000元购进的A类大礼包的数量的倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设该商铺要购进m个B类年货大礼包，则要购进（300﹣m）个A类年货大礼包，根据该商铺购进的两类年货大礼包全部售出的利润不低于5100元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设一个A类大礼包的进价是x元，则一个B类大礼包的进价是（x+10）元， 由题意得：， 解得：x＝50， 经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意， ∴x+10＝60， 答：一个A类大礼包的进价是50元，一个B类大礼包的进价是60元； （2）设该商铺要购进m个B类年货大礼包，则要购进（300﹣m）个A类年货大礼包， 由题意得：30%×50（300﹣m）+（80﹣60）m≥5100， 解得：m≥120， 答：该商铺至少要购进120个B类年货大礼包． 20．（2024秋•汉阳区期末）某商场首次购进件数相同的甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元． （1）求该商场购进的甲、乙两种商品进价每件各是多少元？ （2）该商场将购进的甲、乙两种商品销售完毕后，准备再次购入一定数量的甲、乙两种商品，由于市场行情波动，再次购入时，甲种商品单价上调了3m（m＞0）元/件，同时乙种商品单价下调了2m（m＞0）元/件， ①若再次购入与首次购进数量相同的甲、乙两种商品，且两种商品共花费4500元，求m的值； ②若再次购入甲、乙两种商品共100件（甲，乙件数不能为0），最后发现两种商品的总费用与实际购买甲种商品的件数无关，都是定值，请直接写出总费用的值 　4480　． 【分析】（1）设甲种商品每件的进价是x元，乙种商品每件的进价是（x+8）元，利用数量＝总价÷单价，结合商场首次购进甲、乙两种商品的件数相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即甲种商品每件的进价），再将其代入（x+8）中，即可求出乙种商品每件的进价； （2）①利用进货总价＝进货单价×购进数量，可列出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值； ②设购入n件甲种商品，总费用为w元，利用进货总价＝进货单价×购进数量，可找出w关于n的函数关系式，结合w的值与n无关，可求出m的值，再将其代入w中，即可求出结论． 【解答】解：（1）设甲种商品每件的进价是x元，乙种商品每件的进价是（x+8）元， 根据题意得：， 解得：x＝40， 经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意， ∴x+8＝40+8＝48（元）． 答：甲种商品每件的进价是40元，乙种商品每件的进价是48元； （2）①根据题意得：（40+3m）（48﹣2m）4500， 解得：m＝2． 答：m的值为2； ②设购入n件甲种商品，总费用为w元， 根据题意得：w＝（40+3m）n+（48﹣2m）（100﹣n）＝（5m﹣8）n+4800﹣200m， ∵w的值与n无关， ∴5m﹣8＝0， 解得：m， ∴w＝（5m﹣8）n+4800﹣200m＝（58）n+4800﹣2004480． 故答案为：4480． 21．（2024秋•临海市期末）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为（2a﹣2）m，宽为a m（a＞6）． （1）去年实践基地收获500kg蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ （2）今年从该基地中截取出一个边长为a m的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜300kg，B类蔬菜200kg．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． （3）该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加14m，宽增加a m，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数a的值． 【分析】（1）设乙组每分钟采摘x千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘2x千克的蔬菜，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即乙组的工作效率），再将其代入2x中，即可求出甲组的工作效率； （2）利用单位面积产量＝总产量÷种植面积，可用含a的代数式表示出A，B两类蔬菜的单位面积产量，作差后，即可得出结论； （3）设扩建后的长方形基地面积是原来的n倍（n为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的n倍，可用含a的代数式表示出n的值，再结合“a＞6，a为整数，且n为正整数”，即可得出结论． 【解答】解：（1）设乙组每分钟采摘x千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘2x千克的蔬菜， 根据题意得：10， 解得：x＝25， 经检验，x＝25是所列方程的解，且符合题意， ∴2x＝2×25＝50（千克）． 答：甲组每分钟采摘50千克的蔬菜，乙组每分钟采摘25千克的蔬菜； （2）A类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： A类蔬菜的单位面积产量为（千克）； B类蔬菜的单位面积产量为（千克）， ． ∵a＞6， ∴a﹣6＞0，a2＞0，a﹣2＞0， ∴0， ∴0， ∴， ∴A类蔬菜的单位面积产量大； （3）设扩建后的长方形基地面积是原来的n倍（n为正整数）， 根据题意得：（2a﹣2+14）（a+a）＝n（2a﹣2）a， ∴n2， 又∵a＞6，a为整数，且n为正整数， ∴或． 答：a的值为8或15． 22．（2024秋•思明区校级期末）嘟嘟商店分别花费9000元、4800元一次性购买甲乙两种电纸书，已知购买甲电纸书的数量比乙电纸书的数量多50%，每台甲电纸书比每台乙电纸书的价格贵200元． （1）求甲、乙型号电纸书分别进价为多少元； （2）该店发现销售情况良好，第一批货卖完货，以相同进价再次购入电纸书，预计用不少于1.78万元且不多于1.92万元的资金购进这两种型号电纸书共20台， ①请问有多少种进货方案？ ②若甲型号电纸书的售价为1500元，乙型号电纸书的售价为1450元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号电纸书．返还顾客现金a元，甲型号电纸书售价不变，若①中购进的电纸书全部售完，且各方案获利相同，求a的值． 【分析】（1）设乙型号电纸书进价为x元，则甲型号电纸书进价为（x+200）元，根据购买甲电纸书的数量比乙电纸书的数量多50%，列出分式方程，解方程即可； （2）①设购进甲型号电纸书m台，则购进乙型号电纸书（20﹣m）台，根据用不少于1.78万元且不多于1.92万元的资金购进这两种型号电纸书共20台，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题； ②设总获利为w元，根据题意列出w关于m的一次函数关系式，即可解决问题． 【解答】解：（1）设乙型号电纸书进价为x元，则甲型号电纸书进价为（x+200）元， 由题意得：（1+50%）， 解得：x＝800， 经检验，x＝800是原方程的解，且符合题意， ∴x+200＝1000， 答：甲型号电纸书进价为1000元，乙型号电纸书进价为800元； （2）①设购进甲型号电纸书m台，则购进乙型号电纸书（20﹣m）台， 由题意得：， 解得：9≤m≤16， ∵m为正整数， ∴m＝9，10，11，12，13，14，15，16， ∴有8种进货方案； ②设总获利为w元， 由题意得：w＝（1500﹣1000）m+（1450﹣800﹣a）（20﹣m）＝（a﹣150）m+13000﹣20a， ∵各方案获利相同， ∴a﹣150＝0， ∴a＝150， 答：a的值为150． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/3 9:57:01；用户：19902929970；邮箱：19902929970；学号：37357472 【类型五：与分式方程有关的新定义和创新类题型】 23．（2024秋•闽清县期末）已知关于x的方程x的两根分别为m，，则关于x的方程x的根是（　　） A． B． C． D． 【分析】先将将方程x转化为，再根据已知得x﹣1＝m+2，x﹣1，再由x﹣1＝m+2，解得x＝m+3，由x﹣1，解得x，据此即可得出答案． 【解答】解：将方程x转化为：， ∵方程x的两根分别为m，， ∴x﹣1＝m+2，x﹣1， 由x﹣1＝m+2，解得：x＝m+3， 由x﹣1，解得：x， ∴方程x的根是：x＝m+3，x． 故选：D． 24．（2024秋•桥西区期末）对于实数a，b，定义一种新运算“☆”为：a☆b．例如：1☆3．则方程x☆（﹣2）1的解是（　　） A．x＝7 B．x＝6 C．x＝5 D．x＝4 【分析】根据新定义运算法则得出，然后解分式方程即可． 【解答】解：x☆（﹣2）1， ， 整理得，， 方程两边同乘x﹣4，得1＝2﹣（x﹣4）， 解得x＝5， 检验：当x＝5时，x﹣4≠0， 所以分式方程的解是x＝5， 故选：C． 25．（2024秋•新乐市期末）题目：当a≠b时，定义一种新运算：，例：．若F（m，2）﹣F（2，m）＝1，求m的值．嘉嘉的答案是，琪琪的答案是m＝0，下列判断正确的是（　　） A．只有嘉嘉的正确 B．只有琪琪的正确 C．嘉嘉，琪琪的答案合在一起才正确 D．嘉嘉，琪琪的答案合在一起也不正确 【分析】根据已知条件中的新定义，分两种情况，列出关于m的方程，解方程求出m，进行判断即可． 【解答】解：∵， 当m＞2时， F（m，2）﹣F（2，m）＝1， ， ， 2﹣2m＝m﹣2， 2m+m＝2+2， 3m＝4， ； 当m＜2时， F（m，2）﹣F（2，m）＝1， ， ， ， 2﹣m＝2， 解得：m＝0， ∴嘉嘉和琪琪的答案都正确， 故选：C． 26．（2024秋•思明区校级期末）新定义：如果两个实数a（a≠0）、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对[a，b]称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：a＝2，b＝﹣3使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对[2，﹣3]就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． （1）判断下列数对是否为关于x的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”．①[2，1]（　×　）；②[3，﹣4]（　√　）． （2）请判断数对[n，n﹣3]是否有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的n需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． （3）若数对[﹣3，kn]（k＜﹣2，n≠0）是关于x的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 【分析】（1）根据新定义，仿照示例，可判断数对[2，1]不是“友好数对”，数对[3，﹣4]是“友好数对”； （2）根据“友好数对”的定义，得到x是方程的解，从而得到n的值； （3）根据题意，得到n，利用作差法，判断M﹣N＞0，从而得到结果． 【解答】解：（1）关于x的分式方程， ∵x不是方程的解， ∴数对[2，1]不是关于x的分式方程的“友好数对”； ∵x是方程的解， ∴数对[3，﹣4]是关于x的分式方程的“友好数对”； 故答案为：×，√； （2）当n＝1时，数对[n，n﹣3]是否有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，理由如下： ∵x是方程的解， ∴n（n+n﹣3）﹣1＝n﹣3， ∴n2﹣2n+1＝0， ∴（n﹣1）2＝0， ∴n＝1， 即n＝1时，数对[n，n﹣3]是否有可能是关于x的分式方程的“友好数对”； （3）∵数对[﹣3，kn]（k＜﹣2，n≠0）是关于x的分式方程的“友好数对”， ∴x是关于x的分式方程的解， ∴﹣3（﹣3+kn）﹣1＝kn， ∴kn＝2， 即n， ∴M， N， ∴M﹣N， ∵k＜﹣2， ∴k+2＜0，k+1＜0， ∴M﹣N＞0， ∴M＞N． 27．（2024秋•襄城县期末）如果两个实数a、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a、b组成的数对[a，b]称为关于x的分式方程的一个“关联数对”，如：a＝2、b＝﹣5使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对[2，﹣5]就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． （1）下列数对为关于x的分式方程的“关联数对”的有 　②　（填序号）； ①[1，1] ②[3，﹣5] ③[﹣2，4] （2）若数对[n，8﹣n]是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值； （3）若数对[m﹣k，k]（m≠﹣1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程有整数解，求整数m的值． 【分析】（1）根据“关联数对”定义分别判断即可； （2）根据“关联数对”定义，将n代入，建立关于n的方程求解即可； （3）根据“关联数对”定义计算即可； 【解答】解：（1）①若a＝1，b＝1，分式方程1＝1的解为无解， 不符合“关联数对”的定义， 故不正确，不符合题意； ②若a＝3，b＝﹣5，分式方程1＝﹣5的解为x， ，符合“关联数对”的定义， 故正确，符合题意； ③若a＝﹣2，b＝4，分式方程的解为， 不符合“关联数对”的定义， 故不正确，不符合题意； 故答案为：②； （2）∵数对[n，8﹣n]是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴x是方程的解， ∴1＝8﹣n， 整理得：8n+1＝8﹣n， 解得：； （3）∵数对[m﹣k，k]（m≠﹣1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴x是分式方程的解， ∴1＝k， 整理可得m（m﹣k）+1＝k， 解得k， 将方程整理为k（m+1）x﹣m（m+1）+m+1＝﹣2mx， 解得x1， ∵方程有整数解， ∴m+1＝±1，±2， ∴m＝0或﹣2或1或﹣3， 又∵m≠0，k≠1， ∴m+1≠m2+1， ∴m≠1， ∴m＝﹣2或﹣3． 28．（2024秋•宿城区校级期末）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． （1）判断方程6﹣4（1﹣x）＝2x与是否为“相似方程”，并说明理由； （2）已知关于x，y的二元一次方程y＝mx+6和y＝x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值． 【分析】（1）先分别算出方程6﹣4（1﹣x）＝2x与的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答． （2）因为关于x，y的二元一次方程y＝mx+6和y＝x+4m是“相伴方程”，所以mx+6＝x+4m，整理得，结合x，y，m均为整数，则m1＝0，m2＝2，m3＝﹣1，m4＝3，因为m为正整数，据此即可作答． 【解答】解：（1）方程6﹣4（1﹣x）＝2x与方程是“相似方程”，理由如下： 解方程6﹣4（1﹣x）＝2x得：x＝﹣1， 解方程得：x＝﹣1， 检验：x＝﹣1是该分式方程得解． ∴两个方程是“相似方程”； （2）由条件可知mx+6＝x+4m， ， ∵x，y，m均为整数， ∴m﹣1＝±1，m﹣1＝±2， ∴m1＝0，m2＝2，m3＝﹣1，m4＝3， 又∵m为正整数， ∴m＝2或m＝3． 29．（2024秋•济宁期中）通过观察，发现方程不难求得方程：的解是；的解是；的解是；… （1）观察上述方程及其解，可猜想关于x的方程的解是 　x1＝a，x2　； （2）试验证：当都是方程的解； （3）利用你猜想的结论，解关于x的方程． 【分析】（1）根据给的具体方程的解得特点易得到方程的解是x1＝a，x2； （2）把x＝a和x分别代入方程左边，易得到左右两边相等，根据分式方程的解即可得到都是方程的解； （3）把方程变形得到a，xa，得到具有（1）中方程的特点的形式x﹣1a﹣1，于是有x﹣1＝a﹣1或x﹣1，分别解即可得到原方程的解． 【解答】解：（1）x1＝a，x2； （2）把x＝a﹣1代入方程，左边＝a﹣1，右边＝a﹣1，左边＝右边，所以x＝a﹣1是方程的解； 把x代入方程，左边a﹣1，右边＝a﹣1，左边＝右边，所以x是方程的解； （3）方程变形得，a， xa， ∴x﹣1a﹣1， ∴x﹣1＝a﹣1或x﹣1， ∴x1＝a，x2． 30．（2024秋•灌阳县期中）阅读： 对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为x1＝a，x2＝b． 应用上面的结论解答下列问题： （1）方程有两个解，分别为x1＝2，x2＝　4　． （2）关于x的方程的两个解分别为x1＝2，x2＝　　． （3）关于x的方程的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值． 【分析】（1）方程变形后，利用题中的结论确定出方程的解即可； （2）方程变形后，根据利用题中的结论，确定出x1与x2的值即可； （3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为x1、x2，代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：（1）∵2×4＝8，2+4＝6， ∴方程的两个解分别为x1＝2，x2＝4． 故答案为：4． （2）方程变形得：， 由题中的结论得：方程有一根为2，另一个根为； 则x1＝2，x2； 故答案为：． （3）方程整理得：， 得2x﹣1＝n﹣1或2x﹣1＝n， 可得x1，x2， 则原式． 31．（2023秋•舞阳县期末）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得x1＝a，x2＝b．又因为（a+b），所以关于x的方程xa+b的解为x1＝a，x2＝b． （1）理解应用：方程的解为：x1＝　5　，x2＝　　； （2）知识迁移：若关于x的方程x7的解为x1＝a，x2＝b，求a2+b2的值； （3）拓展提升：若关于x的方程k﹣x的解为x1＝t+1，x2＝t2+2，求k2﹣4k+4t3的值． 【分析】（1）根据题意可得x＝3或x； （2）由题意可得a+b＝7，ab＝3，再由完全平方公式可得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝43； （3）方程变形为x﹣1k﹣1，则方程的解为x﹣1＝t或x﹣1＝t2+1，则有t（t2+1）＝6，t+t2+1＝k﹣1，整理得k＝t+t2+2，t3+t＝6，再将所求代数式化为k2﹣4k+4t3＝t（t3+t）+6t3﹣4＝6（t3+t）﹣4＝20． 【解答】解：（1）∵xa+b的解为x1＝a，x2＝b， ∴5的解为x＝5或x， 故答案为：5，； （2）∵方程x7， ∴a+b＝7，ab＝3， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝49﹣6＝43； （3）方程k﹣x可化为x﹣1k﹣1， 设y＝x﹣1，方程变形为yk﹣1， ∴y1•y2＝6，y1+y2＝k﹣1， ∴y1＝x1﹣1，y2＝x2﹣1， ∵x1＝t+1，x2＝t2+2， ∴y1＝t+1﹣t＝t，， ∴x﹣1＝t或x﹣1＝t2+1， ∴t（t2+1）＝6，t+t2+1＝k﹣1， ∴k＝t+t2+2，t3+t＝6， k2﹣4k+4t3 ＝k（k﹣4）+4t3 ＝（t+t2+2）（t+t2﹣2）+4t3 ＝t4+6t3+t2﹣4 ＝t（t3+t）+6t3﹣4 ＝6t+6t3﹣4 ＝6（t3+t）﹣4 ＝6×6﹣4 ＝32． 【类型六：用换元法解分式方程】 32．（2024春•闵行区期末）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可变形为（　　） A．2y2+y﹣1＝0 B．y2+2y﹣1＝0 C．y2﹣2y+1＝0 D．2y2﹣y+1＝0 【分析】利用换元法解决问题． 【解答】解：由题意，2y1＝0， ∴2y2+y﹣1＝0． 故选：A． 33．（2024秋•垫江县期末）阅读下面材料，解答后面的问题 解方程：． 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0， 解得：y＝±2， 经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1， 当y＝﹣2时，，解得：x，经检验：x＝﹣1或x都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝﹣1或 x．上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： （1）若在方程中，设，则原方程可化为：　　； （2）若在方程中，设，则原方程可化为：　　； （3）模仿上述换元法解方程：． 【分析】（1）和（2）将所设的y代入原方程即可； （3）利用换元法解分式方程，设，将原方程化为，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可． 【解答】解：（1）将代入原方程，则原方程化为； （2）将代入方程，则原方程可化为； （3）原方程化为：， 设，则原方程化为：， 方程两边同时乘y得：y2﹣1＝0 解得：y＝±1， 经检验：y＝±1都是方程的解． 当y＝1时，，该方程无解； 当y＝﹣1时，，解得：； 经检验：是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为． 34．（2024春•龙泉驿区期中）阅读下面材料，解答后面的问题． 解方程：． 解：设，则原方程化为：， 方程两边同时乘y得：y2﹣9＝0， 解得：y1＝3，y2＝﹣3． 经检验：y1＝3，y2＝﹣3都是方程的解． 当y＝3时，，解得：； 当y＝﹣3时，，解得：x． 经检验：或x2．都是原分式方程的解． ∴原分式方程的解为或x2． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： （1）在方程中，设，则原方程换元后为：　y2﹣4＝0　； （2）模仿上述换元法解方程：． 【分析】（1）设，则原方程换元后为y0，再根据等式的性质进行变形即可； （2）设a，则原方程化为a0，求出方程的解，再进行检验，当a时，，求出方程的解，当a时，，求出方程的解，最后进行检验即可． 【解答】解：（1）， 设，则原方程换元后为y0， 方程两边乘4y，得y2﹣4＝0． 故答案为：y2﹣4＝0； （2）， 0， 设a，则原方程化为：a0， a2﹣2＝0， a2＝2， a， 经检验：a都是a0的解， 当a时，， x+2x， xx＝﹣2， （1）x＝﹣（2）， x， x x＝4+3； 当a时，， x+2x， xx2， （1）x2， x， x， x＝4﹣3， 经检验：x＝4+3和x＝4﹣3都是分式方程的解， 所以分式方程的解是x1＝4+3，x2＝4﹣3． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$