第3课：三角函数与解三角形讲义-2026届高三数学二轮专题复习

第3课：三角函数与解三角形 一、核心知识点 1、三角化简核心技巧： ① 同角三角函数关系：核心公式（sin²α+cos²α=1，tanα=sinα/cosα），核心易错点：忽略定义域限制（cosα≠0），平方关系逆用忘记分类讨论符号，课堂重点强调规避方法； ② 诱导公式：核心口诀“奇变偶不变，符号看象限”，简化记忆方法，核心易错点：象限判断失误、公式记混，重点突破负角、π±α、3π/2±α的诱导公式应用； ③ 和差、二倍角公式：重点掌握正弦、余弦二倍角公式及逆用（降幂公式、升幂公式），核心易错点：二倍角公式逆用不熟练，和差公式符号混淆，忽略角的范围对三角函数值符号的影响。 2、y=A sin(ωx+φ)的图像与性质 ① 核心公式：周期T=2π/|ω|，振幅A，初相φ，核心易错点：忽略ω的正负对周期的影响，求φ时未结合图像单调性或特殊点验证； ② 核心性质：单调区间、对称轴、对称中心，求解步骤（换元法），核心易错点：单调区间求解时忽略ω的正负导致区间方向错误，对称轴、对称中心坐标书写不规范； ③ 图像应用：给图像求解析式（求A、ω、φ），核心步骤（找最值定A、找周期定ω、找特殊点定φ），核心易错点：φ的求解未结合图像单调性，导致多解或错解。 3、解三角形 ① 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R，适用场景（已知两角一边、已知两边一对角），核心易错点：已知两边一对角时，未判断多解情况，导致漏解或错解； ② 余弦定理：c²=a²+b²-2ab cosC（及变形），适用场景（已知两边及夹角、已知三边、已知一边及两角），核心易错点：公式变形应用不熟练，计算失误，夹角对应边混淆； ③ 面积公式：S=1/2 ab sinC=1/2 bc sinA=1/2 ac sinB，核心易错点：面积公式与余弦定理结合时，忽略角的范围，sin值符号判断错误； ④ 高频情境：方位角、仰角俯角问题，核心步骤（转化为三角形边角关系、标注已知条件、选择合适定理求解），核心易错点：方位角判断错误，未能将实际问题转化为解三角形问题。 4、三角最值与范围问题 ① 核心方法：边化角→合一变形（辅助角公式）→求范围；角化边→基本不等式→求最值，核心易错点：合一变形时系数计算失误，基本不等式应用忽略“一正二定三相等”条件； ② 易错提醒：角的范围限制（三角形内角和、已知条件隐含的角范围），未结合角的范围求三角函数值的范围，导致最值求解错误。 二、典例分析 例题1（三角化简基础）：化简，写出完整化简步骤。 解法：利用诱导公式分步化简，将式子转化为同角三角函数形式→结合同角三角函数关系整理化简→得出最简形式； 易错提醒：诱导公式象限判断失误、符号书写错误，忽略同角关系的简化应用。课堂将强调诱导公式口诀记忆，结合步骤拆解，确保化简不丢分。 例题2（解三角形基础）：在△ABC中，，，，求角，写出完整解题步骤。 解法：由正弦定理，代入已知条件计算的值→结合三角形内角范围（）及的边角关系，判断的大小； 易错提醒：未判断角的范围，忽略多解可能性（本题无多解）。课堂将强化正弦定理应用的规范性，确保基础题拿满全分。 例题3（三角化简求值，核心）：已知，求的值，写出完整步骤。 解法一（常规思路：弦化切）：将分式分子分母同除以（），转化为含的表达式→利用同角三角函数关系，将转化为含的式子→代入计算得出结果； 解法二（课堂速解：整体代入）：由得，代入表达式，结合同角关系化简计算，快速得出结果； 易错提醒：弦化切时忽略的条件，转化失误，计算粗心导致结果错误。课堂将强调化简步骤规范性和计算准确性，强化易错点规避。 例题4（y=A sin(ωx+φ)性质，核心）(多选题)[2025·福州模拟] 函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 (　 ) A.f(x)的图象关于直线x=-对称 B.f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)=3cos 2x的图象 C.函数y=f的单调递增区间为,k∈Z D.若方程f(x)=在(0,m)上有且只有6个根,则m∈ 解法：代入点的坐标求φ→利用换元法求单调区间→结合定义域确定减区间； 易错提醒：求φ时未结合|φ|<π/2验证，求单调区间时忽略ω=2>0，导致区间方向错误，课堂强化性质应用的步骤规范。 例题5（解三角形多解判断，核心）：在△ABC中，，，，判断解的个数，并求角，写出完整步骤。 解法：由正弦定理，代入已知条件计算的值→结合的关系及三角形内角范围（），判断解的个数→分情况求解角，验证合理性； 易错提醒：未判断多解情况，直接求解导致漏解或错解，忽略角的范围限制。课堂将重点强化多解判断的核心步骤，结合例题拆解分析。 例题6（三角最值，核心）：在△ABC中中，，角，求的最大值，用正弦定理+合一变形求解，步骤规范。 解法：由正弦定理，将、转化为含角、的三角函数表达式→结合，利用三角形内角和将角转化为含角的形式→通过合一变形（辅助角公式），将表达式转化为正弦函数形式→结合角的范围，求的最大值； 易错提醒：合一变形时系数计算失误，角的范围判断错误，忽略正弦函数的最值条件。课堂将强化最值求解的完整步骤，规范变形过程。 例题7（方位角+解三角形，综合）：一艘轮船从处出发，沿北偏东60°方向航行20海里到达处，再沿北偏西30°方向航行10海里到达处，求、两地之间的距离及的大小，写出完整步骤。 解法：根据方位角定义，将实际航行路线转化为三角形边角关系，标注海里、海里及相关内角→计算的度数→选择合适的定理（余弦定理、正弦定理），求解的长度及的大小→验证结果合理性； 课堂拓展：总结方位角问题的核心转化技巧，帮助学生快速将实际问题转化为解三角形问题，提升综合应用能力； 易错提醒：方位角判断错误，三角形内角计算失误，余弦定理应用时边长与夹角对应错误。课堂将结合图形拆解方位角判断方法，规范解题步骤。 例题8（解三角形+最值，综合）：，，，（1）若，求的值；（2）求面积的最大值，写出完整步骤。 解法：（1）利用余弦定理，代入已知条件列出关于的一元二次方程→求解方程，结合三角形边长为正的条件，取舍得出的值；（2）由余弦定理结合基本不等式，推导的最大值→结合面积公式，计算面积的最大值； 易错提醒：余弦定理列方程时符号错误，基本不等式应用忽略“一正二定三相等”条件，导致最值求解错误。课堂将强化综合题的步骤规范和计算准确性。 例题9（三角函数图像+性质综合）：已知函数（）的周期为，求的值、的对称轴及在上的最值，步骤规范。 解法：利用合一变形（辅助角公式），将化为的标准形式→由周期公式，结合周期，求解的值→结合正弦函数的性质，求解的对称轴方程→结合定义域，确定的范围，进而求的最大值与最小值； 易错提醒：合一变形系数计算错误，周期公式记混，对称轴坐标书写不规范。课堂将强化图像与性质的综合应用，规范步骤书写。 例题10（三角恒等变换+解三角形综合）：已知，且为的内角，若中，，，求的最小值，写出完整步骤。 解法：利用两角和的正切公式，展开，求解的值→结合为三角形内角，确定的值→由正弦定理，表示出的表达式→结合角的范围，求的最小值； 易错提醒：两角和正切公式符号混淆，忽略三角形内角的范围限制，正弦定理应用时边角对应错误。课堂将强化公式综合应用与范围判断，突破综合题难点。 变式与补充例题 变式1（诱导公式+二倍角）：已知，求与的值，写出完整步骤。 解法：利用两角和的正切公式，展开，求解的值→利用二倍角公式结合同角三角函数关系，通过两种方法（弦化切、直接转化）求解的值； 易错提醒：两角和的正切公式符号混淆，转化失误。课堂将强化诱导公式与二倍角公式的综合应用，巩固解题方法。 变式2[2025·甘肃白银二模] 已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则(　 ) A. B.的图象关于直线对称 C.在区间上单调递减 D.与的图象关于直线对称 补充例题2（余弦函数单调性，单选题）[2025·辽宁辽阳二模] 已知函数在区间上单调，则的取值范围为(　 ) A. B. C. D. 补充例题3（余弦函数零点，单选题）[2025·浙江杭州三模] 若函数f(x)=2cos(ωx+φ)的最小正周期为π,其图象的一条对称轴的方程为x=,则函数f(x)在[-π,π]上的零点个数为 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 补充例题4（解三角形综合，解答题）[2025·湖北黄冈三模] 在中，内角的对边分别为，已知，且。(1)若，求；(2)求面积的最大值。 补充例题5（解三角形+三角恒等变换，解答题）[2025·天津卷] 在中，内角的对边分别为。已知，，。(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值。 补充例题6（锐角三角形+周长范围，解答题）[2025·江西重点高中协作体联考] 在锐角三角形中，内角所对的边分别为。已知，。(1)若，求的面积；(2)求的周长的取值范围。 补充例题7（角平分线+解三角形，解答题）[2025·广西南宁模拟] 如图所示，在中，，是上的一点，平分，且。①若，求的长度；②求的取值范围。 补充例题8（面积公式+中线求解，解答题）[2025·黑龙江齐齐哈尔三模] 已知的内角的对边分别为，的面积为。(1)求；(2)若，且的周长为5，设为边的中点，求。 补充例题9（锐角三角形+高的求解，解答题）[2025·海南三亚一模] 在锐角三角形中，内角所对的边分别为，且。(1)求；(2)若，，求边上的高的长。 三、高考真题 例4 [2024·新课标Ⅰ卷] 当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为 (　 ) A.3 B.4 C.6 D.8 2022年新高考全国Ⅰ卷（大题）：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知b=√3，c=2，cosB=1/3。（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积。 考点：正弦定理、余弦定理、三角形面积公式综合，核心必拿分大题，课堂重点讲解步骤规范，贴合人教版A版选择性必修第一册解三角形知识点。 [2025·全国二卷] 已知0<α<π,cos=,则sin= (　 ) A. B. C. D. [2023·新课标Ⅰ卷] 已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)= (　 ) A. B. C.- D.- [2024·新课标Ⅰ卷] 已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)= (　 ) A.-3m B.- C. D.3m [2024·新课标Ⅱ卷] 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=2. (1)求A; (2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长. 考点：正弦定理、余弦定理、面积公式综合，核心必拿分大题，课堂强化综合应用能力，贴合人教版A版选择性必修第一册解三角形知识点。 四、40分钟精准训练（分层设计，适配课堂巩固练习，严格控制时长，改编自人教版A版习题+真题变式，高效提分） （一）单项选择题（共10小题，每小题5分，共50分） 1、化简的结果为（ ） A. B. C. D. 2、在中，，，，则角为（ ） A. B. C.或 D.无解 3、已知点(a,0)(a>0)是函数y=2tan图象的一个对称中心,则a的最小值为 (　 ) A. B. C. D. 4、已知，则的值为（ ） A.-5 B.5 C. D. 5、函数（）的周期为，则的值为（ ） A.1 B.2 C. D.4 6、在中，，，，则边的值为（ ） A.3 B. C. D.4 7、已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8、已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),T为f(x)的最小正周期,且f(x)≤对任意的x∈(-∞,+∞)恒成立,若函数f(x)在区间上恰有3个零点,则ω的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 9、在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C.3 D. 10、函数的对称轴方程为（ ） A.， B.， C.， D.， （二）多项选择题（共2小题，每小题6分，共12分，全部选对得6分，部分选对得3分，选错得0分） 11、关于函数的性质，下列说法正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的最大值为1，最小值为-1，且在（）时取得最大值 12、关于解三角形的说法，下列正确的有（ ） A. 在中，若，则 B. 若为锐角三角形，则 C. 利用正弦定理求解两边一对角问题时，一定有两解 D. 三角形的面积公式，适用于任意三角形 （三）填空题（共2小题，每小题5分，共10分，答案写在横线上） 13、已知，则的值为__________。 14、在中，内角的对边分别为，若，，，则__________。 （四）解答题（共2小题，每小题14分，共28分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15、已知函数，求： （1）函数的最小正周期及单调递增区间；（2）函数在上的最大值与最小值。 16、在中，内角的对边分别为，已知。 （1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的值。 学科网（北京）股份有限公司 $三角函数与解三角形全题解析 典例分析解析 例题1化简sin(π+a)cos 3π 2 解析：利用诱导公式化简，sin(π十a)=一sina,cos 2 -a)=-sina, 则原式=(-sina)·(-sina)=sin2a。 例题2△ABC中，a=2,b=V√2，A=45°，求角B 解析：由正弦定理Q一b sin A sin B' 代入得sinB= bsin Av2.sin45°V2.9 1 0 2 21=2 又a>b,大边对大角，故B<A=45°，因此B=30°。 例题3已知tana=3,求 sin a -cos a +cos2 a sin a+cos a 解析： 1.分式部分：分子分母同除以c0sa,得ana-1=3-1-1 tana+1=3+1=2 1 1 2.余弦平方部分：由sin2a+cos2a=1,cos2a= 1+tan2 a 0 3.求和： 1,13 2+10=50 例题4多选题（f(x)=Asin(wx+p)图象题) 核心步聚：先由图象得A=3,T=不，如=2，结合9<行得9=君，即 f=3sin(2r+3）。 4π A:E=- 时，2x+ 7=--2x,sim(3)≠1，错误； 3 3 ，B:左移写个单位，g创=3sim2(e+3)+写引=3n2+)=3sin2x≠3c0s2a ,错误； ·C:g=f(位，)-3血（兮-2刘）-30s2,单润递增区间为2欢-x≤2：≤2a, [臣告+k∈0，正 5不 。D:f)-即s血-）-，在0，m)上有6个根，解得m∈ 10 3 正确。 答案：CD 例题5△ABC中，a=V,b=√2，B=45°，判断解的个数并求角A 解析：由正弦定理sin4=asinB_V3.竖_V3 2 b V2-2。 a>b,故A>B=45°，A=60°或120°，两解，即A=60°或120°。 例题6△ABC中，a=2,A=60°，求b+c的最大值 a4 解析：由正弦定理sin B sinC$i加A√ 则b+c= 3imB+mC),又C=120°-B, sin B+sin(120B)sin B cosBsin(B0) 3 4 B∈(0°，120°)，故sin(B+30°)max=1,因此b+cmax= V3=4。 例题7轮船航行问题：A北偏东60°到B(20海里)，B北偏西30°到C（10海 里)，求AC及∠ACB 解析：由方位角得∠ABC=90°，△ABC为直角三角形。 1.由勾股定理：AC=VAB2+BC2=V202+102=10V5海里； 2。tam∠ACB-把-2，故乙ACB=arctan2成约6343。 例题8△ABC中，esB=行，b=2:()a=3求；2求面积最大值 解析： (1)由余弦定理b2=a2+c2-2acc0sB,代入得4=9十c2-2.3c.号 整理c2-2c+5=0,无解； 2)由余弦定理4=a2+c2- 3ac≥2ac-2c4 ac,得ac≤3（当且仅当a=c时取等）。 sinB=V-ogB-2,面积S=0血B<分3 1 1,2v2 =√2，即面积最大值为√2 3 0 例题9f()=sin+V3(u>0)周期为元，求u、对称轴、[0，】上的最值 解析： 1.合-变形：f(x)=2sin(wx+ 3, 周期T=2”=T,得w=2,即 fa=2sim(2z+3） π 不 2.对称轴：2x+ 3= +kπ(k∈Z),解得x= B+经e: 3.最值：eo, 时，2x+ π4π 3 33 故最大值2，最小值-√3。 例题10已知tan(a+)=2,a为△ABC内角，a=2,sinB=tana,求b的最 小值 解析： L求an:由和角公式an(a+) tana+1 1 1-tana =2,解得tana= 3 1 2.由a∈(0，m),得sinB=3,且sinB∈(0,1)符合条件； 3.正弦定理 b a 2 inB-sinA,即b= 2 sin A 3sin A' 2 sinA∈(0,1，故当sinA=1时，bmim= 3 变式与补充例题解析 变式1已知tan(a+)=2,求tama与sin2a 解析： 1 1.tana:同例题l0,得tana= 2tana2.3 2.sin2a:由二倍角公式sin2a=1+tan2a=1+ =5° 变式2f()= cosZe 方n2x,左移号得9四，判断选项 解析： 1.化简f@)=cos(（2红+君)，左移牙得 创=s2(e+)+】=sm(2:-)=m(2a-）: 2.A:9)≠sn(（2e-),错误： 3B::=石时，9()=-1，为最值，图象关于该直线对称，正确； π 2π7π 4.C:∈ 36 时，2+ 3π5π 6∈ 2,2 cost单调递增，故g(c)单调递减，正确； 5D:验证f( -四≠g),错误。 答案：BC 补充2f(x)=cos wa+ )>0在（任） 上单调，求w范围 解析：余弦函数单调区间长度≤π，故2一 T石≤二， 得ω≤1； 又w· +6 5 2,w. 2T6S2,解得ω≥0。 综上，w∈ 答案：B。 补充3f)=2osa十@>0,0<g<爱，T=元，对称轴=，求-，闭上 零点个数 解析： 1T=不→w-2,对称轴2君-9=标→9=智(0<9<至)，即 π π f(2)=2cos(22+ 2.零点：2x+ 3= +k标今卫= π，kπ 2 2+2； 3.在，可上的零点为步DD五，共4个，答案：D。 11π5ππ7π 3 补充4△ABC中，2=4sinB,sim2A+号sin2C=2:()a=c求b;(2)求面积最 大值 解析： (1)由正弦定理 a sin A -sinC-sinB=2R,a=c→simA=sinC, 代入得im2A+号sim2A=2→i血A= 2 62 ，则si血B=4' 又A+C=2A=π-B→sinB=sin2A=2. 214 5V=5 -4b=45; 故 45 (2)由正弦定理a=2 Rsin A,c=2 Rsin C,2R= b4 sinB=6 面积S= 116 acsin B sin A sinC.-2sin A sinC, 结合n24=2-m2C,求悬值得S。=25 3 30 补充5△ABC中，asin B=V3 b cos A,c-2b=1,a=√7：(1)求A;(2)求c; (3)求sin(A+2B) 解析： ()正弦定理化边为角：si血Asin B=V3 sin BcosA,sinB≠0今tanA=V3→A=T 3 (2)由c=2b+1,余弦定理a2=b2+c2-2 bc cos A,代入得 7=b2+(2b+1)2-26(2b+1)·2, 1 整理得b2+b-6=0→b=2,故c=5; (3)正弦定理sinB- bsinA 2.V2I 7 s2sin co co22co sin(A+2B)=sin A cos2B+cos Asin2B=V3.11.4v35v3 2…7+27=141 补充6锐角△ABC中，a=2,B-君：(1)1+cosA=bsin AsinC求面积；(2求周 长取值范围 解析： )由A+C= ,sinC -sin 2T ( 代入化简得b=2, 由正孩定理得4=君，放△ABC为正三角形，面积S= 4 .22=√3； 回)周长Z=a+b+e=2+后mA+mC,4e(后）， 化简得L=2+4sin (4+),故周长取值范围为(2+2V3,6)。 补充7△ABC中，sinC=3sinB,AD平分∠BAC,AD=kAC:（1)DC=2求 BC;(2)求k范围 解析： BD AB sin C (1)角平分线定理 DC=AC sin B =3,DC=2→BD=6,故BC=BD+DC=8 2)设∠BAD=∠CAD=B,由面积法S△ABD十S△ACD=S△ABC, 3sin B 化简得k= 2sin(B+),结合角的范围得k∈ 2 0 补充8△ABC面积S-4es血C+bsmB-a血A):(1求A;(2a=2,周长5， D为BC中点，求AD 解析： (1)面积公式结合正弦定理化边： abc=a(c+62-a2)=cosA= b2+c2-a21 2bc 2)周长5→b+c=3,a=2,由中线公式AD2= 2b2+2c2-a2 4 b2+c2=(b+c)2-2bc=9-2bc,余弦定理得bc= 5 3 代入得AD2=29-)-4_1品，故AD= 4 6 60 补充9锐角△ABC中，V3sinB=cosB+1:(1)求A;(2)b=c+1,a=V7,求 BC边上的高AD 解析： a)化简y3mB-c0osB=1→2m(B-君)=1→B=背 (题目漏条件，默认A=B), 故A=3 2)余弦定理7=(c+1P+c2-2cc+1)2今c=2,6=3, 面积。1nA三3)2，又5=0·AD,故AD=y3=3V21 1 7。 高考真题解析 2024新课标1卷曲线)=n与)=2sn(3x-) 在c∈[0,2π的交点个数 解析：令sinx=2si血(3x-),展开化简求解，结合图象分析，交点个数为8个，答案：D。 2025全国二卷0<0心，m分=9， 求sin(a-④) 解析： cos a =2cos 2 -1= 5’sina 4 5 sin (a-4) =sin a cos4 π4√2,3V27V2 -cosasin4=5·2+52=10 答案：D。 1 2023新课标1卷ina-B)三32c0 sasinB三2求cos(2a+20 解析： sin(a-B)=sin a cos B-cos a sin B= →sin&cosB= 1 1 sin(a+B)=sin a cos B+cos a sin B= 2 3 c2a+20)=1-2na+到=1-2看=，答案：D。 2024新课标I卷cos(a+B)=m,tanatanB=2,求cos(a-) 解析： cos(a+B)=cos a cos B-sin a sin B =m, sin a sin B tana tan B= cos a cos B =2=sin a sin B=2 cos a cos B, 代入得cos a cos B=-m,sin a sin B=-2m, cos(a-B)=cosa cos B+sin a sinB=-3m,答案：A。 2024新课标II卷△ABC中，sinA+√3cosA=2:(1)求A;(2)a=2, √2 bsin C=csin2B求周长 解析： 回化简2m(4+写)=2→sin(4+写》)=1→A=8; 2)由V2 bsinC=c,2 sin Bc0sB,正弦定理化边得cosB=Y2 2→B=无， C=T- TT_7π 64=12,正弦定理得6=2W2,c=V6+V2, 周长=2+2W2+√6+√2=2+3v2+√6。 40分钟精准训练解析 (一)单项选择题 1.化简cos(π-a)si (5+a）小：cos(r-a=-cosa,sin(+a）=cosa,原式 =-C0s2a,答案：A。 中，Q=V8,0,A30求B:西弦定理sinB上号3，b 或120°，答案：C。 3.点(a,0(a,>0)是彩=2tan(-)对稀中心，求a:正切对称中心 之+k=0时0白3)答案：B。 2sin a+cos a ：分子分母同除c08a,得X号女=-5，答案：A。 2×2+1 4.tana=2,求 sin a-3 cos a 5.f()=V3sinw+cow>0j周期为开，求w:合-变形得fa)=2sin(ox+君)， 2π =T今w=2,答案：B。 6.△ABC中，c0sC=,a=2,b=3求c:余弦定理 1 c2=4+9-2×2×3×4=11→c=VT,答案：C。 4=2sinB,c三V3,A=120求cosA:co8120=答案：0 A=120°条件)。 8于回=2sin(ez十)在0，受)上恰有3个零点，求w范国：由条件得口=受， 2026 f(x)=2 coswz,零点条件得w∈ 33 答案：C。 9,△ABC中，a=2,b=3,C=60求面积：S= absin C=3v3 2,答案：A。 10f回=2cas(2x-）的对籍轴：2x一君=加→2-智-元k∈2，答案：A。 (二)多项选择题 1.f)=sim(2x+写) 的性质： 。A:周期T=T,正确； 8:=时，f()= 2≠0，错误； oC:x∈ 引时，2红+[后引， 单调递增，正确； 。D:最大值1，最小值-1，x=2十k怀时取最大值，正确。 答案：ACD。 12.解三角形的正确说法： oA:正弦定理，sinA>sinB台a>b,正确； 。B:锐角三角形各角余弦为正，和为正，正确； 。C:两边一对角可能一解、两解、无解，错误； 。D:S=。absinC适用于任意三角形，正确。 2 答案：ABD。 (三)填空题 2tana 4 13.tana= 2’求sin2a:sin2a1+tan2a日5，含案：4 △ABC中，a=5,b=3,cosC三G求：余弦 3 e2=25+9-2×5×3×写=16÷c=4,答案：4。 (四)解答题 15.f()=V3sin2x+2cos2x-1(题目漏sin):()周期与单调递增区间；(2)[0，】上的最 值 解析： (1)化简f(x)=V3sin2c+cos2x=2sin (2x+), 最小正周期T=π； 单调递增区间：2km- s2红+君≤2km+5k∈2)， 解得召+k,+k树k∈2。 ∈0，引时，2+∈6 sm(2z+)e[, 故最大值2，最小值一1。 16.△ABC中，bcosA+a cos B=2 ccos C:(1)求C;(2)c=2W3,面积2W3,求a+b 解析： (1)正弦定理化边为角：sin B cos A+sin Acos B=2 sin C cos C, 1 64+B)=sinC=2 sin cos,sinC≠0→cosC→C=” (2)面积S=。absinC=2√3→ab=8; 余弦定理c2=a2+b2-2 abcosC→12=(a+b)2-3ab, 代入ab=8得(a+b)2=36→a+b=6。 我可以帮你把这些解析整理成按题型分类的错题本格式，标注每个题的核心考点和易错点，方便你复 习，需要吗？ (注：文档部分内容可能由AI生成) 第3课：三角函数与解三角形 【核心知识点】 1、三角化简核心技巧： ① 同角三角函数关系：核心公式（sin²α+cos²α=1，tanα=sinα/cosα），核心易错点：忽略定义域限制（cosα≠0），平方关系逆用忘记分类讨论符号，课堂重点强调规避方法； ② 诱导公式：核心口诀“奇变偶不变，符号看象限”，简化记忆方法，核心易错点：象限判断失误、公式记混，重点突破负角、π±α、3π/2±α的诱导公式应用； ③ 和差、二倍角公式：重点掌握正弦、余弦二倍角公式及逆用（降幂公式、升幂公式），核心易错点：二倍角公式逆用不熟练，和差公式符号混淆，忽略角的范围对三角函数值符号的影响。 2、y=A sin(ωx+φ)的图像与性质 ① 核心公式：周期T=2π/|ω|，振幅A，初相φ，核心易错点：忽略ω的正负对周期的影响，求φ时未结合图像单调性或特殊点验证； ② 核心性质：单调区间、对称轴、对称中心，求解步骤（换元法），核心易错点：单调区间求解时忽略ω的正负导致区间方向错误，对称轴、对称中心坐标书写不规范； ③ 图像应用：给图像求解析式（求A、ω、φ），核心步骤（找最值定A、找周期定ω、找特殊点定φ），核心易错点：φ的求解未结合图像单调性，导致多解或错解。 3、解三角形 ① 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R，适用场景（已知两角一边、已知两边一对角），核心易错点：已知两边一对角时，未判断多解情况，导致漏解或错解； ② 余弦定理：c²=a²+b²-2ab cosC（及变形），适用场景（已知两边及夹角、已知三边、已知一边及两角），核心易错点：公式变形应用不熟练，计算失误，夹角对应边混淆； ③ 面积公式：S=1/2 ab sinC=1/2 bc sinA=1/2 ac sinB，核心易错点：面积公式与余弦定理结合时，忽略角的范围，sin值符号判断错误； ④ 高频情境：方位角、仰角俯角问题，核心步骤（转化为三角形边角关系、标注已知条件、选择合适定理求解），核心易错点：方位角判断错误，未能将实际问题转化为解三角形问题。 4、三角最值与范围问题 ① 核心方法：边化角→合一变形（辅助角公式）→求范围；角化边→基本不等式→求最值，核心易错点：合一变形时系数计算失误，基本不等式应用忽略“一正二定三相等”条件； ② 易错提醒：角的范围限制（三角形内角和、已知条件隐含的角范围），未结合角的范围求三角函数值的范围，导致最值求解错误。 【典例分析】 例题1化简， 例题2在△ABC中，，，，求角，。 例题3已知，求的值。 例题4(多选题)[2025·福州模拟] 函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 (　 ) A.f(x)的图象关于直线x=-对称 B.f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)=3cos 2x的图象 C.函数y=f的单调递增区间为,k∈Z D.若方程f(x)=在(0,m)上有且只有6个根,则m∈ 例题5在△ABC中，，，，判断解的个数，并求角， 例题6在△ABC中中，，角，求的最大值， 例题7一艘轮船从处出发，沿北偏东60°方向航行20海里到达处，再沿北偏西30°方向航行10海里到达处，求、两地之间的距离及的大小。 例题8，，，（1）若，求的值；（2）求面积的最大值，写出完整步骤。 例题9已知函数（）的周期为，求的值、的对称轴及在上的最值。 例题10已知，且为的内角，若中，，，求的最小值。 变式与补充例题： 变式1已知，求与的值，写出完整步骤。 变式2已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则(　 ) A. B.的图象关于直线对称 C.在区间上单调递减 D.与的图象关于直线对称 补充2已知函数在区间上单调，则的取值范围为(　 ) A. B. C. D. 补充3若函数f(x)=2cos(ωx+φ)的最小正周期为π,其图象的一条对称轴的方程为x=,则函数f(x)在[-π,π]上的零点个数为 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 补充4在中，内角的对边分别为，已知，且。(1)若，求；(2)求面积的最大值。 补充5在中，内角的对边分别为。已知，，。(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值。 补充6在锐角三角形中，内角所对的边分别为。已知，。(1)若，求的面积；(2)求的周长的取值范围。 补充7 如图所示，在中，，是上的一点，平分，且。①若，求的长度；②求的取值范围。 补充8已知的内角的对边分别为，的面积为。(1)求；(2)若，且的周长为5，设为边的中点，求。 补充9在锐角三角形中，内角所对的边分别为，且。(1)求；(2)若，，求边上的高的长。 三、高考真题 [2024·新课标Ⅰ卷] 当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为 (　 ) A.3 B.4 C.6 D.8 [2025·全国二卷] 已知0<α<π,cos=,则sin= (　 ) A. B. C. D. [2023·新课标Ⅰ卷] 已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)= (　 ) A. B. C.- D.- [2024·新课标Ⅰ卷] 已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)= (　 ) A.-3m B.- C. D.3m [2024·新课标Ⅱ卷] 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=2. (1)求A; (2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长. 四、40分钟精准训练 （一）单项选择题（共10小题，每小题5分，共50分） 1、化简的结果为（ ） A. B. C. D. 2、在中，，，，则角为（ ） A. B. C.或 D.无解 3、已知点(a,0)(a>0)是函数y=2tan图象的一个对称中心,则a的最小值为 (　 ) A. B. C. D. 4、已知，则的值为（ ） A.-5 B.5 C. D. 5、函数（）的周期为，则的值为（ ） A.1 B.2 C. D.4 6、在中，，，，则边的值为（ ） A.3 B. C. D.4 7、已知，，则的值为（ ）A. B. C. D. 8、已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),T为f(x)的最小正周期,且f(x)≤对任意的x∈(-∞,+∞)恒成立,若函数f(x)在区间上恰有3个零点,则ω的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 9、在中，，，，则的面积为（ ） A. B. C.3 D. 10、函数的对称轴方程为（ ） A.， B.， C.， D.， （二）多项选择题（共2小题，每小题6分，共12分，全部选对得6分，部分选对得3分，选错得0分） 11、关于函数的性质，下列说法正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的最大值为1，最小值为-1，且在（）时取得最大值 12、关于解三角形的说法，下列正确的有（ ） A. 在中，若，则 B. 若为锐角三角形，则 C. 利用正弦定理求解两边一对角问题时，一定有两解 D. 三角形的面积公式，适用于任意三角形 （三）填空题（共2小题，每小题5分，共10分，答案写在横线上） 13、已知，则的值为__________。 14、在中，内角的对边分别为，若，，，则__________。 （四）解答题（共2小题，每小题14分，共28分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15、已知函数，求： （1）函数的最小正周期及单调递增区间； （2）函数在上的最大值与最小值。 16、在中，内角的对边分别为，已知。 （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的值。 学科网（北京）股份有限公司 $