第1课：函数与导数讲义-2026届高三数学二轮专题复习

第1课：函数与导数 【核心知识点】 提分导向：提炼二轮高频考点，弱化基础扫盲，聚焦考点应用与解题提速，直击学生高频丢分痛点。 （一）函数性质 1、奇偶性 （1）核心定义：定义域关于原点对称，且（为偶函数，为奇函数） （2）判定方法：定义法（通法）、图像法（速解）、性质法（复合函数判定） （3）图像特征：偶函数关于轴对称，奇函数关于原点对称 （4）⚠️高频丢分点+避坑技巧：忽略定义域对称性直接判定；避坑：判定前先验证定义域，非对称则直接判定为非奇非偶。 2、单调性 （1）判定方法：定义法、导数判定法、复合函数“同增异减”法则 （2）⚠️高频丢分点+避坑技巧：忽略复合函数内层定义域限制，导致单调区间求解偏差；避坑：先求内层函数定义域，再结合“同增异减”判定。 3、周期性 （1）核心考点：常见周期公式、奇偶性与周期性结合应用 （2）⚠️高频丢分点+避坑技巧：周期公式记混、忽略最小正周期判定；避坑：熟记核心周期公式，判定后验证最小正周期。 4、对称性 （1）核心考点：轴对称、中心对称的判定方法与常见结论 （2）⚠️高频丢分点+避坑技巧：对称轴与对称中心概念混淆、结论应用失误；避坑：结合教材例题梳理结论，标注对称类型与对应公式。 （二）导数基础 提分关键：养成标准解题习惯，步骤完整不丢分【教材对应：人教A版选择性必修第二册】 1、基本求导公式 （1）核心公式：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数核心求导公式 （2）⚠️高频丢分点+避坑技巧：公式记忆混淆、符号失误；避坑：整理易记口诀，强化符号专项训练。 2、导数几何意义 （1）核心考点：切线斜率、切线方程标准求解步骤 （2）⚠️高频丢分点+避坑技巧：混淆“在某点处”与“过某点”切线求解逻辑；避坑：明确“在某点”该点为切点，“过某点”需先设切点再求解。 3、单调区间判定 （1）固定解题步骤：先求定义域→再求导数→解导数不等式→确定单调区间 （2）⚠️高频丢分点+避坑技巧：未先求定义域直接解导数不等式；避坑：将“求定义域”作为第一步，强制形成解题习惯。 4、极值与最值 （1）判定条件：极值需满足且导数在两侧异号；最值需比较极值点与区间端点函数值 （2）完整步骤：求导→找导数零点→判断零点两侧符号（定极值）→计算极值点+区间端点函数值（定最值） （3）⚠️高频丢分点+避坑技巧：将极值等同于最值，忽略区间端点值验证；避坑：极值仅为局部性质，最值需结合区间全局判断。 （三）恒成立/存在性基础 1、分离参数法 （1）适用题型：参数与变量可分离的恒成立问题 （2）解题步骤：分离参数→构造新函数→求新函数最值→确定参数取值范围 （3）⚠️高频丢分点+避坑技巧：分离参数时不等号方向判断错误；避坑：根据系数正负判断符号，乘除负数时及时变号。 2、分类讨论入门 （1）适用题型：参数无法分离、导数零点与定义域范围相关的问题 （2）核心要求：分类标准清晰、不重不漏、逻辑严谨 （3）⚠️高频丢分点+避坑技巧：分类不全面、重复讨论、逻辑混乱；避坑：按“导数零点是否存在→零点是否在定义域内”的模板分类。 3、基本不等式辅助求解 （1）适用题型：求最值的恒成立问题，满足“一正二定三相等”条件 （2）核心条件：一正（变量为正）、二定（和/积为定值）、三相等（能取到等号） （3）⚠️高频丢分点+避坑技巧：忽略“相等”条件导致最值求解错误；避坑：求解后验证等号成立的条件是否满足。 【典例分析】 例题1 判断函数的奇偶性，写出完整判定步骤。 解法步骤（通法）：① 判断定义域是否关于原点对称→② 计算→③ 对比与的关系→④ 得出结论。 ⚠️高频丢分点：忽略定义域对称性，直接计算导致判定错误，此为最易丢分细节，需重点关注。 例题2 求函数在点处的切线方程。 解法步骤（通法）：① 求导→② 计算切点处切线斜率→③ 代入点斜式→④ 整理为标准直线方程。 ⚠️高频丢分点：导数计算失误、点斜式书写不规范、未整理为标准形式，基础题需强化步骤完整性，确保拿满全分。 例题3 已知函数是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则 A. B. 2 C. D. 解法一（通法：周期+奇偶分步推导）：① 由得周期→② 转化自变量：→③ 利用偶函数性质：→④ 代入解析式求解。 解法二（速解：周期+奇偶结合）：利用偶函数性质，直接得，跳过负号转化步骤，提升解题速度。 ⚠️高频丢分点：周期公式记混、忽略偶函数简化用法，增加不必要计算步骤。 例题4 过点作函数的切线，求切线方程。 解法步骤（通法）：① 设切点为→② 求导得切线斜率→③ 代入点斜式列方程：→④ 求解切点坐标→⑤ 代入整理切线方程。 拓展延伸：“在点处”切线：该点为切点，直接求即可；“过点”切线：该点不一定为切点，必须先设切点，此为两类题型的核心区别。 ⚠️高频丢分点：直接将点当作切点，忽略切点不在该点的情况，此为切线综合题最高频丢分点。 例题5 已知函数，对任意，恒成立，求实数的取值范围。 解法一（通法：分离参数法）：① 分离参数得→② 构造新函数，→③ 求的最小值→④ 确定的取值范围。 解法二（速解：二次函数图像分析法）：① 确定二次函数对称轴→② 按、、分类讨论→③ 判断各情况下在的单调性，求最小值→④ 令最小值≥0，解得的范围。 方法对比：分离参数法简洁，适合参数易分离的情况；图像分析法严谨，适合二次函数恒成立问题，可根据题型选择最优方法。 例题6 已知函数，求在区间上的单调区间和最值。 解法一（通法：导数判定）：① 求定义域→② 求导→③ 解导数不等式，确定单调区间→④ 计算极值点（、）和区间端点（、）的函数值→⑤ 比较得最值。 解法二（速解：图像辅助分析）：由的符号变化确定函数单调性趋势，快速判断极值点位置，省略部分计算步骤，直接对比极值点与端点函数值。 ⚠️高频丢分点：忽略区间端点值验证，误将极值当作最值；导数符号判断失误，导致单调区间错误。 例题7 已知函数满足，且，若，求的值。 解法一（通法：对称性+周期性转化）：① 由得对称轴，即→② 由得周期→③ 转化自变量：→④ 代入求解。 解法二（速解：对称+周期找规律）：推导对称轴与周期的关系，直接得，且，快速得出。 ⚠️高频丢分点：混淆轴对称与中心对称结论，周期与对称性结合时转化失误。 例题8 已知函数，对任意，恒成立，求实数的取值范围。 解法一（通法：分离参数法）：① 由分离参数得→② 构造新函数，→③ 求导得的最大值→④ 确定。 解法二（速解：分类讨论法）：① 求导→② 分、两类讨论的单调性→③ 求各情况下的最大值→④ 令最大值≤0，解得的范围。 ⚠️高频丢分点：分离参数时忽略的定义域；分类讨论时遗漏的情况，导致范围求解不完整。 例题10 已知函数是偶函数，且在上单调递减，，若，求的取值范围。 解法一（通法：奇偶+单调转化）：① 由偶函数性质得→② 结合上单调递减，得→③ 解绝对值不等式，得的取值范围。 解法二（速解：图像法）：根据偶函数“关于轴对称，左增右减”的特征，画出大致图像，快速确定，解得的范围。 ⚠️高频丢分点：忽略偶函数的单调性对称性，直接解；解绝对值不等式时符号出错。 备用1 已知，，，则的大小关系为(　 ) A. B. C. D. 2 已知函数是上的奇函数，且，当时，，则 A.2 B.1 C.0 D.-1 3 已知函数的定义域为，若为奇函数，且为偶函数，则(　 ) A. B. C. D. 4 若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围为_____________。 5 已知恒成立，则的取值范围为_____________________。 6函数在定义域内恒满足，其中为的导函数，则(　 ) A. B. C. D. 7 已知是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，若，则必有(　 ) A. B. C. D. 8 若直线既与曲线相切，又与曲线相切，则。 9若，则(　 ) A. B. C. D. 10已知函数，若恒成立，求的取值范围。 【高考真题对接】 【2023年新高考全国Ⅰ卷】已知函数在处有极值，且，则 A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 核心考点：导数极值判定 高考考法：基础送分题，直接考查极值点的性质 ✅提分关键：由得，结合得，消元直接求，耗时不超过1分钟。 【多选题·中】2024·新课标Ⅰ卷设函数，则(　 ) A.是的极小值点 B.当时, C.当时, D.当时, 核心考点：函数极值、单调性与比较大小综合 ✅提分关键：先求导确定单调区间和极值点，再结合定义域分析各选项，多选题注意逐一验证，避免漏选/错选。 【多选题·中】2023·新课标Ⅰ卷 已知函数的定义域为，，则(　 ) A. B. C.是偶函数 D.为的极小值点 核心考点：函数的奇偶性、特殊值法判定 ✅提分关键：代入特殊值、和、求解、，再代入判定奇偶性，极值点需结合导数验证。 【小题·中·5分】2024·新课标Ⅰ卷 已知函数在上单调递增，则的取值范围是(　 ) A. B. C. D. 核心考点：分段函数的单调性、导数的应用 ✅提分关键：分别求各段的单调性，保证左段在单调递增、右段在单调递增，且左段在的极限值≤右段在的函数值。 真题5 【小题·易·5分】 (1)[2025·全国一卷] 若直线是曲线的切线，则____。 (2)[2024·新课标Ⅰ卷] 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则_____ 核心考点：导数的几何意义、切线方程的应用 ✅提分关键：切线斜率等于曲线在切点处的导数，利用切点既在切线上又在曲线上列方程求解。 【多选题·中】2025·全国二卷 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则(　 ) A. B.当时， C.，当且仅当 D.是的极大值点 核心考点：奇函数的性质、分段函数解析式、极值点判定 ✅提分关键：利用奇函数求的解析式，求导分析单调性和极值点，结合解析式验证最值。 真题7 【解答题第一问·易·6-8分】2024年新高考全国Ⅱ卷 已知函数，求的单调区间。 核心考点：导数求单调区间、分类讨论入门 高考考法：大题第一问基础题，直接考查导数的应用，分类讨论为核心考点 ✅提分关键：先求定义域，再求导，按、、、分类讨论，步骤完整即可拿满分。 真题8 【小题·易·5分】2025年新高考全国Ⅰ卷 已知函数是奇函数，且，，则 A. -2 B. 0 C. 2 D. 4 核心考点：函数奇偶性+周期性 高考考法：小题速解，利用周期转化自变量 ✅提分关键：由得周期，，结合奇函数，快速求解，耗时不超过30秒。 四、40分钟精准训练 考查核心：聚焦函数性质、导数基础、切线方程、恒成立问题等二轮高频考点，贴合新高考考法，强化小题提速、基础题型准确率与多选题答题技巧 分值设置：12道单选（5分/题，共60分）+3道多选（6分/题，共18分）+5道填空（5分/题，共25分），总分103分，限时40分钟 提分目标：总分≥90分，基础题无失误，中档题≤1道错误，多选题不盲目漏选/错选（全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分） 一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（） A. B. C. D. 2、函数的导函数在处的值为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3、已知函数的定义域为，且满足，则等于（） A. B. C. D. 4、曲线在点处的切线方程为（） A. B. C. D. 5、函数的极小值点为（） A. B. C. D. 6、已知函数是偶函数，且在上单调递增，若，则的解集为（） A. B. C. D. 7、若对任意，恒成立，则实数的最大值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8、函数的零点所在的区间为（） A. B. C. D. 9、已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 10、过点作曲线的切线，切线的斜率为（） A. B. 1 C. D. 11、已知函数是奇函数，且，，则（） A. -2 B. 0 C. 2 D. 4 12、若直线是曲线的切线，则实数的值为（） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 注：全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分 13、关于函数的单调性，下列说法正确的有（） A. 当时，在上单调递增 B. 当时，在上单调递增 C. 当时，的单调递减区间为 D. 当时，的单调递增区间为、 14、已知是定义在上的奇函数，且当时，，则下列说法正确的有（） A. B. 当时， C. 是的极大值点 D. 不恒成立 15、已知函数的定义域为，满足，则下列结论正确的有（） A. B. C. 是偶函数 D. 一定是的极小值点 三、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16、已知函数是定义在上的奇函数，且，则________。 17、若函数在处取得极值，则实数________。 18、曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________。 19、已知函数是偶函数，且满足，当时，，则________。 20、已知函数对任意，恒成立，则实数的取值范围为________。 学科网（北京）股份有限公司 $新高考二轮复习函数与导数全题详细解析 本次解析覆盖典例分析、备用题、高考真题对接、40分钟精准训练四大模块所有题目，紧扣核心知识 点，拆解标准解题步骤，标注高频易错点与避坑技巧，适配新高考评分规范，兼顾小题提速与大题满 分逻辑。 【典例分析】全题解析 例题1判断f(x)=ln(x+√x2+1)的奇偶性 核心考点：函数奇偶性的定义判定 解题步骤： 1.验证定义域：√x2+1>√x2=c≥-x,故x+Vx2+1>0对r∈R恒成立，定义域为 R,关于原点对称； 2.计算f(-x)并化简： 结论：f(c)是奇函数。 避坑提示：奇偶性判定必须先验证定义域对称性，非对称直接判定为非奇非偶。 例题2求f(x)=x2-4x+3在点(2，-1)处的切线方程 核心考点：导数的几何意义（在某点处的切线） 解题步骤： 1.求导得切线斜率：f'(x)=2x-4,代入切点横坐标x=2,得'(2)=0，即切线斜率=0 2.点斜式写切线方程：将切点(2，-1)和k=0代入y-y0=k(c-x0),得 y-(-1)=0×(x-2)。 结论：切线方程为y=一1。 避坑提示：“在某点处”的切线，该点一定是切点，直接求导算斜率即可，无需额外设切点。 例题3偶函数f(c)满足f(x+2)=f(x),x∈[0,1时f(x)=2,求f(2025.5) 核心考点：函数奇偶性与周期性的综合应用 解题步骤： 1.确定周期：由∫(x+2)=f(x),得函数最小正周期T=2; 2.化简自变量：2025.5=2×1012+1.5，故f(2025.5)=f(1.5); 3.奇偶性+周期性转化区间：f(1.5)=f(2-0.5)=f(-0.5),偶函数满足f(-0.5)=f(0.5); 4代入解桥式计算：f0-5)=2二万3 答案：C 避坑提示：周期化简时需确保自变量最终落在已知解析式的区间内，偶函数转化时注意符号不变。 例题4过点(2,0)作f(c)=3-2x的切线方程 核心考点：导数的几何意义（过某点的切线） 解题步骤： 1.设切点：设切点为(c0,-20),不可直接将(2,0)当作切点； 2.求导得斜率：f'(c)=3x2-2,切线斜率=f'(0)=3x-2; 3.写切线方程并代入过点：切线点斜式为y-(-2c0)=(3-2)(x-x0),代入(2,0)得： 0-(x8-2ax0)=(3ac6-2)(2-x0) 化简得2x8-6号+4=0，因式分解为(ac0-1)(x-20-2)=0,解得0=1或 x0=1±V3; 4.分情况写切线方程： 。当x0=1时，k=1,切线方程为y=心一2； 。当x0=1+√3时，k=10+6√3，切线方程为y=(10+6√3)(x-2); 。当x0=1-V3时，k=10-6√3，切线方程为y=(10-6V3)(x-2)。 避坑提示：“过某点”的切线，该点不一定是切点，必须先设切点列方程，避免漏解。 例题5f(x)=x2-2ax+1,x∈1,2时f(c)≥0恒成立，求a的取值范围 核心考点：恒成立问题的分离参数法 解题步骤： 1.分离参数：由f(x)≥0得2ax≤x2+1,x∈[1,2]，2x>0,不等号方向不变，得 a≤ x2+1x,1 2x =2+2 1 2.构造数我最令@中2日1,2，由基本不等式+≥22X2 ,=1 ,当且仅当心=1时取等号； 11 3.验证单调性：g(x)=2-22≥0在L,2上恒成立，g)单调递增，故g(cmn=g(1)=1 结论：a≤1。 避坑提示：分离参数时，若乘除负数需及时改变不等号方向，用基本不等式后必须验证等号能否取 到。 例题6求f(x)=x3-3x2+2在[-1,3)上的单调区间和最值 核心考点：利用导数求函数的单调区间、极值与最值 解题步骤： 1.求导找零点：f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0,得x=0或x=2(均在定义域 [-1,3内)； 2.列表判断单调性与极值： (-1,0) 0 (0,2) 2 (2,3) f'(e) X 0 0 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 3.计算极值与区间端点值： 0 极大值f(0)=2,极小值f(2)=-2; 。区间端点值f(-1)=-2,f(3)=2; 结论： ·单调递增区间：[-1,0]、[2,3]；单调递减区间：[0,2)]； ·最大值为2，最小值为一2。 避坑提示：函数最值是全局性质，必须比较区间端点值与所有极值，不可将极值直接等同于最值。 例题7f(x+3)=f(3-x)且f(x+2)=f(x),f(1)=1,求f(7)的值 核心考点：函数的对称性与周期性 解题步骤： 1.确定周期：由f(x+2)=f(x),得函数最小正周期T=2; 2.化简自变量：7=1+3×2，故f(7)=f(1); 3.代入已知条件：f(1)=1。 结论：f(7)=1。 避坑提示：∫（￠十3）=∫(3一x)仅表示函数关于直线x=3对称，不影响周期计算，无需额外转 化。 例题8f(x)=lnx-ax+1,x∈(0，+∞)时f(x)≤0恒成立，求a的取值范围 核心考点：恒成立问题的导数分类讨论法 解题步骤： 1.求导分析单调性：函数定义域为(0，+o),f)=1-a=1一a 2.分类讨论参数a: 。当a≤0时，f'(c)>0在(0，十o∞)恒成立，f(x)单调递增，当x→十o时， ∫(xc)→+∞，不满足∫(x)≤0恒成立，舍去； 。当a>0时，令f'()=0,得0=a。 1 x∈(0，a)时，'(a)>0,f单调递增；x∈（日+oo)时，f'()<0,f回）单调递减。 故fmx=f白=1n2-a×+1=-na; 3.列不等式求解：由f(x)max≤0，得-lna≤0，即lna≥0，解得a≥1。 结论：a∈[1，十∞)。 避坑提示：必须先讨论a≤0的情况，不可直接默认a>0,避免逻辑漏洞。 例题9偶函数f(c)在0，+∞)单调递减，f(2)=0,求f(x-1)≥0的x取值范围 核心考点：偶函数的单调性与不等式求解 解题步骤： 1.利用偶函数性质转化不等式：偶函数满足f(c)=∫(x),且在0，+o)单调递减，故 f(x-1)≥0=f(2)等价于|x-1≤2； 2.解绝对值不等式：-2≤x-1≤2，解得-1≤x≤3。 结论：x∈[-1,3]。 避坑提示：偶函数在对称区间单调性相反，不可直接去掉∫列不等式，需通过绝对值转化，避免漏 解。 【备用题】全题解析 备用1比较a-号2，b=，=3 In 2 的大小 核心考点：构造函数比较指对数式大小 解题步骤： 1.构造函数：令g)=血（红>0），求导得gm)=1-血； 2 2 2.分析单调性：x∈(0，e)时，g(x)>0,g(x)单调递增；x∈(e,+o)时，g(x)<0,g(x) 单调递减，故g()nx=g(e)=血e==b; e e 3比接a与98：9e=2-,g)=-g,h8<h0,故9g<9阅 ,即a<co 结论：a<c<b,答案选B。 2025 备用2奇函数f()满足f()=f(2-),x∈(0,1刂时f(x)=2x-3,求∑f() i=1 核心考点：函数奇偶性、对称性、周期性综合与数列求和 解题步骤： 1.推导周期：f(x)是奇函数，故f(-x)=-f(x),结合f(x)=f(2-x),得 f(c)=-f(x-2),进一步得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即最小正周期T=4; 2.计算一个周期内的函数值： 。f(1)=2×1-3=-1; 。(2)=f(0)=0(奇函数f(0)=0,代入f(x)=f(2-x)得f(2)=f0); 。f(3)=f(2-3)=f(-1)=-f(1)=1; 。f(4)=f(0)=0; 一个周期内的和：f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-1+0+1+0=0; 2025 3.计算2025项的和：2025=4×506+1，故f()=506×0+f(1)=-1。 i=1 答案：D。 备用3f(2x-1)为奇函数，f(x+1)为偶函数，定义域R,判断选项 核心考点：复合函数奇偶性与原函数对称性、周期性的转化 解题步骤： 1.转化对称性： 。f(2x-1)为奇函数→f(-2x-1)=-f(2x-1),即f(x)关于点(-1,0)中心对称，核 心结论：f(-1)=0,f(x)=-f(-2-x); 。f(x十1)为偶函数→f(-x+1)=f(x十1)，即f(c)关于直线x=1轴对称，核心结论： f(1+x)=f(1-x); 2.推导周期：由中心对称+轴对称，得函数最小正周期T=4×1一（一1)川=8； 3.化简各选项自变量： 。2027=8×253+3,故f(2027)=f(3),由轴对称f(3)=f(1-2)=f(-1)=0,选 项A正确； 。2026=8×253+2,f(2026)=f(2),无法推出f(2)=0,选项B错误； 。2025=8×253+1,f(2025)=f(1),无法推出f(1)=0,选项C错误； 。2024=8×253,f(2024)=∫(0)，无法推出∫(0)=0，选项D错误。 答案：A。 备用4f(x)=ae2- 存在唯一极值点，求a的取值范围 核心考点：函数极值点与导数零点的关系 解题步骤： 1.求导转化问题：f'(x)=ae”一x2,函数存在唯一极值点台f'(x)=0有唯一解，且解的两侧导 数异号； 2.分离参数构造函数：f'(@)=0变形为a= e,令h(倒)- ca(x∈R),问题转化为y=a与 h(x)的图像有唯一交点； 3.分析九(c)的单调性与值域： 求导得h(x)= 2x-2=(2-四，令N()=0,得x=0或x=2; ex 。x∈(-∞，0)时，h'(x)<0,h(x)单调递减； 。c∈(0,2)时，h(x)>0,h(x)单调递增； 。x∈(2，+o∞)时，h(c)<0,h(c)单调递减； 极值：h(0)=0,h(2)=3;极限：x→+∞时h()→0，x→-∞时h()→+∞； 4.结合图像确定a的范围：y=a与h()有唯一交点时，a≤0或a=三。 4 4 结论：a≤0或a=e2。 避坑提示：极值点必须满足“导数为0且两侧异号”，不可仅认为导数有零点即可。 备用5k(x-1)≥nc恒成立，求k的取值范围 核心考点：恒成立问题的分离参数法与洛必达法则 解题步骤： 1.确定定义域：x>0,分情况讨论： 。当x=1时，0≥0恒成立，k∈R; 。当x>1时，x-1>0,分离参数得k≥ Inx 。当0<x<1时，x-1<0,分离参数得k≤ x-1; 2.构造函数分析单调性：令g(x)= 1血工(>0，x≠1)，求导得： x-1 4(a)=e-1)-inz1-1-mz (x-1)2 (x-1)2 令t回=1-】-1n,则t()= 1-x x2 。x∈(0,1)时，t(x)>0,t(x)单调递增； 。x∈(1，+o∞)时，t(x)<0,t(x)单调递减； 故t(x)≤(1)=0，即g(x)<0,g(x)在(0,1)和(1，+∞)上均单调递减； 3求极限确定临架值：由洛必达法，明9e-=册加二一册产-1 Inx 41 。x>1时，g(x)<1,故k≥1； 。0<x<1时，g(x)>1,故k≤1。 结论：k=1。 备用6x∈(0，+o∞)，2f(x)<xf(c)<3f(x),比较 f1四 f(2) 的范围 核心考点：构造辅助函数解决导数与不等式问题 解题步骤： 1.处理左侧不等式xf'(x)-2f(x)>0: 构造0国=(e>0,求号得)回-儿2@>0，故9a)在0，-0)单调递端： 因肚0<e,即世、婴，化月得 2.处理右侧不等式xf'(x)-3f(x)<0: 胸造)=>0，求寻得@=。<0，故@在0，+o∞)单调递谢 x4 因趾h如)>，即世>2，化得得>g 「f(2)8 1f(1)1 结论：§<问<1，答案选D。 技巧总结：遇到f'(网-n时)型不等式，优先构造F()=@。 备用7x∈(0，+∞)，xf'(x)-f(x)≤0,0<a<b,判断选项 核心考点：构造辅助函数比较大小 解题步骤： 1.构造函数：令g)=f回(e>0),求导得g四)=f@四)@≤0，故g四)在(0，+0） x2 上单调递减； 2.利用单调性比较：0<a<b,故ga)≥96)，即f@≥f； a 3.变形不等式：a,b>0,交叉相乘得bf(a)≥af(b),即af(b)≤bf(a)。 答案：A。 备用8直线y=kx+b与y=nc+2、y=1n(x+1)均相切，求b 核心考点：两条曲线的公切线问题 解题步骤： 1.设两个切点，求斜率： 。设与y=n心十2的切点为(c1,m1+2),求导得三故切线斜率k=1: 。设与y一红+)的切点为，十》，求号得/=7，故切线斜率 1 k= 2+1 因此一 2十1，得01=+1，即2=1-1； 2.写切线方程，对应系数相等： 。第一条切线方程：y-西1+2)=1-4)，化简得=1x+1血西十1； 1 1 1 1 1 。第二条切线方程：y-血1=二(c-(1-1),化简得=二x+1nx1一1+ C1 Z1 1 1 项相等：n心士1n化1十，解得 3求0：将=专代入b=血十1，得6=号+1=1-血2. 1 结论：b=1-1n2。 备用92a+1og2a=4h+21og4b,判断a与2b、b2的大小 核心考点：指对同构与函数单调性比较大小 解题步骤： 1.化简等式：由对数换底公式，2log4b=1og2b,故原等式变形为： 2a+log2a=2·(2b)+log2(2b)-1 即2a+1og2a+1=2·(2b)+1og2(2b); 2.构造函数分析单调性：令g(c)=2x+log2x(x>0),2c和1og2c在(0，+o)均单调递增，故 g(x)在(0，十o)上严格单调递增； 3.比较g(a)与g(2b):由等式得g(a)+1=g(2b),故g(2b)>g(a),由单调性得2b>a; 4.验证a与b2(特值法)： 。取b=1,等式变为2a+log2a=4,解得a≈1.8，b2=1,故a>b2; 。取b=0.5,等式变为2a+log2a=1,解得a0.6,b2=0.25,故a>b2; 选项中仅a<2b恒成立。 答案：B。 备用l0f(x)=ae-1-lnx+lna≥1恒成立，求a的取值范围 核心考点：恒成立问题的隐零点代换法 解题步骤： 1.确定定义域与参数范围：函数定义域为(0，十o),lna有意义，故a>0; 2求号分折单澜住：了a)=ae1一子，ae和是在0，十0)均单调递增，故F回)在 (0,+o)严格单调递增； 当x→0+时，f'(c)→-∞；当x→十∞时，f'(c)→十0，故3唯一x0∈(0，十∞)，使 f(ro)=0,即ae-1= 斯0； 3.隐零点代换：对①式两边取自然对数，得lna+xo-1=-lnxo,即lna=1-co一lnco ②； f(x)在(0，co)单调递减，在(co,+∞)单调递增，故f(x)min=f(xo)=aeo-1-lnc0+lna; 将①②代入最小值表达式： f)=1-ln0+1-0-ln0=1-0-21m+1 20 4.列不等式求解：令h=}-x-21nx十1e>0),求导得N(@)=马 -1-<0，故 h(x)在(0，+∞)严格单调递减，且h(1)=1-1-0+1=1; 由f(c)min≥1得h(co)≥1，故x0≤1，结合h(c)单调性，仅xo=1时取等号； 将xo=1代入①式，得ae°=1，即a=1,验证得a≥1时f(x)≥1恒成立。 结论：a∈[1，+∞)。 【高考真题对接】全题解析 真题1(2023年新高考全国1卷)f(m)=x3-ax2+bx+c在c=1处有极值，且 f(1)=1,求a+b 核心考点：函数极值点的导数性质 解题步骤！ 1.求导列方程：f'(x)=3x2-2ax+b,x=1处有极值，故f'(1)=0,即3-2a+b=0 ①； 2.代入函数值列方程：f(1)=1,即1-a+b+c=1,化简得-a+b+c=0②； 3.求a+b:由①式得b=2a-3,代入得a+b=a+2a-3=3a-3,结合极值点性质与选 项，唯一符合的是a=1,b=-1,故a+b=0。 答案：B。 真题2(2024·新课标|卷多选)f(x)=(x-1)(x-4),判断选项 核心考点：利用导数分析函数的极值、单调性与不等式 解题步骤： 1.求导分析极值点：f()=2(x-1)(x-4)+(x-1)2=(x-1)(3c-9)=3(x-1)(-3) ,令f'(x)=0,得x=1或x=3; 列表分析： (-0o,1) (1,3) 3 (3,+0∞) f() 0 0 f(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增 2.逐个分析选项： 。选项A:x=3是f(c)的极小值点，由上表可知正确； 。选项B:当0<x<1时，x2<x<1,f(x)在(-o,1)递增，故f(x2)<f(x),错误； 。选项C:当1<x<2时，2x-1∈(1,3)，f(x)在(1,3)递减，f(1)=0, f(3)=(3-1)2(3-4)=-4,故-4<f(2x-1)<0,正确； 。选项D:当-1<x<0时，2-x∈(2,3)，f(x)在(-1,0)递增，故 f(x)<f0)=(0-1)2(0-4)=-4;f(2-x)在(2,3)递减，故f(2-c)∈(-4,0)， 因此f(2-c)>f(x),正确。 答案：ACD。 真题3(2023·新课标1卷多选)f(xy)=yf(x)+x2f(y)，定义域R，判断选项 核心考点：抽象函数的奇偶性、函数值与极值判定 解题步骤： 逐个分析选项： 新高考二轮复习 第1课：函数与导数【小题提速+大题第一问满分】 1 学科网（北京）股份有限公司 【核心知识点】 （一）函数性质 1、奇偶性 （1）核心定义：定义域关于原点对称，且（为偶函数，为奇函数） （2）判定方法：定义法（通法）、图像法（速解）、性质法（复合函数判定） （3）图像特征：偶函数关于轴对称，奇函数关于原点对称 （4）⚠️高频丢分点+避坑技巧：忽略定义域对称性直接判定；避坑：判定前先验证定义域，非对称则直接判定为非奇非偶。 2、单调性 （1）判定方法：定义法、导数判定法、复合函数“同增异减”法则 （2）⚠️高频丢分点+避坑技巧：忽略复合函数内层定义域限制，导致单调区间求解偏差；避坑：先求内层函数定义域，再结合“同增异减”判定。 3、周期性 （1）核心考点：常见周期公式、奇偶性与周期性结合应用 （2）⚠️高频丢分点+避坑技巧：周期公式记混、忽略最小正周期判定；避坑：熟记核心周期公式，判定后验证最小正周期。 4、对称性 （1）核心考点：轴对称、中心对称的判定方法与常见结论 （2）⚠️高频丢分点+避坑技巧：对称轴与对称中心概念混淆、结论应用失误；避坑：结合教材例题梳理结论，标注对称类型与对应公式。 （二）导数基础 1、基本求导公式 （1）核心公式：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数核心求导公式 （2）⚠️高频丢分点+避坑技巧：公式记忆混淆、符号失误；避坑：整理易记口诀，强化符号专项训练。 2、导数几何意义 （1）核心考点：切线斜率、切线方程标准求解步骤 （2）⚠️高频丢分点+避坑技巧：混淆“在某点处”与“过某点”切线求解逻辑；避坑：明确“在某点”该点为切点，“过某点”需先设切点再求解。 3、单调区间判定 （1）固定解题步骤：先求定义域→再求导数→解导数不等式→确定单调区间 （2）⚠️高频丢分点+避坑技巧：未先求定义域直接解导数不等式；避坑：将“求定义域”作为第一步，强制形成解题习惯。 4、极值与最值 （1）判定条件：极值需满足且导数在两侧异号；最值需比较极值点与区间端点函数值 （2）完整步骤：求导→找导数零点→判断零点两侧符号（定极值）→计算极值点+区间端点函数值（定最值） （3）⚠️高频丢分点+避坑技巧：将极值等同于最值，忽略区间端点值验证；避坑：极值仅为局部性质，最值需结合区间全局判断。 （三）恒成立/存在性基础 1、分离参数法 （1）适用题型：参数与变量可分离的恒成立问题 （2）解题步骤：分离参数→构造新函数→求新函数最值→确定参数取值范围 （3）⚠️高频丢分点+避坑技巧：分离参数时不等号方向判断错误；避坑：根据系数正负判断符号，乘除负数时及时变号。 2、分类讨论入门 （1）适用题型：参数无法分离、导数零点与定义域范围相关的问题 （2）核心要求：分类标准清晰、不重不漏、逻辑严谨 （3）⚠️高频丢分点+避坑技巧：分类不全面、重复讨论、逻辑混乱；避坑：按“导数零点是否存在→零点是否在定义域内”的模板分类。 3、基本不等式辅助求解 （1）适用题型：求最值的恒成立问题，满足“一正二定三相等”条件 （2）核心条件：一正（变量为正）、二定（和/积为定值）、三相等（能取到等号） （3）⚠️高频丢分点+避坑技巧：忽略“相等”条件导致最值求解错误；避坑：求解后验证等号成立的条件是否满足。 【典例分析】 例题1 判断函数的奇偶性，写出完整判定步骤。 例题2 求函数在点处的切线方程。 例题3 已知函数是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则 A. B. 2 C. D. 例题4 过点作函数的切线，求切线方程。 例题5 已知函数，对任意，恒成立，求实数的取值范围。 例题6 已知函数，求在区间上的单调区间和最值。 例题7 已知函数满足，且，若，求的值。 例题8 已知函数，对任意，恒成立，求实数的取值范围。 例题9已知函数是偶函数，且在上单调递减，，若，求的取值范围。 备用1 已知，，，则的大小关系为(　 ) A. B. C. D. 2 已知函数是上的奇函数，且，当时，，则 A.2 B.1 C.0 D.-1 3 已知函数的定义域为，若为奇函数，且为偶函数，则(　 ) A. B. C. D. 4 若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围为_____________。 5 已知恒成立，则的取值范围为_____________________。 6函数在定义域内恒满足，其中为的导函数，则(　 ) A. B. C. D. 7 已知是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，若，则必有(　 ) A. B. C. D. 8 若直线既与曲线相切，又与曲线相切，则。 9若，则(　 ) A. B. C. D. 10已知函数，若恒成立，求的取值范围。 【高考真题对接】 【2023年新高考全国Ⅰ卷】已知函数在处有极值，且，则 A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【多选题·中】2024·新课标Ⅰ卷设函数，则(　 ) A.是的极小值点 B.当时, C.当时, D.当时, 【多选题·中】2023·新课标Ⅰ卷 已知函数的定义域为，，则(　 ) A. B. C.是偶函数 D.为的极小值点 【小题·中·5分】2024·新课标Ⅰ卷 已知函数在上单调递增，则的取值范围是(　 ) A. B. C. D. 真题5 【小题·易·5分】 (1)[2025·全国一卷] 若直线是曲线的切线，则____。 (2)[2024·新课标Ⅰ卷] 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则_____ 【多选题·中】2025·全国二卷 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则(　 ) A. B.当时， C.，当且仅当 D.是的极大值点 真题7 【解答题第一问·易·6-8分】2024年新高考全国Ⅱ卷 已知函数，求的单调区间。 真题8 【小题·易·5分】2025年新高考全国Ⅰ卷 已知函数是奇函数，且，，则 A. -2 B. 0 C. 2 D. 4 四、40分钟精准训练 一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（） A. B. C. D. 2、函数的导函数在处的值为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3、已知函数的定义域为，且满足，则等于（） A. B. C. D. 4、曲线在点处的切线方程为（） A. B. C. D. 5、函数的极小值点为（） A. B. C. D. 6、已知函数是偶函数，且在上单调递增，若，则的解集为（） A. B. C. D. 7、若对任意，恒成立，则实数的最大值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8、函数的零点所在的区间为（） A. B. C. D. 9、已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 10、过点作曲线的切线，切线的斜率为（） A. B. 1 C. D. 11、已知函数是奇函数，且，，则（） A. -2 B. 0 C. 2 D. 4 12、若直线是曲线的切线，则实数的值为（） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 注：全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分 13、关于函数的单调性，下列说法正确的有（） A. 当时，在上单调递增 B. 当时，在上单调递增 C. 当时，的单调递减区间为 D. 当时，的单调递增区间为、 14、已知是定义在上的奇函数，且当时，，则下列说法正确的有（） A. B. 当时， C. 是的极大值点 D. 不恒成立 15、已知函数的定义域为，满足，则下列结论正确的有（） A. B. C. 是偶函数 D. 一定是的极小值点 三、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16、已知函数是定义在上的奇函数，且，则________。 17、若函数在处取得极值，则实数________。 18、曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________。 19、已知函数是偶函数，且满足，当时，，则________。 20、已知函数对任意，恒成立，则实数的取值范围为________。 学科网（北京）股份有限公司 $