专题07 一元一次与二元一次方程（组）讲义（考点解读+知识梳理+例题精讲+题型突破）2026年中考数学一轮复习（全国通用）

专题07 一元一次与二元一次方程（组） 一次方程（组）是中考数学的核心基础专题，是方程与不等式体系的入门内容，也是后续学习二次方程、函数等知识的重要工具。该专题在中考中以基础题和中档题为主，分布于选择题、填空题及解答题的应用题部分，占分比重约6%-9%。 核心考点 ①一元一次方程的定义、解法（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）； ②二元一次方程（组）的定义、解的概念（二元一次方程的整数解、方程组的解的检验）； ③二元一次方程组的解法（代入消元法、加减消元法）； ④列一次方程（组）解决实际问题（含古数学问题、行程问题、工程问题、经济利润问题、方案设计问题等）； ⑤一次方程（组）与代数式求值、图表信息的综合应用。 考情分析 ①基础题型：侧重一元一次方程的解法、二元一次方程组的解法、方程（组）解的概念辨析，难度较低； ②中档题型：侧重列一次方程（组）解决实际问题（含古数学问题、简单经济利润/行程问题）、方程组与代数式的综合求值，难度中等； ③创新题型：侧重结合图表信息、方案设计的方程组应用，或与不等式结合的最值问题，难度稍高。 （一）基本概念 1.一元一次方程 定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，等号两边都是整式的方程，一般形式为（）； 解法步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1（注意：去分母时每一项都要乘最简公分母，不含分母的项也要乘）。 2.二元一次方程（组） 二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数为1，等号两边都是整式的方程，一般形式为（，）； 二元一次方程组：由两个或两个以上二元一次方程组成的方程组，一般形式为（、不同时为0，、不同时为0）； 方程组的解：使方程组中每个方程都成立的未知数的值，叫做方程组的解（需检验：将解代入每个方程，验证左右两边是否相等）。 3.方程组的解法 代入消元法：将一个方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，代入另一个方程，消去一个未知数，转化为一元一次方程求解； 加减消元法：通过将两个方程两边同乘适当的数，使其中一个未知数的系数相等或互为相反数，再将方程两边相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程求解。 （二）二级结论（中考高频应用） 1.一元一次方程无解的条件：当且时，方程无解；有无数解的条件：当且时，方程有无数解； 2.二元一次方程组解的判定：对于方程组， 当时，方程组有唯一解； 当时，方程组有无数解； 当时，方程组无解； 3.实际问题列方程（组）的核心：找准“等量关系”，常见等量关系类型： 行程问题：路程 = 速度×时间（相遇问题：路程和 = 总路程；追及问题：路程差 = 初始距离）； 经济利润问题：总价 = 单价×数量，利润 = 售价 - 成本； 工程问题：工作量 = 工作效率×工作时间（总工作量通常看作1）； 4.古数学问题的解题技巧：先将古文翻译为现代语言，再提炼等量关系，建立方程（组）。 考点1：一元一次方程的解法 例1解方程： 【答案】 【解析】按一元一次方程解法步骤求解： 去括号：； 移项：将含未知数的项移到左边，常数项移到右边，得； 合并同类项：； 系数化为1：. 变式题1（2025·广东深圳·中考真题）若关于的方程的解为，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了方程的解的定义、一元一次方程的解法，理解方程的解的意义，得到关于a的方程是解题关键．把代入关于x的方程，得到关于a的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴， 解得：， 故答案为：4． 变式题2解方程： 【答案】 【解析】去分母（最简公分母为6）：； 去括号：； 移项：； 合并同类项：； 系数化为1：。 考点2：二元一次方程组的解法 例2解方程组： 【答案】 【解析】采用加减消元法，消去： ① + ②，得； 系数化为1，得； 将代入①，得，解得； 因此，方程组的解为。 变式题1解方程组： 【答案】 【解析】采用代入消元法： 由①得（变形）； 将代入②，得； 去括号：； 合并同类项：，解得 代入①得， 方程组的解为。 变式题2解方程组： 【答案】 【解析】采用加减消元法，消去： ①×3得 ③， ②×2得 ④， ③ + ④得，解得， 将代入①得，解得， 方程组的解为。 考点3：古数学问题 例3（2025·四川南充·中考真题）我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三……，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个……．问这些物体共有多少个？设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查根据实际问题列二元一次方程，熟练掌握从实际情境中找出等量关系是解题关键．根据题目中“每 3 个一数，剩余 2 个；每 5 个一数，剩余 3 个”这两个条件，分别找出物体总数与、的等式关系，进而列出方程． 【详解】解：∵每 3 个一数，数了次，剩余 2 个， ∴物体总数可表示为 ． 又∵每 5 个一数，数了次，剩余 3 个， ∴物体总数也可表示为 ． 由于物体总数是固定的， ∴ 故选：A． 变式题1（2025·江苏连云港·中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，属于相遇问题，需根据两者相向而行，相遇时路程之和为全程（即1），再建立方程即可. 【详解】解：设相遇时间为天，野鸭从南海到北海需7天，故其速度为（全程/天）； 大雁从北海到南海需9天，故其速度为（全程/天）， ∴方程为， 故选：A 变式题2（2025·四川广安·中考真题）《九章算术》中有一道题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”译文是：假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？设人数为x，物价为y，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列二元一次方程组解应用题，抓住等量关系是解题关键． 根据题设人数为x，物价为y，抓住等量关系每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱列方程组即可． 【详解】解：设人数为x，物价为y， 由每人出八钱，会多三钱；总钱数, 每人出七钱，又差四钱；总钱数， ∴联立方程组为． 故选：B． 考点4：列一次方程（组）解决实际问题（经济利润/购物问题） 例4（2025·山东烟台·中考真题）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（   ） A．350元 B．320元 C．270元 D．220元 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设这款风扇每台的标价为元，根据按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元可得风扇的进价为元，根据按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元可得风扇的进价为元，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设这款风扇每台的标价为元， 由题意得，， 解得， ∴这款风扇每台的标价为350元， 故选：A． 变式题1（2025·河南·中考真题）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． (1)求甲、乙两种苹果每箱的售价． (2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 【答案】(1)甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元； (2)该公司最少需花费元． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意正确列式是解题关键． （1）设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元，根据“2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元”，列二元一次方程组求解即可； （2）设购买甲种苹果箱，根据“乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数”列不等式，求出的取值范围，设该公司需花费元，得到关于的一次函数，求出最值即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元， 则， 解得：， 答：甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元； （2）解：设购买甲种苹果箱，则购买乙种苹果箱， 则， 解得：， 设该公司需花费元， 则， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值为， 即该公司最少需花费元． 变式题2（2025·广东深圳·中考真题）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)每个篮球60元，每个足球50元 (2)当购买篮球4个的时候，所花费用最少 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式和一次函数解析式，是解题的关键： （1）设每个篮球元，每个足球元，根据表格信息，列出二元一次方程组进行求解即可； （2）设蓝球有个，购买的总费用是元，根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设每个篮球元，每个足球元，由题意，得： 或或，（三个方程组任选一个即可） 解得：； 答：每个篮球60元，每个足球50元． （2）设蓝球有个，则足球有个 ， 解得：， 设购买的总费用是元， ， ， 随着的减小而减小； ∵且为整数， 当最小值为4时，最小值为540元； 答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少． 考点5：列一次方程（组）解决实际问题（行程/工程问题） 例5（2025·天津·中考真题）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则可以列出的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，属于行程问题中的追及问题．解题的关键是找到两马路程相等的等量关系． 设快马用天追上慢马，快马的总路程为里，慢马的总路程为里，根据题意，列出方程即可． 【详解】解：设快马用天追上慢马，快马的总路程为里，慢马的总路程为里，根据题意得： ． 故选：A 变式题1甲、乙两车从相距480km的两地相向而行，甲车每小时行60km，乙车每小时行80km，甲车先出发1小时后，乙车才出发，乙车出发后几小时两车相遇？ 【答案】3小时 【解析】设乙车出发后小时相遇， 甲车行驶路程：， 乙车行驶路程：， 路程和为480km，列方程：， 解得：，， 因此，乙车出发后3小时相遇。 变式题2一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需15天完成，两人合作几天可以完成这项工程的？ 【答案】4天 【解析】设两人合作天完成， 甲的工作效率：，乙的工作效率：， 合作效率：， 列方程：， 解得：， 一．一元一次方程及其应用 一．选择题（共7小题） 1．某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车辆，根据题意，可列方程为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】由实际问题抽象出一元一次方程 【解析】根据题意，得． 故选． 2．《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有亩，可列方程为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】数学常识；由实际问题抽象出一元一次方程 【解析】设出租的田有亩，根据题意得， ， 整理得，． 故选． 3．《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】含分数的一元一次方程；由实际问题抽象出一元一次方程；数学常识 【解析】设经过天相遇， 可列方程为：， 故选． 4．我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为尺，则可列方程为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】由实际问题抽象出一元一次方程 【解析】依题意得． 故选． 5．今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为亿元，则符合题意的方程是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】由实际问题抽象出一元一次方程；含百分数的一元一次方程 【解析】根据题意得：． 故选． 6．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是　　 A．5天 B．10天 C．15天 D．20天 【答案】 【考点】一元一次方程的应用 【解析】设快马追上慢马的天数是天， 根据题意得：， 解得：， 快马追上慢马的天数是20天． 故选． 7．《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫．问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？　　 A．45尺 B．88尺 C．90尺 D．98尺 【答案】 【考点】一元一次方程的应用 【解析】设每天减少尺布， 第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工， ， 解得：， （尺， 故选． 二．填空题（共5小题） 8．定义新运算：例如：，．若，则的值为 　或　． 【答案】或． 【考点】一元一次方程的应用 【解析】， 当时，， 解得或（不合题意，舍去）； 当时，， 解得； 由上可得，的值为或， 故答案为：或． 9．在元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是 　20天　． 【答案】20天． 【考点】一元一次方程的应用 【解析】设快马追上慢马需要的天数是天， 根据题意得：， 解得：， 快马需要20天追上慢马． 故答案为：20天． 10．为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是，得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是 　2009　． 【答案】2009． 【考点】一元一次方程的应用 【解析】设这位参与者的出生年份，选取的数字为， ， ， 此时中学生的出生时间应该在2000年后， ， ． 故答案为：2009． 11．《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走100米，速度慢的人每分钟走60米，现在速度慢的人先走100米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要 　2.5　分钟． 【答案】2.5． 【考点】数学常识；一元一次方程的应用 【解析】设速度快的人需要分钟才能追上速度慢的人， 根据题意可列：， 解得：， 故答案为：2.5． 12．中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为 　15　尺． 【答案】15． 【考点】数学常识；一元一次方程的应用 【解析】设该问题中的竿子长为尺，则绳索长为尺， 根据题意得：， 解得：， 该问题中的竿子长为15尺． 故答案为：15． 三．解答题（共7小题） 13．解方程：． 【考点】解一元一次方程 【解析】， ， ， ． 14．甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为．工作期间需同时排水，乙池的排水速度是．若排水，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍． （1）求甲池的排水速度． （2）工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于，那么最多可以排水几小时？ 【考点】一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用 【解析】（1）设甲池的排水速度是 ． 根据题意，得， 解得， 甲池的排水速度是． （2）设排水小时． 根据题意，得， 解得， 最多可以排水4小时． 15．《九章算术》是我国第一部自成体系的数学专著，其中“盈不足术”记载：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？译文：今有人合伙买金，每人出400钱，剩余3400钱；每人出300钱，剩余100钱．问合伙人数和金价各是多少？请解答这个问题． 【考点】数学常识；一元一次方程的应用 【解析】设合伙人数为人， 由题意得，， 解得：， （钱， 答：合伙人数为33人，金价为9800钱． 16．为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准阶段（以下简称“标准” ．对某型号汽车，“标准”要求类物质排放量不超过，，两类物质排放量之和不超过．已知该型号某汽车的，两类物质排放量之和原为．经过一次技术改进，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了，，两类物质排放量之和为．判断这次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由． 【考点】一元一次方程的应用；百分数的应用 【解析】这次技术改进后该汽车的类物质排放量符合“标准”，理由如下： 设该汽车的类物质排放量为 ，则该汽车的类物质排放量为， 根据题意得， 解得， 这次技术改进后该汽车的类物质排放量， “标准”要求类物质排放量不超过， 这次技术改进后该汽车的类物质排放量符合“标准”． 17．星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间． 【考点】一元一次方程的应用 【解析】设这次小峰打扫了 ，则爸爸打扫了， 根据题意得：， 解得：． 答：这次小峰打扫了． 18．定义:我们把数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值．数轴上表示数，的点，之间的距离．特别的，当时，表示数的点与原点的距离等于．当时，表示数的点与原点的距离等于． 应用如图，在数轴上，动点从表示的点出发，以1个单位秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点从表示12的点出发，以2个单位秒的速度沿着数轴的负方向运动． （1）经过多长时间，点，之间的距离等于3个单位长度？ （2）求点，到原点距离之和的最小值． 【考点】数轴；一元一次方程的应用；绝对值 【解析】（1）设经过秒，点，之间的距离等于3个单位长度， 则：， 解得：或， 答：经过4秒或6秒，点，之间的距离等于3个单位长度； （2）设经过秒，点，到原点距离之和为， 则， 当时，， 当时，值最小，为6， 当时，， 当时，值最小，为3， 当时，， 当时，有极小值，为3， 综上所述，点，到原点距离之和的最小值为3． 19．某条城际铁路线共有，，三个车站，每日上午均有两班次列车从站驶往站，其中次列车从站始发，经停站后到达站，次列车从站始发，直达站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示． 列车运行时刻表 车次 站 站 站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 途经站，不停车 请根据表格中的信息，解答下列问题： （1）次列车从站到站行驶了 　90　分钟，从站到站行驶了 　　分钟； （2）记次列车的行驶速度为，离站的路程为；次列车的行驶速度为，离站的路程为． ①　　． ②从上午开始计时，时长记为分钟（如：上午，则，已知千米小时（可换算为4千米分钟），在次列车的行驶过程中，若，求的值． 【考点】绝对值；一元一次方程的应用 【解析】（1）次列车从站到站行驶了90分钟，从站到站行驶了60分钟， 故答案为：90，60； （2）①根据题意得：次列车从站到站共需分钟，次列车从站到站共需分钟， ， ， 故答案为：； ②（千米分钟），， （千米分钟）， （千米）， 与站之间的路程为360千米， （分钟）， 当时，次列车经过站， 由题意可知，当时，次列车在站停车， 次列车经过站时，次列车正在站停车， ．当时，， ， ， （分钟）； ⅱ．当时，， ， ， （分钟），不合题意，舍去； ⅱ．当时，， ， ， （分钟），不合题意，舍去； ．当时，， ， ， （分钟）； 综上所述，当或125时，． 二．二元一次方程及其应用 一．选择题（共16小题） 1．若二元一次联立方程式的解为，则之值为何？　　 A． B． C． D．14 【答案】 【考点】二元一次方程组的解 【解析】把代入得：， 把②代入①得：， ， ， ， 把代入②得：， ， 故选． 2．在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房间，房客人，则可列方程组为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组 【解析】如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住， ； 如果每一间客房住9人，那么就空出一间房， ． 根据题意可列方程组． 故选． 3．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房间，客人人，则可列方程组为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组 【解析】如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住， ； 如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房， ． 根据题意得可列方程组． 故选． 4．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买进，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买进石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】数学常识；由实际问题抽象出二元一次方程组 【解析】每人出钱，会多出4钱， ； 每人出钱，会差3钱， ． 根据题意可列方程组． 故选． 5．数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果个，苦果个，则可列方程组为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组 【解析】由题意得：， 故选． 6．我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有只，兔有只，根据题意可列方程组为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】数学常识；由实际问题抽象出二元一次方程组 【解析】上有35个头， ； 下有94条腿， ． 根据题意可列方程组． 故选． 7．我国古代数学名著《九章算术》记载了一道题，大意是：几个人合买一件物品，每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4元．设有人，该物品价值元，根据题意，可列出的方程组是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组；数学常识 【解析】由题意可得：． 故选． 8．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若，，试问买甜果苦果各几个？ 若设买甜果个，买苦果个，可列出符合题意的二元一次方程组，根据已有信息，题中用“，”表示的缺失的条件应为　　 A．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 【答案】 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组 【解析】根据列出的二元一次方程组，可得缺失的条件应为：甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱， 故选． 9．用1块型钢板可制成3块型钢板和4块型钢板；用1块型钢板可制成5块型钢板和2块型钢板．现在需要58块型钢板、40块型钢板，问恰好用型钢板、型钢板各多少块？如果设用型钢板块，用型钢板块，则可列方程组为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组 【解析】用1块型钢板可制成3块型钢板和4块型钢板，用1块型钢板可制成5块型钢板和2块型钢板，且现在需要58块型钢板， ； 用1块型钢板可制成3块型钢板和4块型钢板，用1块型钢板可制成5块型钢板和2块型钢板，且现在需要40块型钢板， ． 根据题意可列方程组． 故选． 10．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两，牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两，问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金两，羊每头值金两，则可列方程组是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】数学常识；由实际问题抽象出二元一次方程组 【解析】根据题意得：． 故选． 11．《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组 【解析】用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺， ； 将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺， ． 根据题意可列方程组． 故选． 12．《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各是多少尺？ 若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】数学常识；由实际问题抽象出二元一次方程组 【解析】将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺， ； 将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺， ． 根据题意可列方程组． 故选． 13．某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为　　 A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱 【答案】 【考点】二元一次方程的应用 【解析】设可以装箱大箱，箱小箱， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 或， 或10， 所装的箱数最多为10箱． 故选． 14．国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买）．其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案　　 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】 【考点】二元一次方程的应用 【解析】设购买笔记本件，笔支，根据题意得： ， ， 又，均为正整数， 或或或， 共有4种购买方案． 故选． 15．校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本（两种都要购买）作为奖品，则购买方案有　　 A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【答案】 【考点】二元一次方程的应用 【解析】设购买8元的笔记本件，10元的笔记本件， 依题意得：， 整理得：， 、均为正整数， 或或或， 购买方案有4种， 故选． 16．根据以下对话， 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为； ②1班学生的最低身高小于； ③2班学生的最高身高大于或等于． 上述结论中，所有正确结论的序号是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】 【考点】二元一次方程的应用；一元一次不等式的应用 【解析】设1班同学的最高身高为 ，最低身高为 ，2班同学的最高身高为 ，最低身高为 ， 根据1班班长的对话，得，， ， ， 解得， 故③正确； 1班学生的身高不超过，最高未必是，故无法判断①； 根据2班班长的对话，得，， ， ， ， 故②正确， 故选． 二．填空题（共1小题） 17．若关于、的二元一次方程组的解是，则关于、的方程组的解是 　　． 【答案】． 【考点】二元一次方程组的解 【解析】将方程组整理得， 关于、的二元一次方程组的解是， ，， 解得：，， 即关于、的方程组的解是， 故答案为：． 三．解答题（共15小题） 18．解方程组：． 【考点】解二元一次方程组 【解析】， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 所以方程组的解是． 19．解方程组：． 【考点】解二元一次方程组 【解析】， ①②，得，解得； ①②，得，解得； 方程组的解为． 20．解方程组：． 【考点】解二元一次方程组 【解析】， ①②，得，（3分） 解得． （4分） 把代入②，得． （7分） 原方程组的解是．（9分） 21．解方程组：． 【考点】98：解二元一次方程组 【解析】， ①②得：，即， 将代入①得：， 则方程组的解为． 22．中国传统手工艺享誉海内外，扎染和刺绣体现了中国人民的智慧和创造力．某店销售扎染和刺绣两种工艺品，已知扎染175元件，刺绣325元件． （1）某天这两种工艺品的销售额为1175元，求这两种工艺品各销售多少件？ （2）中国的天问一号探测器、奋斗者号潜水器等科学技术世界领先，国人自豪感满满，相关纪念品深受青睐．该店设立了一个如图所示可自由转动的转盘（转盘被分为5个大小相同的扇形）．凡顾客在本店购买一件工艺品，就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，顾客即可免费获得指针指向区域的纪念品一个（指针指向两个扇形的交线时，视为指向右边的扇形）．一顾客在该店购买了一件工艺品，求该顾客获得纪念品的概率是多少？ 【考点】概率公式；二元一次方程的应用 【解析】（1）设扎染工艺品销售扎染件，刺绣工艺品销售件， 根据题意得：， 整理得：， ，均为正整数， ， 答：扎染工艺品销售扎染3件，刺绣工艺品销售2件； （2）转动一次转盘所有等可能结果共5种，指针指向有纪念品的扇形的结果有3种， 该顾客获得纪念品的概率是． 23．当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克．已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克． 【考点】二元一次方程的应用 【解析】设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银克， 根据题意得：， 解得：， 即从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1000克． 答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1000克． 24．钢琴素有“乐器之王”的美称．键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数． 【考点】一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用 【解析】设白色琴键的个数为个，黑色琴键的个数为个， 由题意得：， 解得：， 答：白色琴键的个数为52个，黑色琴键的个数为36个． 25．如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． （1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本； （2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用 【解析】（1）设书架上数学书本，则语文书本， 根据题意得， ， 解得， 所以， 答：书架上数学书60本，语文书30本． （2）设数学书还可以摆本， 则， 解得， 所以数学书最多还可以摆90本． 26．近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建，两种光伏车棚．已知修建2个种光伏车棚和1个种光伏车棚共需投资8万元，修建5个种光伏车棚和3个种光伏车棚共需投资21万元． （1）求修建每个种，种光伏车棚分别需投资多少万元？ （2）若修建，两种光伏车棚共20个，要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用 【解析】（1）设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元， 根据题意得：， 解得：． 答：修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元； （2）设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个， 根据题意得：， 解得：． 设修建，两种光伏车棚共投资万元，则， 即， ， 随的增大而增大， 又，且为正整数， 当时，取得最小值，最小值为． 答：修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元． 27．某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地．在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机．经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元． （1）求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元； （2）学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半．请你给出最节省费用的购买方案． 【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用 【解析】（1）设每台煎蛋器的价格是元，每台三明治机的价格是元， 根据题意得：， 解得：． 答：每台煎蛋器的价格是65元，每台三明治机的价格是110元； （2）设购买台煎蛋器，则购买台三明治机， 根据题意得：， 解得：． 设学校采购这两种机器所需总费用为元，则， 即， ， 随的增大而减小， 又为正整数， 当时，取得最小值，此时， 最节省费用的购买方案为：购买33台煎蛋器，17台三明治机． 28．某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示： 水果种类 进价（元千克） 售价（元千克） 甲 22 乙 25 该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元；购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元． （1）求，的值； （2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润（元与购进甲种水果的数量（千克）之间的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润． 【考点】二元一次方程组的应用；一次函数的应用 【解析】（1）由题意得：， 解得：， ，； （2）当时，， ，随的增大而增大， 当时，取最大值，为：（元， 当时，， ， 随的增大而减小， 当时，有极大值，为：（元， 综上所述：当购进价水果80千克，乙水果70千克时，利润最大，为1060元． 29．为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了，两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下． （1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用，两种食品各多少包？ （2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用 【解析】（1）设选用种食品包，种食品包， 根据题意得：， 解得：． 答：应选用种食品4包，种食品2包； （2）设选用种食品包，则选用种食品包， 根据题意得：， 解得：． 设每份午餐的总热量为 ，则， 即， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值，此时． 答：应选用种食品3包，种食品4包． 30．乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植，两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表： 农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元） 4 8 3 9 已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元，问，这两种农作物的种植面积各多少公顷？ 【考点】二元一次方程组的应用 【解析】设种农作物的种植面积是公顷，种农作物的种植面积是公顷， 根据题意得：， 解得：． 答：种农作物的种植面积是3公顷，种农作物的种植面积是4公顷． 31．罗江糯米咸鹅蛋是德阳市非物质文化遗产之一，至今有200多年历史，采用罗江当地林下养殖的鹅产的散养鹅蛋，经过传统秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成．为了迎接端午节，进一步提升糯米咸鹅蛋的销量，德阳某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有、两种组合方式，其中组合有4枚糯米咸鹅蛋和6个肉粽，组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽．、两种组合的进价和售价如表： 价格 进价（元件） 94 146 售价（元件） 120 188 （1）求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？ （2）根据市场需求，超市准备的种组合数量是种组合数量的3倍少5件，且两种组合的总件数不超过95件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件种组合？最大利润为多少？ 【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用 【解析】（1）设每枚糯米咸鹅蛋的进价是元，每个肉粽的进价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：每枚糯米咸鹅蛋的进价是16元，每个肉粽的进价是5元； （2）设该超市准备件种组合，则该超市准备件种组合， 根据题意得：， 解得：． 设该超市准备的两种组合全部售出后获得的总利润为元，则， 即， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为． 答：为使利润最大，该超市应准备25件种组合，最大利润为3590元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 一元一次与二元一次方程（组） 一次方程（组）是中考数学的核心基础专题，是方程与不等式体系的入门内容，也是后续学习二次方程、函数等知识的重要工具。该专题在中考中以基础题和中档题为主，分布于选择题、填空题及解答题的应用题部分，占分比重约6%-9%。 核心考点 ①一元一次方程的定义、解法（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）； ②二元一次方程（组）的定义、解的概念（二元一次方程的整数解、方程组的解的检验）； ③二元一次方程组的解法（代入消元法、加减消元法）； ④列一次方程（组）解决实际问题（含古数学问题、行程问题、工程问题、经济利润问题、方案设计问题等）； ⑤一次方程（组）与代数式求值、图表信息的综合应用。 考情分析 ①基础题型：侧重一元一次方程的解法、二元一次方程组的解法、方程（组）解的概念辨析，难度较低； ②中档题型：侧重列一次方程（组）解决实际问题（含古数学问题、简单经济利润/行程问题）、方程组与代数式的综合求值，难度中等； ③创新题型：侧重结合图表信息、方案设计的方程组应用，或与不等式结合的最值问题，难度稍高。 （一）基本概念 1.一元一次方程 定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，等号两边都是整式的方程，一般形式为（）； 解法步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1（注意：去分母时每一项都要乘最简公分母，不含分母的项也要乘）。 2.二元一次方程（组） 二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数为1，等号两边都是整式的方程，一般形式为（，）； 二元一次方程组：由两个或两个以上二元一次方程组成的方程组，一般形式为（、不同时为0，、不同时为0）； 方程组的解：使方程组中每个方程都成立的未知数的值，叫做方程组的解（需检验：将解代入每个方程，验证左右两边是否相等）。 3.方程组的解法 代入消元法：将一个方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，代入另一个方程，消去一个未知数，转化为一元一次方程求解； 加减消元法：通过将两个方程两边同乘适当的数，使其中一个未知数的系数相等或互为相反数，再将方程两边相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程求解。 （二）二级结论（中考高频应用） 1.一元一次方程无解的条件：当且时，方程无解；有无数解的条件：当且时，方程有无数解； 2.二元一次方程组解的判定：对于方程组， 当时，方程组有唯一解； 当时，方程组有无数解； 当时，方程组无解； 3.实际问题列方程（组）的核心：找准“等量关系”，常见等量关系类型： 行程问题：路程 = 速度×时间（相遇问题：路程和 = 总路程；追及问题：路程差 = 初始距离）； 经济利润问题：总价 = 单价×数量，利润 = 售价 - 成本； 工程问题：工作量 = 工作效率×工作时间（总工作量通常看作1）； 4.古数学问题的解题技巧：先将古文翻译为现代语言，再提炼等量关系，建立方程（组）。 考点1：一元一次方程的解法 例1解方程： 变式题1（2025·广东深圳·中考真题）若关于的方程的解为，则 ． 变式题2解方程： 考点2：二元一次方程组的解法 例2解方程组： 变式题1解方程组： 变式题2解方程组： 考点3：古数学问题 例3（2025·四川南充·中考真题）我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三……，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个……．问这些物体共有多少个？设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 变式题1（2025·江苏连云港·中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（   ） A． B． C． D． 变式题2（2025·四川广安·中考真题）《九章算术》中有一道题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”译文是：假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？设人数为x，物价为y，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 考点4：列一次方程（组）解决实际问题（经济利润/购物问题） 例4（2025·山东烟台·中考真题）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（   ） A．350元 B．320元 C．270元 D．220元 变式题1（2025·河南·中考真题）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． (1)求甲、乙两种苹果每箱的售价． (2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 变式题2（2025·广东深圳·中考真题）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 考点5：列一次方程（组）解决实际问题（行程/工程问题） 例5（2025·天津·中考真题）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则可以列出的方程为（   ） A． B． C． D． 变式题1甲、乙两车从相距480km的两地相向而行，甲车每小时行60km，乙车每小时行80km，甲车先出发1小时后，乙车才出发，乙车出发后几小时两车相遇？ 变式题2一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需15天完成，两人合作几天可以完成这项工程的？ 一．一元一次方程及其应用 一．选择题（共7小题） 1．某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车辆，根据题意，可列方程为　　 A． B． C． D． 2．《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有亩，可列方程为　　 A． B． C． D． 3．《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 4．我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为尺，则可列方程为　　 A． B． C． D． 5．今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为亿元，则符合题意的方程是　　 A． B． C． D． 6．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是　　 A．5天 B．10天 C．15天 D．20天 7．《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫．问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？　　 A．45尺 B．88尺 C．90尺 D．98尺 二．填空题（共5小题） 8．定义新运算：例如：，．若，则的值为 　 ． 9．在元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，则快马追上慢马需要的天数是 　 ． 10．为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是，得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是 　 ． 11．《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走100米，速度慢的人每分钟走60米，现在速度慢的人先走100米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要 　 分钟． 12．中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为 　 尺． 三．解答题（共7小题） 13．解方程：． 14．甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为．工作期间需同时排水，乙池的排水速度是．若排水，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍． （1）求甲池的排水速度． （2）工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于，那么最多可以排水几小时？ 15．《九章算术》是我国第一部自成体系的数学专著，其中“盈不足术”记载：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？译文：今有人合伙买金，每人出400钱，剩余3400钱；每人出300钱，剩余100钱．问合伙人数和金价各是多少？请解答这个问题． 16．为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准阶段（以下简称“标准” ．对某型号汽车，“标准”要求类物质排放量不超过，，两类物质排放量之和不超过．已知该型号某汽车的，两类物质排放量之和原为．经过一次技术改进，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了，，两类物质排放量之和为．判断这次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由． 17．星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间． 18．定义:我们把数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值．数轴上表示数，的点，之间的距离．特别的，当时，表示数的点与原点的距离等于．当时，表示数的点与原点的距离等于． 应用如图，在数轴上，动点从表示的点出发，以1个单位秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点从表示12的点出发，以2个单位秒的速度沿着数轴的负方向运动． （1）经过多长时间，点，之间的距离等于3个单位长度？ （2）求点，到原点距离之和的最小值． 19．某条城际铁路线共有，，三个车站，每日上午均有两班次列车从站驶往站，其中次列车从站始发，经停站后到达站，次列车从站始发，直达站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示． 列车运行时刻表 车次 站 站 站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 途经站，不停车 请根据表格中的信息，解答下列问题： （1）次列车从站到站行驶了 　 分钟，从站到站行驶了 　　分钟； （2）记次列车的行驶速度为，离站的路程为；次列车的行驶速度为，离站的路程为． ①　　． ②从上午开始计时，时长记为分钟（如：上午，则，已知千米小时（可换算为4千米分钟），在次列车的行驶过程中，若，求的值． 二．二元一次方程及其应用 一．选择题（共16小题） 1．若二元一次联立方程式的解为，则之值为何？　　 A． B． C． D．14 2．在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房间，房客人，则可列方程组为　　 A． B． C． D． 3．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房间，客人人，则可列方程组为　　 A． B． C． D． 4．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买进，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买进石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为　　 A． B． C． D． 5．数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果个，苦果个，则可列方程组为　　 A． B． C． D． 6．我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有只，兔有只，根据题意可列方程组为　　 A． B． C． D． 7．我国古代数学名著《九章算术》记载了一道题，大意是：几个人合买一件物品，每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4元．设有人，该物品价值元，根据题意，可列出的方程组是　　 A． B． C． D． 8．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若，，试问买甜果苦果各几个？ 若设买甜果个，买苦果个，可列出符合题意的二元一次方程组，根据已有信息，题中用“，”表示的缺失的条件应为　　 A．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 9．用1块型钢板可制成3块型钢板和4块型钢板；用1块型钢板可制成5块型钢板和2块型钢板．现在需要58块型钢板、40块型钢板，问恰好用型钢板、型钢板各多少块？如果设用型钢板块，用型钢板块，则可列方程组为　　 A． B． C． D． 10．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两，牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两，问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金两，羊每头值金两，则可列方程组是　　 A． B． C． D． 11．《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为　　 A． B． C． D． 12．《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各是多少尺？ 若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是　　 A． B． C． D． 13．某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为　　 A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱 14．国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买）．其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案　　 A．5 B．4 C．3 D．2 15．校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本（两种都要购买）作为奖品，则购买方案有　　 A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 16．根据以下对话， 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为； ②1班学生的最低身高小于； ③2班学生的最高身高大于或等于． 上述结论中，所有正确结论的序号是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二．填空题（共1小题） 17．若关于、的二元一次方程组的解是，则关于、的方程组的解是 　　 ． 三．解答题（共15小题） 18．解方程组：． 19．解方程组：． 20．解方程组：． 21．解方程组：． 22．中国传统手工艺享誉海内外，扎染和刺绣体现了中国人民的智慧和创造力．某店销售扎染和刺绣两种工艺品，已知扎染175元件，刺绣325元件． （1）某天这两种工艺品的销售额为1175元，求这两种工艺品各销售多少件？ （2）中国的天问一号探测器、奋斗者号潜水器等科学技术世界领先，国人自豪感满满，相关纪念品深受青睐．该店设立了一个如图所示可自由转动的转盘（转盘被分为5个大小相同的扇形）．凡顾客在本店购买一件工艺品，就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，顾客即可免费获得指针指向区域的纪念品一个（指针指向两个扇形的交线时，视为指向右边的扇形）．一顾客在该店购买了一件工艺品，求该顾客获得纪念品的概率是多少？ 23．当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克．已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克． 24．钢琴素有“乐器之王”的美称．键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数． 25．如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． （1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本； （2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 26．近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建，两种光伏车棚．已知修建2个种光伏车棚和1个种光伏车棚共需投资8万元，修建5个种光伏车棚和3个种光伏车棚共需投资21万元． （1）求修建每个种，种光伏车棚分别需投资多少万元？ （2）若修建，两种光伏车棚共20个，要求修建的种光伏车棚的数量不少于修建的种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 27．某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地．在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机．经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元． （1）求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元； （2）学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半．请你给出最节省费用的购买方案． 28．某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示： 水果种类 进价（元千克） 售价（元千克） 甲 22 乙 25 该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元；购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元． （1）求，的值； （2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润（元与购进甲种水果的数量（千克）之间的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润． 29．为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了，两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下． （1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用，两种食品各多少包？ （2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 30．乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植，两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表： 农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元） 4 8 3 9 已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元，问，这两种农作物的种植面积各多少公顷？ 31．罗江糯米咸鹅蛋是德阳市非物质文化遗产之一，至今有200多年历史，采用罗江当地林下养殖的鹅产的散养鹅蛋，经过传统秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成．为了迎接端午节，进一步提升糯米咸鹅蛋的销量，德阳某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有、两种组合方式，其中组合有4枚糯米咸鹅蛋和6个肉粽，组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽．、两种组合的进价和售价如表： 价格 进价（元件） 94 146 售价（元件） 120 188 （1）求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？ （2）根据市场需求，超市准备的种组合数量是种组合数量的3倍少5件，且两种组合的总件数不超过95件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件种组合？最大利润为多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $