19.1.1二次根式的概念 导学案 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第十九章 二次根式 19.1 二次根式及其性质 第1课时 二次根式的概念 教学目标： 1.理解二次根式的概念，能够识别二次根式. 2.掌握二次根式有意义的条件，会求二次根式中被开方数的取值范围围. 3.经历从平方根到二次根式的抽象过程，体会从具体到抽象的数学思想. 教学重点：二次根式的概念及二次根式有意义的条件. 教学难点：熟练求较复杂二次根式有意义的条件. 活动一、复习导入： 问题1 什么叫作平方根？ 问题2 什么叫作算术平方根？ 回答下列问题： (1) 16 的平方根是什么？16 的算术平方根是什么？ (2) 0 的平方根是什么？0 的算术平方根是什么？ (3) －7 有没有平方根？有没有算术平方根？ (4)√7表示什么? 问题3 平方根的性质： (1) 正数有 个平方根且互为 数; (2) 0 的平方根是_____; (3) 负数_____平方根; (4) 非负数 a 的平方根表示为 . 算术平方根的性质： (1) 正数只有____个算术平方根; (2) 0 的算术平方根是____; (3) 负数_____算术平方根; (4) 非负数 a 的算术平方根表示为 . 活动二、探究新知： 探究1.二次根式的定义 用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点： （1）一个长方形围栏，长是宽的 2 倍，面积为 130 m2，则它的宽为 m． （2）一个大正方形的面积是一个边长为 a 的正方形与另一个边长为 1 的正方形的面积之和，则大正方形的边长为 ． （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t(单位：s)与开始落下时离地面的高度 h(单位：m)满足关系 h＝5t2．如果用含有 h 的式子表示 t ，那么 t 为 ． 你发现这些结果有哪些共同特征？ ， ， ①它们表示一些正数的 ． ②根指数都是 ． ③被开方数都是 ． 思考：在二次根式中，为什么 a 不能是负数？ 知识点一（二次根式定义）： 一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫作二次根式，“”称为二次根号．二次根式也是代数式. 知识点二（二次根式的特点）： ①一定含有二次根号“”； ②被开方数 a ≥ 0． 活动三、典例分析 例1 指出下列哪些是二次根式. （1） （2） （3） （4） （5）（a≥2） （6）（a＜b） （7） （8） （9） （10） 活动四、探究新知2： 探究2.二次根式有意义的条件 例2（教材P2例题） 当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义? 知识点三（二次根式有意义的条件）： 二次根式有意义的条件是被开方数（式）为非负数，反之也成立； ⇔ a≥0． 二次根式无意义的条件被开方数（式）为负数，反之也成立． ⇔ a＜0． 思考：当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？ 【练一练】 当x是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？ (1) （2） （3） (4) （5） （6） （7） (8) 【变式1】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) (2) + (3) (4) (5) +(x−6)0 知识点四（求使式子有意义的字母取值范围）： (1) 二次根式型： A≥0 ≥0 (2) 多个二次根式相加型：++…… B≥0 …… N≥0 (3) 二次根式作为分式的分母型： A＞0 (4) 二次根式与分式的乘积型： A≥0 且 B≠0 (5) 二次根式与二次根式作为分式的分母乘积型： A≥0 且 B＞0 (6) 零指数幂型：a0 a≠0 例3 （1）当x= -2时，二次根式 的值为 ； （2）当 x= 2时，二次根式 的值为 . 活动五、随堂检测 随堂练习1 要画一个面积为 18 cm2 的长方形，使它的长与宽之比为 3 ∶ 2，它的长、宽各应取多少？ 随堂练习2 当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ （1） ​；（2）​；（3）． 随堂练习3 当a＝5时，＝ ． 随堂练习4 下列各式：，，，（a＞0），其中是二次根式的有（　 　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 随堂练习5 如果是二次根式，则 x 的取值范围是（　 　） A．x≠－5 B．x≥－5 C．x＜－5 D．x＞－5 随堂练习6 若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围为______． 随堂练习7 若如果是二次根式，且值为1，试求mn的算术平方根. 活动五、课堂总结 学科网（北京）股份有限公司 $