专题01 二次根式（8题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题01 二次根式 目录 【题型一 判断二次根式】 1 【题型二 二次根式有意义的条件】 2 【题型三 求二次根式的值】 3 【题型四 由二次根式的非负性求字母的值】 4 【题型五 根据二次根式是整数求字母的值】 6 【题型六 数轴与二次根式的化简的综合应用】 7 【题型七 根据参数的取值范围化简二次根式】 8 【题型八 复合二次根式的化简求值】 10 【题型一 判断二次根式】 例题：（24-25九年级上·山西长治·期末）下列根式是二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式．熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如的式子是二次根式． 根据二次根式的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，，不是二次根式，是二次根式， ∴A、B、D不符合要求；C符合要求； 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·河南周口·期中）在式子，，，，，，中，二次根式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如“”这样的式子是二次根式．根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：，，，，是二次根式， ，没有意义， 不是二次根式， 是整式， 即二次根式有4个， 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海·假期作业）下列代数式，，，，中，二次根式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键； 形如的式子叫做二次根式．据此判断给出的式子有多少个二次根式． 【详解】解：形如的式子叫做二次根式． 在，，，，中， 不含根号，被开方数小于，不符合要求，不是二次根式，其余个是二次根式， 所以，二次根式有个． 故选：C 【题型二 二次根式有意义的条件】 例题：（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）若函数有意义，则x的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是解题的关键． 由被开方数为非负数，可得，再根据不等式的性质求解集即可求解． 【详解】解：函数有意义， ∴， ∴， 故选：D ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东河源·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，由题意得且，据此即可求解，掌握二次根式和分式有意义的条件是 解题的关键． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴且， 解得， 故选：． 2．（24-25八年级上·全国·期末）当式子有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了代数式有意义的条件，根据被开方数是非负数和分母不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 且 解得且 故答案为：且 【题型三 求二次根式的值】 例题：（23-24八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义，把代入求值即可． 【详解】解：当时，二次根式， 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算． 【详解】解：当时，． 故选：B． 2．（24-25九年级上·山东德州·开学考试）当时，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，把代入计算即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【题型四 由二次根式的非负性求字母的值】 例题：（24-25八年级上·安徽合肥·期末），则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，求代数式的值，先由算术平方根和绝对值的非负性得出，，代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）若 △ABC 三边a ，b ，c 满足 那么△ABC 的形状是 （    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了平方的非负性，算术平方根的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，根据非负数的性质求得，，，根据等腰三角形的定义即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴是等腰三角形， 故选：A． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）若实数，满足等式，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了非负数的性质．利用绝对值和算术平方根的非负数的性质求出，即可解决问题． 【详解】解：因为，而，， 所以，， 解得，， 所以． 故答案为：2． 【题型五 根据二次根式是整数求字母的值】 例题：（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】主要考查了二次根式的定义，，当是完全平方数时，是整数，即可求得答案． 【详解】解：， ∵是整数， ∴是完全平方数， ∴满足条件的最小正整数n为6， 故选：B. 【变式训练】 1．（22-23八年级下·广东惠州·期中）已知：是整数，则满足条件的最小正整数为（　　） A．2 B．4 C．5 D．20 【答案】C 【分析】将化简为，要是一个数开平方后为整数，那么这个数一定是完全平方数，即可解答． 【详解】解：， 是整数， 满足条件的最小正整数为5， 故选：C． 【点睛】本题考查了求二次根式中参数的值，熟知二次根式的计算结果是整数的情况是解题的关键． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，再根据是整数，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是整数，或或， ∴满足条件的正整数是或或． 即满足条件的正整数共有3个， 故答案为：3． 【题型六 数轴与二次根式的化简的综合应用】 例题：（24-25八年级上·北京·阶段练习）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．观察数轴可得，从而得到，再根据绝对值的性质，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：， ∴， ∴． 故选：A 【变式训练】 1．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（    ） A．7 B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值，首先根据数轴得到a的范围，从而得到与的符号；然后利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求解． 【详解】解：根据数轴得：， ∴， ∴ ． 故选：A． 2．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知，，在数轴上的位置如图：化简代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值的化简、整式的加减运算、二次根式的性质等知识点，根据数轴确定相关代数式的正负是解题的关键． 先由数轴确定a、b、c的符号，再确定相关代数式的正负，然后根据绝对值的性质、二次根式的性质化简，最后运用整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：由图示可得：且，则， 所以 ． 故答案为． 【题型七 根据参数的取值范围化简二次根式】 例题：（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简绝对值，利用二次根式的性质化简，代数式求值等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 先根据化简绝对值和二次根式，然后合并同类项即可． 【详解】解：∵， ，， ∴， 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）已知，化简的结果为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质、绝对值的性质，由题意可得，，再由二次根式的性质和绝对值的性质化简即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）当时，化简的结果是 ． 【答案】 【分析】先配方，把二次根式转化为绝对值，化简解答即可． 本题考查了二次根式的化简，熟练掌握完全平方公式，绝对值的化简是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴ ． 故答案为：． 【题型八 复合二次根式的化简求值】 例题：（23-24八年级下·全国·假期作业）把中根号外的因式移到根号内，得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】略 【变式训练】 1．（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 2．（2022八年级上·四川成都·专题练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，再利用二次根式的性质进行化简，然后将代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键；因此此题可根据二次根式的性质“”进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选C． 2．（24-25八年级上·北京通州·期末）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的性质、平方根及算术平方根，熟练掌握二次根式的性质、平方根及算术平方根是解题的关键；因此此题可根据二次根式的性质、平方根及算术平方根进行排除选项． 【详解】解：A、，原计算错误，故不符合题意； B、，原计算错误，故不符合题意； C、，原计算错误，故不符合题意； D、，原计算正确，故符合题意； 故选D． 3．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）已知，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简和不等式的性质，解题关键是熟练掌握二次根式的性质． 根据题意得到，，根据完全平方公式把被开方数变形，根据二次根式的性质计算即可； 【详解】解： ， ， ，， ，， 原式； 故选：A 4．（2024八年级上·全国·专题练习）若，则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，求代数式的值，解题的关键是掌握：在二次根式中，要求字母必须满足条件，即被开方数是非负的，则当时，二次根式有意义，当时，二次根式无意义．据此得到关于的不等式组，继而得到、的值，再代入计算即可．也考查了负整数指数幂． 【详解】解：根据题意，得， 解得：， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 故选：A． 5．（12-13九年级上·江苏·期末）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，理解二次根式中被开方数是非负数是解决问题的关键． 一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．直接利用二次根式的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A．当时，原式无意义，故A不一定不是二次根式； B．当时，原式无意义，故B不一定是二次根式； C．恒成立，故C一定是二次根式； D．当时，原式无意义，故D不一定是二次根式； 故选：C． 二、填空题 6．（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，正确应用完全平方公式是解题关键．利用完全平方公式将根号下部分变形开平方，然后计算加减即可． 【详解】 ． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）如果，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件可得、的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ， 解得， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·北京通州·期末）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查实数及二次根式有意义的条件，熟练掌握实数的性质及二次根式有意义的条件是解题的关键；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”可进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为． 9．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）设a、b、c分别是三角形三边的长，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，利用二次根式的性质化简，整式加减的应用等知识点，由三角形三边之间的关系得出，是解题的关键． 首先由三角形三边之间的关系得出，，然后化简二次根式，再进行整式的加减运算即可得出答案． 【详解】解：∵a、b、c分别是三角形三边的长， ∴，， ∴，， ， 故答案为：． 10．（22-23八年级上·四川眉山·阶段练习）若满足等式，则的值为 ． 【答案】2022 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值、一元一次方程等知识点，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到m的取值范围，再根据m的取值范围去绝对值和二次根式的性质得到一元一次方程，进而得到，即，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴． 故答案为：2022． 三、解答题 11．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）通过计算下列各式的值探究问题： (1)①＝ ；； 探究：对于任意非负有理数a， ． ②＝ ，    ； 探究：对于任意负有理数a， ． 综上，对于任意有理数a， ． (2)应用（1）所得的结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示， 化简：． 【答案】(1)①4，；② (2) 【分析】此题主要考查了算术平方根的计算,实数与数轴以及二次根式的化简，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键，此题重点培养学生的归纳应用能力． （1）①分别计算各式的值，并归纳出探究结果； ②分别计算各式的值，归纳出探究结果，并总结出； （2）先利用（1）式的探究结果化简二次根式，再根据字母a、b在数轴上的位置及绝对值的意义进行化简， 合并后即可得出结果． 【详解】（1）解：依题意①； ； 探究：对于任意非负有理数，． 故答案为：4，； ②； 探究：对于任意负有理数，． 综上，对于任意有理数，． 故答案为：2，3，，； （2）解：观察数轴可知：，，，． ． 12．（24-25八年级上·北京通州·期末）我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料： 当，时： ∵ 又∵ ∴ ∴ 当且仅当时，． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ，此时 ； (2)若（），求y的最小值． 【答案】(1)4， (2)y的最小值为 【分析】本题主要考查了二次根式和完全平方公式的应用， 对于（1），根据题意可得，再根据题意求出x的值即可； 对于（2），将原式整理为，再结合已知条件可得，接下来可得答案． 【详解】（1）解：根据题意可知， 即． 当时，， 解得时，的最小值是4； 故答案为：4，； （2）解：∵ ， ∴． ∵， ∴． ∵当，时：， ∴， ∴， 即． 所以y的最小值为． 13．（24-25八年级上·北京延庆·期中）阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数和，使且，则可变形为，即，从而使得．（其中均为正数） 例如：∵， ． 请你参考小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，其中，都是整数，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的化简、完全平方公式，理解题中计算方法，利用类比思想求解是解答的关键． （1）根据，，利用完全平方公式即可得答案； （2）根据，，利用完全平方公式即可得答案； （3）由得出，根据，都是整数可得，即可求出值，代入求出值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： = ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，都是整数， ∴， 解得：， ∴， 解得：． 14．（24-25八年级上·陕西西安·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，平方根与立方根，二次根式的性质与化简等知识，由图可知，，得到，，然后化简求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由图可知，，， ∴，， ∴ ． 15．（24-25八年级上·河南郑州·期中）已知的平方根为，的立方根为． (1)求，的值； (2)若，请计算的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平方根及立方根得出，，然后求解即可； （2）将（1）中结果代入，由二次根式有意义的条件求出，，然后求算术平方根即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根为， ∴，， ∴，． （2）由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵48的算术平方根为， ∴的算术平方根是． 【点睛】本题考查立方根、平方根及算术平方根的计算，二次根式有意义的条件，熟练掌握相关计算方法是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式 目录 【题型一 判断二次根式】 1 【题型二 二次根式有意义的条件】 2 【题型三 求二次根式的值】 2 【题型四 由二次根式的非负性求字母的值】 2 【题型五 根据二次根式是整数求字母的值】 3 【题型六 数轴与二次根式的化简的综合应用】 3 【题型七 根据参数的取值范围化简二次根式】 3 【题型八 复合二次根式的化简求值】 4 【题型一 判断二次根式】 例题：（24-25九年级上·山西长治·期末）下列根式是二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·河南周口·期中）在式子，，，，，，中，二次根式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25八年级上·上海·假期作业）下列代数式，，，，中，二次根式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型二 二次根式有意义的条件】 例题：（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）若函数有意义，则x的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东河源·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·期末）当式子有意义，则的取值范围是 ． 【题型三 求二次根式的值】 例题：（23-24八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 【变式训练】 1．（23-24八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 2．（24-25九年级上·山东德州·开学考试）当时，的值是 ． 【题型四 由二次根式的非负性求字母的值】 例题：（24-25八年级上·安徽合肥·期末），则 （   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）若 △ABC 三边a ，b ，c 满足 那么△ABC 的形状是 （    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）若实数，满足等式，则 ． 【题型五 根据二次根式是整数求字母的值】 例题：（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．12 【变式训练】 1．（22-23八年级下·广东惠州·期中）已知：是整数，则满足条件的最小正整数为（　　） A．2 B．4 C．5 D．20 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 【题型六 数轴与二次根式的化简的综合应用】 例题：（24-25八年级上·北京·阶段练习）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（    ） A．7 B． C． D．无法确定 2．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知，，在数轴上的位置如图：化简代数式的值为 ． 【题型七 根据参数的取值范围化简二次根式】 例题：（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）已知，化简的结果为（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）当时，化简的结果是 ． 【题型八 复合二次根式的化简求值】 例题：（23-24八年级下·全国·假期作业）把中根号外的因式移到根号内，得（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（2022八年级上·四川成都·专题练习）已知，则的值为 ． 一、单选题 1．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·北京通州·期末）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）已知，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 4．（2024八年级上·全国·专题练习）若，则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 5．（12-13九年级上·江苏·期末）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）计算： ． 7．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）如果，那么 ． 8．（24-25八年级上·北京通州·期末）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 9．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）设a、b、c分别是三角形三边的长，则 ． 10．（22-23八年级上·四川眉山·阶段练习）若满足等式，则的值为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）通过计算下列各式的值探究问题： (1)①＝ ；； 探究：对于任意非负有理数a， ． ②＝ ，    ； 探究：对于任意负有理数a， ． 综上，对于任意有理数a， ． (2)应用（1）所得的结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示， 化简：． 12．（24-25八年级上·北京通州·期末）我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料： 当，时： ∵ 又∵ ∴ ∴ 当且仅当时，． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ，此时 ； (2)若（），求y的最小值． 13．（24-25八年级上·北京延庆·期中）阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数和，使且，则可变形为，即，从而使得．（其中均为正数） 例如：∵， ． 请你参考小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，其中，都是整数，直接写出的值． 14．（24-25八年级上·陕西西安·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简：． 15．（24-25八年级上·河南郑州·期中）已知的平方根为，的立方根为． (1)求，的值； (2)若，请计算的算术平方根． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$