湖南新高考教学教研联盟2026届高三下学期3月第一次考试数学试题

高三数学参考答案 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 答案A A B A C B A AC BC ABD 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1.A【解析】由x-1<3,得-2<x<4,因为A={0,1,2,3,4,5},所以A∩B={0,1,2,3}. 2.A【解析】若sin>0,则0为第一象限、第二象限角或终边在y轴正半轴上；若0为第二象限角，则sin0>0,所以 “sin>0”是“0为第二象限角”的必要不充分条件. 3.B【解析】设这个圆锥底面半径为r,母线为l,则底面面积为π2，底面周长为2πr,侧面展开图的半圆孤长为2πr,由 孤度制的定义知=2，所以1=2r,则侧面积为2x=司x(2r)P=2m2,所以这个圆维的表面积为心2+2= 3π2=3π，所以r=1,则直径为2m. A【绑标-=--号 5.C【解析】由图易知A正确；对于B,差异平均值为8(460-4501+465-4701十…十490-5001)=10，B正确；平 均相对误差为(460150+1465.20l+…十490o500)0.019,精确度款高，D正确（或由图可知两折线的 450 470 500 趋势基本一致，且误差较小，故精确度高，D正确)；对于C,没有足够的理由说明预测变化慢于实际变化，故选C. 6.C【解折】因为a6长（生），所以（士）≥a十6计4，令=a十b,>0, 所以-4t-16≥0，解得≤2-2√5（舍去）或t≥2十25，所以a十b的最小值为2十2√5. 7.B【解析】设國心E(a,b),由圆E与y=x相切于点A(1,1)可得 a-1 一1，a十b=2,所以圆心E到直线y=一x的 距离为d=al-厄，又孩0长为4，放国E的辛径r=√+（四-5. 8A【解析】由D,A,C三点共线可知，ò-号耐+号B武， 不妨设B=入BA十uBG,由F,A,G三点共线可知入十=1； 设硫=m励，所以m励-B威+武，与励=号+号硫此较可得m=, 所以F在A心方向的投影向量模长为号1=是A心， 由F庞.A心=4可知F应.A心-青AC?=4,所以A=V5. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9.AC【解析】设x=a十bi,a,b∈R,所以=a-bi,之十z=2a∈R,之-z=2bi,不一定为实数，之·=a2-(bi)2=a2+b∈ k-牛-《-青+不一定为实数 10BC【懈折】周为S=音-号4，当心2时，S=音-号a,所以a=S-S1=号a一号41≥2， 所以=一之心2，当=1时，S=a=青一号a由a=号得a=一号所以受=一合=-2a,A错误 an 因为=昌a=号，所以数列a是以号为首项，合为公比的等比数列， an 所以a.=a·g1=号·(-2），则lga,=lg号+(m-1)·lg2, 因此数列{ga,}是首项为1g号，公差为1g合的等差数列，B正确， 843n-- 1-g 1-(-3) 当m为奇数时，S=[1+(合)门，号<8，<S-号×号-号 数学参考答案(XILM1)一1 当n为锅数时8-[1-()门号>S≥8-号×=是所以S∈[是，)U(侍，号]，C正确 因为y=x一 在0，+)上单诩递增，S∈[号，号)U(告，]所以S-∈[-易)U(-易]D 错误. 1l.ABD【解析】设椭圆A的半焦距为c1,离心率为e1,双曲线B的半焦距为c2,离心率为e2, 设直线l为x=my十G(m>0), 联立=my叶a与号-苦-1，样-d)y+2m叶8d-心)=0， 由△=0得m=1,又m心0，所以直线1的斜率为定值1，切.点Mg,),故A正确； G’G 由双曲线光学性质知，直线1为∠F,MR的平分线，由角平分线定理知=： MFMF 设M=X,则MR=A(G+4),M,=λ(G-G),从而MF-ME=2a,2a=2G,椭圆A的离心 =29=1 为e1=2a=入' 由选项A知∠MR,=,又M=E,,所以∠F,M=冬， △MR,E中，由正孩定理知上-EE-yRM_血苓」 AFM-sin∠F3F2M 2 sin 4 所以满围A的离心率为-号，B正痛： 因为=1兰后=1+号，所以财十后=2，双南线B的离心率为十要，放C餐送 法-：设M本=ANF2a>0),又点M(g,),E,(G1,0), C1C1 由定比分点坐标公式知NG C1 1+λ1+元 (a十aG） 代入箱圈A的方程，得1十十1，化简得=导， C 故-X-V4什2顶，故D正确 e 法二：切点Mg,)在椭圆的右准线上，过，点M作x轴的垂线，交工轴于点K, CICI 过点N作准线MK的垂线交准线于点H,由椭圆第二定义知NF2|=e|NH,又|MN|=√2|NH, 故-复-4十，D正扇 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.100【解析】先从非“峡谷之巅”的5张地图中任选1张作为第一场地图，有5种选法； 再从剩下5张地图（含“峡谷之巅”）中任选2张，按顺序用于第二、三场比赛，有A=20种选法， 总计5×20=100种不同选择方案. 13.4+2W3【解析】设∠ACD=0,则AC=4cos0,BC=4√3cos0, 在△BCD中，由余孩定理得BD=BC+CD-2·BC·CDeos((受+0）=(4W3cos0)'+4+16V3c0ssin9= 4(12cos20+2W3sin20+1)=4(6cos20+2W3sin20+7)=16W3sin(20+)+28, 当20+3-受，即0-歪时，(BD)m-4(7+43),所以BD的最大值为4+25. 14.-4【解析】令g(x)=√Tx+3T+√x-1T,x∈R, 则g(-2-x)=√T-2-x+3T+√T-2-x-1T=WT1-xT+√-3-xT=√x-1T+W√Tx+3T, 所以g(x)=g(-2一x),即g(x)的图象关于直线x=一1对称， 数学参考答案(XLM1)一2 当x≥1时，g(x)=√x十3+√x-1在[1，十o∞)上单调递增， 当-1长≤1时，g()=+3+V1-x,则g)==+3 2√(x+3)(1-x) ∠0， 所以g(x)在[一1,1]上单调递减， 结合g(x)的图象关于直线x=一1对称可得g（x)在（一∞，一3]上单调递减，在（一3，一1]上单调递增，在 (一1,1)上单调递减，在[1，十o∞)上单调递增. 又g(-3)=g1)=2<号<g(-1)=2反， 故f)=Vx+3十Vx-号有4个零点，且关于x=-1对称，则所有零点的和为一4 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.【解析11)由图象可知是T-登-(-哥）=环∴T=元， 又：T=2红，0=2， 2分 代入(-晋，-1)可知sin(-+9)=-1,即g一=一吾+2，kc五， 又因为g<受，所以=否f)=sin(2x+晋） ………………………… 4分 可知当受+2kx≤2x十吾<+2km时，)单调递减， 所以f)的单调递减区间为[否+x,+x],k∈乙 …6分 (2)fa)=sin(2a+吾）-号，又：sim(2a+若）=cos(3-2a)-号， 9分 所以由二倍角公式可得：0s(骨-2a)=2os(告-a）-1=吉，解得cos(吾-。)=土厘 …11分 又“a∈[0，]…g-ae[-晋，看]cos(ga)>0,… …12分 所以a(晋-。)=E …13分 16.【解析】(I)如图：取AD中点M,连接BM,CM因为BA=BD,所以BM⊥AD.…2分 又由题AB=BC=BD,∠CBA=∠CBD,所以△ABC≌△DBC,即AC=DC,所以CM⊥AD.·4分 又BM∩CM=M,所以AD⊥平面BCM,又BCC平面BCM,所以AD⊥BC.…6分 (注：用基向量法参照给分) (2)(注：学生从开始就只认为只有一个情况得出一个角扣2分) 法一：设∠CBA=∠CBD=0,AB=BC=BD=1,由平面ABC⊥平面DBC且平面ABC∩平面DBC=BC,所以可如 图，以，点B为坐标原，点，过点B垂直于平面ABC的直线为x轴，直线BC为y轴，过点B垂直于平面DBC的直线为 之轴建立空间直角坐标系.… …8分 B(0,0,0),A(0,cos 0,sin 0),D(sin 0,cos 0,0), 易知平面DBC的一个法向量为m=(0,0,1),…10分 设平面ABD的一个法向量为n=(x,y,z), BA=(0,cos 0,sin 0),BD=(sin 0,cos 0,0), 有BA·n=os0叶zin0=0,即3os0一zsin0, B 则有D.n=xsin0叶cos=0, (xsin 0=-ycos 0, 令y=-sin0,则x=z=cos0,所以n=(cos0,-sin0,cos0),…l2分7 由题可知cos(m,n=,cos0=5 1火干2=5，解得cos0=土2……14分 所以∠CBA=60°或∠CBA=120°.… …15分 法二：如图，过点A作AH⊥BC于点H,过点A作AG⊥BD于点G,连接GH. 因为平面ABC⊥平面BCD且平面ABC∩平面DBC=BC, 所以AH⊥平面BCD,即AH⊥BD.…8分 又AH∩AG=A,所以BD⊥平面AGH,即∠AGH为平面ABD与平面BCD所成的角， 由题co∠AGH=5,可知an∠AGH=-2 ……10分 数学参考答案(XLM1)一3 设∠CBA=∠DBC=0,AB=BC=BD=1,则AH=sin0,BH=|cos l, 所以在R△AHG中，a∠AGH-品--2，所以GH-9, 2, …12分 在AGH中，s∠HBG=mx一》=咖9广8器Z总 所以c0s0l=7,即cos0=士7， …14分 所以∠CBA=60°或∠CBA=120°.… …15分 1n.【解析】1)由题意，设精国C的方程为号+芳-1(o>6>0),其中c=6,d=+-公十6， 将点M(2,1)代入椭国方程千6十节-1得=2， 所以椭圆C的方程为十芳=1. …3分 (2)(ⅰ)法一：设直线AB的方程为y=x十t(由对称性知k存在)， 联2营+号-1得2+4x十)=8， 化简得(4k2+1)x2十8ktx十4(t2-2)=0,… …4分 由△>0知8k2-t2十2>0，… …5分 -8kt xA十xB一4K干1， 则 4(t2-2) 6分 A·xB=4R+1' 因为十=0，所以会号十号0， 即0B-1)-2)%1B-22-0. (xA-2)(xB-2) 化简得(2k-1)(2k-1十t)=0,… …8分 因为直线AB不过，点M(2,1),所以2k十t≠1， 故及=司 …9分 法二：设直线MA的方程为y一1=k(x一2)， 联立管+苦=1，得2+4(c一2)+1=8， 化简x2+4[kx十(1-2k)]2=8, 得(4k+1)x2+8(1-2k)x+4(1-2)2-8=0,… 4分 由△>0知4级+4级+10，即-号，… 5分 则A·w 41-2)2=8,又xw=2, 4k2十1 所以x4=8k2一86-2 42十1， …6分 因为直线MA,MB与x轴围成一个以M为顶点的等腰三角形，所以kMM十kB=O, 同理可得=8张十8k-2 4k2十1， …7分 _16k2-4 -16k 由此可知：xA十B=4+1,xA一=42十1， 则直线AB的斜率K=4一塑=（十zB)-41 XA—CB XA-TB 2 故直线AB的斜率为定值2， …9分 法三：因为直线MA,MB与x轴围成一个以M为顶点的等腰三角形，所以kM十kB=0,…4分 因为A,B为椭圆上异于M的两，点， 所以可设直线AB为m(x-2)十n(y-1)=1,m,n不同时为0， …5分 联立m(x-2》+ny-10=1与营+苦=1， 得(4m+1)(x-2)2+4(2m十n)(x-2)(y-1)十4(2n+1)(y-1)2=0,…7分 等式两边同时除以(x一2)，记=y二， x-2' 数学参考答案(XLM1)一4 化简得(4m十1)+4(2m十n)k+4(2n十1)k=0, 8分 由于kM十kB=0, 所以2m十n=0,说明直线AB的斜率为定值2· 9分 (i)设直线AB为y合十， 联y+号1 得x2+2tx十22-4=0， 因为△=42-4(2-4)>0，所以2<4， 由韦达定理知1十=一2， xA·xB=2-4, …11分 法一：过，点M作x轴的垂线交直线AB于点N,则点N的坐标为(2，t十1)， SAwe=号IMNI-xs, …12分 即Sam8=合V+)-4cB, 化简得S公MB=W一（化-2）2十4，…14分 当且仅当t2=2时，△MAB的面积取最大值2. …15分 法=：A81-√+(1--汽+-8-5.V47, …12分 点M(2,1)到直线AB的距离d= 24 …13分 √1+(2) √5 所以Saws=AB到·d=4-F=Vf+4f=√-(E-29+4, …14分 当且仅当t=2时，△MAB的面积取最大值2.… …15分 18.【解析】(1)设X表示第一天结束时被影响的人数，则X一B(m,),由二项分布的期望公式， .E(X)=mp.… …3分 (2)由(1)可知X~B(m,),考虑二项展开： 1-+p0=2c1-pp=1, 1-p-0)=1-2p=2c1-p(-p=2c(-1Dr1-》p, …6分 当k为偶数时，1十(-1)=2；当为奇数时，1十（一1)=0，… …7分 故1+(1一2)m=2P(X为偶数)， 故P(X为偶数)=1十(1一2) 2 9分 (③)情移一：若甲是物始选中的两人之一，其概率为得-是一号，甲在两天后藏成功影响有两什情形： ①第一天被影响，概率为p=0,4; ②第一天未被影响，概率为1一=0.6，且第二天被影响， 若甲第二天被影响，则第一天另一位初始被选中者乙一定被影响，乙作为感染者尝试影响甲，甲被影响的概率为1 -(1-a)=a, 故甲在第一天未被影响，第二天被成功影响的概率为(1一p)pa=0.24a, 因此，在甲是初始选中的两人之一的条件下，甲在两天后被成功影响的概率为：0.4十0.24.…11分 情形二：若甲不是和始成中的两人，无版率为是-品一号甲在两天后载成功衫响有两种情形： ①第一天有1人被成功影响，再由此人成功感染甲，概率为： C2p(1-p)[1-(1-a)]=2p(1-p)a=0.48a; ②第一天有2人被成功影响，甲在第二天被成功影响，概率为： p2[1-(1-a)2]=p2(2a-a2)=-0.16a2+0.32a, 因此，在甲不是初始选中的两人的条件下，甲在两天后被成功影响的概率为：0.48a十（一0.16a2十0.32a)= -0.16a2+0.8a. …13分 数学参考答案(XLM1)-5 鲸上，甲在两天后被成功彩响的概年为：号（0,4十0.24a)十号（-0.16d+0.8a)=-0.096d+0,576a+0.16.“ …15分 “爆发式传播”的原因：随着感染者人数增加，每天尝试影响非感染者的感染者人数增大，使得非感染者被影响的 概率1一（1一α)迅速提高，传播速度急剧加快，形成爆发态势.…17分 19.【解析】(1)令h(x)=e-x-1,则h'(x)=e-1, 当x≤0时，h'(x)≤0，当x≥0时，h'(x)≥0， 所以h(x)在（一∞，0]上单调递减，在[0，十∞）上单调递增， 所以有h(x)≥h(0)=0,即e≥x十1.…… …1分 当a≥0时，f(x)-(x十lnx)=e+mt-(x十lnx)-l十ae≥ae≥0恒成立.…3分 (2)(1)由题意有gn(x)=(x十a)e2-(n十1)有唯一的正零，点xn, 因为g'n(x)=(x十a十1)e, 所以gn(x)在（一o∞，一a一1）上单调递减，在（一a一1，十∞)上单调递增，…4分 当x<-a-1时，gn(x)<0;gm(-a-1)=-ea-1-(n十1)<0，gn(-a)=-(n十1)<0， 当x→十c∞时，gn(x)→十o∞， 由零点存在性定理可知，gn(x)在（一a,十∞）有唯一零，点xn,… …5分 当Q≤0时，一Q≥0，则xn>0满足题意；…6分 当a>0时，要保证xw>0,则只要g(0)=a一n-1<0, 即a<n十1，n∈N恒成立，所以0<a<2, 综合可得2.… …8分 (i)由题意可知(xn+1)e。=n+1台ln(xn+1)+xn=ln(n十1)， 由(1)知e≥x十l,则x=e≥>lnx+1,即x-1≥lnx,且x=lne≥ln(x十l), 因此有ln(n十1)=ln(xn+1)十xn≥2n(xn十1)， 即n十1≥(xn十1)2台√n+I≥xn十1-→√n+I>xn,… …10分 所以有11 2 2 xm√n+I2√n+I√n+2+√n+I =2(√Wn+2-√n+I), 故++…+上>25-2+4-5+十+2-n中)=2(n+2-2),…12分 又因为一h,所以有-1≥h=nx+1)-n(a叶1D. 根据题意有ln(xm十1)十xn=n(n十1)， 从两有-么-a么十-aa+1会-1， 印1中帝+平1+层 n 14分 又（号）号e-2≠0，所以≠号，所以≠3，故<3， 所以++…+叶21++号+…+女》， 15分 由一12≥hx可得-1≥n2>1-<n, 令得1-”.h马→长h≥2， 所以1+号+号+…+员≤1+n号+h受++lnn=1+la …16分 数+号…+2<+21+号+号++)≤+21+0. 签上有2(v干2-名+结…士2+2么 …17分 数学参考答案(XLM1)一6高三数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上 无效。 h 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 过 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.已知集合A={0,1,2,3,4,5),B=(x1x-1<3),则A∩B= A.{0,1,2,3} B.{2,3) C.{1,2,3} D.(2,3,4 2.“sin0>0”是“0为第二象限角”的 ·A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为 州 A.1 m .B.2m C.3 m D.2√3m 4化简56 151g2= A B C.5 ·D.3 5.国家能源集团研发的“擎源”大模型用于预测关键节点电价，研究人员利用模型对某节点连续8 个小时的实际与预测电价数据进行记录，并利用上述数据绘制成实际值与预测值对比的折线 图（两条折线）： 650 -620 600 580- 605 590 电 570 580 510 540 500 530500 460470 500 490 450 450465 1 2 3 45 6 7 8 时间（点) 一预测电价（元MWh)---实际电价（元/MWh) 数学试卷(XLM1)第1页（共5页） 观察图表与数据，下列结论不能直接从中得出的是 A.实际电价与预测电价的变化趋势一致，均在下午时段（第5小时左右）达到峰值 B.这8小时内，预测值与实际值的差异（两个值的差的绝对值）平均在10元/MWh左右 C.模型对所有“价格下跌时段”（如第5-6小时）的预测都出现了滞后性（即预测反应慢于实际 变化) D.模型的预测精度较高，趋势与实际基本一致，对电网调度有重要参考价值 6.若a,b>0,且ab=a+b+4,则a+b的最小值为 A.12 B.16 、C.2+25 D号 7.已知圆E与直线y=x相切于点A(1,1),与直线y=一x相交于B,C两点，且BC=4,则圆 E的半径为 A.√5 B.6 C.√7 D.2N2 8.如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,D为AC边靠近C的三等分点，G为BC中点，过D 作AC垂线交BC于点E,AG∩BD=F,若F它·AC=4,则|AC= A.√/15 B.4 C.23 D.8 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知z是复数，乏为之的共轭复数，则下列计算结果一定为实数的是 A.z十 B.之一元 C.之· D之 10.已知数列a,)的前n项和为S,且=号S.=号号a+1,则下列说法正确的是 A,a1=2a2 B.数列(1g an)为等差数列 cs.∈[是，)U(告，] D.s专∈[-0)u(-品] 数学试卷(XLM1)第2页（共5页） 11.已知双曲线有如下光学性质：从一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延 长线通过另一个焦点.其几何事实为：若双曲线的两个焦点为E,E2,P为双曲线上任意一 点，则P处的切线平分∠EPE,已知椭圆A:等+芳-1(a>b>0)的左，右焦点分别为R, R,双通线B:言-苦=1的左右焦点分别为，R,过R作直线1与双线B相切于点M, 与椭圆相交于点N,且点M,N均位于第一象限，若MF2|=|F2F3|,则下列说法正确的是 A.直线l的斜率为定值1 B箱圆A的离心率为，一受 C.双曲线B的离心率为1十号 2 D为定值√+2元 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.某电竞战队从6张不同地图中选择3张，按顺序用于3场比赛，且每张地图最多使用一次.若 第一场比赛不能使用地图“峡谷之巅”，则不同的选择方案共有 种 13.如图所示，若∠ACB=,∠ABC=,点D与B分别在直线AC两 侧，且AD=DC=2,则BD长度的最大值为 B 14,函数f(x)=Vx+3可+√z-可-号的所有零点的和为 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知函数f(x)=sin(wx十p)(w>0,p<)的部 分图象如图所示， (1)求f(x)的解析式，并写出f(x)的单调递减区间； 05元 (2)若a∈[0，]，且fa)=号，求cos(否-a的值. 数学试卷(XLM1)第3页（共5页） IB.(15分)如图，在三棱能A-BCD中，AB=BC=BD,∠CBA=∠CBD. (1)证明：BC⊥AD; (2)若△ABC和△DBC所在平面垂直，且平面ABD与平面BCD所成 角的余弦值为，求∠CBA 17.（15分)已知椭圆C过点M(2,1),两个焦点坐标分别为（一√60），（√6,0）. (1)求椭圆C的方程. (2)已知A,B为椭圆C上异于M的两点，且直线MA,MB与x轴围成一个以M为顶点的等 腰三角形 (1)求证：直线AB的斜率为定值； (ⅱ)求△MAB面积的最大值， 数学试卷XLM殖)第4页（共5页） 18.(17分)某研究团队为分析社交网络中的消费行为传播规律，构建如下概率模型：研究团队选 定n人进行研究，假设每人对消费行为的“基础易感性”参数均相同，记为a(0<a<1),该值越 高表示越容易被影响.传播逐天进行，规则如下：第一天，研究团队随机选择其中m(1≤m< n,且m∈N”)人推送广告，每位被选中的人被成功影响（称为“感染者”）的概率为p,且是否被 影响是相互独立的，从第二天起，每一天，每一位当前的“感染者”会尝试影响每一位当前的 “非感染者”（即n人中还未被成功影响的人），且一旦被影响即称为“感染者”，并参与后续的 影响传播。 (1)求第一天结束时，被影响的人数的数学期望； (2)求第一天结束时，被影响的人数为偶数的概率； (3)对于任意一位“非感染者”，若某天有位“感染者”尝试影响他，则他当天被成功影响的概 率为1一(1一a),当n=5,m=2,p=0.4时，求在两天后，甲被成功影响的概率（用含a的 式子表示)；基于此模型，简要说明为什么在实际社交网络中，某种消费行为有时会突然 “爆发式”传播 19.(17分)已知f(x)=xe+ae-1. (1)若a≥0，证明：f(x)≥x+lnx恒成立 (2)令gn(x)=f(x)-n,且Hn∈N*,gn(x)有唯一的正零点xn. (i)求a的取值范围； （i)当a=1时，证明：2(n+2-2)<+十…+1<2++2nn. 2 数学试卷(XLM1)第5页（共5页）