导数及其应用：已知单调性求参数、已知极值或极值点求参数、已知最值求参数专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

导数及其应用：已知单调性求参数、已知极值或极值点求参数、已知最值求参数专项训练 导数及其应用：已知单调性求参数、已知极值或极值点求参数、已知最值求参数 专项训练 考点目录 已知单调性求参数 已知极值或极值点求参数 已知最值求参数 考点一 已知单调性求参数 例 1．（2025·广西河池·三模）已知函数是上的增函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 例 2．（25-26高三上·江西赣州·期中）“”是“函数在区间上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例 3．（25-26高二上·云南玉溪·月考）已知函数在上单调递减，则实数a的最小整数是______. 例 4．（25-26高三上·陕西宝鸡·期中）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是______ . 变式1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数在上单调递增的必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高二下·广东肇庆·月考）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是__________． 变式4．（25-26高三上·河北衡水·月考）若函数在上不单调，则实数a的取值范围为______. 考点二 已知极值或极值点求参数 例1．（25-26高二上·陕西榆林·期末）已知函数，若为的极小值点，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．1或3 例2．（2026·湖北十堰·一模）若函数有极值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·山东威海·一模）已知函数有两个极值点，则的取值范围是____________. 例4．（25-26高三上·山西吕梁·期末）已知函数，若是的极小值点，则实数的取值范围为__________． 例5．（25-26高二上·广东广州·期末）已知函数在处有极大值． (1)求实数a的值； (2)求在区间上的最大值与最小值． 例6．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知是函数的一个极值点. (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值. 变式1．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数在处取得极大值，则（   ） A．9或1 B．3 C．2 D．1 变式2．（25-26高三上·陕西榆林·月考）已知函数，若是唯一的极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·广东广州·一模）若是函数的极值点，则______． 变式4．（2026·安徽黄山·一模）若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为__________． 变式5．（25-26高二上·湖南常德·期末）已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极大值，且极大值小于0，求的取值范围． 考点三 已知最值求参数 例1．（25-26高三上·广东深圳·期末）若函数在区间存在最大值，则可以取的值为（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25高二下·上海·月考）已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25高二下·江苏无锡·月考）若函数在上不存在最值，则实数的取值范围为________． 例4．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知函数的最小值是，则实数______． 例5．（25-26高二上·江苏·期末）已知函数. (1)若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若在区间上的最小值为，求实数的值. 例6．（2025·四川德阳·一模）已知函数（，且），函数的图象与的图象关于直线对称. (1)求； (2)若的最小值是2，求. 变式1．（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数在上的最大值为，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 变式2．（2025·重庆·模拟预测）若，的最小值为，则（   ） A． B． C．或 D． 变式3．（2025·江苏扬州·三模）若函数的最小值为2，则实数a的值是__________. 变式4．（24-25高二下·广西桂林·月考）若函数在上的最小值为，则________. 变式5．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知函数． (1)若，求的极值； (2)当时，在上的最小值为，求在区间上的最大值． 变式6．（25-26高三上·安徽·期中）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在区间上的最小值为1，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $导数及其应用：已知单调性求参数、已知极值或极值点求参数、已知最值求参数专项训练 导数及其应用：已知单调性求参数、已知极值或极值点求参数、已知最值求参数 专项训练 考点目录 已知单调性求参数 已知极值或极值点求参数 已知最值求参数 考点一 已知单调性求参数 例 1．（2025·广西河池·三模）已知函数是上的增函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数是上的增函数， 所以恒成立， 不等式化为， 若时，， 则时，，不符合题意； 当时，令， 得，或， 若，即时， 不等式的解为或者， 不符合题意； 当，即时， 不等式恒成立，符合题意； 若，即时， 不等式的解为或者， 不符合题意. 综上知，. 故选： 例 2．（25-26高三上·江西赣州·期中）“”是“函数在区间上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由函数在区间上单调递增， 则恒成立，即恒成立， 因为，所以，则. 所以“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A 例 3．（25-26高二上·云南玉溪·月考）已知函数在上单调递减，则实数a的最小整数是______. 【答案】5 【详解】由题意得的定义域为. 在上恒成立，即在上恒成立. 设，则，. 当时，， 所以在上单调递增，所以，所以， 即实数a的最小整数是5. 故答案为：5 例 4．（25-26高三上·陕西宝鸡·期中）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是______ . 【答案】 【详解】因函数在上单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立， 则，且在上恒成立，也即在上恒成立， 故又当时，不是增函数，故， 即a的取值范围是. 故答案为：. 变式1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数在上单调递增的必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数在上单调递增，得在上恒成立， 则，解得， 因此A是充分条件，B是充要条件，C是既不充分也不必要条件，D是必要不充分条件. 故选：D 变式2．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 所以，解得. 故选：A. 变式3．（24-25高二下·广东肇庆·月考）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【详解】， 由题意可知：在区间有解，整理得， 即不等式 在区间 内有解，因为 ，所以 ， 要使 在 内有解，需 小于 的上界，即 ， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 变式4．（25-26高三上·河北衡水·月考）若函数在上不单调，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【详解】由可得， 依题意，函数在上不单调，则在上有变号零点， 即方程在上有变号的根，也即在上有变号的根， 设，则， 当时，，当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在时取得极大值，又， 作出函数在上的图象.    由图可得，故实数a的取值范围为. 故答案为：. 考点二 已知极值或极值点求参数 例1．（25-26高二上·陕西榆林·期末）已知函数，若为的极小值点，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．1或3 【答案】B 【详解】函数，定义域为. 所以. 由题可知，，即，所以或. 当时，. 令，则或；令，则. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值. 当时，. 令，则或；令，则. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以在处取得极大值. 综上，实数的值为. 故选：B. 例2．（2026·湖北十堰·一模）若函数有极值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则，原函数化为，依题意，函数有极值， 求导得， 令，，求导得， 而，令，得， 当时，，则，得函数在上单调递减， 又时，；时，， 因此存在，使得，即函数，亦即函数存在极值； 当时，，由，得；由，得， 函数在上递减，在上递增，则， 设，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，又，且时，， 则时，，此时函数，即无极值； 当时，，且时，；时，， 此时函数，即存在极值， 所以的取值范围为. 故选：A 例3．（2026·山东威海·一模）已知函数有两个极值点，则的取值范围是____________. 【答案】 【详解】由函数，可得 令，即， 因为函数有两个极值点，可得在内有两个不等实根， 所以由一元二次方程根的分布知，，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 例4．（25-26高三上·山西吕梁·期末）已知函数，若是的极小值点，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【详解】由函数， 可得， （1）当时，，在上单调递增，在上单调递减， 所以为的极大值点，不合题意： （2）当时，令，则或， ①当时，即时，在和上单调递增， 在上单调递减，所以为的极大值点，不合题意； ②当时，即时，，所以在上单调递增，不合题意： ③当时，即时，在和上单调递增， 在上单调递减，故为的极小值点，适合题意， 综上可得，，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 例5．（25-26高二上·广东广州·期末）已知函数在处有极大值． (1)求实数a的值； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)2； (2)，. 【详解】（1）由题意得， 则， 因为在处有极大值，则， 解得或，当时，，则， 令，解得或， 当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 则在处有极大值，满足题意； 当时，，则， 令，解得或， 当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 则在处有极小值，不满足题意，舍去； 综上所述，. （2）由（1）知，，， ，令，解得或（舍去）， 当时，，此时在单调递减， 当时，，此时在单调递增， 则， 且，，则. 例6．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知是函数的一个极值点. (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值. 【答案】(1)减区间为，，增区间为 (2)112 【详解】（1）， ∵是函数的一个极值点， ∴，∴， 经检验满足条件， ∴， 令，解得或；令，解得. 所以函数的减区间为，，增区间为. （2）由（1）知， 又∵在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， ∴函数的极大值为，又， ∴函数在区间上的最大值为. 变式1．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数在处取得极大值，则（   ） A．9或1 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】因为函数，所以， 又因为在处取得极大值，所以，所以或， 当时，，所以单调递减，单调递增， 所以在处取得极小值，不符合题意舍去； 当时，，所以单调递增，单调递减， 所以在处取得极大值，符合题意； 则. 故选：B. 变式2．（25-26高三上·陕西榆林·月考）已知函数，若是唯一的极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，，， 因为是唯一的极值点， 所以当时，无解或解为， 设，则， 令，解得， 所以当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 又，所以，所以， 故选：A． 变式3．（2026·广东广州·一模）若是函数的极值点，则______． 【答案】 【详解】由题意， 因为是的极值点， 所以，解得， 则，所以. 故答案为： 变式4．（2026·安徽黄山·一模）若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【详解】由，求导可得 令，可得：或， 当时，即，恒成立，在定义域上单调递减，不符合题意； 当时，因为，所以， 由，得，由，得或， 即在和单调递减，在单调递增， 即函数在处取得极小值，不符合题意； 当时，因为，所以， 由，得，由，得或， 即在和单调递减，在单调递增， 即函数在处取得极大值，符合题意； 综上实数的取值范围为， 故答案为： 变式5．（25-26高二上·湖南常德·期末）已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极大值，且极大值小于0，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）当时，，则，， 所以， 所以函数在点处的切线方程为， 即； （2）函数的定义域为， 又， 当时，恒成立，在上单调递增. 当时，由，解得， 由，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）当时恒成立，在上单调递增，无极值. 当时，在处取得极大值，极大值为. 令，解得， 所以的取值范围为. 考点三 已知最值求参数 例1．（25-26高三上·广东深圳·期末）若函数在区间存在最大值，则可以取的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 所以当或时，，所以在，上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时取得极大值， 所以要使函数在区间存在最大值， 则可得：，即， 解得：. 故选：C. 例2．（24-25高二下·上海·月考）已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 又， 则在区间上有最大值时有，， 得， 则实数的取值范围是. 故选：B 例3．（24-25高二下·江苏无锡·月考）若函数在上不存在最值，则实数的取值范围为________． 【答案】 【详解】由题可得， 当时，，函数在上单调递减，不存在最值； 当时，令，可得， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 若函数在上不存在最值，则，即， 综上所述，实数的取值范围为. 故答案为：. 例4．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知函数的最小值是，则实数______． 【答案】 【详解】因为，所以， 令，则恒成立， 所以函数在上单调递增，即在上单调递增， 又， 则时，，函数单调递减，时，，函数单调递增， 故函数的最小值是，所以. 故答案为：. 例5．（25-26高二上·江苏·期末）已知函数. (1)若在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若在区间上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意函数的定义域为， 因为在区间上单调递增，所以在上恒成立， 只需，即实数的取值范围是. （2）令，得或， ①当时，恒成立，在单调递增， 所以，不合题意，舍去； ②当时， 所以在 上单调递减，在 上单调递增，所以，解得； ③当时，恒成立，在单调递减， 所以，解得与矛盾，故舍去； 综上所述，. 例6．（2025·四川德阳·一模）已知函数（，且），函数的图象与的图象关于直线对称. (1)求； (2)若的最小值是2，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意得； （2）由题对恒成立， 当时，为增函数，所以函数在上单调递增，且， 则函数无最小值，不符合，所以， 所以为增函数，令， 所以时，时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，又，所以. 综上所述，. 变式1．（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数在上的最大值为，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得， 函数，的导函数，， 若，当时，，函数在上单调递增，的最大值为，不符合题意； 若，当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 由函数在上的最大值为，可得， 所以，又， 所以； 若，当时，，函数在上单调递减， 函数在上的最大值为，满足条件， 所以时，函数在上的最大值为. 综上所述，的范围是. 故选：D. 变式2．（2025·重庆·模拟预测）若，的最小值为，则（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】令，则， 令，则， 当时，，则在上单调递减，显然无最小值，不符； 当时，令，则， 若，时，，则在上单调递增，故，不符； 若，时， 在上，即在上单调递减， 在上，即在上单调递增， 所以，则， 可得，又，可得； 综上，. 故选：A 变式3．（2025·江苏扬州·三模）若函数的最小值为2，则实数a的值是__________. 【答案】1 【详解】由，求导可得， 当时，令，可得， 由可得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故，解得； 当时，，显然函数在上单调递减，故不合题意； 当时，，函数在上单调递减，故不合题意. 故答案为： 变式4．（24-25高二下·广西桂林·月考）若函数在上的最小值为，则________. 【答案】1 【详解】，或；； 所以函数在区间上递减，在区间上递增. 所以当时，函数在区间上取得最小值. 所以函数区间上的最小值为，所以. 故答案为:1. 变式5．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知函数． (1)若，求的极值； (2)当时，在上的最小值为，求在区间上的最大值． 【答案】(1)极大值为，极小值为； (2)； 【详解】（1）当时，． 则，随的变化情况如表所示． 3 — 0 + 0 — 单调递减 单调递增 单调递减 所以的极大值为，的极小值为． （2），因为，所以； 令，得，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值在处取得，最小值在端点处取得； ，； 而，故， 所以在上的最小值为； 解得，代入得， 故在上的最大值为． 变式6．（25-26高三上·安徽·期中）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在区间上的最小值为1，求的值． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）当时，∵，∴，， 函数在点处的切线方程为， ． （2）因为，函数的定义域为，, 当时，，函数在上单调递减； 当时，令，解得或（舍去）, 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增. 综上所述，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）当时，，函数在上单调递减，所以，所以，不合题意舍去； 当时， 若即，函数在上单调递增，所以，所以，符合题意； 若即，函数在上单调递减，所以，所以，不符合题意； 若即，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，不符合题意； 综上，函数在区间上的最小值为1，则. 2 学科网（北京）股份有限公司 $