数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 考点目录 裂项相消法 错位相减法 分组与并项求和 考点一 裂项相消法 例1.(25-26高二上广东广州期末)已知等差数列a}的前n项和为Sn,且a=6,S4=20. (I)求{an}的通项公式： 1 ②设6三，求数列b,}的前n项和7， 【答案】(1)2n; n (2) n+: a,+2d=6 【详解】(1)设数列{an}的公差为d,则 4a+6d=20’ a=2 解得d=2' 所以an=2+2(n-l=2n. (2)由S,=a+”-4,可待3，=aa+1, 2 111 所以b.= n(n+1nn+1’ 所以T=+h++h=1-t{++11=n 2'23 nn+l n+1 例2.(25-26高三下…河南开学考试)在数列{an}中，a1=1,n+1an=na1· (1)求{an}的通项公式： 1 (2)设Sn为an}的前n项和，求数列 的前项和Tn. 【答案】(I)an=n 1 1 (②)2m+1n+2) 【详解】(1)因为n+1刂a,=na1,所以a=8, n+l n 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 所以数列 是常数列， n 又4=1，所以=1，故an=n. 1 (2)由(1)可知，{a,是等差数列，则a2=n+2,S.=na+a_nm+l 2 2 1 1 所以 an+2Snnn+1)(n+2）nn+1(n+1(n+2)' 11.11）, 故7，-22x32x3x4月 1 +…+ nn+(n+1(n+2 1 1 2(n+1(n+2) 例3.(25-26高二下广西桂林·开学考试)已知数列{an}的前项和S。=n2+n (1)求数列{an}的通项公式： 1 (2)求数列 a2-1 的前n项和Tn 【答案】(1)an=2n (②)T= n 2n+1 【详解】(1)因为Sn=n2+n, 所以当n≥2时，an=Sn-Sn1=2n, 又n=1时，a1=S,=2满足上式， 故an=2n “Tn= 1 335 变式1.(2026四川泸州二模)已知{an}是公差不为0的等差数列，a=5,a2是a,和a的等比中项. (1)求{an}的通项公式： (2)记6，=1 ，求数列b,}的前项和S。· anan 【答案】(1)an=2n-1 2 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 @ 【详解】(1)解：设等差数列{an}的公差为d(d≠0)， 因为a=5,可得a,+2d=5, 又因为42是a和a的等比中项，可得a=a,a,即(a,+d)2=a,(a,+4d),即d2=2a,d, 因为d≠0，所以d=2a1,代入a+2d=5,可得a1=1,d=2, 所以an=1+(n-l)×2=2n-1,所以数列{an}的通项公式为an=2n-1 (2)解：由(1)知：0=2m-1,可得6，=1 da西 1 n 变式2.(2026-广东肇庆二模)已知数列{a,的前项和为S,且S2=a 2 (1)求数列{an}的通项公式. 1 (2)设bn=l10g2a。l10g24n1，数列 的前n项和为Tn,证明：Tn<1. 【答案】(1)a,=2 (2)证明见解析 【1》因为2-4-8 所以令m=1,可得2=4， 2 解得a1=2. 当n≥2时， Sn1+2 2 =a-1' 则号=0，-0，即a=2a 所以{a}是首项为2，公比为2的等比数列， 所以数列{an}的通项公式为a,=2” (2)因为an=2", 所以1log2an=l1og22”=n, 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 1 1 即bn=nn+1, b n(n+1)' 1 1 1 所以7,1k223+…+ n(n+1) --》》日 1 n+1 因为meN,所以>0，中1 所以Tn<1. 变式3.(2026贵州模拟预测)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，a=7,a1,a2,a6成等比数列. (I)求{an}的通项公式 ②若，=，，求数列的前顶和工 aan 【答案】(1)an=3n-2 @4 【详解】(1)因为a,a2,a成等比数列，所以a=a,a6, 所以(a,+d)=a,(a,+5d),得3a,d=d2. 因为d≠0，所以3a,=d. 又a3=a1+2d=a1+2x3a1)=7a1=7,解得a1=1,d=3, 所以an=3n-2 0-308 (2)由(1)知b=1= 所以Tn=b+b2+b3+…+bn 0-4-4传02 0-3+ 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 考点二 错位相减法 例1.(25-26高二下黑龙江佳木斯开学考试)已知数列a,}的前项和为S,且S。=)n2+)n (I)求数列{a}的通项公式： ②若6-受，求数列b,的前项和工 【答案】(1)an=n (2)T,=2-n+2 2n 【详解】1)因为数列a的前吸和S.+, 2 所以n=1时，a=S=1, 当时=--传[a-+号-- 又a=1也适合上式， 所以数列{an}的通项公式为an=n; 2由6==n 1)" 1 1 得7，=1×2+2×2京++m 2， 2+…+(n-1x1 2+2x 1 1 作差得： 2mn. 1 -n.- 2=1-(n+2 1~ 2n 2n+ 得：T=2-(n+2) 2· 例2.(25-26高二上·云南曲靖·期末)己知数列an}的前n项和为Sn,且边长为的正方形的面积为Sn· (I)求{an}的通项公式： ②求a,(2"}的前项和工： (3)若数列 1 aa+1 的前项和为H。,证明：H。<3 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 【答案】(1)an=2n-1 (2)Tn=(2n-3×2m*1+6 (3)证明见解析 【详解】(1)由题意得S。=n2. 当n22时，a。=Sn-S-1=n2-(n-1)2=2n-1. 当n=1时，4，=S=1,满足an=2n-1. 故对任意的neN,an=2n-1. (2)由（1)得a,2“=(2m-)-2, 则Tn=2+3×22+5×23+…+2n-1×2”, 2Tm=1×22+3×23+5×2++2n-1×2m1, 两式相减得-Tn=2+2×2+2+…+2"）-(2n-1)×2 =2+2× 2产×0-2）-（2m-l小×2=(-2n+3到×2-6 1-2 所以Tn=2n-3)×2m1+6. 1 _1(1-1 （3)当n22时.aa.+12n+1×2n2n-l(2n+22m-12n+” 所以H=。3 11 当所+追非》a号 故对任意的n∈N,H,<3 1 例3.(2s26商三下贤州东府开学考试)已肉数列a满是4有且a-aaeN)。 1 a +n (1)求证数列 n 是等差数列，并求{an}的通项公式： n…2" (2)求 的前n项和Sn. a. 6 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 【答案】(1) n a 是公差为1，首项为3的等差数列，证明见解析，Q,=” n+2 (2)Sn=(n+1)20+1-2 【详解】(1)由a+= n+la得=8 a +n n+l a+n 所以 +1=”+1,即”+1”=1， antl an antl an n 所以 是公差为1，首项为=3的等差数列， a a, 所以”=3+(n-1×1=n+2, an n 则a,b。n+2 (2)设c.=0-2-(n+2列-2， a 则Sn=3.2+422+…+(n+2)2”, 2Sn=3·22+423+…+n+22m1, 则Sn-2Sn=32-(n+2)21+(22+…+2"), -5.=6-(n+2)-2+421-) 2-1 S。=(n+1)21-2 n…2" 所以 的前n项和Sn=(n+1)2+1-2」 a 变式1.(25-26高三上广西期末)己知等差数列an}的前n项和为Sn,数列{bn}满足Sn·b。=2n3,且3a2=4a,+a ,S2+b2=10,S2>2. (I)分别求{an},{bn}的通项公式： (2)求数列{an·2}的前n项和Tn. 【答案】(1)a=4n-2,bn=n. (2)Tn=12+(4n-6)·2+1. 7 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 [S2b2=16 【详解】(1)由题可得{S+b=10,解得 S2=8 b2=2’ S2>2 [2a+d=8 设{an}的公差为d,则由题有 3a+3d=5a+2d'解得a=2,d=4, 此时a,=2+4n-1=4n-2, 8=2+49-2到n-2nm,6-2”-2 S.2n=n; (2)由(1)可知bn=n,an=4n-2,所以an·2=(4n-22”, 所以Tn=2×2+6×22+10×23+…+(4n-6)×2-+(4n-2)×2"①， 则2Tn=2×22+6×23+10×24+…+(4n-6)×2”+(4n-2)×2②， ①-②得-Tn=2×2+422+23+…+2"）-(4n-2)×2m 22(1-2- =4+4 4n-2×21=-12+(6-4n)×21, 1-2 所以T,=12+(4n-6)·21 变式2.(25-26高三上浙江·期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-n. (1)求数列{an}的通项公式： (2)设bn=（-1)“n(an+1),求数列bn}的前项和T. 【答案】(1)an=2"-1; (2)7=-3n+-(-2+2 9 【详解】(1)由Sn=2an-n,所以当n=1时，S1=2a1-1,解得a1=1, 当n≥2时，Sn1=2an-1-(n-1),与Sn=2an-n相减得an=Sn-Sn-1=2an-2an-1-1, 即n≥2时，an=2an-1+1,所以an+1=2(an-1+1), 所以{a。+l是首项和公比均为2的等比数列，所以a。+1=2×2"--2",即an=2”-1, 所以数列{an}的通项公式为a。=2”-1. 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 (2)因为bn=(-1)”nan+1)=(-1)”n2=n-(-2”, 所以Tn=1(-2+2(-2)2+3(-23+…+n(-2”①， 则-2T,=1(-22+2(-2)3+…+(n-1)(-2)”+n-(-2)1②， 0-②得3江=(-2'+(-2)2+(-2)3+…+(-2-n-(-2” 2-2a-2”-3+2”+2. 1+2 3 所以7=-3n+-(-2+2 9 变式3.(25-26高三上·河南漯河期末)设Sn是数列an}的前项和，已知数列bn}是等差数列，an+Sn=2, b+b。=4b3=20 (1)数列an},bn}的通项公式： (2)记Tn是数列{ab,}的前n项和，证明：Tn<3Sn: 【答案】0)a=26,=2m-1. (2)证明见解析 【详解】(1)当n=1时，a1+S,=2a1=2,a1=1, 当n≥22时，an+Sn=2,.an-1+Sn-1=2, 两式相减得：2a-a,=0,即=， ∴数列an}是等比数列，首项为1， 1 公比为2.a=2 (b+4d)+(b+5d)=20 设数列b,}公差为d,则 4b+2d)=20 b=1 解得d-2所以6=2n-1. 1 1- 2、1 2 2mT,ab 2n-1 (2)由(1)可得Sn= 1 2-1, 1- 2 0 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 …* Tn=1+。+ 222 2小9…21a 2” 11 两式相减得：二工=1+1+ 2t2+t,-2n-1 1 1- =1+2▣-2n-1=3-2n+3 12” 1- 2” 2 7=6-2n+3 21, -3-6-9*}2)0<07<8 10数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 考点目录 裂项相消法 错位相减法 分组与并项求和 考点一 裂项相消法 例1.(25-26高二上广东广州期末)已知等差数列a的前n项和为，且4=6，S=20 (①求a,的通项公式： 1 ②设，S,求数列b的前n项和工、 例2.(25-26高三下-河南开学考试)在数列a,中，4=(n+1刂a,=n0 )求a的通项公式： [1 (2)设Sn为{an}的前n项和，求数列ant2Sn」的前n项和T· 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 例3.(25-26高二下广西挂林开学考试)已知数列a,的前”项和5=心+. ()求数列a,的通项公式： 1 (2)求数列a-1的前n项和Tn 变式1，(2026四川泸州：二模)已知a,是公差不为0的等差数列，4=5,4是“和4的等比中项. (①求a,的通项公式： b=1 (2)记“a,an,求数列{bn的前n项和Sn. 2 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 Sn+2=a4. 变式2.(2026广东肇庆二模)已知数列{a}的前mn项和为S,’且2 (①)求数列a,的通项公式. 11 (2)设bn=log4nlog0,数列b的前n项和为，证明：Tn<1. 变式3.(2026贵州横拟预测)已知等差数列a的公差为(d≠0.a,=7,a,a,a成等比数列. (①)求a。的通项公式： 1 b= (2)若”aa+1,求数列bn}的前n项和Tn. 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 考点二 错位相减法 例1.25-26高二下聚龙江住木新开学考试》已数列a的前n项和为5，且S+. (①)求数列a,的通项公式 2若4=是，求数列b,的前m项和工. 例2.(25-26高二上云南曲靖期未)已知数列0，的前”项和为5。，且边长为”的正方形的面积为S, ①求a,的通项公式： 2求a" 的前，项和工 1 (③)若数列aa,+的前n项和为H,证明：H.< 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 1 例3.(25-26高三下·贵州黔东南开学考试)已知数列a}满足4=3，且 (nt1)a(neN) an+n n (I)求证数列a.是等差数列，并求{a}的通项公式： n·2" (2)求amJ的前n项和Sn· 变式1，(25-26高三上广西期末)已知等差数列a的前n项和为，数列6满足Sb,=2m,且 3a2=4a+aS2+b2=10S2>2 )分别求，b的通项公式 2求数列a,2}的前n项和工 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 变式2.(25-26高三上浙江期未)已知数列a,的前”项和为5，且5，=20，”. )求数列a,的通项公式 2设=(-“川a,+,求数列b的前n项和乙，. 变式3.(25-26高三上河南漯河期末)设S·是数列a的前”项和，已知数列b,是等差数列，4，+S,=2, b+b=4b=20 数列a,6的通项公式 2记乙是数列a,的前”项和，证明：T,<35,: 6 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 考点三 分组与并项求和 例1.(25-26高二上北京丰台期未)已知数列a是等差数列，数列b是等比数列，4=A=1,4,=么， a3+1=b 求a,6的通项公式 ②求数列a,+b,}的前”项和又 变式2.(25-26高三上山东临沂期末)已知等比数列a,的公比为99>0且9≠，等差数列b,的公差为d, 满足条件：4=6=1,4=6a=人 山求数列和}的通项公式 2设9，=0，一，求数列c的前”项和了. > 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 例3.(2026江西上饶一模)已知递增的等差数列a满足4+a,+4,=9,444,=15,数列b的各项均为正 数，4=2，且2b-bb.+2b-b1=0 ()求数列ab. 的通项公式； bn,n为奇数 (2)设9 1一，n为偶数，求数列。的前，项和· an-1'an 2n Ti 变式1，(25-26高二上陕西安康期末)已知数列Q,-2为公比为4的等比数列，记S为数列a的前n项和， 已知46 求a,的最值： 2求5 8 数列：裂项相消法、错位相减法、分组与并项求和专项训练 变式2.( 25-26高二上云南玉溪期末)已知数列a满足：4=2,01+0,01-2a,=0 1 (1)证明： a。 为等比数列，并求数列{an}的通项公式： 1 (2)若数列an」其前n项和为Sn,求Sn 变式3.(25-26高二上江苏南通期末)已知0是公差不为0的等差数列，a=1,且4,4,4成等比数列 )求a,的通项公式： 2)若4=6-6=a,求数列-1少rb的前20项的和。 9