数列：利用an与Sn的关系求数列通项公式、构造法求数列通项专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

数列：利用an与Sn的关系求数列通项公式、构造法求数列通项专项训练 数列：利用an与Sn的关系求数列通项公式、构造法求数列通项专项训练 考点目录 利用an与Sn的关系求数列通项公式 构造法求数列通项 考点一 利用an与Sn的关系求数列通项公式 例1．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·开学考试）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为数列的前项和， 所以时，， 当时，， 又也适合上式， 所以数列的通项公式为； （2）由， 得， ， 作差得： 得： 得：． 例2．（25-26高三下·江西·开学考试）已知数列的前n项和为，且． (1)证明：数列是等比数列． (2)求的通项公式． (3)已知求数列的前2n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：当时，，解得＝6， 当时，由，可得， 两式相减得，所以， 因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列． （2）由（1）可知，即． （3）当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 故 ． 例3．（2026·江西九江·一模）已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等差数列； (2)若，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）已知， 所以， 所以， 两边同除以，得， 因为，所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）可知，所以， 当时，， 时，也满足， 因为，所以，解得， 又，所以的最大值为. 例4．（2026·湖北十堰·一模）已知数列的前项和. (1)证明：是等比数列； (2)若，分别是等差数列的第1项与第3项，求的公差. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）数列的前项和，当时，， 即，而，解得， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得，则，， 所以等差数列的公差. 变式1．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知数列的前项和为，，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，，若，求满足条件的最大整数. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知， 当时，，可得， 即，当时，可得，满足； 所以数列是以为首项，公比的等比数列， 即数列的通项公式为. （2）由（1）可得， 则， 若，则， 易知随着的增大而增大， 当时，， 当时，， 所以满足条件的最大整数为. 变式2．（25-26高三上·福建福州·月考）已知数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求使的最小的正整数n的值. 【答案】(1) (2)8 【详解】（1）由，可得， 当时，有， 两式作差得，所以时，， 时，符合上式， 所以数列的通项公式为. （2）， 所以， ， 两式相减得 ， 所以，随着正整数的增大而增大， 由，得， 时，， 时，， 所以使的最小的正整数n的值为8. 变式3．（25-26高二上·广东广州·期末）记为等比数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由， 当时，， 两式相减得，，即， 因为数列为等比数列，所以数列的公比为， 当时，，而，解得， 所以. （2）由（1）知，，则， 所以， 则， 两式相减得，， 则. 变式4．（25-26高二上·湖北黄石·期末）已知数列满足. (1)求数列的前100项和； (2)求数列的前20项和. 【答案】(1)100； (2)204. 【详解】（1）在数列中，， 当时，， 两式相减得，则，而满足上式， 因此，， ，， 所以数列的前100项和为. （2）由（1）知，，则， 所以数列的前20项和为 . 考点二 构造法求数列通项 例1．（25-26高二上·陕西榆林·期末）已知首项为2的数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为，所以. 由，得. 所以数列是首项为4，公比为2的等比数列. 所以， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，所以， 所以. 所以. 随着的增大而增大，所以当时，取得最小值，最小值为. 因为，所以. 综上，. 例2．（25-26高二上·安徽·期末）已知正项数列满足且， (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得，可知数列是常数列， 所以，所以，所以； （2）由（1）可得， 则 例3．（24-25高二上·海南海口·月考）已知数列是公差大于的等差数列，，，若数列前项和为，并满足，. (1)求数列，的通项公式. (2)若，求数列前项的和. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设等差数列公差为，， 整理可得，解得（负值舍去）， 则； 时，，解得， 当，， 整理可得，则， 又，则是首项为，公比为的等比数列， 则， 于是. （2）由（1）得，， 则， ， ， 即 例4．（24-25高二上·湖南永州·期末）在数列，中，，，，， (1)求数列，的通项公式； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【详解】（1）因为，， 所以数列是首项为2，公差为3的等差数列， 所以，所以， 由，可得， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，所以； （2）由，得到， 令，则， 当时，，得到， 当时，，所以，又， 当为偶数时，，得到， 当为奇数时，，得到， 所以； （3） ， 所以，所以， ，故得证. 变式1．（25-26高二上·湖北恩施·月考）已知数列满足：，且. (1)求； (2)记，数列的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）数列中，由，得， 因此数列是以为首项，2为公差的等差数列，则， 所以. （2）由（1）知，， 则， 于是， 两式相减得 ， 因此，由，得， 依题意，对恒成立， 当时，，则； 当时，不等式恒成立； 当时，，则，于是， 所以实数的取值范围是. 变式2．（25-26高二上·河北张家口·月考）已知满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)已知数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1），两边同时乘以得， 令， ，变形得， 又， ， ， ，明显有， 数列为等比数列； （2）由（1）得， 则， 所以， 两式相减得： ， ，明显， . 变式3．（25-26高二上·河南周口·月考）已知数列满足:. (1)证明:是等比数列; (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由得, , 又, 故是以为首项,为公比的等比数列. （2）由（1）知,, 则, 故 . 变式4．（25-26高二上·辽宁沈阳·月考）已知数列的前项和为，，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，解得. 因为， 所以. 又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以， 所以. （2）由（1）得，所以， 所以， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $数列：利用an与Sn的关系求数列通项公式、构造法求数列通项专项训练 数列：利用an与Sn的关系求数列通项公式、构造法求数列通项专项训练 考点目录 利用an与Sn的关系求数列通项公式 构造法求数列通项 考点一 利用an与Sn的关系求数列通项公式 例1.2526商二下展龙江佳木斯开学考试)已知数列a,的前7硕和为S,且S,+. 1 2 (1)求数列{an}的通项公式： ②若么-会，求数列6，的前项和7. 例2.(25-26高三下·江西·开学考试)已知数列an}的前n项和为Sn,且Sn=2a,+4n-10. (1)证明：数列{an-4是等比数列. (2)求{an}的通项公式. 3an,n是偶数， (3)己知bn= a,-,是奇数， 求数列{b.}的前2n项和B2m· 2” 数列：利用an与Sn的关系求数列通项公式、构造法求数列通项专项训练 例3.(2026江西九江一模)已知数列{an}的前项和为Sn,a1=1,且Sn=na1-n(n+) (1)证明： 是等差数列； (2)若Sn<2an+7,求的最大值. 例4.(2026湖北十堰一模)己知数列{an}的前项和Sn=3-3an (1)证明：{an}是等比数列； (2)若4， 9分别是等差数列6}的第1项与第3项，求6的公差4 2 数列：利用an与Sn的关系求数列通项公式、构造法求数列通项专项训练 变式1.(25-26高三上山东青岛期末)己知数列{an}的前项和为Sn,a1=2,且满足an1=Sn+2 (1)求数列an}的通项公式： 2设b,=+1,T,=b+b,++b,若T,<2026,求满足条件的最大整数n a。 变式2.(25-26高三上福建福州月考)已知数列{a}满足9+4+++=n 246 2n (I)求数列{an}的通项公式： (2)若bn=a·2”-,数列{b,}的前n项和为n,求使T,>2025的最小的正整数n的值 数列：利用an与Sn的关系求数列通项公式、构造法求数列通项专项训练 变式3.(25-26高二上广东广州期末)记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3Sn+an1=1. (I)求{an}的通项公式： (2)设bn=（-1)”nan,求数列{bn}的前n项和Tn. 变式4.(25-26高二上·湖北黄石·期末)已知数列an}满足a,+2a2+…+2-a,=n…2m1 (1)求数列{(-1)”an}的前100项和； (2)求数列an-20的前20项和. 数列：利用an与Sn的关系求数列通项公式、构造法求数列通项专项训练 考点二 构造法求数列通项 例1.(25-26高二上陕西榆林·期末)己知首项为2的数列{an}满足an1=2an+2 (1)求数列{an}的通项公式： ②i记么“n8,a+2ga+2,数列的前吸和为，果正：名无<号 1 例2.(25-26高二上安徽期末)己知正项数列an}满足nlna+1=(n+1)lna,且a,=3, (1)求数列{an}的通项公式： ②设6=_2，数列b的前项和为S a. 5 数列：利用an与Sn的关系求数列通项公式、构造法求数列通项专项训练 例3.(24-25高二上海南海口月考)已知数列{an}是公差大于0的等差数列，a2=3,a·a4=35,若数列{bn}前n 项和为Sn,并满足Sn=2bn+n,n∈N. (1)求数列{an},{bn}的通项公式 (2)若cn=a,-1b,-,求数列{cn}前n项的和Tn. 例4.(2425商二上潮南水州期未)在数列a,6中，44=1，a-2-点=2边+1. (I)求数列{a},{b}的通项公式 (2)若不等式2+元(-)(b,+1a,≥1对任意neN恒成立，求实数元的取值范围： (3)证明： ,1<5 白bb+112 6 数列：利用an与Sn的关系求数列通项公式、构造法求数列通项专项训练 变式1.(25-26高二上湖北恩施月考)已知数列{an}满足：a1=2a,+22，且a,=2 (1)求a; ②记么=-（受多付，数列的前项和为，若不等式+子地对eN恒成立，求实数的取值花围 3 变式2.(2526商二上-河北张家月考)已知a,满足4-写a+a=2aeN) 1 (1)证明：数列{an}为等比数列； ②)已知数列{m,}的前项和为S,证明：S< 数列：利用an与Sn的关系求数列通项公式、构造法求数列通项专项训练 变式3.(25-26高二上河南周口月考)已知数列{an}满足：a=3,a1=3an-4n+2,n∈N (I)证明：{a。-2n}是等比数列： (②)求数列{a,}的前n项和Sn 变式4.(25-26高二上辽宁沈阳月考)已知数列{an}的前n项和为Sn,S,=2a-3,且an=2an-1-2(n≥2) (I)求数列{an}的通项公式： (2)记bn=log2an1-2,求数列{bn}的前项和T.