专题03平行线中的拐点模型鸡翅模型 2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（人教版）

专题03 平行线中的拐点模型 鸡翅模型 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 平行线拐点之鸡翅模型 模型概述 已知直线a∥b，点P不在直线a，b之间 图示 模型结论 ∠2=∠1-∠3夹角总等于大角减小角. ∠2=∠3=∠1 尖角总等于大角减小角. 证明 如图, 过点P作PQ∥a. ∴∠1=∠QPE. ∵PQ∥a,a∥b, ∴PQ∥b, ∴∠3=∠4, 又∵∠2+∠4=∠QPE, ∴∠3+∠2=∠1, ∴∠2=∠1-∠3 如图,过点P作PQ∥a. ∴∠1=∠4. ∵PQ∥a, a∥b, ∴PQ∥b, ∴∠3=∠QPE, 又∵∠2+∠4=∠QPE, ∴∠2+∠1=∠3, ∴∠2=∠3-∠1 1．①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①过点E作直线EFAB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论； ②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断； ③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A； ④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可． 【详解】解： ①如图1，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°， ∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°， ∴∠A+∠AEC+∠C=360°， 故①正确； ②如图2，∵∠1是△CEP的外角， ∴∠1＝∠C+∠P， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠1， 即∠P＝∠A﹣∠C， 故②正确； ③如图3，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2， ∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°， 即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A， 故③错误； ④如图4，∵AB∥EF， ∴∠α＝∠BOF， ∵CD∥EF， ∴∠γ+∠COF＝180°， ∵∠BOF＝∠COF+∠β， ∴∠COF＝∠α﹣∠β， ∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°， 故④正确； 综上结论正确的个数为3， 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 2．如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，    (1)求证：： (2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出　 　． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点C作，则，根据平行线的性质可得出、，据此可得； （2）过点Q作，则，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出，结合（1）的结论可得出； （3）由（2）的结论可得出①，由可得出②，联立①②可求出的度数，再结合（ 1）的结论可得出的度数，将其代入中可求出结论． 【详解】（1）在图①中，过点C作，则．    ∵， ∴， ∴． （2）在图2中，过点Q作，则．    ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、添加辅助线构建平行线． 3．（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．    【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）图（3），图（4） 【分析】（1）过点P作，得到，由，，得到，得到，由此得到； （2）过点P作，由，得到，从而得到结论； （3）由，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得与的关系． 【详解】（1）解：猜想． 理由：过点P作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）． 理由：如图，过点P作，    ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图（3）：． 理由：∵，    ∴， ∵， ∴， 即； 如图（4）：． 理由：∵，    ∴， ∵， ∴， 即． 【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解题的关键． 4．（1）已知：如图（a），直线．求证：； （2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？ 【答案】（1）见解析；（2）当点C在AB与ED之外时，，见解析 【分析】（1）由题意首先过点C作CF∥AB，由直线AB∥ED，可得AB∥CF∥DE，然后由两直线平行，内错角相等，即可证得∠ABC+∠CDE=∠BCD； （2）根据题意首先由两直线平行，内错角相等，可得∠ABC=∠BFD，然后根据三角形外角的性质即可证得∠ABC-∠CDE=∠BCD． 【详解】解：（1）证明：过点C 作CF∥AB， ∵AB∥ED， ∴AB∥ED∥CF， ∴∠BCF=∠ABC，∠DCF=∠EDC， ∴∠ABC+∠CDE=∠BCD； （2）结论：∠ABC-∠CDE=∠BCD， 证明：如图： ∵AB∥ED， ∴∠ABC=∠BFD， 在△DFC中，∠BFD=∠BCD+∠CDE， ∴∠ABC=∠BCD+∠CDE， ∴∠ABC-∠CDE=∠BCD． 若点C在直线AB与DE之间，猜想, ∵AB∥ED∥CF， ∴ ∴. 【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键，注意掌握辅助线的作法． 5．已知，点为平面内一点，于． （1）如图1，点在两条平行线外，则与之间的数量关系为______； （2）点在两条平行线之间，过点作于点． ①如图2，说明成立的理由； ②如图3，平分交于点平分交于点．若，求的度数． 【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）①见解析；②105° 【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可； （2）①过点B作BG∥DM，根据平行线找角的联系即可求解；②先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°． 【详解】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O， ∵AM∥CN， ∴∠C=∠AOB， ∵AB⊥BC， ∴∠A+∠AOB=90°， ∴∠A+∠C=90°； （2）①如图2，过点B作BG∥DM， ∵BD⊥AM， ∴DB⊥BG， ∴∠DBG=90°， ∴∠ABD+∠ABG=90°， ∵AB⊥BC， ∴∠CBG+∠ABG=90°， ∴∠ABD=∠CBG， ∵AM∥CN，BG∥DM， ∴∠C=∠CBG， ∠ABD=∠C； ②如图3，过点B作BG∥DM， ∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD， ∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE， 由（2）知∠ABD=∠CBG， ∴∠ABF=∠GBF， 设∠DBE=α，∠ABF=β， 则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG， ∠GBF=∠AFB=β， ∠BFC=3∠DBE=3α， ∴∠AFC=3α+β， ∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°， ∴∠FCB=∠AFC=3α+β， △BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得： 2α+β+3α+3α+β=180°， ∵AB⊥BC， ∴β+β+2α=90°， ∴α=15°， ∴∠ABE=15°， ∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用． 6．（1）如图①，，如果，，求的度数．请将下面的求解过程填写完整． 解：过点作直线，使． 因为，所以．（ ） 又因为，所以_____． 因为，且， 所以_____．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以_____． 所以． （2）如图②，，如果，，请问等于多少度？写出求解过程． （3）填空：如图③，，请用一个等式表示、与三个角之间的关系：_____． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质； （1）根据平行线的性质和判定进行填写即可； （2）过点作直线，使，根据平行线的性质和判定进行解题即可； （3）过点作直线，使，根据平行线的性质和判定进行解题即可． 【详解】解：（1）过点作直线，使． 因为， 所以．（两直线平行，内错角相等） 又因为， 所以． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以． 所以． （2）如图．过点作直线，使． 因为，所以． 又因为，所以． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以． 所以 ∴ （3）如图．过点作直线，使． 因为，所以． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以 ∴ 所以 7．材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题．为此，老师给出如下问题： 如图①，，，交于点Q，交于点P．请判断与有怎样的数量关系； 如图②，明明同学通过在点F处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】 （1）请判断与有怎样的数量关系，并选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 （2）如图④，，反向延长的平分线，交直线于点F，点H在直线上，连接，若，，求的度数； 【变式探究】 （3）如图⑤，，平分，且，，请直接写出的度数． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）选择明明同学，由，，得，由平行线的性质得，，，进而即可证明；选择欣欣同学，由平行线的性质得，，推出，进而即可证明； （2）过点P作，根据平行线的性质求出和，进而即可求解； （3）过点P作，过点N作，延长交于点Q，则，根据平行线的性质得，，进而证明，根据推出，进而可得，再根据平行线的性质得，，通过等量代换即可求解． 【详解】解：（1）选择明明同学，证明过程如下： ，， ， ， ， ， ， ； 选择欣欣同学，证明过程如下： ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图 ，过点P作， 则， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， 即的度数为； （3）如图 ，过点P作，过点N作，延长交于点Q， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， 即的度数是． 8．已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，满足． (1)如图1，求证：．下面是小益给出的证明，请你根据他的思路，将横线上的内容补充完整： 证明：（已知）； （______）． ∵EFGH（已知）； ∴______（两直线平行，同位角相等）． ∴∠1＝∠2（    ）． (2)如图2，过F点作交GH延长线于点M，作、的角平分线交于点N，交于点P，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，请问是否存在为定值，使得平分？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；；等量代换 (2) (3)存在，定值为 【分析】本题考查角平分线的性质、平行线的性质、垂线的性质，熟练掌握平行线的性质，作出辅助平行线是解题的关键． （1）根据平行线的性质，结合等量代换进行证明即可； （2）过点N作，设、，进而得到，结合垂线的性质得到，进而得到，从而得到； （3）由结合（2）中的结论，得、，进而得到，及，由角平分线的性质得到，再根据平行线的性质得到，进而得到，从而计算的值． 【详解】（1）证明：（已知）； （两直线平行，内错角相等）． （已知）； （两直线平行，同位角相等）． （等量代换）， 故答案为：两直线平行，内错角相等；；等量代换； （2）解：如图2，过点N作， ， ， 、， 、是、的角平分线， ∴、， 设、， 、， ， ， 、， ， ， ， ； （3）解：由（2）知，设、， ， ， ， ， ， 、， ， ， 、， 平分， ， ， ， ， ． 9．【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（ ） ∵．（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵．（角的和差定义） ∴ ．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则 ； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；；（2）82；（3），见解析；（4）131 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过P作，根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得，进而根据“两直线平行，内错角相等”得，由此可得； （2）过点P作（点N在点P的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案； （3）过点P作（点H在点P的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系； （4）由角平分线定义设，，则，，进而得，，由（1）的结论得，，再根据得，进而得，据此即可得出的度数． 【详解】解：（1）如图，过P作， ∵，（辅助线的作法） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（角的和差定义） ∴．（等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；； （2）过点P作（点N在点P的右侧），如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：82； （3），，之间的数量关系是：；理由如下： 过点P作（点H在点P的右侧），如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，，之间的数量关系是：； （4）∵的平分线和的平分线交于点Q， ∴设，， ∴，， ∴，， 由（1）的结论得：， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：131． 10．如图1所示，，的两边与，分别交于，两点．    (1)若，，求的度数； (2)如图2所示，直线，相交于点，且满足，： ①当时，若，求的度数； ②试探究与的数量关系． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点B作，则，由平行线的性质可得，据此可得答案； （2）①如图所示，过点B作，则，由平行线的性质可推出；再求出，；过点D作，则，则，据此由角的和差关系可得答案；②仿照（2）①求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点B作，    ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，过点B作，    ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴； 如图所示，过点D作，则， ∴， ∴ ； ②如图所示，过点B作，过点D作，则，    同理可得，， ∵，， ∴， ∴ ． 11．如图，，点在之间，过作射线分别交直线于点，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若的平分线和的平分线交于点，交于， ①求度数； ②当时，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，设运动时间为秒，，当与三角形的一边垂直时，求出的值． 【答案】(1) (2)①；②当与三角形的一边垂直时，或24或30 【分析】本题考查平行线的性质与判定，对顶角相等，垂直的定义； （1）过点作，得到，结合，得到，则，即可得到； （2）①由（1）得，得到，再由角平分线得到，过点作，可以得到； ②当时，，，，，，，再分，，三种情况讨论，分别画出图形，结合图形列出方程求解即可． 【详解】（1）解：过点作，如图1所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①由（1）得， ∵，， ∴， 整理得， ∵的平分线和的平分线交于点， ∴，， ∴， 过点作，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ②当时，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 当时，如图，此时，， ∴， 解得； 当时，交于点，如图，此时，， ∵， ∴， 解得； 当时，交直线于点，如图，此时，， 由（1）同理可得， ∵，， ∴， 解得； 综上所述，当与三角形的一边垂直时，或24或30． 12．（1）基础问题：如图（1），若，，，则的度数为____________°． （2）问题迁移：如图（2），若，点P在的上方，问：、、之间有什么数量关系？请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，，的角平分线和的平分线交于点G，则____________°（用含有、的代数式表示）． 【答案】（1）90；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的计算，灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质与判定可求解； （2）过P点作，则，可得，进而可得，即可求解； （3）过点G作的平行线，利用平行线的判定与性质、角平分线的性质求解即可． 【详解】解：（1）如图1，过点作． ， ， ∵， ，． ， 故答案为：90； （2）．理由如下： 如图2，过点作， ， ， ，， ； （3）如图3，过点G作的平行线． ，， ， ，， 又的平分线和的平分线交于点G，， ，， 由（2）得，， ∴， ， ． 故答案为：． 13．如图1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． (1)若，则的度数为 ； (2)探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，点M，N分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分． ①如图2，若点均在直线和之间，平分，且，求的度数； ②如图3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分．设，且，请直接写出的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的有关计算，掌握知识点是解题的关键． （1）过点P作，则，可知，即可求出的度数； （2）过点P作，则，可知，进而可知与之间的数量关系； （3）①由（2）得，由角平分线可知，，同（2）可得，计算即可； ②如图，过点P作，则有，由角平分线可知，，同（2）可得，根据平行线的判定和性质得到，进而计算即可． 【详解】（1）解：如图1，过点P作， 故答案为：； （2）解：；理由如下： 如图1，过点P作， ， ； （3）解：①由（2）得． 平分平分 ． 同（2）可得 ； ②．理由如下： 如图，过点P作，则有． 平分 ． 平分 ． 同（2）可得， ， ． 14．如图，已知，点在上方，连接，．． (1)如图（1），若，求的度数； (2)如图（2），与互相垂直，垂足为，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，周角，掌握知识点是解题的关键． （1）过点作，求出，推导出，得到，则，即可解答； （2）过点作，得到，，推导出，，则，即可解答． 【详解】（1）解：如图（1），过点作， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图（2），过点作， ， ， ， ， ，， ， ． 15．已知直线，为平面内一点，连接、． (1)如图1，已知，，求的度数； (2)如图2，猜想、、之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，点在射线的反向延长线上，过点作，，点在直线上，作的平分线，交于点．若，，的度数为________． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点P作，根据平行线的性质可得，即可求解； （2）过点P作，根据平行线的性质可得，即可求解； （3）过点P作，根据平行线的性质可得，由（2）得：， 从而得到，，设，则，，再由，，可得，然后结合平分，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，过点P作， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，过点P作， ∴， ∴， 由（2）得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为： 16．已知直线，点分别在直线上，且点为平面内一点． (1)如图1，点在直线、之间，连接，，若，，求的度数； (2)如图2，点在直线的上方，连接，试求出之间的数量关系． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． （1）过点作，可知，根据两直线平行内错角相等及同旁内角互补可知，，即可求出的度数； （2）过点作，可知，根据平行线的性质可知，，即可得到之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图1，过点作， 因为， 所以， 所以，， 所以， 所以； （2）解：如图2，过点作， 因为， 所以， 所以，， 所以， 所以． 17．如图，已知直线，直线分别交直线a、b于点A、B、C、D，点P在直线上，连接． (1)如图1，当点P在A、B两点之间运动时，之间有何种数量关系，请说明理由； (2)如图2，当点P在的延长线时，之间的数量关系为： ；如图3，当点P在的延长线时，之间的数量关系为： ； (3)如图4，过点D作于E，若，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)； (3)10或2 【详解】（1）解：，理由如下： 如图1，过点P作， ∵直线， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2所示，当点P在的延长线上时，过点P作， ∵直线， ∴， ∴， ∴； 如图3所示，当点P在的延长线上时，过点P作， ∵直线， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；； （3）解：如图，当点P在的延长线上时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图，当点P在的延长线上时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长为10或2． 18．【知识背景】我们经常过某一点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． (1)如图1，已知，，，求的度数； (2)如图2，已知，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质求角度问题，数形结合，熟记平行线的判定与性质是解决问题的关键． （1）过点作，如图所示，由平行线的性质得到，再由平行线的判定与性质即可得到答案； （2）过点作，如图所示，由平行线的性质得到，再由平行线的判定与性质即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作，如图所示： ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点作，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ， ． 19．【特例探究】如图1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． （1）若，则的度数为____________； 【总结归纳】（2）探究与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）已知，点M，N分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分． ①如图2，若点均在直线和之间，平分，且，求的度数； ②如图3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分．设，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；见解析；（3）①；② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的有关计算． （1）过点P作，则，可知，即可求出的度数； （2）过点P作，则，可知，进而可知与之间的数量关系； （3）①由（2）得，由角平分线可知，，同（2）可得，计算即可； ②如图，过点P作，则有，由角平分线可知，，同（2）可得，根据平行线的判定和性质得到，进而计算即可． 【详解】解：（1）如图1，过点P作， 故答案为：； （2）； 理由：如图1，过点P作， ， ； （3）①由（2）得． 平分平分 ． 同（2）可得 ； ②． 如图，过点P作，则有． 平分 ． 平分 ． 同（2）可得， ， ． 20．已知，直线，为平面内一点，点E，F分别在直线，上，连接，，． (1)如图（1），若点在直线，之间，当，时，求的度数； (2)如图（2），若点在直线，之间，、分别是的平分线，、分别是的平分线，猜想与的数量关系以及与的数量关系，并说明理由； (3)如图（3），若点在直线的下方，、分别是的平分线，平分，平分，的反向延长线与直线相交于点，当时，直接写出的度数． 【答案】(1)度 (2)，，见解析 (3)， 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，利用拐点作出辅助线是解题的关键． （1）过点向右作，利用平行线的判定和性质求解即可； （2）设，，过点作，求得，得到，，过点作，过点Q向左作，据此即可求得，； （3）设，，求得，过点P向右作，过点Q向左作，同（2）的方法即可求得，，再求解即可． 【详解】（1）解：过点向右作， ， ， ∵，， ∴， ， ， ； （2）解：，， 设，， 分别是的平分线， ，， ，， 过点作， ， ∵，，， ∴， ， ， 分别是的平分线， ，， 过点作，过点Q向左作， 同理，可得， ， ，； （3）解：，， 过程如下： 设，， 分别是的平分线， ，， ，， 分别是的平分线所在直线相交于点， ，， ， ， 过点P向右作， ∵， ∴， ，， ， 过点Q向左作，同理可得： ， ， ， ， ，． 21．【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图1，，点在直线，之间，请说明． 解：如图2，过点作，所以． 因为，，所以，所以， 所以． 可以运用以上方法解答下列问题： 【类比应用】 （1）如图3，，点在直线，之间，平分，平分． （i）若，求的度数． （ii）若，求的度数．（用含的式子表示） 【拓展探索】 （2）如图4，，点在的上方，的平分线与的平分线所在的直线交于点，求的度数． 【答案】（1）（i），（ii）；（2） 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，添加辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）（i）过点作，可得，进而可得．由，即可得出结论； （ii）过点作，可得，则,，所以，由，， ，进而 可得． （2）过点作，则，， 继而可得，再根据，结合，进行计算即可得出结论． 【详解】解：（1）（i）如图1，过点作，则． 因为，所以，所以，所以． 因为， 所以． （ii）如图2，过点作，则． 因为，所以，所以，所以． 因为平分，平分， 所以，， 所以． 由（1）可得． 因为，所以，所以， 所以． （2）如图3，过点作，则，即． 因为，所以，所以，即， 所以， 同理（1）可得：． 因为平分，平分， 所以，． 因为， 所以， 所以． 22．如图1，已知直线，点E在直线上，点F在直线上，在直线、同侧有一点P，连结、． (1)①若，，求 ． ②设、，则 ．（用含α、β的代数式表示） (2)如图2，取直线、间一点G，过点G、E作射线，过点G、F作射线．若平分，平分，试猜想与的数量关系，并说明理由． (3)在（2）的条件下，Q为直线上一点，过点Q作交直线于点H，若，，，请直接写出 ． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义． （1）①过P作，根据平行线的性质求解即可； ②同①求解即可； （2）过G作，根据平行线的性质求出与和之间的关系，即可求出与的关系； （3）由（2）可以求得的度数，根据平行线的性质求出，的度数，从而求得的度数． 【详解】（1）解：①过P作，如图： ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； ②由①知，； 故答案为：； （2）解：，理由如下： 过G作，如图： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 23．已知，点是平面内一点． (1)如图1，点在直线，之间，请你求出，，之间的数量关系； (2)如图2，点在直线，的下方，请你求出，，之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． （1）过点作，可知，根据两直线平行内错角相等可知，，即可得到，，之间的数量关系； （2）过点作，可知根据平行线的性质可知，，即可得到，，之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图1，过点作， 因为， 所以， 所以，， 所以； （2）解：如图2，过点作， 因为， 所以， 所以，， 所以， 所以． 24．经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路．已知，点E，F分别在直线，上，点M在，之间． (1)如图1，过点M作，利用平行线的性质可以得出，，之间的数量关系为____________________ (2)①如图2，若，，试判断与的位置关系，并说明理由； ②如图3，若，点F在点E的右侧，为直线下方一点，平分，平分，求的大小． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；② 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的性质． （1）过点作，得到，推出，，得到； （2）①应用（1）的结论，求出，即可解决问题； ②应用（1）的结论得到，由三角形外角的性质求出，由角平分线定义得到，因此． 【详解】（1）如图1，过点作， ， ． ，， ， ， ，，之间的数量关系为：， 故答案为：； （2）①如图2，，理由如下： ，， ， 由（1）知：， ； ②如图3，由（1）得：，     平分， ， ， ， ， 平分， ， ． 25．已知，，点C在上方，连接、． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点作交的延长线于点F，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，垂线，解答的关键是结合图形，分析清楚角与角之间的关系． （1）过点C作，可得，再由平行线的性质得，由可求得； （2）过点C作，可证得，由，结合垂线，从而可求得； （3）延长交于点Q，过点G作，不难证得，再由角平分线的定义得，，可得，结合（2）即可求解． 【详解】（1）解：过点C作，如图1， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由： 过点C作，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （3）解：延长交于点Q，过点G作，如图3， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 由（2）可得：， ∴， 即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平行线中的拐点模型 鸡翅模型 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 平行线拐点之鸡翅模型 模型概述 已知直线a∥b，点P不在直线a，b之间 图示 模型结论 ∠2=∠1-∠3夹角总等于大角减小角. ∠2=∠3=∠1 尖角总等于大角减小角. 证明 如图, 过点P作PQ∥a. ∴∠1=∠QPE. ∵PQ∥a,a∥b, ∴PQ∥b, ∴∠3=∠4, 又∵∠2+∠4=∠QPE, ∴∠3+∠2=∠1, ∴∠2=∠1-∠3 如图,过点P作PQ∥a. ∴∠1=∠4. ∵PQ∥a, a∥b, ∴PQ∥b, ∴∠3=∠QPE, 又∵∠2+∠4=∠QPE, ∴∠2+∠1=∠3, ∴∠2=∠3-∠1 1．①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，    (1)求证：： (2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出　 　． 3．（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．    4．（1）已知：如图（a），直线．求证：； （2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？ 5．已知，点为平面内一点，于． （1）如图1，点在两条平行线外，则与之间的数量关系为______； （2）点在两条平行线之间，过点作于点． ①如图2，说明成立的理由； ②如图3，平分交于点平分交于点．若，求的度数． 6．（1）如图①，，如果，，求的度数．请将下面的求解过程填写完整． 解：过点作直线，使． 因为，所以．（ ） 又因为，所以_____． 因为，且， 所以_____．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以_____． 所以． （2）如图②，，如果，，请问等于多少度？写出求解过程． （3）填空：如图③，，请用一个等式表示、与三个角之间的关系：_____． 7．材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题．为此，老师给出如下问题： 如图①，，，交于点Q，交于点P．请判断与有怎样的数量关系； 如图②，明明同学通过在点F处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】 （1）请判断与有怎样的数量关系，并选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 （2）如图④，，反向延长的平分线，交直线于点F，点H在直线上，连接，若，，求的度数； 【变式探究】 （3）如图⑤，，平分，且，，请直接写出的度数． 8．已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，满足． (1)如图1，求证：．下面是小益给出的证明，请你根据他的思路，将横线上的内容补充完整： 证明：（已知）； （______）． ∵EFGH（已知）； ∴______（两直线平行，同位角相等）． ∴∠1＝∠2（    ）． (2)如图2，过F点作交GH延长线于点M，作、的角平分线交于点N，交于点P，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，请问是否存在为定值，使得平分？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 9．【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（ ） ∵．（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵．（角的和差定义） ∴ ．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则 ； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ． 10．如图1所示，，的两边与，分别交于，两点．    (1)若，，求的度数； (2)如图2所示，直线，相交于点，且满足，： ①当时，若，求的度数； ②试探究与的数量关系． 11．如图，，点在之间，过作射线分别交直线于点，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若的平分线和的平分线交于点，交于， ①求度数； ②当时，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，设运动时间为秒，，当与三角形的一边垂直时，求出的值． 12．（1）基础问题：如图（1），若，，，则的度数为____________°． （2）问题迁移：如图（2），若，点P在的上方，问：、、之间有什么数量关系？请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，，的角平分线和的平分线交于点G，则____________°（用含有、的代数式表示）． 13．如图1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． (1)若，则的度数为 ； (2)探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，点M，N分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分． ①如图2，若点均在直线和之间，平分，且，求的度数； ②如图3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分．设，且，请直接写出的度数（用含α的代数式表示）． 14．如图，已知，点在上方，连接，．． (1)如图（1），若，求的度数； (2)如图（2），与互相垂直，垂足为，求的度数． 15．已知直线，为平面内一点，连接、． (1)如图1，已知，，求的度数； (2)如图2，猜想、、之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，点在射线的反向延长线上，过点作，，点在直线上，作的平分线，交于点．若，，的度数为________． 16．已知直线，点分别在直线上，且点为平面内一点． (1)如图1，点在直线、之间，连接，，若，，求的度数； (2)如图2，点在直线的上方，连接，试求出之间的数量关系． 17．如图，已知直线，直线分别交直线a、b于点A、B、C、D，点P在直线上，连接． (1)如图1，当点P在A、B两点之间运动时，之间有何种数量关系，请说明理由； (2)如图2，当点P在的延长线时，之间的数量关系为： ；如图3，当点P在的延长线时，之间的数量关系为： ； (3)如图4，过点D作于E，若，，求的长． 18．【知识背景】我们经常过某一点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． (1)如图1，已知，，，求的度数； (2)如图2，已知，，，求的度数． 19．【特例探究】如图1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． （1）若，则的度数为____________； 【总结归纳】（2）探究与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）已知，点M，N分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分． ①如图2，若点均在直线和之间，平分，且，求的度数； ②如图3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分．设，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 20．已知，直线，为平面内一点，点E，F分别在直线，上，连接，，． (1)如图（1），若点在直线，之间，当，时，求的度数； (2)如图（2），若点在直线，之间，、分别是的平分线，、分别是的平分线，猜想与的数量关系以及与的数量关系，并说明理由； (3)如图（3），若点在直线的下方，、分别是的平分线，平分，平分，的反向延长线与直线相交于点，当时，直接写出的度数． 21．【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图1，，点在直线，之间，请说明． 解：如图2，过点作，所以． 因为，，所以，所以， 所以． 可以运用以上方法解答下列问题： 【类比应用】 （1）如图3，，点在直线，之间，平分，平分． （i）若，求的度数． （ii）若，求的度数．（用含的式子表示） 【拓展探索】 （2）如图4，，点在的上方，的平分线与的平分线所在的直线交于点，求的度数． 22．如图1，已知直线，点E在直线上，点F在直线上，在直线、同侧有一点P，连结、． (1)①若，，求 ． ②设、，则 ．（用含α、β的代数式表示） (2)如图2，取直线、间一点G，过点G、E作射线，过点G、F作射线．若平分，平分，试猜想与的数量关系，并说明理由． (3)在（2）的条件下，Q为直线上一点，过点Q作交直线于点H，若，，，请直接写出 ． 23．已知，点是平面内一点． (1)如图1，点在直线，之间，请你求出，，之间的数量关系； (2)如图2，点在直线，的下方，请你求出，，之间的数量关系． 24．经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路．已知，点E，F分别在直线，上，点M在，之间． (1)如图1，过点M作，利用平行线的性质可以得出，，之间的数量关系为____________________ (2)①如图2，若，，试判断与的位置关系，并说明理由； ②如图3，若，点F在点E的右侧，为直线下方一点，平分，平分，求的大小． 25．已知，，点C在上方，连接、． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点作交的延长线于点F，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $