1.3乘法公式随堂检测 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 1.3 乘法公式随堂检测 （适用北师大版新教材数学2025-2026学年七年级下册） 一、单选题 1．从图1到图2的变化过程中可以发现的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平方差公式，分别表示出图形的面积，再结合变化过程分析即可解题． 【详解】解：由图知，图的面积为， 图的面积为， 结合图1到图2的变化过程可以发现， 故选：B． 2．下列各多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式的应用，根据平方差公式为逐项判断即可． 【详解】解：选项A：，相同项为，相反项为与，符合平方差公式形式，能用平方差公式计算； 选项B：， 两项均互为相反数，无相同项，不符合平方差公式形式，不能用平方差公式计算； 选项C：，相同项为，相反项为与，符合平方差公式形式，能用平方差公式计算； 选项D：，相同项为，相反项为与，符合平方差公式形式，能用平方差公式计算． 故选：B． 3．如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形拼成一个大正方形图案．分别用a，b（）表示小长方形的长和宽，已知，阴影部分小正方形的边长为3，则下列关系式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用数形结合分析问题是解题的关键． 根据完全平方公式及图形的特点找到长度与面积的关系即可依次判断． 【详解】解：由图可知大正方形图案边长为，面积为， 、阴影部分小正方形的边长为，则面积为，故A正确，不符合题意； 、，故B正确，不符合题意； 、由，， 得：，故C错误，符合题意； D、得：，则，故D正确，不符合题意； 故选：C． 4．将边长为的正方形剪去一个边长为的正方形（），如图1，将它剪去补成一个长方形如图2，从图1到图2可得到的公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式几何意义的理解、整式运算与几何图形结合等知识点，正确写出图1和图2剪完剩下的图形的面积是解题的关键． 先分别写出图1和图2剪完剩下的图形的面积，再根据两种情况的面积是相等得到等式即可解答． 【详解】解：如图1：将边长为的正方形剪去一个边长为的正方形（），剩下的图形的面积是； 如图2：将它剪去补成一个长方形如图2的面积为， 所以得到的公式是． 故选：C． 5．已知代数式是一个完全平方式，则t的值是（   ） A．5 B． C．5或 D．或 【答案】D 【分析】利用完全平方公式的结构特征求解． 【详解】解：∵代数式是完全平方式， 又∵， ∴， ∴， 当时，解得； 当时，解得； ∴t的值为或． 6．若实数满足，则（    ）． A．2026 B．1013 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的应用，求代数式值．可通过换元法结合完全平方公式的变形求解，核心是利用完全平方公式中与、的关系推导计算． 【详解】解：设，， ∵， 又∵，且由完全平方公式得， ∴将，代入得：， 即， 解得， ∴， 即， 故选：D． 7．若，则的值是（   ） A． B． C．1 D．25 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘以多项式，通过展开左边多项式并与右边比较系数，解出m和n的值，再计算即可． 【详解】解： ． ． ∴，解得；，解得； ∴， 故选C． 8．如图，在一个大长方形中放入三个边长互不相等的小正方形、、，现只知道正方形的面积，对于两个阴影部分周长的差及面积的差是否为定值，甲乙两位同学分别进行了探究甲的观点：一定能求出两个阴影部分周长的差；乙的观点：一定能求出两个阴影部分面积的差，则下列说法正确的是（ ） A．甲不正确，乙正确 B．甲正确，乙不正确 C．甲乙都不正确 D．甲乙都正确 【答案】B 【分析】此题主要考查整式的加减、列代数式、去括号，解题的关键是根据图形的特点列出代数式求解． 设三个正方形的边长依次为a，b，c，重叠的小长方形的长和宽分别为，知道的面积可求出边长，表示出阴影部分的周长差即可． 【详解】解：如图，设三个正方形的边长依次为，重叠的小长方形的长和宽分别为， 阴影部分的周长差为： ． 阴影部分面积的差为： ． 所以甲的观点正确，乙的观点不正确． 故选：B． 9．如图所示，两个正方形的泳池，面积分别是和，两个泳池的面积之和，点是线段上一点，设，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式．设，从而可得，，，再利用完全平方公式可得，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：设， 由题意得：，，， 即， ， ， 所需防滑瓷砖的面积为， 故选：B． 10．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了运用平方差公式和完全平方公式进行计算，根据平方差公式和完全平方公式对各选项逐一计算判断即可，熟练掌握运用平方差公式和完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：A、，故选项计算错误，不符合题意； B、，故选项计算错误，不符合题意； C、，故选项计算错误，不符合题意； D、，故选项计算正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题 11．如图，正方形，正方形的边长分别为、，点在边上，这两个正方形的面积之差为51，且，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查代数式计算与面积问题，根据题干信息得出，之间的关系是解题的关键． 设正方形，正方形的边长分别为，根据面积之差为51，可得，结合，可得，即可求解． 【详解】解：设正方形，正方形的边长分别为， ∵两正方形面积之差为51， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：3 12．若，，则的值为__________． 【答案】5 【分析】本题考查平方差公式，整体代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．利用平方差公式将已知条件转换，代入求解即可． 【详解】解： ． 已知 ，， ∴ ， ∴． 故答案为 ：5． 13．简便运算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将转化为，利用完全平方公式计算； （2）将转化为，转化为，利用平方差公式计算后再进行整式的加减运算． 【详解】（1）解： （2）解： 14．若关于的整式是某一个整式的平方，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键． 根据完全平方公式的结构特点，设原式为某个整式的平方，通过比较系数建立方程组求解 【详解】设整式为，则其平方为，与原式比较系数，得：，，，， 由得， 由且得， 代入得， 将代入得， 即， 解得， 则， 故答案为：． 15．已知都是实数，，则的最小值是___________． 【答案】 2023 【分析】本题考查了二元二次代数式的最值求解，解题的关键是通过配方将代数式转化为完全平方式与常数的和，利用完全平方式的非负性求解． 先对含的项进行配方，再对含的项进行配方，得到两个非负完全平方式与常数的和，当两个完全平方式同时为0时，代数式取得最小值． 【详解】解： 根据完全平方式的非负性，，，当且仅当两个完全平方式都为0时，取得最小值． 由得，将代入，解得． 此时的最小值为． 16．若，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，代数式求值，先进行多项式的乘法运算，再把已知代入计算即可求解，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 17．若实数满足，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，整式的乘法，由已知等式通过代数变形对降次思想计算． 【详解】解：由， 可得，， 则， 故答案为：． 18．小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，，，在同一直线上．若，且两个正方形面积之和为56，则阴影部分的面积是_____． 【答案】22 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，设，得到，，将图形补成边长为的大正方形，利用分割法结合完全平方公式，进行求解即可． 【详解】解：设，由题意，得：，， ∴， ∴， 如图，将图形补成边长为的大正方形， 则：阴影部分的面积为： ； 故答案为：22． 三、解答题 19．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的乘法运算，合并同类项，根据完全平方公式，平方差公式进行化简，再合并同类项，最后将字母的值代入，即可求解． 【详解】解： ． 当 ， 时，原式． 20．【探究】（1）如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______（用含a，b的等式表示）； 【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为______； ②计算：． 【拓展】（3）数学公式可以逆用，有时能达到简便运算的效果，根据上面用到的数学公式，进行计算： ． 【答案】（1）；（2）①4，②1；（3） 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是运用平方差公式计算． （1）通过观察图①和图②阴影部分面积，利用正方形和长方形面积公式得出乘法公式． （2）①，将已知等式变形为平方差公式形式，再代入已知值求解．②把式子变形为平方差公式形式进行简便计算． （3）利用平方差公式将每个括号内式子展开，然后约分得出结果． 【详解】解：（1）图①中阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即； 图②中长方形的长为，宽为，面积为． ∴得到乘法公式：． （2）①∵， ∴， 即， ∵， ∴， 则． ② ； （3） ． 21．我们把多项式、叫做“完全平方式”，它们能分解为．利用完全平方公式可以解决求式子最值的问题．请阅读以下例题并完成后面的问题． 例题：代数式有最大值还是最小值？若有，请求出这个最值．解题步骤如下： 因为所以 所以的最小值为4 问题： (1)下列多项式；②；③；④中，是完全平方式的有_____．（请填写序号） (2)给加上一个单项式，使得到的多项式是一个完全平方式．你加上的单项式是_____．（填一个即可） (3)代数式有最大值还是最小值？若有，请求出这个最值． 【答案】(1)②④ (2) (3)有最小值，最小值为2 【分析】本题考查完全平方式和完全平方公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，首尾的2倍放中央，进行判断即可； （2）根据完全平方式的特点，进行作答即可； （3）仿照题干方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：在；②；③；④中，是完全平方式的有②④； 故答案为：②④； （2），故可以加上，变成一个完全平方式； 故答案为：； （3）有最小值： ， ∵， ∴， ∴有最小值为2． 22．“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图（1）是一个大正方形被分割成了边长分别为a、b的两个正方形和长、宽分别为a、b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式______； 利用上述公式解决下列问题： 【直接应用】 （2）若，，则______； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）如图（2），点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为11，的面积为7，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）用2种方法表示出大正方形的面积即可得出结果； （2）利用完全平方公式进行计算即可； （3）利用完全平方公式变形计算即可； （4）设正方形的边长为，正方形的边长为，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：（1）由图可知：． （2）∵，， ∴． （3）由题意，得： ． （4）设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 23．阅读以下解法： “若满足，求的值”．解：设，则，则，即． 解决以下问题： (1)若满足，则_______； (2)若满足，求的值； (3)如图，在长方形中，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式与图形的面积，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． ()设，利用题干中给出的方法，结合完全平方公式，求解即可； ()设，利用完全平方公式变形求解即可； ()利用阴影部分的面积等于两个正方形的面积和，列出代数式，再利用完全平方公式，进行求解即可． 【详解】（1）解：设，则， ∴根据完全平方公式：代入数值： ， 所以， 故答案为：； （2）解：设，则， ∴根据完全平方公式：代入数值：， 解得：， ∴； （3）解：如图可得：， 设，则，且， 根据完全平方公式：， ∴． 24．某学校分为初中部和小学部，初中部的学生人数比小学部多．做广播操时，初中部排成的是一个规范的长方形方阵，每排人，站有排；小学部站的方阵，排数和每排人数都是． (1)试求该学校初中部比小学部多多少名学生？ (2)当，时，试求该学校一共有多少名学生？ 【答案】(1)该学校初中部比小学部多名学生； (2)该学校一共有名学生． 【分析】（1）利用“方阵总人数每排人数排数”，分别表示出初中部和小学部的总人数，再求两者的差值； （2）将初中部和小学部的总人数相加，得到表示学校总人数的代数式，再将，代入计算． 【详解】（1）解： ， 答：该学校初中部比小学部多名学生； （2）解： ， 当，时， 原式 （名）， 答：该学校一共有名学生． 试卷第18页，共18页 试卷第17页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 1.3 乘法公式随堂检测 （适用北师大版新教材数学2025-2026学年七年级下册） 一、单选题 1．从图1到图2的变化过程中可以发现的结论是（    ） A． B． C． D． 2．下列各多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形拼成一个大正方形图案．分别用a，b（）表示小长方形的长和宽，已知，阴影部分小正方形的边长为3，则下列关系式中错误的是（   ） A． B． C． D． 4．将边长为的正方形剪去一个边长为的正方形（），如图1，将它剪去补成一个长方形如图2，从图1到图2可得到的公式为（    ） A． B． C． D． 5．已知代数式是一个完全平方式，则t的值是（   ） A．5 B． C．5或 D．或 6．若实数满足，则（    ）． A．2026 B．1013 C． D． 7．若，则的值是（   ） A． B． C．1 D．25 8．如图，在一个大长方形中放入三个边长互不相等的小正方形、、，现只知道正方形的面积，对于两个阴影部分周长的差及面积的差是否为定值，甲乙两位同学分别进行了探究甲的观点：一定能求出两个阴影部分周长的差；乙的观点：一定能求出两个阴影部分面积的差，则下列说法正确的是（ ） A．甲不正确，乙正确 B．甲正确，乙不正确 C．甲乙都不正确 D．甲乙都正确 9．如图所示，两个正方形的泳池，面积分别是和，两个泳池的面积之和，点是线段上一点，设，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 10．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，正方形，正方形的边长分别为、，点在边上，这两个正方形的面积之差为51，且，则的长为________． 12．若，，则的值为__________． 13．简便运算： (1) (2) 14．若关于的整式是某一个整式的平方，则的值是_____． 15．已知都是实数，，则的最小值是___________． 16．若，，则______． 17．若实数满足，则_______． 18．小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，，，在同一直线上．若，且两个正方形面积之和为56，则阴影部分的面积是_____． 三、解答题 19．先化简，再求值：，其中，． 20．【探究】（1）如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______（用含a，b的等式表示）； 【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为______； ②计算：． 【拓展】（3）数学公式可以逆用，有时能达到简便运算的效果，根据上面用到的数学公式，进行计算： ． 21．我们把多项式、叫做“完全平方式”，它们能分解为．利用完全平方公式可以解决求式子最值的问题．请阅读以下例题并完成后面的问题． 例题：代数式有最大值还是最小值？若有，请求出这个最值．解题步骤如下： 因为所以 所以的最小值为4 问题： (1)下列多项式；②；③；④中，是完全平方式的有_____．（请填写序号） (2)给加上一个单项式，使得到的多项式是一个完全平方式．你加上的单项式是_____．（填一个即可） (3)代数式有最大值还是最小值？若有，请求出这个最值． 22．“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图（1）是一个大正方形被分割成了边长分别为a、b的两个正方形和长、宽分别为a、b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式______； 利用上述公式解决下列问题： 【直接应用】 （2）若，，则______； 【类比应用】 （3）若，求的值； 【知识迁移】 （4）如图（2），点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为11，的面积为7，求的长度． 23．阅读以下解法： “若满足，求的值”．解：设，则，则，即． 解决以下问题： (1)若满足，则_______； (2)若满足，求的值； (3)如图，在长方形中，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积． 24．某学校分为初中部和小学部，初中部的学生人数比小学部多．做广播操时，初中部排成的是一个规范的长方形方阵，每排人，站有排；小学部站的方阵，排数和每排人数都是． (1)试求该学校初中部比小学部多多少名学生？ (2)当，时，试求该学校一共有多少名学生？ 试卷第6页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $