数学一模突破卷（广东省卷专用）学易金卷：2026年中考第一次模拟考试

2026年中考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在有理数中，最小的数是（　　） A． B．﹣2 C．﹣0.7 D．0 【分析】需依据“负数小于0和正数，两个负数比较时绝对值大的反而小”的规则来判断． 【解答】解：∵﹣2＜﹣0.7＜0， ∴最小的数是﹣2， 故选：B． 【点评】本题考查有理数的大小比较，解题的关键是掌握有理数大小比较的方法． 2．以下AI软件的LOGO是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的概念逐项判断即可． 【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 3．下列计算正确的是（　　） A．a5•a2＝a10 B．x8÷x2＝x6 C．（2ab）3＝6a3b3 D．2a+3a＝5 【分析】根据同底数幂的乘法，除法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项法则进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、a5•a2＝a7，故A不符合题意； B、x8÷x2＝x6，故B符合题意； C、（2ab）3＝8a3b3，故C不符合题意； D、2a+3a＝5a，故D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4．若a＜b，则下列式子中正确的是（　　） A．a﹣2＞b﹣2 B．3a＞3b C．﹣2a＞﹣2b D． 【分析】根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、∵a＜b， ∴a﹣2＜b﹣2， 故A不符合题意； B、∵a＜b， ∴3a＜3b， 故B不符合题意； C、∵a＜b， ∴﹣2a＞﹣2b， 故C符合题意； D、∵a＜b， ∴， 故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了不等式的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 5．如图是某班级的一次数学测试成绩统计图（说明：图中的50～60表示50≤x＜60，其余类推），则下列说法不正确的是（　　） A．参加测试的总人数为40人 B．人数最少的得分段的频数为2 C．得分在60～70分的人数最多 D．本次测试的及格（≥60分）率为90% 【分析】根据频数分布直方图逐一分析判断即可． 【解答】解：A、4+12+14+8+2＝40（人），故参加测试的总人数为40人，说法正确，故选项不符合题意； B、人数最少的得分段90～100的频数为2，说法正确，故选项不符合题意； C、得分在70～80分的人数最多为14人，原说法错误，故选项符合题意； D、本次测试的及格率为：100%＝90%，说法正确，故选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了频数（率）分布直方图，关键是从直方图中正确获取信息． 6．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿，若设有牧童x人，根据题意，可列方程为（　　） A．6x+14＝8x﹣2 B．6x﹣14＝8x+2 C．6x+14＝8x+2 D．6x﹣14＝8x﹣2 【分析】设有牧童x人，则有竹竿（6x+14）根，也可表示为（8x﹣2）根，则6x+14＝8x﹣2，于是得到问题的答案． 【解答】解：设有牧童x人， 根据题意得6x+14＝8x﹣2， 故选：A． 【点评】此题重点考查一元一次方程的应用，正确地用代数式表示竹竿的根数是解题的关键． 7．已知圆锥的底面半径为6，母线长为10，则圆锥的侧面积是（　　） A．30 B．60π C．60 D．30π 【分析】根据扇形面积公式：SlR计算即可． 【解答】解：∵圆锥的底面半径为6， ∴圆锥的底面周长为12π，即圆锥的侧面展开图扇形的弧长为12π， ∴圆锥的侧面积为：12π×10＝60π， 故选：B． 【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键． 8．已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A（﹣3，2），下列说法正确的是（　　） A．正比例函数y1的解析式是 B．两个函数图象的另一个交点的坐标为（2，﹣3） C．正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而减小 D．当x＜﹣3或0＜x＜3时，y2＜y1 【分析】根据A（﹣3，2），利用待定系数法分别求出正比例函数y1和反比例函数y2的解析式可判断A；联立y1、y2即可求出另一交点的坐标，可判断B；根据正比例函数和反比例函数的性质可判断C；根据图象可知当x＜﹣3或0＜x＜3时，反比例函数y2在正比例函数y1图象下方，即此时y2＜y1，可判断D． 【解答】解：∵正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A（﹣3，2）， ∴正比例函数y1的解析式为，反比例函数y2的解析式为． 令， 解得x1＝3，x2＝﹣3， 把x＝3代入，得：y＝﹣2， ∴两个函数图象的另一个交点的坐标为（3，﹣2）， ∴A、B选项说法错误，不符合题意； ∵在正比例函数中，y随x的增大而减小； 在反比例函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∴C选项说法错误，不符合题意； ∵由两个函数的图象可知，当x＜﹣3或0＜x＜3时，y2＜y1， ∴D选项说法正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查正比例函数和反比例函数的图象和性质，正确求出正比例函数和反比例函数的解析式，并掌握其图象和性质是解题关键． 9．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA于点D，BC＝8，OD＝3，⊙O所在的平面内有一点P，若OP＝4，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定 【分析】连接OC，根据垂径定理和勾股定理可得OC的长，再根据⊙O的半径为r和点P到圆心的距离OP＝d的大小关系判断即可． 【解答】解：如图，连接OC， ∵OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA于点D，BC＝8，OD＝3， ∴CD4， 在Rt△OCD中，OC5， ∵⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为4，4＜5， ∴点P在⊙O内， 故选：A． 【点评】本题考查勾股定理，垂径定理以及点与圆的位置关系，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r； ①点P在圆内⇔d＜r． 10．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，O是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上，且∠DOE＝90°，DE交OC于P，下列结论正确的共有（　　） ①图中的全等三角形共有3对； ②AD＝CE； ③∠CDO＝∠BEO； ④OC＝DC+CE； ⑤△ABC的面积是四边形DOEC面积的2倍． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质得出∠A＝∠B＝45°，CO＝AO＝BO，CO⊥AB，∠ACO＝∠BCO＝45°，求出∠A＝∠ECO，∠B＝∠DCO，∠COA＝∠COB＝90°，∠AOD＝∠COE，∠COD＝∠BOE，根据ASA推出△COE≌△AOD，△COD≌△BOE，根据全等三角形的性质得出S△COE＝S△AOD，AD＝CE，∠CDO＝∠BEO，再逐个判断即可． 【解答】解：∵在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，O是AB边上的中点， ∴∠A＝∠B＝45°，CO＝AO＝BO，CO⊥AB，∠ACO＝∠BCO＝45°， ∴∠A＝∠ECO，∠B＝∠DCO，∠COA＝∠COB＝90°， ∵∠DOE＝90°， ∴∠AOD＝∠COE＝90°﹣∠COD，∠COD＝∠BOE＝90°﹣∠COE， 在△COE和△AOD中 ∴△COE≌△AOD（ASA）， 同理△COD≌△BOE， ∴S△COE＝S△AOD，AD＝CE，∠CDO＝∠BEO，△ABC的面积是四边形DOEC面积的2倍， 在△AOC和△BOC中 ∴△AOC≌△BOC， ∵AD＝CE， ∴CD+CE＝AC， ∵∠COA＝90°， ∴CO＜AC， ∴OC＝DC+CE错误； 即①②③⑤正确，④错误； 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，能求出△COE≌△AOD和△COD≌△BOE是解此题的关键． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 11．图①是用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知AB∥CD，c表示吸管．若∠1＝76°，则∠2＝　 　 度． 【分析】依据题意，由已知条件AB∥CD，可得∠1＝∠3＝76°，又由于∠2与∠3是邻补角，则可得∠2的度数． 【解答】解：如图所示， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠3＝76°． ∵∠2与∠3是邻补角， ∴∠2+∠3＝180°． ∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣76°＝104°． 故答案为：104． 【点评】本题考查了平行线的性质及邻补角的性质，需要熟悉角之间的转化是解题的关键． 12．如图，把R1，R2两个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U＝IR1+IR2．当R1＝47.3，R2＝40.7，I＝2.5时，U的值为　 　 ． 【分析】根据利用提公因式法进行因式分解再进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：当R1＝47.3，R2＝40.7，I＝2.5时， U＝IR1+IR2 ＝I（R1+R2） ＝2.5×（47.3+40.7） ＝2.5×88 ＝220， 故答案为：220． 【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握提公因式法进行因式分解是解题的关键． 13．如图，菱形ABCD中，BC＝10，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，交边BC于点E，连接EO，若，则菱形的面积为 　 　 ． 【分析】由菱形的性质可得，AC⊥BD，BD＝2BO，由直角三角形的性质可得，，由勾股定理求出，即可得出，最后由菱形的性质计算即可得解． 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴，AC⊥BD，BD＝2BO， ∵AE⊥BC，， ∴，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为， 故答案为：60． 【点评】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 14．已知m，n为常数，且（x+3）（x+m）＝x2+nx﹣24为恒等式，则m+n＝　 　 ． 【分析】由（x+3）（x+m）＝x2+（m+3）x+3m＝x2+nx﹣24，再比较等式两边对应项的系数，建立方程求解． 【解答】解：∵（x+3）（x+m）＝x2+（m+3）x+3m＝x2+nx﹣24， ∴m+3＝n，3m＝﹣24， 解得n＝﹣5，m＝﹣8， ∴m+n＝﹣8+（﹣5）＝﹣13， 故答案为：﹣13． 【点评】本题考查的是多项式的乘法运算，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 15．如图，在△ABC中，∠C＝60°，点D是BC边上一动点（不与B，C重合），连接AD，以AD为边在其右侧作等边△ADE，DE交AC于点F．那么的最大值为　 ． 【分析】先证明△DAC∽△FAD，所以，则，从而得，所以，要使的值最大，需AD有最小值，根据垂线段最短可得，当AD⊥BC时，AD最小，然后通过勾股定理，直角三角形性质即可求解． 【解答】解：在△ABC中，∠C＝60°，点D是BC边上一动点（不与B，C重合），连接AD， 由题意可得： ∴∠ADE＝60°＝∠C， 又∠DAC＝∠FAD， ∴△DAC∽△FAD， ∴， ∴AC×AF＝AD2，即， ∵CF＝AC﹣AF， ∴， ∴， ∵要使的值最大， ∴需AD有最小值，根据垂线段最短可得，当AD⊥BC时，AD最小，如图， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°， ∴， ∵AC2＝AD2+CD2， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短，，掌握知识点的应用是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．解分式方程：． 【分析】先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可． 【解答】解：， 方程两边同时乘（x﹣3），得x﹣3+（x+1）＝x， 去括号，得x﹣3+x+1＝x， 解得：x＝2， 检验：把x＝2代入x﹣3≠0， ∴分式方程的解为x＝2． 【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 17．如图，已知点E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于点F．若AD＝12，DE＝5，AF＝4，求BF的长． 【分析】根据等角的余角相等得到△BAF∽△AED，进而得到即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠D＝90°， ∴∠DAE+∠BAF＝90°， ∵BF⊥AE， ∴∠BFA＝90°， ∴∠ABF+∠BAF＝90°， ∴∠DAE＝∠ABF， ∴△BAF∽△AED， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定及性质，关键是知识点的灵活应用． 18．已知，如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°， （1）作∠B的角平分线BD交AC于点D；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） （2）若CD＝3，AB＝10，求△ABD的面积． 【分析】（1）根据角平分线的作图步骤画出图形即可． （2）根据角平分线的性质和三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：（1）作图如下： （2）过点D作DE⊥AB于点E， ∵∠C＝90°，BD平分∠ABC， ∴DE＝DC＝3， ∴S△ABDAB•DE15． ∴△ABD的面积为15． 【点评】本题考查尺规作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键． 19．解一元二次方程x2﹣2x＝3时，两位同学的解法如下： 甲同学：x2﹣2x＝3 x（x﹣2）＝3 x＝1或x﹣2＝3 ∴x1＝1或x2＝5 乙同学：a＝1，b＝﹣2，c＝3 b2﹣4c＝4﹣12＝﹣8， ∵b2﹣4ac＜0， ∴此方程无实数根． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法　 　 ，乙同学的解法　 　 ．（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程2x（x﹣2）＝1． 【分析】（1）利用因式分解法解方程可对解法一进行判断；根据公式法可对解法二进行判断； （2）利用配方法求解即可． 【解答】解：（1）甲同学的解法不正确，第一步需因式分解为（x+1）（x﹣3）＝0，再进行解答； 乙同学的解法不正确，c值应为﹣3，判别式不是b2﹣4c， 故答案为：不正确；不正确； （2）2x（x﹣2）＝1， ∴2x2﹣4x＝1， ∴， ∴x2﹣2x+11， ∴， ∴， ∴，． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式，一元二次方程的一般形式，熟知解一元二次方程的配方法是解题的关键． 20．天府新区某学校计划开展兴趣课程，包括A（艺术素养课程），B（科学探索课程），C（体育运动课程），D（社会实践课程），E（传统文化课程）．为了解学生对五类课程的喜爱程度，学校抽取了一部分学生进行投票，要求必须选且只能选一项，根据投票结果绘制了条形统计图和扇形统计图，如图： 根据图中信息，请回答下列问题： （1）参加投票的学生共　 　 人； （2）估计全校1500人中参加D（社会实践课程）的学生有多少人？ （3）现小欢、小乐从最受欢迎的B，C，E三类课程中任选一类课程参加，用树状图或列表法求两人恰好参加同一类课程的概率． 【分析】（1）根据参加E课程的人数以及所占的百分比求出参加投票的学生数即可； （2）用1500乘以参加D课程的学生占比计算即可； （3）列表可得出所有等可能的结果数以及两人恰好选中同一门校本课程的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）参加投票的学生：60÷30%＝200（人）． 故答案为：200； （2）1500225（人）， 答：估计全校1500人中参加D（社会实践课程）的学生有225人； （3）列表如下： B C E B （B，B） （B，C） （B，E） C （C，B） （C，C） （C，E） E （E，B） （E，C） （E，E） 共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一门校本课程的结果有3种， ∴两人恰好选中同一门校本课程的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 21．2025年1月17日，世界第一高桥花江峡谷大桥合龙，预计2025年内实现通车，通车后，花江峡谷大桥安龙岸与六枝岸之间的车程将从原来的1小时缩短为2分钟．小明看到这则新闻特别开心，小明家在A地，奶奶家在B地，过去爸爸开车带他回奶奶家每次都要在距他家150公里的C地服务区休息一下再走，等花江峡谷大桥建成通车后就不必再绕行到C地了，小明画出了自己家到奶奶家的简易行程图，如图所示．若已知∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，请你用自己学过的数学知识帮小明算一算：（参考数据：1.41，1.73，结果精确到个位） （1）大桥建成以后A、B两地直接通行的距离； （2）求大桥建成以后与之前A﹣C﹣B的路线相比，从A地到B地的路程将缩短约多少公里． 【分析】（1）过点C作 CD⊥AB 于点D，解直角三角形求出AD、BD，即可得大桥建成以后A、B两地直接通行的距离； （2）解直角三角形求出BC，可得大桥建成以后与之前A﹣C﹣B的路线长，即可求解． 【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，如图所示， 则∠CDA＝∠CDB＝90° ∵AC＝150，∠CAB＝30° ∴在Rt△CDA 中， （公里）， （公里）， ∵∠ABC＝45° ∴在Rt△CBD中，BD＝CD＝75（公里）， ∴AB＝AD+DB＝7575≈205（公里）． 答：A、B两地直接通行的距离约为205公里． （2）∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，BD＝CD， ∴在Rt△CBD中，（公里）， ∴（公里）． 答：大桥建成以后，从A地到B地的路程将缩短约51公里． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 22．【问题呈现】在学习《圆》这一章时，小明遇到了这样一个问题：如图1，已知⊙O半径是3，点A是⊙O上的一个动点，点P是平面内一点，OP＝8，求证：线段PA的最大值为11． 【问题解决】经过分析，如图2，小明将PO延长交⊙O于点A，并猜想此时PA最大，为了验证这个猜想，小明想利用如下方法来解决，下面是部分证明过程，请补全缺失的部分． 证明：如图2，在⊙O上任意取一点B（点B不与点A重合），连结PB、OB， 证明过程缺失 则PA＞PB， 则此时，PA最大，最大值为8+3＝11． 【问题延申】如图3，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点D是边AC上的一个动点，连结DB，过点A作AF⊥BD于点F，连结CF，求线段CF的最小值 ． 【拓展提升】如图4，某景区有一片油菜花地，形状由△ABC和以BC为直径的半圆两部分构成，已知BC＝80米，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，为了方便游客游览，该景区计划对油菜花地进行改造，根据设计要求，在半圆上确定一点E，沿AE修建小路，并在AE中点F处修建一个凉亭，沿CF修建仿古长廊，由于仿古长廊造价很高，为了控制成本，景区要求仿古长廊CF的长度尽可能短，若不考虑其他因素，则仿古长廊CF最短为多少米？（结果保留根号） 【分析】【问题解决】根据三角形的三边关系证明即可； 【问题延申】以AB为直径作⊙O，连接OC交BD于F，由点圆关系得此时CF最小，根据勾股定理计算OC，再求CF即可； 【拓展提升】取AC、AB中点M、N，连接MN，以MN为直径作⊙O，连接OC交⊙O于点P，作OQ⊥BC于Q，连接CE、BE，利用中位线定理求出∠MFN＝90°，证明出F在以MN为直径的圆上，即在⊙O上，由点圆关系得，CP为CF的最小值，根据勾股定理计算OC，再求CP即可． 【解答】【问题解决】证明：如图2，在⊙O上任意取一点B（点B不与点A重合），连结PB、OB， 在△OBP中，OB+OP＞PB， ∵OA＝OB， ∴OA+OP＞PB， 则PA＞PB， 则此时，PA最大，最大值为8+3＝11； 【问题延申】解：如图3， ∵AF⊥BD， ∴∠AFB＝90°， ∴点F在以AB为直径的圆上，以AB为直径作⊙O，连接OC交BD于F，由点圆关系得此时CF最小， ∵AB＝6， ∴OB＝3＝OF， ∵BC＝8， ∴OC， ∴CF3， 故答案为：3； 【拓展提升】解：如图4，取AC、AB中点M、N，连接MN， 以MN为直径作⊙O，连接OC交⊙O于点P， 作OQ⊥BC于Q，连接CE、BE， ∵点F为AE中点， ∴MF、NF分别为△ACE和△ABE的中位线， ∴MF∥CE，NF∥BE， ∴∠AFM＝∠AEC，∠AFN＝∠AEB， ∵BC为半圆直径， ∴∠BEC＝90°， ∴∠MFN＝90°， ∴F在以MN为直径的圆上，即在⊙O上，由点圆关系得，CP为CF的最小值， ∵M、N为AC、AB中点， ∴MN为△ABC中位线， ∴MNBC＝40米，MN∥BC， ∴ON＝20米， ∵∠ABC＝90°， ∴∠BNO＝90°， ∵OQ⊥BC， ∴四边形ONBQ为矩形， ∴BQ＝ON＝20米， ∴CQ＝80﹣20＝60（米）， ∵∠ACB＝60°， ∴AB＝BC•tan60°＝80米， ∴BN＝40米， ∴OQ＝BN＝40米， ∴OC20（米）， ∵OP＝ON＝20米， ∴CP＝2020（米）． 故答案为：（2020）． 【点评】本题考查了圆的综合应用，点与圆的位置关系、三角形中位线、勾股定理的计算是本题的解题关键． 23．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如（1，3），（﹣2，﹣6），都是“纵三倍点”． （1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是 　 　 ；（填序号） ①y＝﹣2x+1； ②； ③y＝x2+x+1． （2）已知抛物线y＝x2+mx+n（m，n均为常数）与直线y＝x+4只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式； （3）若抛物线（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令w＝b2﹣2b+6a，是否存在一个常数t，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）运用“纵三倍点”的概念作答即可； （2）由题意得方程x2+（m﹣1）x+n﹣4＝0有两个相等的实数根，即Δ＝0，可得nm2m①，再由抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝x+4交点是“纵三倍点”，n＝﹣2m+2②，联立方程组求解即可； （3）由抛物线（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，可得方程3x＝ax2+bx有且只有一个实数根，得出a（b﹣3）2，进而可得w＝b2﹣2b+6a＝2（b﹣2）2+1，再运用二次函数的性质即可求得答案． 【解答】解：（1）①由得， ∴在直线y＝﹣2x+1上只有一个“纵三倍点”：（，）； ②由得：，， ∴反比例函数y的图象上有两个“纵三倍点”：（，﹣3），（，3）； ③由得：， ∴二次函数y＝x2+x+1的图象上只有一个“纵三倍点”：（1，3）； 故答案为：①③； （2）∵抛物线y＝x2+mx+n（m，n均为常数）与直线y＝x+4只有一个交点， ∴方程x2+（m﹣1）x+n﹣4＝0有两个相等的实数根，即Δ＝0， ∴（m﹣1）2﹣4（n﹣4）＝0， ∴nm2m①， ∵抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝x+4交点是“纵三倍点”， ∴x＝2，y＝6， ∴n＝﹣2m+2②， 联立①②，得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+8； （3）∵抛物线（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“纵三倍点”， ∴方程3x＝ax2+bx有且只有一个实数根， ∴Δ＝（b﹣3）2﹣4a＝0， ∴a（b﹣3）2， ∴w＝b2﹣2b+6a＝b2﹣2b+（b﹣3）2＝2（b﹣2）2+1， 根据题意，当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t， 当t+1≤2，即t≤1时，当b＝t+1时，w有最小值， ∴t＝2（t+1﹣2）2+1， 即2t2﹣5t+3＝0， 解得：t1＝1，t2（舍去）， ∴此时不存在常数t，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t； 当t≤2≤t+1，即1≤t≤2时，w的最小值为1， 即t≤b≤t+1时，w的最小值为1，不符合题意； 当t＞2时，t＝2（t﹣2）2+1， 即2t2﹣9t+9＝0， 解得：t1（舍去），t2＝3， ∴存在常数t＝3，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t； 综上所述，t的值为1或3． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法，点的坐标和二次函数的最值，新定义“纵三倍点”的理解和运用，能够理根据题干当中的定义灵活运用二次函数的相关知识是解答本题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B C C A B D A C 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 11．104． 12．220． 13．60． 14．﹣13． 15．． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．【解答】解：， 方程两边同时乘（x﹣3），得x﹣3+（x+1）＝x，......2分 去括号，得x﹣3+x+1＝x，......4分 解得：x＝2，......5分 检验：把x＝2代入x﹣3≠0， ∴分式方程的解为x＝2．......7分 17．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠D＝90°， ∴∠DAE+∠BAF＝90°，......1分 ∵BF⊥AE， ∴∠BFA＝90°， ∴∠ABF+∠BAF＝90°，......2分 ∴∠DAE＝∠ABF， ∴△BAF∽△AED，......4分 ∴，......5分 ∴，......6分 ∴．......7分 18．【解答】解：（1）作图如下： ......3分 （2）过点D作DE⊥AB于点E，......4分 ∵∠C＝90°，BD平分∠ABC， ∴DE＝DC＝3，......5分 ∴S△ABDAB•DE15．......6分 ∴△ABD的面积为15．......7分 19．【解答】解：（1）不正确；不正确；......4分 （2）2x（x﹣2）＝1， ∴2x2﹣4x＝1，......5分 ∴， ∴x2﹣2x+11，......9分 ∴， ∴，......8分 ∴，．......9分 20．【解答】解：（1）200；......2分 （2）1500225（人），......4分 答：估计全校1500人中参加D（社会实践课程）的学生有225人； （3）列表如下： B C E B （B，B） （B，C） （B，E） C （C，B） （C，C） （C，E） E （E，B） （E，C） （E，E） ......7分 共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一门校本课程的结果有3种， ∴两人恰好选中同一门校本课程的概率为．......9分 21．【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，如图所示， ......1分 则∠CDA＝∠CDB＝90° ∵AC＝150，∠CAB＝30° ∴在Rt△CDA 中，......2分 （公里），......3分 （公里），......4分 ∵∠ABC＝45° ∴在Rt△CBD中，BD＝CD＝75（公里），......5分 ∴AB＝AD+DB＝7575≈205（公里）．......6分 答：A、B两地直接通行的距离约为205公里． （2）∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，BD＝CD， ∴在Rt△CBD中，（公里），......7分 ∴（公里）．......8分 答：大桥建成以后，从A地到B地的路程将缩短约51公里．......9分 22．【解答】【问题解决】证明：如图2，在⊙O上任意取一点B（点B不与点A重合），连结PB、OB， 在△OBP中，OB+OP＞PB，......1分 ∵OA＝OB， ∴OA+OP＞PB，......3分 则PA＞PB，3 则此时，PA最大，最大值为8+3＝11； 【问题延申】解：如图3， ∵AF⊥BD， ∴∠AFB＝90°， ∴点F在以AB为直径的圆上，以AB为直径作⊙O，连接OC交BD于F，由点圆关系得此时CF最小，......4分 ∵AB＝6， ∴OB＝3＝OF，......5分 ∵BC＝8， ∴OC，......6分 ∴CF3，......7分 【拓展提升】解：如图4，取AC、AB中点M、N，连接MN， 以MN为直径作⊙O，连接OC交⊙O于点P， 作OQ⊥BC于Q，连接CE、BE， ∵点F为AE中点， ∴MF、NF分别为△ACE和△ABE的中位线， ∴MF∥CE，NF∥BE， ∴∠AFM＝∠AEC，∠AFN＝∠AEB，...... 8分 ∵BC为半圆直径， ∴∠BEC＝90°， ∴∠MFN＝90°， ∴F在以MN为直径的圆上，即在⊙O上，由点圆关系得，CP为CF的最小值，...... 9分 ∵M、N为AC、AB中点， ∴MN为△ABC中位线， ∴MNBC＝40米，MN∥BC， ∴ON＝20米，......10 分 ∵∠ABC＝90°， ∴∠BNO＝90°， ∵OQ⊥BC， ∴四边形ONBQ为矩形， ∴BQ＝ON＝20米， ∴CQ＝80﹣20＝60（米），...... 11分 ∵∠ACB＝60°， ∴AB＝BC•tan60°＝80米， ∴BN＝40米， ∴OQ＝BN＝40米， ∴OC20（米），...... 12分 ∵OP＝ON＝20米， ∴CP＝2020（米）．...... 13分 23．【解答】解：（1）：①③；...... 2分 （2）∵抛物线y＝x2+mx+n（m，n均为常数）与直线y＝x+4只有一个交点， ∴方程x2+（m﹣1）x+n﹣4＝0有两个相等的实数根，即Δ＝0， ∴（m﹣1）2﹣4（n﹣4）＝0，...... 3分 ∴nm2m①，...... 4分 ∵抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝x+4交点是“纵三倍点”， ∴x＝2，y＝6， ∴n＝﹣2m+2②，...... 5分 联立①②，得：，...... 6分 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+8；...... 7分 （3）∵抛物线（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“纵三倍点”， ∴方程3x＝ax2+bx有且只有一个实数根， ∴Δ＝（b﹣3）2﹣4a＝0，...... 8分 ∴a（b﹣3）2， ∴w＝b2﹣2b+6a＝b2﹣2b+（b﹣3）2＝2（b﹣2）2+1，...... 9分 根据题意，当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t， 当t+1≤2，即t≤1时，当b＝t+1时，w有最小值， ∴t＝2（t+1﹣2）2+1，...... 10分 即2t2﹣5t+3＝0， 解得：t1＝1，t2（舍去），...... 11分 ∴此时不存在常数t，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t； 当t≤2≤t+1，即1≤t≤2时，w的最小值为1， 即t≤b≤t+1时，w的最小值为1，不符合题意；...... 12分 当t＞2时，t＝2（t﹣2）2+1， 即2t2﹣9t+9＝0， 解得：t1（舍去），t2＝3，...... 13分 ∴存在常数t＝3，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t； 综上所述，t的值为1或3．...... 14分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考数学第一次模拟考试 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ■▣。■■。。■▣。。■。=。■==。■■▣。▣=。■■■■■▣▣。■■▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[1[][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 5.[AJ[B][C1[D1 9.[A1[BJ[C1[D] 2.[AJ[B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8.A][B][C1[D1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共15分） 11 12. 13 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(7分) 17.(7分) D E B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(7分) ch 19.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(9分) 人数 60 5 50 C B 20 20 54°D ⊙ A E 0 A BC D E 30% 课程 21.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(13分) 0 B 图1 图2 图3 图4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2026年中考数学第一次模拟考试 三 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 12 13 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(7分) 17.(7分) D F B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(7分) ch 19.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(9分) 人数个 60 0 0 50 40 30 20 54°D A E 0A B C D E 30% 课程 21.(9分) B C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(13分) 0 图1 图2 图3 图4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考第一次模拟考试 数 学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在有理数中，最小的数是（　　） A． B．﹣2 C．﹣0.7 D．0 2．以下AI软件的LOGO是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（　　） A．a5•a2＝a10 B．x8÷x2＝x6 C．（2ab）3＝6a3b3 D．2a+3a＝5 4．若a＜b，则下列式子中正确的是（　　） A．a﹣2＞b﹣2 B．3a＞3b C．﹣2a＞﹣2b D． 5．如图是某班级的一次数学测试成绩统计图（说明：图中的50～60表示50≤x＜60，其余类推），则下列说法不正确的是（　　） A．参加测试的总人数为40人 B．人数最少的得分段的频数为2 C．得分在60～70分的人数最多 D．本次测试的及格（≥60分）率为90% 6．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿，若设有牧童x人，根据题意，可列方程为（　　） A．6x+14＝8x﹣2 B．6x﹣14＝8x+2 C．6x+14＝8x+2 D．6x﹣14＝8x﹣2 7．已知圆锥的底面半径为6，母线长为10，则圆锥的侧面积是（　　） A．30 B．60π C．60 D．30π 8．已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A（﹣3，2），下列说法正确的是（　　） A．正比例函数y1的解析式是 B．两个函数图象的另一个交点的坐标为（2，﹣3） C．正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而减小 D．当x＜﹣3或0＜x＜3时，y2＜y1 9．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA于点D，BC＝8，OD＝3，⊙O所在的平面内有一点P，若OP＝4，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定 10．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，O是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上，且∠DOE＝90°，DE交OC于P，下列结论正确的共有（　　） ①图中的全等三角形共有3对；②AD＝CE；③∠CDO＝∠BEO；④OC＝DC+CE； ⑤△ABC的面积是四边形DOEC面积的2倍． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 11．图①是用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知AB∥CD，c表示吸管．若∠1＝76°，则∠2＝　 　 度． 12．如图，把R1，R2两个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U＝IR1+IR2．当R1＝47.3，R2＝40.7，I＝2.5时，U的值为　 　 ． 13．如图，菱形ABCD中，BC＝10，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，交边BC于点E，连接EO，若，则菱形的面积为 　 　 ． 14．已知m，n为常数，且（x+3）（x+m）＝x2+nx﹣24为恒等式，则m+n＝　 　 ． 15．如图，在△ABC中，∠C＝60°，点D是BC边上一动点（不与B，C重合），连接AD，以AD为边在其右侧作等边△ADE，DE交AC于点F．那么的最大值为　 ． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．解分式方程：． 17．如图，已知点E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于点F．若AD＝12，DE＝5，AF＝4，求BF的长． 18．已知，如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°， （1）作∠B的角平分线BD交AC于点D；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） （2）若CD＝3，AB＝10，求△ABD的面积． 19．解一元二次方程x2﹣2x＝3时，两位同学的解法如下： 甲同学：x2﹣2x＝3 x（x﹣2）＝3 x＝1或x﹣2＝3 ∴x1＝1或x2＝5 乙同学：a＝1，b＝﹣2，c＝3 b2﹣4c＝4﹣12＝﹣8， ∵b2﹣4ac＜0， ∴此方程无实数根． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法　 　 ，乙同学的解法　 　 ．（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程2x（x﹣2）＝1． 20．天府新区某学校计划开展兴趣课程，包括A（艺术素养课程），B（科学探索课程），C（体育运动课程），D（社会实践课程），E（传统文化课程）．为了解学生对五类课程的喜爱程度，学校抽取了一部分学生进行投票，要求必须选且只能选一项，根据投票结果绘制了条形统计图和扇形统计图，如图： 根据图中信息，请回答下列问题： （1）参加投票的学生共　 　 人； （2）估计全校1500人中参加D（社会实践课程）的学生有多少人？ （3）现小欢、小乐从最受欢迎的B，C，E三类课程中任选一类课程参加，用树状图或列表法求两人恰好参加同一类课程的概率． 21．2025年1月17日，世界第一高桥花江峡谷大桥合龙，预计2025年内实现通车，通车后，花江峡谷大桥安龙岸与六枝岸之间的车程将从原来的1小时缩短为2分钟．小明看到这则新闻特别开心，小明家在A地，奶奶家在B地，过去爸爸开车带他回奶奶家每次都要在距他家150公里的C地服务区休息一下再走，等花江峡谷大桥建成通车后就不必再绕行到C地了，小明画出了自己家到奶奶家的简易行程图，如图所示．若已知∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，请你用自己学过的数学知识帮小明算一算：（参考数据：1.41，1.73，结果精确到个位） （1）大桥建成以后A、B两地直接通行的距离； （2）求大桥建成以后与之前A﹣C﹣B的路线相比，从A地到B地的路程将缩短约多少公里． 22．【问题呈现】在学习《圆》这一章时，小明遇到了这样一个问题：如图1，已知⊙O半径是3，点A是⊙O上的一个动点，点P是平面内一点，OP＝8，求证：线段PA的最大值为11． 【问题解决】经过分析，如图2，小明将PO延长交⊙O于点A，并猜想此时PA最大，为了验证这个猜想，小明想利用如下方法来解决，下面是部分证明过程，请补全缺失的部分． 证明：如图2，在⊙O上任意取一点B（点B不与点A重合），连结PB、OB， 证明过程缺失 则PA＞PB， 则此时，PA最大，最大值为8+3＝11． 【问题延申】如图3，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点D是边AC上的一个动点，连结DB，过点A作AF⊥BD于点F，连结CF，求线段CF的最小值 ． 【拓展提升】如图4，某景区有一片油菜花地，形状由△ABC和以BC为直径的半圆两部分构成，已知BC＝80米，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，为了方便游客游览，该景区计划对油菜花地进行改造，根据设计要求，在半圆上确定一点E，沿AE修建小路，并在AE中点F处修建一个凉亭，沿CF修建仿古长廊，由于仿古长廊造价很高，为了控制成本，景区要求仿古长廊CF的长度尽可能短，若不考虑其他因素，则仿古长廊CF最短为多少米？（结果保留根号） 23．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如（1，3），（﹣2，﹣6），都是“纵三倍点”． （1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是 　 　 ；（填序号） ①y＝﹣2x+1； ②； ③y＝x2+x+1． （2）已知抛物线y＝x2+mx+n（m，n均为常数）与直线y＝x+4只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式； （3）若抛物线（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令w＝b2﹣2b+6a，是否存在一个常数t，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考第一次模拟考试 : 数学 ·: (考试时间：120分钟，分值：120分) : 注意事项： 斯 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 O 第一部分（选择题共30分） : 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 % : 要求的。 1.在有理数2， -0.7,-2, 3,0中，最小的数是( 1 A.2 B.-2 C.-0.7 D.0 2.以下AI软件的LOGO是中心对称图形的是( 3.下列计算正确的是( A.a.d=al0 B.x8÷x2=x6 C.(2b)3=6ab D.2t3a=5 : 4.若a<b,则下列式子中正确的是() A.a-2>b-2 B.3a>3b C.-2a>-2b O : 5.如图是某班级的一次数学测试成绩统计图（说明：图中的50~60表示50≤x<60,其余类推)，则下列说 : 法不正确的是() 个人数 K 14--- 12 5060708090100分数 试题第1页（共6页） 可学科网·学易金卷做概德：限景是鲁普 A.参加测试的总人数为40人 B.人数最少的得分段的频数为2 C.得分在60~70分的人数最多 D.本次测试的及格（≥60分）率为90% 6.我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹.每人六竿多 十四，每人八竿少二竿.”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩要，每人6竿，多14竿；每人8 竿，少2竿，若设有牧童x人，根据题意，可列方程为() A.6x+14=8x-2 B.6x-14=8x+2 C.6x+14=8x+2 D.6x-14=8x-2 7.已知圆锥的底面半径为6，母线长为10，则圆锥的侧面积是() A.30 B.60π C.60 D.30π 8.已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A(-3,2),下列说法正确的是() .2 A.正比例函数1的解析式是y=x B.两个函数图象的另一个交点的坐标为(2，-3) C.正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而减小 D.当x<-3或0<x<3时，y2<y1 9.如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA于点D,BC=8,OD=3,⊙O所在的平面内有一点P,若OP=4, 则点P与⊙O的位置关系是() D A.点P在⊙O内B.点P在⊙O上C.点P在⊙O外D.无法确定 10.如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是AB边上的中点，点D,E分别在AC,BC边上，且 ∠DOE=90°，DE交OC于P,下列结论正确的共有() ①图中的全等三角形共有3对；②AD=CE;③∠CDO=∠BEO;④OC=DC+CE; ⑤△ABC的面积是四边形DOEC面积的2倍. C D O B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 试题第2页（共6页） 可学科网·学易金卷做好德：就限是鲁背 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 11.图①是用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知AB∥CD,c表示吸管.若∠1=76°，则 ∠2= 度 2 C 图① 图② 12.如图，把R1,R2两个电阻串联起来，线路AB上的电流为I,电压为U,则U=IR1+IR2.当R1=47.3, R2=40.7,I=2.5时，U的值为 A☐-。 R. R, 13.如图，菱形ABCD中，BC=10,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BC,交边BC于点E,连 接EO,若E0=V10,则菱形的面积为一· D E 14.已知，n为常数，且(x+3)(x+m)=x2+x-24为恒等式，则叶n= 15.如图，在△ABC中，∠C=60°，点D是BC边上一动点（不与B,C重合），连接AD,以AD为边在其 有创作等边△4Dz,Di交4C于点R,那么票的荣大值为 B D 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.解分式方程：1-高3 17.如图，已知点E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于点F.若AD=12,DE=5,AF=4,求BF的 试题第3页（共6页） 长 D B 18.已知，如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°， (1)作∠B的角平分线BD交AC于点D:(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法.) (2)若CD=3,AB=10,求△ABD的面积. 米 游 B 19.解一元二次方程x2-2x=3时，两位同学的解法如下： 甲同学：x2-2x=3 乙同学：a=1,b=-2,c=3 S x(x-2)=3 b2-4c=4-12=-8, x=1或x-2=3 .b2-4ac<0, .x1=1或x2=5 此方程无实数根. (1)你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果。 甲同学的解法，乙同学的解法·（填“正确”或者“不正确”） (2)请选择合适的方法解一元二次方程2x(x-2)=1. 世 20.天府新区某学校计划开展兴趣课程，包括A（艺术素养课程)，B(科学探索课程)，C(体育运动课程)， D(社会实践课程)，E(传统文化课程).为了解学生对五类课程的喜爱程度，学校抽取了一部分学生进行 投票，要求必须选且只能选一项，根据投票结果绘制了条形统计图和扇形统计图，如图： 人数个 60 60 50 烟 50 40 C 30 B 20 54°D 10 E D E 30% 课程 试题第4页（共6页） : 根据图中信息，请回答下列问题： o (1)参加投票的学生共一人： O (2)估计全校1500人中参加D(社会实践课程)的学生有多少人？ ·: (3)现小欢、小乐从最受欢迎的B,C,E三类课程中任选一类课程参加，用树状图或列表法求两人恰好 参加同一类课程的概率， : : 21.2025年1月17日，世界第一高桥花江峡谷大桥合龙，预计2025年内实现通车，通车后，花江峡谷大桥 安龙岸与六枝岸之间的车程将从原来的1小时缩短为2分钟.小明看到这则新闻特别开心，小明家在A .: 地，奶奶家在B地，过去爸爸开车带他回奶奶家每次都要在距他家150公里的C地服务区休息一下再走， : 等花江峡谷大桥建成通车后就不必再绕行到C地了，小明画出了自己家到奶奶家的简易行程图，如图所 O 示.若已知∠CAB=30°，∠ABC=45°，请你用自己学过的数学知识帮小明算一算：（参考数据：√2≈1.41， √3≈1.73，结果精确到个位) (1)大桥建成以后A、B两地直接通行的距离： (2)求大桥建成以后与之前A-C-B的路线相比，从A地到B地的路程将缩短约多少公里. : : ·: : 22.【问题呈现】在学习《圆》这一章时，小明遇到了这样一个问题：如图1，已知⊙0半径是3，点A是⊙0 射 K 上的一个动点，点P是平面内一点，OP=8,求证：线段A的最大值为11. 【问题解决】经过分析，如图2，小明将PO延长交⊙O于点A,并猜想此时PA最大，为了验证这个猜 想，小明想利用如下方法来解决，下面是部分证明过程，请补全缺失的部分. .: 证明：如图2，在⊙O上任意取一点B(点B不与点A重合)，连结PB、OB, O 试题第5页（共6页） ©学科网·学易金卷做概德：然限是鲁普 证明过程缺失 则PA>PB, 则此时，PA最大，最大值为8+3=11. 【问题延申】如图3，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6,BC=8,点D是边AC上的一个动点，连结 DB,过点A作AF⊥BD于点F,连结CF,求线段CF的最小值· 【拓展提升】如图4，某景区有一片油菜花地，形状由△ABC和以BC为直径的半圆两部分构成，已知BC =80米，∠ABC=90°，∠ACB=60°，为了方便游客游览，该景区计划对油菜花地进行改造，根据设计 要求，在半圆上确定一点E,沿AE修建小路，并在AE中点F处修建一个凉亭，沿CF修建仿古长廊， 由于仿古长廊造价很高，为了控制成本，景区要求仿古长廊CF的长度尽可能短，若不考虑其他因素，则 仿古长廊CF最短为多少米？（结果保留根号） 图1 图2 图3 图4 23.定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”.例 如(1,3)，(-2，-6)，(2,3V2)都是“纵三倍点” (1)下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是；（填序号） ①y=-2x+1: ②y-头 ③y=x2+x+1. (2)已知抛物线y=x2+x+n(,n均为常数)与直线y=+4只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”， 求抛物线的解析式： (3)若抛物线y=axr2+bx+2(a,b是常数，a>0)的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令v=bB. 2b叶6a,是否存在一个常数t,使得当t≤b≤t什1时，p的最小值恰好等于t,若存在，求出t的值；若不存 在，请说明理由. 试题第6页（共6页）@学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考第一次模拟考试 数学 (考试时间：120分钟，分值：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.在有理数，-07，-2，专，0中，最小的数是() 1 A.2 1 B.-2 C.-0.7 D.0 2.以下AI软件的LOGO是中心对称图形的是() ● 3.下列计算正确的是( A.a.a2=d0 B.x8÷x2=x6 C.(2ab)3=6mb3 D.2a+3a=5 4.若a<b,则下列式子中正确的是() A.a-2>b-2 B.3a>3b C.-2a>-2b D号 5.如图是某班级的一次数学测试成绩统计图（说明：图中的50~60表示50≤x<60,其余类推），则下列 说法不正确的是（) 119 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 个人数 14 12… 8 0 5060708090100分数 A.参加测试的总人数为40人 B.人数最少的得分段的频数为2 C.得分在60~70分的人数最多 D.本次测试的及格（≥60分）率为90% 6.我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹.每人六竿多 十四，每人八竿少二竿.”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩要，每人6竿，多14竿；每人8 竿，少2竿，若设有牧童x人，根据题意，可列方程为() A.6x+14=8x-2 B.6x-14=8r+2 C.6x+14=8x+2 D.6x-14=8x-2 7.已知圆锥的底面半径为6，母线长为10，则圆锥的侧面积是() A.30 B.60m C.60 D.30m 8.已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A（-3,2),下列说法正确的是（) A.正比例函数n的解析式是h=子x B.两个函数图象的另一个交点的坐标为(2，-3) C.正比例函数y1与反比例函数2都随x的增大而减小 D.当x<-3或0<x<3时，2<y1 9.如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA于点D,BC=8,OD=3,⊙O所在的平面内有一点P,若OP= 4,则点P与⊙0的位置关系是() 219 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D B A.点P在⊙O内B.点P在⊙O上C.点P在⊙O外D.无法确定 10.如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O是AB边上的中点，点D,E分别在AC,BC边上，且 ∠DOE=90°，DE交OC于P,下列结论正确的共有() ①图中的全等三角形共有3对： ②AD=CE; ③∠CDO=∠BEO: ④OC=DC+CE: ⑤△ABC的面积是四边形DOEC面积的2倍. D 0 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 11.图①是用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，己知AB∥CD,c表示吸管.若∠1=76°，则 ∠2=度. A 图① 图② 12.如图，把R1,R2两个电阻串联起来，线路AB上的电流为I,电压为U,则U=R1+IR2.当R1=47.3, R2=40.7,I=2.5时，U的值为一· 319 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 R, R, 13.如图，菱形ABCD中，BC=10,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BC,交边BC于点E, 连接E0,若E0=V10,则菱形的面积为· D 14.已知，n为常数，且(x+3)(x+m)=x2+m-24为恒等式，则+n= 15.如图，在△ABC中，∠C=60°，点D是BC边上一动点（不与B,C重合），连接AD,以AD为边在 其右侧作等边△ADE,DE交AC于点F.那么 是的大位为 D 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.解分式方程：1--高3 17.如图，己知点E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于点F.若AD=12,DE=5,AF=4,求BF 的长 D E 419 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18.已知，如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°， (1)作∠B的角平分线BD交AC于点D;(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法.) (2)若CD=3,AB=10,求△ABD的面积. ch B 19.解一元二次方程x2-2x=3时，两位同学的解法如下： 甲同学：x2-2x=3 乙同学：a=1,b=-2,c=3 x(x-2)=3 b2-4c=4-12=-8, x=1或x-2=3 .b2-4c<0, ∴x1=1或x2=5 此方程无实数根 (1)你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果 甲同学的解法 ，乙同学的解法一·（填“正确”或者“不正确”） (2)请选择合适的方法解一元二次方程2x(x-2)=1. 519 耐学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 20.天府新区某学校计划开展兴趣课程，包括A(艺术素养课程)，B(科学探索课程)，C(体育运动课程)， D(社会实践课程)，E(传统文化课程).为了解学生对五类课程的喜爱程度，学校抽取了一部分学生进 行投票，要求必须选且只能选一项，根据投票结果绘制了条形统计图和扇形统计图，如图： 人数 60 60 50 50 % C 30 B 汤 20 54°D 10 A E 0 A B C D E课程 30% 根据图中信息，请回答下列问题： (1)参加投票的学生共一人： (2)估计全校1500人中参加D(社会实践课程)的学生有多少人？ (3)现小欢、小乐从最受欢迎的B,C,E三类课程中任选一类课程参加，用树状图或列表法求两人恰 好参加同一类课程的概率. 619 @学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 21.2025年1月17日，世界第一高桥花江峡谷大桥合龙，预计2025年内实现通车，通车后，花江峡谷大 桥安龙岸与六枝岸之间的车程将从原来的1小时缩短为2分钟.小明看到这则新闻特别开心，小明家在 A地，奶奶家在B地，过去爸爸开车带他回奶奶家每次都要在距他家150公里的C地服务区休息一下再 走，等花江峡谷大桥建成通车后就不必再绕行到C地了，小明画出了自己家到奶奶家的简易行程图，如 图所示.若已知∠CAB=30°，∠ABC=45°，请你用自己学过的数学知识帮小明算一算：（参考数据： 2≈1.41，V3≈1.73，结果精确到个位) (1)大桥建成以后A、B两地直接通行的距离： (2)求大桥建成以后与之前A-C-B的路线相比，从A地到B地的路程将缩短约多少公里. B 719 可学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 22.【问题呈现】在学习《圆》这一章时，小明遇到了这样一个问题：如图1，已知⊙0半径是3，点A是 ⊙O上的一个动点，点P是平面内一点，OP=8,求证：线段A的最大值为11. 【问题解决】经过分析，如图2，小明将P0延长交⊙O于点A,并猜想此时A最大，为了验证这个猜 想，小明想利用如下方法来解决，下面是部分证明过程，请补全缺失的部分。 证明：如图2，在⊙O上任意取一点B（点B不与点A重合)，连结PB、OB, 证明过程缺失 则PA>PB, 则此时，A最大，最大值为8+3=11. 【问题延申】如图3，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6,BC=8,点D是边AC上的一个动点，连结 DB,过点A作AF⊥BD于点F,连结CF,求线段CF的最小值是. 【拓展提升】如图4，某景区有一片油菜花地，形状由△ABC和以BC为直径的半圆两部分构成，已知 BC=80米，∠ABC=90°，∠ACB=60°，为了方便游客游览，该景区计划对油菜花地进行改造，根据 设计要求，在半圆上确定一点E,沿AE修建小路，并在AE中点F处修建一个凉亭，沿CF修建仿古长 廊，由于仿古长廊造价很高，为了控制成本，景区要求仿古长廊C℉的长度尽可能短，若不考虑其他因 素，则仿古长廊CF最短为多少米？（结果保留根号） B 图1 图2 图3 图4 819 耐学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 23.定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”.例 如(1,3)，(-2，-6)，(2,3V2)都是“纵三倍点”. (1)下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是；（填序号） ①y=-2x+1; @y-头 ③y=x2+x+1. (2)已知抛物线y=x2+x+n(,n均为常数)与直线y=x+4只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”， 求抛物线的解析式： (3)若抛物线y=Qx2+bx+是(a,b是常数，a>0)的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令w=B 2b叶6a,是否存在一个常数t,使得当t≤b≤t什1时，的最小值恰好等于t,若存在，求出t的值；若不 存在，请说明理由. 9192026年中考数学第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 贴条形码区 2.选择题必须用2B铅笔填涂：填空题和解答题必 须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分) 1 [A][B][C][D] 5][B][CID] 9 [A][B][c][D] 2 [A][B][c][D] 6[A][B][C][D] 10[AJ[B][C[D] 3[][B][GI[D 7[A][B][C][D] 4[A][B[C[D] 8[A][B][C][D] 二、填空题（每小题3分，共15分) 11 12. 13. 14. 15. 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(7分) A o B 18.(7分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(9分) 20.(9分) 人数 60 50 B 20 20 154°D 10 D E 课程 30% 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(9分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(13分) P 图1 图2 图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考数学第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. ________________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（7分） 18．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（9分） 20．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第一次模拟考试 数 学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在有理数中，最小的数是（　　） A． B．﹣2 C．﹣0.7 D．0 2．以下AI软件的LOGO是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（　　） A．a5•a2＝a10 B．x8÷x2＝x6 C．（2ab）3＝6a3b3 D．2a+3a＝5 4．若a＜b，则下列式子中正确的是（　　） A．a﹣2＞b﹣2 B．3a＞3b C．﹣2a＞﹣2b D． 5．如图是某班级的一次数学测试成绩统计图（说明：图中的50～60表示50≤x＜60，其余类推），则下列说法不正确的是（　　） A．参加测试的总人数为40人 B．人数最少的得分段的频数为2 C．得分在60～70分的人数最多 D．本次测试的及格（≥60分）率为90% 6．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿，若设有牧童x人，根据题意，可列方程为（　　） A．6x+14＝8x﹣2 B．6x﹣14＝8x+2 C．6x+14＝8x+2 D．6x﹣14＝8x﹣2 7．已知圆锥的底面半径为6，母线长为10，则圆锥的侧面积是（　　） A．30 B．60π C．60 D．30π 8．已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A（﹣3，2），下列说法正确的是（　　） A．正比例函数y1的解析式是 B．两个函数图象的另一个交点的坐标为（2，﹣3） C．正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而减小 D．当x＜﹣3或0＜x＜3时，y2＜y1 9．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA于点D，BC＝8，OD＝3，⊙O所在的平面内有一点P，若OP＝4，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定 10．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，O是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上，且∠DOE＝90°，DE交OC于P，下列结论正确的共有（　　） ①图中的全等三角形共有3对； ②AD＝CE； ③∠CDO＝∠BEO； ④OC＝DC+CE； ⑤△ABC的面积是四边形DOEC面积的2倍． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 11．图①是用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知AB∥CD，c表示吸管．若∠1＝76°，则∠2＝　 　 度． 12．如图，把R1，R2两个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U＝IR1+IR2．当R1＝47.3，R2＝40.7，I＝2.5时，U的值为　 　 ． 13．如图，菱形ABCD中，BC＝10，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，交边BC于点E，连接EO，若，则菱形的面积为 　 　 ． 14．已知m，n为常数，且（x+3）（x+m）＝x2+nx﹣24为恒等式，则m+n＝　 　 ． 15．如图，在△ABC中，∠C＝60°，点D是BC边上一动点（不与B，C重合），连接AD，以AD为边在其右侧作等边△ADE，DE交AC于点F．那么的最大值为　 ． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．解分式方程：． 17．如图，已知点E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于点F．若AD＝12，DE＝5，AF＝4，求BF的长． 18．已知，如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°， （1）作∠B的角平分线BD交AC于点D；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） （2）若CD＝3，AB＝10，求△ABD的面积． 19．解一元二次方程x2﹣2x＝3时，两位同学的解法如下： 甲同学：x2﹣2x＝3 x（x﹣2）＝3 x＝1或x﹣2＝3 ∴x1＝1或x2＝5 乙同学：a＝1，b＝﹣2，c＝3 b2﹣4c＝4﹣12＝﹣8， ∵b2﹣4ac＜0， ∴此方程无实数根． （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法　 　 ，乙同学的解法　 　 ．（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程2x（x﹣2）＝1． 20．天府新区某学校计划开展兴趣课程，包括A（艺术素养课程），B（科学探索课程），C（体育运动课程），D（社会实践课程），E（传统文化课程）．为了解学生对五类课程的喜爱程度，学校抽取了一部分学生进行投票，要求必须选且只能选一项，根据投票结果绘制了条形统计图和扇形统计图，如图： 根据图中信息，请回答下列问题： （1）参加投票的学生共　 　 人； （2）估计全校1500人中参加D（社会实践课程）的学生有多少人？ （3）现小欢、小乐从最受欢迎的B，C，E三类课程中任选一类课程参加，用树状图或列表法求两人恰好参加同一类课程的概率． 21．2025年1月17日，世界第一高桥花江峡谷大桥合龙，预计2025年内实现通车，通车后，花江峡谷大桥安龙岸与六枝岸之间的车程将从原来的1小时缩短为2分钟．小明看到这则新闻特别开心，小明家在A地，奶奶家在B地，过去爸爸开车带他回奶奶家每次都要在距他家150公里的C地服务区休息一下再走，等花江峡谷大桥建成通车后就不必再绕行到C地了，小明画出了自己家到奶奶家的简易行程图，如图所示．若已知∠CAB＝30°，∠ABC＝45°，请你用自己学过的数学知识帮小明算一算：（参考数据：1.41，1.73，结果精确到个位） （1）大桥建成以后A、B两地直接通行的距离； （2）求大桥建成以后与之前A﹣C﹣B的路线相比，从A地到B地的路程将缩短约多少公里． 22．【问题呈现】在学习《圆》这一章时，小明遇到了这样一个问题：如图1，已知⊙O半径是3，点A是⊙O上的一个动点，点P是平面内一点，OP＝8，求证：线段PA的最大值为11． 【问题解决】经过分析，如图2，小明将PO延长交⊙O于点A，并猜想此时PA最大，为了验证这个猜想，小明想利用如下方法来解决，下面是部分证明过程，请补全缺失的部分． 证明：如图2，在⊙O上任意取一点B（点B不与点A重合），连结PB、OB， 证明过程缺失 则PA＞PB， 则此时，PA最大，最大值为8+3＝11． 【问题延申】如图3，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点D是边AC上的一个动点，连结DB，过点A作AF⊥BD于点F，连结CF，求线段CF的最小值是． 【拓展提升】如图4，某景区有一片油菜花地，形状由△ABC和以BC为直径的半圆两部分构成，已知BC＝80米，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，为了方便游客游览，该景区计划对油菜花地进行改造，根据设计要求，在半圆上确定一点E，沿AE修建小路，并在AE中点F处修建一个凉亭，沿CF修建仿古长廊，由于仿古长廊造价很高，为了控制成本，景区要求仿古长廊CF的长度尽可能短，若不考虑其他因素，则仿古长廊CF最短为多少米？（结果保留根号） 23．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如（1，3），（﹣2，﹣6），都是“纵三倍点”． （1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是 　 　 ；（填序号） ①y＝﹣2x+1； ②； ③y＝x2+x+1． （2）已知抛物线y＝x2+mx+n（m，n均为常数）与直线y＝x+4只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式； （3）若抛物线（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令w＝b2﹣2b+6a，是否存在一个常数t，使得当t≤b≤t+1时，w的最小值恰好等于t，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $