专题08 倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型（几何模型讲义）数学新教材北师大版七年级下册

专题08.三角形中的倒角模型之高分线模型、双垂直模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.高分线模型 5 模型2.双垂直模型 9 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 10 14 高分线模型与双垂直模型由现代数学工作者根据其数学特征命名，高分线模型是初中几何中用于解决三角形角度计算问题的经典模型，其核心特征为‌高线与角平分线的组合‌。 子母型双垂直模型（射影模型）首次提出并完整证明源于几何原本，但是由于我们还没有学习相似三角形，故本节中的射影模型主要只是研究射影模型中的角度关系与等面积相关的线段关系。 （24-25八年级·上海嘉定·期末）小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究： 如图1，在中，的平分线交边于点D，，垂足为E． 小海猜想：通过的度数可求出的度数，再结合的度数可求出的度数，从而确定与之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组的度数后，验证了这一猜想． (1)请补全下表： …… ……      ______ ______ …… (2)如图2，若，，那么______．（用含、的代数式表示），并加以证明； (3)在（2）的基础上作的垂直平分线，交的延长线于点F，连接．如图3，如果，请直接写出______． 模型1.高分线模型 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，， ，，，． 模型2.双垂直模型 条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高， 结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③。 证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°， ∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A， ∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。 ∵BD，CE是△ABC的两条高，∴，∴。 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线， 结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。      证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°， ∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD， ∵∠ACB=90°，CD是高线，∴，∴。 模型1.高分线模型 例1（24-25八年级上·四川南充·阶段练习）如图，中，分别是高线和角平分线，若，求的度数． 例2（24-25八年级上·广西玉林·期中）如图，在中，，分别是的高和角平分线， (1)请猜想、、的数量关系，并证明你的结论．(2)若，，求的度数． 例3（24-25八年级上·吉林·期中）小明在学习中遇到这样一个问题：如图①，在中，，平分，于点D，猜想的数量关系． (1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的特殊值求值并寻找它们的数量关系，得到下面几组对应值： 上表中______，猜想与的数量关系是______； (2)小明继续研究，在图②中，，其他条件不变，若把“于点D”改为“点F是线段上任意一点，于点D”，求的度数．小明通过“过点A作于点G，求出的度数”，使问题得到解决，请你按照小明的思路写出解答过程； (3)在中，，平分，若点F是线段延长线上一点，于点D，请直接写出与之间的数量关系． 例4（24-25七年级下·河南新乡·期中）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动． (1)【操作判断】在中，，，作的平分线交于点． ①操作一：在下图中，用三角尺作边上的高，垂足为点，求的度数；        ②操作二：如图1，在上任取点，作，垂足为点，直接写出的度数； (2)【迁移探究】操作三：如图2，将（1）中“在上任取点”改为“在的延长线上任取点”其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由； (3)【拓展应用】如图3、图4在中，，，是的平分线，在直线上任取点，过点作与直线交于点，请直接写出与，之间的数量关系．    模型2.双垂直模型 例1（2025·陕西·统考一模）如图，在中，分别是边上的高，并且交于点P，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 例2（24-25八年级上·重庆大足·期末）已知在（不是直角三角形）中，边的高、边的高所在直线交于点，则的度数为 ． 例3（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，的边上的高与边上的高的比值是 ． 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 例1（24-25七年级下·长春·期末）如图，在中，是斜边上的高，． （1）求的度数；（2）求的度数． 对于上述问题，在以下答题过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：（1）（已知）， ___________． （                                ）， （已知）， ______________________（等量代换）． （2）， ___________（等式的性质）． （已知）， ______________________（等量代换）． 例2（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，，D为垂足． (1)求证：；(2)若，求的值 例3（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，D是AB上一点，且．      (1)求证： 证明：∵在中，（已知） ∴（___________），又∵（已知），∴（等量代换）， ∵（___________），∴，∴． (2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：； (3)如图③．若E为上一点，交于点F，，，． ①___________；（用含m的代数式表示） ②四边形的面积是___________．（用含m的代数式表示） 1．（24-25·湖北武汉·八年级阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=5，CH⊥AB于H，则CH的长为（  ）. A．2.4 B．3 C．2.2 D．3.2 2．（24-25八年级上·绵阳市·期中）如图，，，下列叙述正确的是（    ）    A． B． C． D． 3．（2025·山东·校考一模）如图，中，于点，于点，与相交于点，已知，，则的面积为 ． 4．（25-26八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，，分别是的角平分线和高线，且，，则 ． 5．（25-26江苏常州·八年级校考阶段练习）如图，△ABC的两条高线AD，BE交于点F，∠BAD=45°，∠C=60°，则∠ABF的度数为 ． 6．（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，在中，点D在边上，，E为的中点，若，则的大小为 ． 7．（25-26·辽宁沈阳·八年级校考阶段练习）在非直角三角形ABC中，∠A＝40°，高BD和高CE所在的直线相交于点H，则∠BHC＝ °． 8．（2025·广东广州·七年级校考阶段练习）如图，在中，，于D，求证：． 9．（24-25八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，的高交于点，，求的度数． 10．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，于点D，平分，，相交于点F，，，求和的度数． 11．（24-25·浙江·八年级专题练习）对于下列问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．如图．在直角中，是斜边上的高，． (1)求的度数；(2)求的度数． 解：（1）（已知），______° ， （______）， ______° ______°（等量代换）， （2）（______）， _____（等式的性质）， （已知），______ ______°（等量代换）． 12．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，平分交于点． (1)若点为线段上的一个点，过点作交的延长线于点． ①若，，则___________； ②写出与、之间的数量关系，并说明理由． (2)若点在线段的延长线上，过点作交直线于点，请你直接写出与的数量关系__________． 13．（24-25上·河北唐山·八年级统考期中）如图，在中，，分别是的高和角平分线．    (1)若，，求的度数； (2)若，猜想与之间的数量关系，直接写出结论． 14．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，求证：∠ACD=∠B；（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE=∠B，判断△ADE的形状？并说明理由？（3）如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C=90°，∠E=90°，点C，B，E在同一直线上，若AB⊥BD，AB=BD，则CE与AC，DE有什么等量关系，并证明． 15.（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）（1）如图①所示，在中，分别是的高和角平分线，若，，求的度数． （2）如图②所示，已知平分，交边于点E，过点F作于点D，，． ① ；（用含x的式子表示）; ②求的度数． 16．（24-25八年级上·重庆·期中）同学们小学已经学习了三角形面积计算方法．如图（1）（2）是直角三角形，请你根据图中标注的量，解决下列问题： (1)如图（1），以为底，为高，可得三角形的面积为______；也可以以（提示：长为）为底，为高，可得三角形的面积为______． (2)根据（1）的启示，请列方程求出图（2）中的长（提示：长为）． 17．（24-25八年级上·山东期中）在中，是的平分线，是的高． (1)如图①，若，则_________． (2)如图①，，试说明与的数量关系． (3)拓展：如图②，四边形中，是的平分线，是的平分线，猜想：与的数量关系，并说明理由． 18．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）综合与探究 【图形呈现】如图1，在中，是高，平分，． 【初步探究】（1）若，，试求的度数； 【探究发现】（2）善于思考的小聪，在（1）问的思考过程中发现，图1中，与始终存在固定的数量关系，请直接写出，与之间的数量关系：______； 【拓展探究】（3）勇于创新的小敏在图1的基础上，作垂直平分，交的延长线于点，连接，如图2，小敏通过观察和测量，发现，和存在如下数量关系：，请你证明这一数量关系的正确性． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08.三角形中的倒角模型之高分线模型、双垂直模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.高分线模型 5 模型2.双垂直模型 9 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 10 14 高分线模型与双垂直模型由现代数学工作者根据其数学特征命名，高分线模型是初中几何中用于解决三角形角度计算问题的经典模型，其核心特征为‌高线与角平分线的组合‌。 子母型双垂直模型（射影模型）首次提出并完整证明源于几何原本，但是由于我们还没有学习相似三角形，故本节中的射影模型主要只是研究射影模型中的角度关系与等面积相关的线段关系。 （24-25八年级·上海嘉定·期末）小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究： 如图1，在中，的平分线交边于点D，，垂足为E． 小海猜想：通过的度数可求出的度数，再结合的度数可求出的度数，从而确定与之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组的度数后，验证了这一猜想． (1)请补全下表： …… ……      ______ ______ …… (2)如图2，若，，那么______．（用含、的代数式表示），并加以证明； (3)在（2）的基础上作的垂直平分线，交的延长线于点F，连接．如图3，如果，请直接写出______． 【答案】(1)见解析(2)，证明见（1）(3) 【详解】（1）解：∵，∴，∴， ∵，的平分线交边于点D， ∴， ∴， 当时， ； 当时， ； 填表如下： …… ……      …… （2）解：由（1）可得， ∵，，∴； （3）解：由（1）可得， ∵，∴，∴； 由线段垂直平分线的性质可得，∴， ∵，的平分线交边于点D， ∴，∴． 模型1.高分线模型 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，， ，，，． 模型2.双垂直模型 条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高， 结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③。 证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°， ∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A， ∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。 ∵BD，CE是△ABC的两条高，∴，∴。 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线， 结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。      证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°， ∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD， ∵∠ACB=90°，CD是高线，∴，∴。 模型1.高分线模型 例1（24-25八年级上·四川南充·阶段练习）如图，中，分别是高线和角平分线，若，求的度数． 【答案】． 【详解】解：∵且，∴， ∵是的角平分线，∴，∴， 又∵是的高，∴，∴． 例2（24-25八年级上·广西玉林·期中）如图，在中，，分别是的高和角平分线， (1)请猜想、、的数量关系，并证明你的结论． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，证明见解析(2) 【详解】（1）解：． 证明：∵是的高，∴，∴， ∵是的角平分线，∴， ∵，∴ ，∴； （2）解：由（1）知：， ∵，，∴，∴的度数为． 例3（24-25八年级上·吉林·期中）小明在学习中遇到这样一个问题：如图①，在中，，平分，于点D，猜想的数量关系． (1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的特殊值求值并寻找它们的数量关系，得到下面几组对应值： 上表中______，猜想与的数量关系是______； (2)小明继续研究，在图②中，，其他条件不变，若把“于点D”改为“点F是线段上任意一点，于点D”，求的度数．小明通过“过点A作于点G，求出的度数”，使问题得到解决，请你按照小明的思路写出解答过程； (3)在中，，平分，若点F是线段延长线上一点，于点D，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）解：根据表格中对应值的规律得：，猜想：，理由如下： ∵，∴，∵平分，∴， ∵，∴， 又∵，∴， ∴，故答案为：，． （2）解：∵，，∴，∴， ∵平分，，∴由（1）的结论得：，∴， ∵，∴； （3）解：与之间的数量关系是：，理由如下： 过点A作于H，如图所示：∵∴，∴， ∵是的平分线，，∴由（1）的结论得：，∴． 例4（24-25七年级下·河南新乡·期中）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动． (1)【操作判断】在中，，，作的平分线交于点． ①操作一：在下图中，用三角尺作边上的高，垂足为点，求的度数；        ②操作二：如图1，在上任取点，作，垂足为点，直接写出的度数； (2)【迁移探究】操作三：如图2，将（1）中“在上任取点”改为“在的延长线上任取点”其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由； (3)【拓展应用】如图3、图4在中，，，是的平分线，在直线上任取点，过点作与直线交于点，请直接写出与，之间的数量关系．    【答案】(1)①；②(2)不变，理由见解析 (3)对于图3；对于图4 【详解】（1）解：①如图所示：         在中，，，， 是的平分线，， 是的一个外角，， 用三角尺作边上的高，垂足为点，； ②如图所示: 是的一个外角，， ，； （2）解：不变，理由如下：由（1）可知，， 是的一个外角，， ，； （3）解：如图所示：  在中，，，， 是的平分线，， 是的一个外角，， ，；如图所示：    在中，，，， 是的平分线，， ， ，； 综上所述，对于图3；对于图4． 模型2.双垂直模型 例1（2025·陕西·统考一模）如图，在中，分别是边上的高，并且交于点P，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是边上的高，∴，∵，∴， ∵是边上的高，∴，∴，故选：A． 例2（24-25八年级上·重庆大足·期末）已知在（不是直角三角形）中，边的高、边的高所在直线交于点，则的度数为 ． 【答案】或 【详解】解：如图，当与交于点时，∵边的高、边的高所在直线交于点， ∴，； 如图，是锐角三角形时，∵边的高、边的高所在直线交于点， ∴，； 如图，是钝角三角形时，是钝角，同理可求，，； 如图，是钝角三角形时，是钝角，同理可得；故答案为：或． 例3（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，的边上的高与边上的高的比值是 ． 【答案】2 【详解】∵的边上的高为，边上的高为， ∴，即，∴，故答案为：2． 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 例1（24-25七年级下·长春·期末）如图，在中，是斜边上的高，． （1）求的度数；（2）求的度数． 对于上述问题，在以下答题过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：（1）（已知）， ___________． （                                ）， （已知）， ______________________（等量代换）． （2）， ___________（等式的性质）． （已知）， ______________________（等量代换）． 【答案】（1）；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；；；（2）；； 【详解】解：（1）（已知），． （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， （已知），（等量代换）． 故答案为：；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；；； （2），（等式的性质）． （已知），（等量代换）． 故答案为：；； 例2（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，，D为垂足． (1)求证：；(2)若，求的值 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）解：在中，，， ，，； （2）解：，，． 例3（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，D是AB上一点，且．      (1)求证： 证明：∵在中，（已知） ∴（___________），又∵（已知），∴（等量代换）， ∵（___________），∴，∴． (2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：； (3)如图③．若E为上一点，交于点F，，，． ①___________；（用含m的代数式表示） ②四边形的面积是___________．（用含m的代数式表示） 【答案】(1)直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理；(2)见解析；(3)①；②． 【详解】（1）证明：∵在中，（已知）， ∴（直角三角形两锐角互余）， 又∵（已知），∴（等量代换）， ∵（三角形内角和定理），∴，∴． 故答案为：直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理； （2）证明：∵平分，∴， ∵，∴，，∴， 又∵，∴； （3）解：①∵，∴， ∵，∴，∴，故答案为：；    ②连接，设，则，∵，∴， ∵，∴， ∵，∴解得：， ∴四边形的面积，故答案为：． 1．（24-25·湖北武汉·八年级阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=5，CH⊥AB于H，则CH的长为（  ）. A．2.4 B．3 C．2.2 D．3.2 【答案】A 【详解】解：，解得CH=2.4，故选A. 2．（24-25八年级上·绵阳市·期中）如图，，，下列叙述正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，，∴，∴．其余的无法得出故选C． 3．（2025·山东·校考一模）如图，中，于点，于点，与相交于点，已知，，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵，，∴， ∴，，∴， 在与中，， ∴，∴， ∵，∴的面积，故答案为：． 4．（25-26八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，，分别是的角平分线和高线，且，，则 ． 【答案】 【详解】解：，，， 是的角平分线，， 是的高线，， ．故答案为：． 5．（25-26江苏常州·八年级校考阶段练习）如图，△ABC的两条高线AD，BE交于点F，∠BAD=45°，∠C=60°，则∠ABF的度数为 ． 【答案】15° 【详解】∵AD为△ABC的高线，∴∠ADC=90°，∵∠C=60°，∴∠DAC=90°-∠C=30°， ∵BE为△ABC的高线，∴∠AEF=90°，∴∠AFE=90°-∠FAE=90°-30°=60°， ∵∠AFE是△BFA的外角，∴∠ABF=60°-45°=15°，故答案为：15°． 6．（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，在中，点D在边上，，E为的中点，若，则的大小为 ． 【答案】/37度 【详解】解：∵，E为的中点，∴，，∴； ∵，∴，∴．故答案为：． 7．（25-26·辽宁沈阳·八年级校考阶段练习）在非直角三角形ABC中，∠A＝40°，高BD和高CE所在的直线相交于点H，则∠BHC＝ °． 【答案】140或40 【详解】解：①如图1，△ABC是锐角三角形时， ∵BD、CE是△ABC的高线，∴∠ADB＝90°，∠BEC＝90°， 在△ABD中，∵∠A＝40°，∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°，∴∠BHC＝∠ABD+∠BEC＝50°+90°＝140°； ②如图2，△ABC是钝角三角形时， ∵BD、CE是△ABC的高线，∴∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，∴∠A+∠ACE＝90°，∠BHC+∠HCD＝90°， ∵∠ACE＝∠HCD，∠A＝40°，∴∠BHC＝∠A＝40°． 综上所述，∠BHC的度数是140°或40°．故答案为：140或40． 8．（2025·广东广州·七年级校考阶段练习）如图，在中，，于D，求证：． 【答案】见解析 【详解】证：∵，∴ 又∵，∴ 又∵，∴∴ 9．（24-25八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，的高交于点，，求的度数． 【答案】 【详解】解：，，， ，，． 10．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，于点D，平分，，相交于点F，，，求和的度数． 【答案】； 【详解】解：，， ，． ，， 平分，，． 11．（24-25·浙江·八年级专题练习）对于下列问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．如图．在直角中，是斜边上的高，． (1)求的度数；(2)求的度数． 解：（1）（已知），______° ， （______）， ______° ______°（等量代换）， （2）（______）， _____（等式的性质）， （已知），______ ______°（等量代换）． 【答案】(1)；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；90；125 (2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；；；35 【详解】（1）解：已知，， 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和． 等量代换． （2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和， 等式的性质． 已知，等量代换． 12．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，平分交于点． (1)若点为线段上的一个点，过点作交的延长线于点． ①若，，则___________； ②写出与、之间的数量关系，并说明理由． (2)若点在线段的延长线上，过点作交直线于点，请你直接写出与的数量关系__________． 【答案】(1)①；②，理由见解析(2) 【详解】（1）解：①∵，，∴， ∵平分，∴，∴， ∵，∴；故答案为：； ②，证明如下：∵平分，， ∴， ∵， ∵，∴； （2）如图：∵平分，， ∴， ∵， ∵，∴．故答案为：. 13．（24-25上·河北唐山·八年级统考期中）如图，在中，，分别是的高和角平分线．    (1)若，，求的度数； (2)若，猜想与之间的数量关系，直接写出结论． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：在中，，，∴， ∵平分，∴， ∵是的高，∴，∴，∴， ∴； （2）解：，，， 在中，，分别是的高和角平分线， ，， ，． 14．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，求证：∠ACD=∠B；（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE=∠B，判断△ADE的形状？并说明理由？（3）如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C=90°，∠E=90°，点C，B，E在同一直线上，若AB⊥BD，AB=BD，则CE与AC，DE有什么等量关系，并证明． 【答案】（1）证明见解析（2）直角三角形（3）CE=AC+DE 【详解】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∴∠A+∠B =90°， ∵CD⊥AB，∴∠ACD+∠A=90°，∴∠ACD=∠B. （2）△ADE是直角三角形，理由如下：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∴∠A+∠B =90°， ∵∠ADE=∠B，∴∠A+∠ADE=90°，∴∠AED=90°，即△ADE得直角三角形. （3）CE=AC+DE，证明如下：∵点C、B、E在同一直线上，AB⊥BD，∴∠DBE+∠ABC=90°， ∵∠A+∠ABC=90°，∴∠A=∠DBE∵∠C=∠E=90°，AB=BD，∠A=∠DBE，∴△ABC≌△BDE， ∴BC=DE，AC=BE，∴CE=CB+BE=DE+AC. 15.（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）（1）如图①所示，在中，分别是的高和角平分线，若，，求的度数． （2）如图②所示，已知平分，交边于点E，过点F作于点D，，． ① ；（用含x的式子表示）; ②求的度数． 【答案】（1）；（2）①；② 【详解】解：（1）∵，，∴． ∵是的角平分线，∴． ∵是的高，∴，∴在中，， ∴． （2）①∵，，∴， ∵平分，∴ 故答案为：； ②∵平分，∴，∴， ∵，∴在中，． 16．（24-25八年级上·重庆·期中）同学们小学已经学习了三角形面积计算方法．如图（1）（2）是直角三角形，请你根据图中标注的量，解决下列问题： (1)如图（1），以为底，为高，可得三角形的面积为______；也可以以（提示：长为）为底，为高，可得三角形的面积为______． (2)根据（1）的启示，请列方程求出图（2）中的长（提示：长为）． 【答案】(1)6，6(2) 【详解】（1）解：根据题意得：， ，故答案为：6，6； （2）根据题意得：，即，解得：． 17．（24-25八年级上·山东期中）在中，是的平分线，是的高． (1)如图①，若，则_________． (2)如图①，，试说明与的数量关系． (3)拓展：如图②，四边形中，是的平分线，是的平分线，猜想：与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)(3)，理由见解析 【详解】（1）∵，∴． ∵是的平分线，∴． ∵是的高，∴．∵，∴． ∴.故答案为：； （2）∵，∴． ∵是的平分线，∴． ∵是的高，∴．∴， ∴， 即； （3）．理由如下： ∵是的平分线，是的平分线，∴， ∴． 又∵四边形中，， ∴． 18．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）综合与探究 【图形呈现】如图1，在中，是高，平分，． 【初步探究】（1）若，，试求的度数； 【探究发现】（2）善于思考的小聪，在（1）问的思考过程中发现，图1中，与始终存在固定的数量关系，请直接写出，与之间的数量关系：______； 【拓展探究】（3）勇于创新的小敏在图1的基础上，作垂直平分，交的延长线于点，连接，如图2，小敏通过观察和测量，发现，和存在如下数量关系：，请你证明这一数量关系的正确性． 【答案】（1）的度数为；（2）；（3）证明见解析． 【详解】解：（1）， 平分 ，故答案为：． （2），理由如下：在中，， ，平分，， ， ，，， ， ，故答案为：； （3）∵垂直平分，∴，， 在和中，∴，∴，即， ∵是的外角，是的外角，∴，， ∵平分，∴，∴，∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $