专题06 倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型（几何模型讲义）数学新教材北师大版七年级下册

专题06.倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.飞镖（燕尾）模型 6 模型2.鹰爪（风筝）模型 10 模型3.翻角模型 14 16 ‌ 燕尾模型（飞镖模型）‌因凹四边形的外轮廓酷似燕尾分叉或飞镖外形，教育工作者将其形象化命名以辅助记忆‌。凹四边形中，从顶点延伸的两条边如同燕尾分叉，而整体轮廓又像投掷的飞镖，这种具象化命名帮助学生快速联想图形特征。部分资料戏称其为“回旋镖模型”，强调角度关系循环往复的特点。‌ ‌鹰爪（‌风筝）模型‌强调图形末端的尖锐角如同鹰爪抓握状，更侧重动态联想。 翻角模型是‌动态几何思想‌与‌静态角度守恒‌的结合，通过操作发现不变量的过程，深化了对三角形刚性结构的理解。‌‌‌ 普及高峰期（‌2023–2025 年），这些倒角模型被纳入多地初中数学复习专题，配套口诀（如“见飞镖，找四角”、“内翻腋下和等上下和，外翻腋下差等折角倍”‌‌）广泛传播，这些模型将严谨的几何法则融入生活化的想象与口诀，让数学推理像解谜游戏一样充满乐趣！ （24-25七年级下·吉林长春·期末）【问题呈现】如图①，四边形形似“飞镖”，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上是凹四边形，通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即． 【探究推理】方法一：如图②，连结． ∵在中，，∴． 又∵在中，，∴， ∴，∴．即． 方法二：如图③，连结并延长至F．∵与分别为和的外角，… （1）“方法一”主要依据的数学定理是 ；（2）根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出余下的推理过程． 【迁移应用】（3）如图④， ；（4）如图⑤是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且的大小保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”）的大小为 度． （2024·贵州贵阳·二模）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考：（1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为 　 ，请说明理由； 深入探究：（2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 结论运用：（3）如图③，在四边形中，，，分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点的对应点恰好落在边上，且，．的度数为 　　； 1）飞镖模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 图1 图2 图3 图4 图5 2）鹰爪模型：如图2，结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 3）鹰爪模型（变形）：如图2，结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图5，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 图1 图2 飞镖模型拓展1：条件：如图1，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 飞镖模型拓展2：条件：如图2，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 模型1.飞镖（燕尾）模型 例1（24-25·山东·八年级校考阶段练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”． 如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢?下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”逃去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和． （即如图1，∠ADB=∠A+∠B+∠C）理由如下： 方法一：如图2，连结AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°， 又：在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C． 方法二：如图3，连结CD并延长至F，∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角，．．．．．．．．．． 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论． 任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是_________； (2)探索及应用：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分． 例2（24-25广东·八年级校考期末）（1）模型探究：如图1所示的“镖形”图中，请探究与、、的数量关系并给出证明；（2）模型应用：如图2，平分，平分，，，请直接写出的度数． 例3（24-25七年级下·四川成都·期中）如图所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，①如图，请直接写出与、、之间的关系：                              ②如图，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，直接写出的结果； ③如图，平分，平分，若，，求的度数； 例4（24-25江苏·七年级专题练习）探究与发现： 如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点B、C，若，则_____°；②如图3，平分，平分，若，，则______°；③如图4，，的10等分线相交于点，，…，，若，，求的度数． 例5（24-25浙江·八年级假期作业）如图所示，在中，，在上，，是上的任意一点，求证． 模型2.‌鹰爪（‌风筝）模型 例1（24-25七年级下·江苏常州·期末）画，在的两边上分别取点、，是平面内一点（点不在直线、、上），连接、．分别记、、为、、（本题中涉及的所有角均不超过）(1)若点在图1所示位置，则______（用含、、的代数式表示）； (2)若点在图2所示位置，则与、、之间有怎样的数量关系？请证明你的结论； 例2（24-25江苏宿迁·七年级校考期中）三角形内角和定理告诉我们：如图①三角形三个内角的和等于180°． (1)【定理推论】如图②，在△ABC中，有∠A+∠B+∠ACB=180°，点D是BC延长线上一点． 由平角的定义可得∠ACD+∠ACB=180°，所以∠ACD=________ ．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． (2)【初步运用】如图③，点D、E分别是△ABC的边AB、AC延长线上一点． ①若∠A=80°，∠DBC=150°，则∠ACB=_____°;②若∠A=80°，则∠DBC+∠ECB=______°． (3)【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形ABPC的边AB、AC延长线上一点． ①若∠A=80°，∠P=150°，则∠DBP+∠ECP= _____°； ②分别作∠DBP和∠ECP的平分线，交于点O，如图⑤，若∠O=50°，求∠A和∠P之间的数量关系； ③分别作∠DBP和∠ECP的平分线BM、CN，如图⑥，若∠A=∠P，求证：． 例3（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）在中，，点，分别是边，上的两个定点，点是平面内一动点． 初探：（1）如图1，若点在线段上运动，①当时，则　 ；②，，之间的数量关系为：　　． 再探：（2）若点运动到边的延长线上，交于，如图2，则，，之间有何关系？并说明理由． 拓展：（3）当点在的内部，且，，不共线时，记，，，探究，，之间的关系，并直接写出探究结论． 模型3.翻角模型 例1（24-25八年级上·江西新余·阶段练习）如图，把三角形纸片沿折叠，使点与点重合，且落在四边形的内部，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例2（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 例3（24-25吉林长春·七年级统考期末）如图，是一张三角形的纸片，点、分别是边、上的点将沿折叠，点A落在点的位置． (1)如图①，当点落在边上时，若，求的大小． (2)如图②，当点落在内部时，若，，求的大小． (3)当点落在外部时，如图③，若，，则______；如图④，、和的数量关系为______． 1．（25-26八年级上·重庆期末）如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变，试着找一找这个规律你发现的规律是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，则与之间保持一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26·广东广州·八年级期中）如图，∠1，∠2，∠3，∠4满足的关系式是（    ） A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B．∠1＋∠2＝∠4－∠3 C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D．∠1＋∠4＝∠2－∠3 4．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点，分别在边，上，将沿着折叠压平，与重合，若，则 ． 5．（25-26·山西临汾·七年级期末）如图，在△ABC中，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若∠1−∠2=60°，则∠B的度数是 ． 6．（25-26·吉林·八年级期末）图1是用一种彭罗斯瓷砖平铺成的图案，它的基础部分是“风筝”和“飞镖”两郎分，图2中的“风筝”和“飞镖”是由图3所示的特殊菱形制作而成．在菱形中，，在对角线上截取，连按，，可将菱形分割为“风筝”（凸四边）和“飞镖”（凹四边形）两部分，则图2中的 °． 7．（25-26·四川达州·八年级期末）如图，，，分别是四边形的外角，判定下列大小关系：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号） 8．（2025·河北保定·模拟预测）如图，用铁丝折成一个四边形ABCD（点C在直线BD的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分线的夹角∠E的度数为100°，可保持∠A不变，将∠BCD （填“增大”或“减小”） °． 9．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，若，则的大小为 ． 10．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，直线分别交，和的延长线于点．求的度数． 11．（24-25八年级上·广东珠海·期中）互动学生课堂上，某小组同学对一个课题展开了探究． 小亮：已知，如图三角形，点D是三角形内一点，连接，试探究与、、之间的关系． 小明：可以用三角形内角和定理去解决． 小丽：用外角的相关结论也能解决． (1)请你在横线上补全小明的探究过程： ∵，（   ）∴．（等式性质） ∵，∴． ∴．（   ） (2)请你按照小丽的思路完成探究过程； 12．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图所示的四边形． (1)写出之间的数量关系是_______； (2)若，平分，平分，利用（1）的结论证明：． 13．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）【问题背景】同学们，我们已经学习过三角形外角的性质：“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．”那么三角形的两个外角与它们不相邻的内角之间有怎样的数量关系呢？四边形的两个外角与它们不相邻的内角之间的数量关系又如何呢？ 【问题初探】（1）如图1，，是的两个外角． ①，与之间的数量关系是 ；②请用无刻度的直尺和圆规作，的平分线，相交于点，试探究与之间的数量关系，并证明你的结论； 【问题再探】（2）如图2，，是四边形的两个外角． ①，与，之间的数量关系是 ； ②如图3，，的平分线，相交于点，若，，则的度数是 °； 【迁移拓展】（3）如图4，平分，平分，当与满足怎样的数量关系时，直线．请说明理由． 14.（24-25八年级上·山东威海·期末）在四边形中，，点分别是边上的点，点是一动点，连接，令． 初探：(1)如图①，若点在线段上运动，试探究与之间的关系，并说明理由； 再探：(2)如图②，若点在线段的延长线上运动，试探究之间的关系，并说明理由； (3)若点运动到四边形的内部，在备用图中画出此时的图形，并直接写出此时间的关系______． 15．（24-25·福建泉州·七年级校联考期中）中，，点、分别是边、上的两个定点，点是平面内一动点，令，，． 初探：(1)如图，若点在线段上运动， ①当时，则______ ；②、、之间的关系为：______ ． (2)再探：若点运动到边的延长线上，如图，则、、之间有何关系？并说明理由． (3)拓展：请你试着给出一个点的其他位置，在图中补全图形，写出此时、、之间的关系，并说明理由． 16.（24-25八年级上·重庆巴南·阶段练习）中，，点D和点E分别是边和上的点，点P是一动点．令． (1)若点P在线段上，如图（1）所示，且，则________；若点P在线段上运动，如图（2）所示，则之间的关系是________________．(2)若点P运动到边的延长线上，如图（3）所示，则之间有何关系？猜想并说明理由．若点P运动到外，如图（4）所示，则的关系仍然成立吗？若不成立，请直接写出它们的关系式． 17．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）直角三角形中，，点D，E分别在上，将沿翻折，得到． (1)如图①，若，则 ； (2)如图②，的平分线交线段于点G．若．求证． (3)已知，的平分线交直线于点G．当的其中一条边与平行时，直接写出的度数（可用含的式表示）． 18．（24-25·江苏·七年级统考期中）【概念学习】在平面中，我们把大于且小于的角称为优角，如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组． （1）若、互为组角，且，则________； 【理解运用】习惯上，我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形． （2）如图①，在镖形中，优角与钝角互为组角，试探索内角、、与钝角之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图②，________；（用含的代数式表示） （4）如图③，已知四边形中，延长、交于点，延长、交于，、的平分线交于点，；①写出图中一对互组的角________（两个平角除外）； ②直接运用（2）中的结论，试说明：； （5）如图④，、分别为，的2019等分线（）．它们的交点从上到下依次为，，，…，．已知，，则_______．（用含、的代数式表示） 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06.倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.飞镖（燕尾）模型 6 模型2.鹰爪（风筝）模型 10 模型3.翻角模型 14 16 ‌ 燕尾模型（飞镖模型）‌因凹四边形的外轮廓酷似燕尾分叉或飞镖外形，教育工作者将其形象化命名以辅助记忆‌。凹四边形中，从顶点延伸的两条边如同燕尾分叉，而整体轮廓又像投掷的飞镖，这种具象化命名帮助学生快速联想图形特征。部分资料戏称其为“回旋镖模型”，强调角度关系循环往复的特点。‌ ‌鹰爪（‌风筝）模型‌强调图形末端的尖锐角如同鹰爪抓握状，更侧重动态联想。 翻角模型是‌动态几何思想‌与‌静态角度守恒‌的结合，通过操作发现不变量的过程，深化了对三角形刚性结构的理解。‌‌‌ 普及高峰期（‌2023–2025 年），这些倒角模型被纳入多地初中数学复习专题，配套口诀（如“见飞镖，找四角”、“内翻腋下和等上下和，外翻腋下差等折角倍”‌‌）广泛传播，这些模型将严谨的几何法则融入生活化的想象与口诀，让数学推理像解谜游戏一样充满乐趣！ （24-25七年级下·吉林长春·期末）【问题呈现】如图①，四边形形似“飞镖”，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上是凹四边形，通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即． 【探究推理】方法一：如图②，连结． ∵在中，，∴． 又∵在中，，∴， ∴，∴．即． 方法二：如图③，连结并延长至F．∵与分别为和的外角，… （1）“方法一”主要依据的数学定理是 ；（2）根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出余下的推理过程． 【迁移应用】（3）如图④， ；（4）如图⑤是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且的大小保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”）的大小为 度． 【答案】（1）三角形的内角和等于 ；（2）推理过程见解析；（3）；（4）减少，10 【详解】解：（1）三角形的内角和等于 ，故答案为：三角形的内角和等于； （2）∵，∴， ∵，∴； （3）如图，延长交于点F，∵， ∴，故答案为：； （4）延长，交于点G，如图：∵，∴． ∵，∴． ∵，∴，∴． 而图中，∴应减少．故答案为：减少，10． （2024·贵州贵阳·二模）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考：（1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为 　 ，请说明理由； 深入探究：（2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 结论运用：（3）如图③，在四边形中，，，分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点的对应点恰好落在边上，且，．的度数为 　　； 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）； 【详解】解：（1），理由如下：连接，如图①， 将三角形纸片沿折叠，点落在四边形内点的位置，． ，，， 即；故答案为：； （2），理由如下：设与交于点，如图②， ，，，； （3）延长交的延长线于，由（2）中结论可知，如图③， ，．，．故答案为：； 1）飞镖模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 图1 图2 图3 图4 图5 2）鹰爪模型：如图2，结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 3）鹰爪模型（变形）：如图2，结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图5，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 图1 图2 飞镖模型拓展1：条件：如图1，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 飞镖模型拓展2：条件：如图2，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 模型1.飞镖（燕尾）模型 例1（24-25·山东·八年级校考阶段练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”． 如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢?下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”逃去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和． （即如图1，∠ADB=∠A+∠B+∠C）理由如下： 方法一：如图2，连结AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°， 又：在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C． 方法二：如图3，连结CD并延长至F，∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角，．．．．．．．．．． 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论． 任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是_________； (2)探索及应用：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分． 【答案】(1)三角形的内角和定理 (2)见解析 【详解】（1）由解题过程可得，“方法一”主要依据的一个数学定理是三角形的内角和定理， 故答案为：三角形的内角和定理； （2）连结CD并延长至F，∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角， ，，即． 例2（24-25广东·八年级校考期末）（1）模型探究：如图1所示的“镖形”图中，请探究与、、的数量关系并给出证明；（2）模型应用：如图2，平分，平分，，，请直接写出的度数． 【答案】（1）=++，理由见详解；（2）21° 【详解】解：（1）=++，理由如下：连接CD并延长到点E， ∵∠ADE＝∠ACD＋∠A，∠BDE＝∠BCD＋∠B， ∴∠ADE＋∠BDE＝∠ACD＋∠A＋∠BCD＋∠B，∴=++． （2）由第（1）题可得：=++，∴∠ADB-∠ACB=∠A+∠B=66°+24°=90°， ∵平分，平分，∴∠EDO-∠BCO=（∠ADB-∠C）=×90°=45°， ∵∠DOE=∠BOC，∴∠EDO+∠E=∠BCO+∠B， ∴∠B-∠E=∠EDO-∠BCO=45°，∴∠E=∠B-45°=66°-45°=21°． 例3（24-25七年级下·四川成都·期中）如图所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，①如图，请直接写出与、、之间的关系：                              ②如图，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，直接写出的结果； ③如图，平分，平分，若，，求的度数； 【答案】①；②；③． 【详解】解：①，理由如下：过点、作射线， ，， ，即， 故答案为：； ②，由①知：， ，； ③，，， 平分，平分，，， ，． 例4（24-25江苏·七年级专题练习）探究与发现： 如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点B、C，若，则_____°；②如图3，平分，平分，若，，则______°；③如图4，，的10等分线相交于点，，…，，若，，求的度数． 【答案】(1)(2)①40，②90，③70° 【详解】（1），理由如下：连接并延长至点F， 由外角定理可得，， ∵，∴， ∵，∴； （2）①由（1）的结论易得：， ∵，，∴，故答案是：40； ②由（1）的结论易得，， ∵，，∴； ∵平分，平分，∴，， ∴； ③由②知，，∵，∴设为， ∵，∴，∴，∴为70°．故答案是：70°． 例5（24-25浙江·八年级假期作业）如图所示，在中，，在上，，是上的任意一点，求证． 【详解】作点关于的对称点，则点落在线段CD上．连接交于点，连接． 由轴对称图形的性质可得，． 在中，，在中，． 因此，所以． 模型2.‌鹰爪（‌风筝）模型 例1（24-25七年级下·江苏常州·期末）画，在的两边上分别取点、，是平面内一点（点不在直线、、上），连接、．分别记、、为、、（本题中涉及的所有角均不超过）(1)若点在图1所示位置，则______（用含、、的代数式表示）； (2)若点在图2所示位置，则与、、之间有怎样的数量关系？请证明你的结论； 【答案】(1) (2)，见解析 【详解】（1）解∶连接，则，， ∴， ∴，即， ∴，故答案为：； （2）解：连接，则，， ∴， ∴，即， ∴∴； 例2（24-25江苏宿迁·七年级校考期中）三角形内角和定理告诉我们：如图①三角形三个内角的和等于180°． (1)【定理推论】如图②，在△ABC中，有∠A+∠B+∠ACB=180°，点D是BC延长线上一点． 由平角的定义可得∠ACD+∠ACB=180°，所以∠ACD=________ ．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． (2)【初步运用】如图③，点D、E分别是△ABC的边AB、AC延长线上一点． ①若∠A=80°，∠DBC=150°，则∠ACB=_____°;②若∠A=80°，则∠DBC+∠ECB=______°． (3)【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形ABPC的边AB、AC延长线上一点． ①若∠A=80°，∠P=150°，则∠DBP+∠ECP= _____°； ②分别作∠DBP和∠ECP的平分线，交于点O，如图⑤，若∠O=50°，求∠A和∠P之间的数量关系； ③分别作∠DBP和∠ECP的平分线BM、CN，如图⑥，若∠A=∠P，求证：． 【答案】(1)(2)；(3)； ；证明见解析 【详解】（1）∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∠ACD+∠ACB＝180°，∴∠ACD＝∠A+∠B，故答案为：∠A+∠B； （2）①∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠A＝80°，∠DBC＝150°，∴∠ACB＝∠DBC-∠A＝70°，故答案为：70； ②∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC， ∴∠DBC+∠ECB＝(∠A+∠ACB)+(∠A+∠ABC)＝∠A+(∠ACB+∠A+∠ABC)＝∠A+180°， ∵∠A＝80°，∴∠DBC+∠ECB＝260°，故答案为：260； （3）①连接AP，如图，∵∠DBP＝∠BAP+∠BPA，∠ECP＝∠CAP+∠CPA， ∴∠DBP+∠ECP＝∠BAP+∠BPA+∠CAP+∠CPA＝∠BAC+∠BPC， ∵∠BAC＝80°，∠BPC＝150°，∴∠DBP+∠ECP＝230°，故答案为：230； ②设∠DBO＝x，∠OCE＝y，则∠DBO＝∠OBP＝x，∠PCO＝∠OCE＝y， 则：x+y＝∠A+∠O，2x+2y＝∠A+∠P，∴2∠A+2∠O＝∠A+∠P． ∵∠O＝50°，∴∠P＝∠A+100°，故答案为：∠P＝∠A+100°； ③证明：延长BP交CN于点Q，如图： ∵BM平分∠DBP，CN平分∠ECP，∴∠DBP＝2∠MBP，∠ECP＝2∠NCP， ∵由①知：∠DBP+∠ECP＝∠A+∠BPC，又∠A＝∠BPC， ∴2∠MBP+2∠NCP＝∠A+∠BPC＝2∠BPC，∴∠BPC＝∠MBP+∠NCP． ∵∠BPC＝∠PQC+∠NCP，∴∠MBP＝∠PQC，∴． 例3（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）在中，，点，分别是边，上的两个定点，点是平面内一动点． 初探：（1）如图1，若点在线段上运动，①当时，则　 ；②，，之间的数量关系为：　　． 再探：（2）若点运动到边的延长线上，交于，如图2，则，，之间有何关系？并说明理由． 拓展：（3）当点在的内部，且，，不共线时，记，，，探究，，之间的关系，并直接写出探究结论． 【答案】（1）①130度；②；（2）；（3）或 【详解】解：（1）①如图1中，连接．，， ， ，，．故答案为：； ②由①可知，，故答案为：． （2）结论：．理由：如图2中， ，，． （3）结论：．理由： 如图3中，当在 内部时，，， ，． 当在四边形内部时，． 模型3.翻角模型 例1（24-25八年级上·江西新余·阶段练习）如图，把三角形纸片沿折叠，使点与点重合，且落在四边形的内部，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵三角形纸片沿折叠，使点与点重合，且落在四边形的内部， ∴，，， ∵，，∴，， ∴， ∵，∴， ∴，∴，故选：A． 例2（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设与交于点，由折叠的性质可得：，由三角形外角的性质可得：    ，，故选：． 例3（24-25吉林长春·七年级统考期末）如图，是一张三角形的纸片，点、分别是边、上的点将沿折叠，点A落在点的位置． (1)如图①，当点落在边上时，若，求的大小． (2)如图②，当点落在内部时，若，，求的大小． (3)当点落在外部时，如图③，若，，则______；如图④，、和的数量关系为______． 【答案】(1)；(2)；(3)①；②． 【详解】（1）由折叠可知：， ，； （2）由折叠可知：，， ，，， ，，， ，； （3）如图，由折叠可知：，， ，，， ，，， ，，故答案为：； 如图，由折叠可知：，， ，，， ，， ， 即．故答案为：． 1．（25-26八年级上·重庆期末）如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变，试着找一找这个规律你发现的规律是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：画出折叠之前的部分，如下图所示，连接，由折叠的性质可知 ∵∠1是的外角，∠2是的外角∴∠1=，∠2= ∴∠1＋∠2=＋= == 故选A． 2．（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，则与之间保持一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，记的交点为，∴， ∵， ∴，整理得，，故选：D． 3．（25-26·广东广州·八年级期中）如图，∠1，∠2，∠3，∠4满足的关系式是（    ） A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B．∠1＋∠2＝∠4－∠3 C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D．∠1＋∠4＝∠2－∠3 【答案】D 【详解】解：∵∠6是△ABC的外角，∴∠1+∠4=∠6①， 又∵∠2是△CDF的外角，∴∠6=∠2-∠3②， 由①和②得：∠1+∠4=∠2-∠3．故选D． 4．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点，分别在边，上，将沿着折叠压平，与重合，若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵将沿着折叠压平，与重合， ∴，， ∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，故答案为：． 5．（25-26·山西临汾·七年级期末）如图，在△ABC中，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若∠1−∠2=60°，则∠B的度数是 ． 【答案】30° 【详解】解：如图所示：由折叠的性质得：∠D=∠B，根据外角性质得：∠1=∠3+∠B，∠3=∠2+∠D， ∴∠1=∠2+∠D+∠B=∠2+2∠B，∴∠1-∠2=2∠B=60°．∴∠B=30°，故答案为：30°． 6．（25-26·吉林·八年级期末）图1是用一种彭罗斯瓷砖平铺成的图案，它的基础部分是“风筝”和“飞镖”两郎分，图2中的“风筝”和“飞镖”是由图3所示的特殊菱形制作而成．在菱形中，，在对角线上截取，连按，，可将菱形分割为“风筝”（凸四边）和“飞镖”（凹四边形）两部分，则图2中的 °． 【答案】144 【详解】在菱形中， ， ， 在 与中 故答案为：144 7．（25-26·四川达州·八年级期末）如图，，，分别是四边形的外角，判定下列大小关系：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】① 【详解】解：如图，连接，∵，， ∴，故①正确，②不正确； ∵多边形的外角和是，∴，故③④不正确，故答案为：①． 8．（2025·河北保定·模拟预测）如图，用铁丝折成一个四边形ABCD（点C在直线BD的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分线的夹角∠E的度数为100°，可保持∠A不变，将∠BCD （填“增大”或“减小”） °． 【答案】 增大 10 【详解】解：如图，连接AE并延长，连接AC并延长， ∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠BAD+∠ADE=100°， ∵∠BAD＝70°，∴∠ABE+∠ADE=30°，∵BE，DE分别是∠ABC、∠ADC平分线， ∴∠ABC+∠ADC=2（∠ABE+∠ADE）=60°， 同上可得，∠BCD=∠BAD+∠ABC+∠ADC=130°，130°-120°=10°， ∴∠BCD增大了10°．故答案为：增大，10． 9．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，若，则的大小为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 10．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，直线分别交，和的延长线于点．求的度数． 【答案】 【详解】解：∵，，∴， ∵，，∴，∴． 11．（24-25八年级上·广东珠海·期中）互动学生课堂上，某小组同学对一个课题展开了探究． 小亮：已知，如图三角形，点D是三角形内一点，连接，试探究与、、之间的关系． 小明：可以用三角形内角和定理去解决． 小丽：用外角的相关结论也能解决． (1)请你在横线上补全小明的探究过程： ∵，（   ）∴．（等式性质） ∵，∴． ∴．（   ） (2)请你按照小丽的思路完成探究过程； 【答案】(1)三角形内角和定理；等量代换(2)见详解 【详解】（1）解：∵，（三角形内角和定理） ∴，（等式性质） ∵，∴， ∴（等量代换）．故答案为：三角形内角和定理；等量代换； （2）证明：如图，延长交于，由三角形的外角性质可知，， ∴． 12．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图所示的四边形． (1)写出之间的数量关系是_______； (2)若，平分，平分，利用（1）的结论证明：． 【答案】(1)，理由见详解(2)见详解 【详解】（1）解：连接，如图，则，， ∵ ，∴； （2）证明：∵平分，平分，∴，， 由（1）知，则， 那么，，∵，∴， ∵，∴，则． 13．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）【问题背景】同学们，我们已经学习过三角形外角的性质：“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．”那么三角形的两个外角与它们不相邻的内角之间有怎样的数量关系呢？四边形的两个外角与它们不相邻的内角之间的数量关系又如何呢？ 【问题初探】（1）如图1，，是的两个外角． ①，与之间的数量关系是 ；②请用无刻度的直尺和圆规作，的平分线，相交于点，试探究与之间的数量关系，并证明你的结论； 【问题再探】（2）如图2，，是四边形的两个外角． ①，与，之间的数量关系是 ； ②如图3，，的平分线，相交于点，若，，则的度数是 °； 【迁移拓展】（3）如图4，平分，平分，当与满足怎样的数量关系时，直线．请说明理由． 【答案】（1）①；②，见解析；（2）①；②；（3）当时，，见解析 【详解】解：（1）①解：∵，是的两个外角． ∴ ∴；故答案为：． ②. 证明如下：∵，分别平分，， ∴，，∴， ∵，∴， ∵在中，，∴. （2）①如图，连接，∵，是，的外角 ∴， ∴； 故答案为：． ②∵，，∴ ∵，的平分线，相交于点，∴ 由①可得，∴故答案为：； （3）当时，.理由如下：延长交于点， ∵，分别平分，，∴，， ∴. ∵，∴. ∵，∴. ∵，∴，∴. 14.（24-25八年级上·山东威海·期末）在四边形中，，点分别是边上的点，点是一动点，连接，令． 初探：(1)如图①，若点在线段上运动，试探究与之间的关系，并说明理由； 再探：(2)如图②，若点在线段的延长线上运动，试探究之间的关系，并说明理由； (3)若点运动到四边形的内部，在备用图中画出此时的图形，并直接写出此时间的关系______． 【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：，理由如下；由题意知，， ∵，∴； （2）解：，理由如下；如图②，记的交点为， 由题意知，，∵， ∴，即； （3）解：如图备用图，由题意知，， ∴，故答案为：． 15．（24-25·福建泉州·七年级校联考期中）中，，点、分别是边、上的两个定点，点是平面内一动点，令，，． 初探：(1)如图，若点在线段上运动， ①当时，则______ ；②、、之间的关系为：______ ． (2)再探：若点运动到边的延长线上，如图，则、、之间有何关系？并说明理由． (3)拓展：请你试着给出一个点的其他位置，在图中补全图形，写出此时、、之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)，(2)．理由见解析(3)．理由见解析 【解析】(1)①如图1中，连接PC．∵∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠ECP+∠CPE， ∴∠1+∠2＝∠DCP+∠DPC+∠ECP+∠EPC＝∠ACB+∠DPE＝∠ACB+∠α， ∵∠ACB＝70°，∠α＝60°，∴∠1+∠2＝60°+70°＝130°． ②由①可知，∠1+∠2＝∠ACB+∠α＝70°+∠α，故答案为130，70°+∠α． (2)结论：∠1＝70°+∠2+∠α． 理由：如图2中，∵∠1＝∠C+∠CFD，∠CFD＝∠2+∠α，∴∠1＝70°+∠2+∠α． (3)结论：∠1+∠2＝430°﹣∠α．理由：如图3中，∵∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠ECP+∠CPE， ∴∠1+∠2＝∠DCP+∠DPC+∠ECP+∠EPC＝∠ACB+360°﹣∠DPE＝70°+360°﹣∠α， ∴∠1+∠2＝430°﹣∠α． 16.（24-25八年级上·重庆巴南·阶段练习）中，，点D和点E分别是边和上的点，点P是一动点．令． (1)若点P在线段上，如图（1）所示，且，则________；若点P在线段上运动，如图（2）所示，则之间的关系是________________．(2)若点P运动到边的延长线上，如图（3）所示，则之间有何关系？猜想并说明理由．若点P运动到外，如图（4）所示，则的关系仍然成立吗？若不成立，请直接写出它们的关系式． 【答案】(1)； (2)，理由见解析；不成立， 【详解】（1）解：∵，， ∴．∵，，∴； ∵，∴；故答案为：，； （2）解：，理由如下，如图，设交于点F， ∵，，∴；不成立，如图，设交于点G， ∵，，， ∴， ∴． 17．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）直角三角形中，，点D，E分别在上，将沿翻折，得到． (1)如图①，若，则 ； (2)如图②，的平分线交线段于点G．若．求证． (3)已知，的平分线交直线于点G．当的其中一条边与平行时，直接写出的度数（可用含的式表示）． 【答案】(1)30(2)见解析(3)或或或 【详解】（1）解：∵，∴， ∵翻折，∴，∴； （2）解：∵的平分线交线段于点G，∴， ∵，设，∴， ∵翻折，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴； （3）解：①当，如图①所示：∴，∵，∴， ∵翻折，∴，∴， ∵的平分线交线段于点G，∴， ∵，∴； ②当，如图②所示：  ∴， ∴，∴， ∵的平分线交线段于点G，∴， ∵，∴； ③当，如图③所示：∴，    ∵翻折，，∴，∴， ∵的平分线交线段于点G，∴， ∵，∴； ④当时，在的下方，如图④所示：∴， ∵的平分线交线段于点G，∴，∴； ⑤当时，在的下方，如图⑤所示：∴， ∵翻折，，∴， ∵的平分线交线段于点G，∴，∴； 综上所述，或或或． 18．（24-25·江苏·七年级统考期中）【概念学习】在平面中，我们把大于且小于的角称为优角，如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组． （1）若、互为组角，且，则________； 【理解运用】习惯上，我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形． （2）如图①，在镖形中，优角与钝角互为组角，试探索内角、、与钝角之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图②，________；（用含的代数式表示） （4）如图③，已知四边形中，延长、交于点，延长、交于，、的平分线交于点，；①写出图中一对互组的角________（两个平角除外）； ②直接运用（2）中的结论，试说明：； （5）如图④，、分别为，的2019等分线（）．它们的交点从上到下依次为，，，…，．已知，，则_______．（用含、的代数式表示） 【答案】（1）225°；（2）钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D；（3）2α；（4）①优角∠PCQ与钝角∠PCQ；②见解析；（5） 【详解】解：（1）∵∠1、∠2互为组角，且∠1=135°，∴∠2=360°-∠1=225°； （2）钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D．理由如下： 如图①，∵在四边形ABCD中，∠A+∠B+优角∠BCD+∠D=360°， 又∵优角∠BCD+钝角∠BCD=360°，∴钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D； （3）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2α； （4）①优角∠PCQ与钝角∠PCQ； ②∵∠APD、∠AQB的平分线交于点M，∴∠AQM=∠BQM，∠APM=∠DPM． 令∠AQM=∠BQM=α，∠APM=∠DPM=β．∵在镖形APMQ中，有∠A+α+β=∠PMQ， 在镖形APCQ中，有∠A+2α+2β=∠QCP，∴∠QCP+∠A=2∠PMQ， ∵∠A+∠QCP=180°，∴∠PMQ=90°．∴PM⊥QM； （5）如图， 由题意知，， ，， ， ， 则，代入得： ， 解得：， ，，． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $