专题05 平行线中的拐点模型之蛇形模型（5字模型）（几何模型讲义）数学新教材北师大版七年级下册

专题05.平行线中的拐点模型之蛇形模型（“5”字模型） 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（蛇形模型（“5”字模型））进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.蛇形模型 4 12 蛇形模型（5字模型）是初中几何中“平行线拐点模型”的一种，其核心是通过“见拐点作平行线”将复杂角度关系转化为平行线性质的应用。这个模型的名字来源于其形状类似蛇的弯曲形态，这个形象化的命名让这个几何模型更容易被记住和理解。在解题时，过拐点作一条平行线，就能利用内错角、同位角等性质，将拐角拆解为其他角的和或差，从而快速求解。 （2025·山西·模拟预测）电影《哪吒之魔童闹海》是亚洲首部票房过百亿的影片，从如图①所示的哪吒动作抽象出如图②的示意图，已知，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，过点E作， ∵，∴，∴，∴， 如图所示，过点F作，∴， ∵，∴，∴， ∴，故选：A． （24-25七年级下·辽宁阜新·期中）学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组提出如下问题：已知：如图，． 【初步感知】(1)如图1，若，求的度数； 【拓展延伸】(2)如图2，当点、在两平行线之间，且在位于异侧时，求证：； 【类比探究】(3)如图3，若，，若，，直接写出的度数． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：，， ，，； （2）证明：过点作交于点，如图所示： ，，，，， ，，， ，，； （3）解：设和的交点为，如图所示： 由（2）可知，， ，，， ，，， ，，， ，，． 蛇形模型（“5”字模型） 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 图1 图2 【证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB. ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°， ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 模型1.蛇形模型 例1（2025·河南·模拟预测）如图，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点E作的平行线， ∵，∴，∵，∴，∴， ，∴，∴，解得：， ∴，解得：，故选：C． 例2（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即），若，，则的度数是 ． 【答案】/116度 【详解】解：如图，过点作，∴， ∵，∴，由题意可知，， ∴，∴，故答案为：． 例3（24-25七年级下·山东·期中）如图，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，作， ∵，∴，∴，，∴， ∴，∴．故选：C． 例4（24-25七年级上·四川乐山·期末）已知如图1，线段，在、间取一点（点不在直线上），连接、， (1)请探索与、之间的关系，并说明理由． (2)若点在图的位置时，请探索与、之间的关系，并说明理由． (3)若点的位置如图和图，请分别写出图和图中与、之间的关系． 【答案】(1)(2) (3)图中：，图中： 【详解】（1）解：如图：过点作，， ，，， ，， （2）如图：过点作，， ，， ，，； （3）解：图中：∠APC+∠A-∠C=180°，图中：∠APC-(∠A-∠C)=180°， 理由如下：过点作，， ，，， ，，； 如图：过点作，， ∵，∴，， ，，， 例5（24-25八年级上·河南郑州·开学考试）课题学习：平行线的“等角转化”功能． 如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数． 解：过点A作，∴________，________． 又∵．∴． 【问题解决】（1）阅读并补充推理过程． 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知，，求的度数．（提示：过点E作或的平行线） 【深化拓展】（3）如图3，如图，，，分别平分，，且所在直线交于点F，，则_______． 【答案】（1），；（2）；（3） 【详解】解： （1）过点A作，∴，， 又∵，∴；故答案为：，； （2）过点E作，如图， ∵，∴，∴，， ∴，∴； （3）过E点作，过F点作，如图， ∵，∴，∵平分，平分， ∴，，设，， ∵，，∴，， ∵，∴，， ∵，∴， ∴，∴，故答案为：． 例6（24-25七年级下·江苏南京·期末）学习了“平行线”和“三角形”内容后，某兴趣小组探索了如下问题：如图，点、在、之间，且位于的两侧，连接、、. (1)如图①，若，，，则________； (2)如图②，若，求证：； (3)如图③，若、相交于点，， （Ⅰ）直接写出、、、满足的关系； （Ⅱ）若，，.平面内存在一点，连接、，使，，直接写出的度数（用含、的式子表示）. 【答案】(1)(2)见解析 (3)（Ⅰ）；（Ⅱ）或或或 【详解】（1）解：延长交于点G， ∵，∴， 又∵∠AEF=∠F，∴，∴； （2）证明：连接交于点H， 根据三角形的内角和定理可得， 又∵，∴， ∴； （3）（Ⅰ）延长交于点M，则， 又∵，∴， ∴； （Ⅱ）解：∵，，，∴， ∵，，∴，， ①如图，当，在和内部时， 根据三角形的内角和定理得，即，解得； ②如图，当在的外部，在内部时，连接并延长到点N， 根据三角形的外角可得， 即，解得：； ③当在的内部，在外部时， 由②可得； ④当，在和外部时， 由①得，即，解得：； 例7（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）问题情境：如图1，，，，求度数．小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为______度； (2)问题迁移：①如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系； ②如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系； (3)问题解决：①图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，其中北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次连接，天文小组发现若恰好经过点，且，，，那么与有什么关系？请说明 ②连接，与满足______时，． 【答案】(1)(2)①，理由见解析；    ②当点在的延长线上时，；当点在线段上时，(3)①；② 【详解】（1）解：过点作， ∵，，，∴， ∴，， ∴，故答案为：； （2）．理由：如图，过点作交于， ∵，，，∴， ∴，，∴； ②如图，当点在的延长线上时，， 过点作交于， ∵，，，∴， ∴，，∴； 如图，当点在线段上时，，过点作交于， ∵，，，∴， ∴，，∴． （3）①∵，，由（2）得：， ∵∴，∴， ②如图所示，过点作交于点 当时，，∴，∵，∴， ∵，∴，∴．故答案为：． 1．（24-25下·安徽黄山·七年级校考期末）如图，已知，，，则的度数是（　　）    A． B． C．7 D． 【答案】C 【详解】解：过C作，    ∵，∴，∴，， ∵，∴ ∴．故选：C． 2．（2025·四川·校考三模）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点，拐弯后与原来方向相同，如图，若，则等于（    ） A．50° B．40° C．30° D．20° 【答案】D 【详解】解：过点C作，∴， ∵∴； ∵，∴； 由题意，∴，∴．故选：D 3．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，，于点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如下图所示，过点作，，，， ，，，． 故选：D ． 4．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴， ∴，故选：A． 5．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，，，则、、之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如下图所示，把分别向两个方向延长，分别交于点，交于点， ，，，， ，， 是的外角，，，整理得：．故选：D． 6．（24-25七年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴，又∵，∴，∴， ∴，故选：A． 7．（24-25下·安徽·九年级专题练习）如图，已知：，，求证：．在证明该结论时，需添加辅助线，则以下关于辅助线的作法不正确的是（    ）    A．延长交的延长线于点 B．连接 C．分别作，的平分线， D．过点作（点在点左侧），过点作（点在点左侧） 【答案】C 【详解】解：A、如图，∵，∴， ∵∴，∴，故此选项不符合题意；       B、如图，∵，∴， ∵，∴，∴，故此选项不符合题意； C、如图，由平分，平分， 没有条件说明与相等，也没有条件说明与平行， ∴此辅助线的作法不能说明与平行，故此选项符合题意；       D、如图，延长交于点， ∵，，，∴， ∴，，∵，∴， ∴，故此选项不符合题意．故选：C． 8．（24-25下·广东·七年级校考期末）如图，是某运动员在一次山地自行车越野赛中经过的路线，已知第一次的拐角，第三次的拐角，若第三次拐弯后的道路恰好与第一次拐弯前的道路平行，则第二次的拐角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，过点作直线，∴． ∵，且，∴，∴， ∴ 故选：A． 9．（24-25下·广东七年级期中）如图，，，，则的度数为 °． 【答案】90 【详解】解：作，如图所示： ∵，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴．故填：90． 10．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，，则，，的大小关系是 ． 【答案】 【详解】解：如图，分别过点C、D作， ∵，∴，∴，， ∵，， ∴，即，故答案为：． 11．（2025·新疆·二模）如图，若，则 ． 【答案】/75度 【详解】解：过点作，如图所示： ∵，，∴，∴， ∴，即，故答案为：． 12．（24-25下·四川广安·七年级统考期末）如图1是十二星座中的天秤座的主要星系连线图，将各个主要星系分别用字母表示，得到如图2的几何示意图，已知．试说明．    【答案】见解析 【详解】解：方法一：如图1，延长交于点，   ，   ， ∴，∵，∴， ∴，∴； 方法二：如图2，过点作， ∵，∴，∴，， ∴，， ∴，即．（任选一种方法说明即可） 13．（24-25七年级下·山东泰安·期中）【知识储备】构造平行线是初中数学常见的一种作辅助线的方法，两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们把这个图形形象地称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图，，E为，之间一点，连接，，得到．写出与，之间的数量关系，并说明理由． 【类比应用】已知直线，P为平面内一点，连接，． （2）如图，已知，，求的度数． （3）如图，根据图形直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1），证明见解析；（2）；（3） 【详解】解：（1）如图，过作， ∵，∴，∴，， ∴； （2）如图，过点作， ，，，，， ，∴； （3）如图，过点作， ，，，，， ，. 14．（2025·湖北武汉·三模）已知是一条折线段，且，为平行线间的一点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，作的平分线交直线于点F，若，，求证：； (3)如图3，作的平分线交直线于点F，射线交直线于点M，且为射线上一动点，连接的平分线交直线于点Q．设，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)(2)见解析(3)或 【详解】（1）解：如图，过点作的平行线， ， ，，，， ，； （2）解：，， 是的平分线，， ，，，； （3）解：当点在点左边时，如图， ，平分，， 平分，，，， 平分，， ，即； 当点在点右边时，如图，， 平分，，， ，即， 综上，或． 15．（24-25下·山东枣庄·七年级统考期中）（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现请把下面的说理过程补充完整：解：过点作，因为已知，，所以，______ 所以 ______ ______ 因为，所以 ______ ，所以即． （2）拓展探究：如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，则、、的关系为______ 直接写出结论，不用说明理由 （3）解决问题：如图③，，，则 ______ 直接写出结果，不用写计算过程    【答案】（1）平行于同一直线的两直线平行 两直线平行，内错角相等 ；（2） ；（3） . 【详解】解：（1）过点作，因已知， 因为，所以（平行于同一直线的两直线平行， 所以两直线平行，内错角相等， 因为，所以，所以，即． 故答案为：平行于同一直线的两直线平行；；两直线平行，内错角相等；； （2），理由如下： 如图，过点作，    ∵，，，，， ，，故答案为：； （3）如图，过点作， ∵，，，，， ，，， ，．故答案为：． 16．（24-25下·重庆江津·七年级校联考期中）已知直线，为平面内一点，连接、． (1)如图，已知，，求的度数；(2)如图，判断、、之间的数量关系为 ．(3)如图，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：如图1，过点作，，， ，，， ，，； （2）如图2，过点作，则，，， ，， ，故答案为：； （3）如图3，设交于点，，， ，∴ ，，，， 平分，，， 由（2）得：，， ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05.平行线中的拐点模型之蛇形模型（“5”字模型） 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（蛇形模型（“5”字模型））进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.蛇形模型 4 12 蛇形模型（5字模型）是初中几何中“平行线拐点模型”的一种，其核心是通过“见拐点作平行线”将复杂角度关系转化为平行线性质的应用。这个模型的名字来源于其形状类似蛇的弯曲形态，这个形象化的命名让这个几何模型更容易被记住和理解。在解题时，过拐点作一条平行线，就能利用内错角、同位角等性质，将拐角拆解为其他角的和或差，从而快速求解。 （2025·山西·模拟预测）电影《哪吒之魔童闹海》是亚洲首部票房过百亿的影片，从如图①所示的哪吒动作抽象出如图②的示意图，已知，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． （24-25七年级下·辽宁阜新·期中）学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组提出如下问题：已知：如图，． 【初步感知】(1)如图1，若，求的度数； 【拓展延伸】(2)如图2，当点、在两平行线之间，且在位于异侧时，求证：； 【类比探究】(3)如图3，若，，若，，直接写出的度数． 蛇形模型（“5”字模型） 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 图1 图2 【证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB. ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°， ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 模型1.蛇形模型 例1（2025·河南·模拟预测）如图，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例2（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即），若，，则的度数是 ． 例3（24-25七年级下·山东·期中）如图，已知，则（   ） A． B． C． D． 例4（24-25七年级上·四川乐山·期末）已知如图1，线段，在、间取一点（点不在直线上），连接、， (1)请探索与、之间的关系，并说明理由． (2)若点在图的位置时，请探索与、之间的关系，并说明理由． (3)若点的位置如图和图，请分别写出图和图中与、之间的关系． 例5（24-25八年级上·河南郑州·开学考试）课题学习：平行线的“等角转化”功能． 如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数． 解：过点A作，∴________，________． 又∵．∴． 【问题解决】（1）阅读并补充推理过程． 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知，，求的度数．（提示：过点E作或的平行线） 【深化拓展】（3）如图3，如图，，，分别平分，，且所在直线交于点F，，则_______． 例6（24-25七年级下·江苏南京·期末）学习了“平行线”和“三角形”内容后，某兴趣小组探索了如下问题：如图，点、在、之间，且位于的两侧，连接、、. (1)如图①，若，，，则________； (2)如图②，若，求证：； (3)如图③，若、相交于点，， （Ⅰ）直接写出、、、满足的关系； （Ⅱ）若，，.平面内存在一点，连接、，使，，直接写出的度数（用含、的式子表示）. 例7（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）问题情境：如图1，，，，求度数．小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为______度； (2)问题迁移：①如图2，，点在射线上运动，记，，当点在、两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系； ②如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系； (3)问题解决：①图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，其中北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次连接，天文小组发现若恰好经过点，且，，，那么与有什么关系？请说明 ②连接，与满足______时，． 1．（24-25下·安徽黄山·七年级校考期末）如图，已知，，，则的度数是（　　）    A． B． C．7 D． 2．（2025·四川·校考三模）珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点，拐弯后与原来方向相同，如图，若，则等于（    ） A．50° B．40° C．30° D．20° 3．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，，于点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，，，则、、之间的关系是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25下·安徽·九年级专题练习）如图，已知：，，求证：．在证明该结论时，需添加辅助线，则以下关于辅助线的作法不正确的是（    ）    A．延长交的延长线于点 B．连接 C．分别作，的平分线， D．过点作（点在点左侧），过点作（点在点左侧） 8．（24-25下·广东·七年级校考期末）如图，是某运动员在一次山地自行车越野赛中经过的路线，已知第一次的拐角，第三次的拐角，若第三次拐弯后的道路恰好与第一次拐弯前的道路平行，则第二次的拐角的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25下·广东七年级期中）如图，，，，则的度数为 °． 10．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，，则，，的大小关系是 ． 11．（2025·新疆·二模）如图，若，则 ． 12．（24-25下·四川广安·七年级统考期末）如图1是十二星座中的天秤座的主要星系连线图，将各个主要星系分别用字母表示，得到如图2的几何示意图，已知．试说明．    13．（24-25七年级下·山东泰安·期中）【知识储备】构造平行线是初中数学常见的一种作辅助线的方法，两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们把这个图形形象地称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图，，E为，之间一点，连接，，得到．写出与，之间的数量关系，并说明理由． 【类比应用】已知直线，P为平面内一点，连接，． （2）如图，已知，，求的度数． （3）如图，根据图形直接写出，，之间的数量关系． 14．（2025·湖北武汉·三模）已知是一条折线段，且，为平行线间的一点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，作的平分线交直线于点F，若，，求证：； (3)如图3，作的平分线交直线于点F，射线交直线于点M，且为射线上一动点，连接的平分线交直线于点Q．设，请直接写出与的数量关系． 15．（24-25下·山东枣庄·七年级统考期中）（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现请把下面的说理过程补充完整：解：过点作，因为已知，，所以，______ 所以 ______ ______ 因为，所以 ______ ，所以即． （2）拓展探究：如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，则、、的关系为______ 直接写出结论，不用说明理由 （3）解决问题：如图③，，，则 ______ 直接写出结果，不用写计算过程    16．（24-25下·重庆江津·七年级校联考期中）已知直线，为平面内一点，连接、． (1)如图，已知，，求的度数；(2)如图，判断、、之间的数量关系为 ．(3)如图，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $