专题04 平行线中的拐点模型之羊角模型（几何模型讲义）数学新教材北师大版七年级下册

专题04.平行线中的拐点模型之羊角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（羊角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型运用 4 模型1.羊角模型 4 8 羊角模型是初中几何中“平行线拐点模型”的一种，其核心是通过“见拐点作平行线”将复杂角度关系转化为平行线性质的应用。这个模型的名字来源于其形状类似羊角，这个形象化的命名让这个几何模型更容易被记住和理解。在解题时，过拐点作一条平行线，就能利用内错角、同位角等性质，将拐角拆解为其他角的和或差，从而快速求解。 （2025·山东淄博·中考真题）已知：如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设和交于点F， ∵，∴，∴，故选：D． （24-25广元·七年级校考期中）如图，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，延长交于点，    ，， ，，故选：． 羊角模型：如图1，已知：AB∥DE，结论：；如图2，已知：AB∥DE，结论：。 图1图2 【证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB 图1 图2 ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠. 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°. 模型1.羊角模型 例1（2025·山东青岛·模拟预测）如图，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，∴， ∵，∴，故选：B． 例2（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，从位于焦点处的光源发出两束光线，光线经反光镜反射后平行于地面射出，已知，，则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可得，如图，∴， ∵，∴，故选：C． 例3（24-25七年级下·山东滨州·期末）如图，，点位于与的同侧，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，，， ，，，故选：B． 例4（24-25七年级下·浙江·期中）已知：在如下四个图形中，，   (1)图（1）中与的关系满足：，请说明理由． (2)分别探讨其余的三个图形中，与的关系，请你从所得三个关系中任意选取一个说明理由． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：过点作 ， ∵，∴，，， 两式相加得∶ ，即； （2）解：如图（2），过点作， ∵，∴，∴，， ∵，即 ； 如图（3），过点作，设交点为，，， ，，， ，即； 如图（4），过点作，，∴， ， ，即． 例5（2025·四川眉山·模拟预测）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，延长交于点， ∵，∴， ∴，∴，故选：． 例6（24-25七年级下·重庆·期中）经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1．，，，则______； (2)如图2．，点在直线上方，探究、、的数量关系，并证明．(3)如图3．，点在直线上方，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点（点在直线的下方）．请写出和之间的数量关系．并证明． 【答案】(1)(2)，见解析(3)，见解析 【详解】（1）解：如图1，过作，∴， ∵，，∴，∴， ∴，故答案为：； （2）解：；证明如下；如图2，过作， ∴， ∵，∴， ∴，∴， （3）解：，证明如下； ∵平分，平分，∴， 设，则，，， 如图3，过作，过作， 由（2）可知， ， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴， ∵，∴，∴； 1．（24-25上·广东·八年级校考期末）如图，，，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】  ∵，∴． ∵，∴．故选：C 2．（24-25下·重庆沙坪坝·七年级校考期中）如图，已知，，的延长线交的角平分线于点，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，与交于点，与交于点，，，    ，，， ，，，， 是的角平分线，，．故选：． 3．（24-25上·湖北·七年级校考期末）如图，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，延长交于F，∵，，∴，    ∵，∴．故选B． 4．（24-25下·山东临沂·七年级统考期中）如图，直线，， ，那么的度数是 ．    【答案】/22度 【详解】解：如图，过点作，，    ∵直线，，，，故答案为：． 5．（2025·广东·校联考三模）如图，，，，则的度数是 ．    【答案】/20度 【详解】解：∵，，∴， ∵，，∴．故答案为： 6．（24-25下·江苏宿迁·七年级校考期中）如图，直线，，，则的度数是 ．    【答案】/33度 【详解】解：令和相交于点，   ， ，，， ，，，故答案为： ． 7．（24-25·上海·七年级专题练习）如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为 ． 【答案】57° 【详解】解：设AE、CD交于点F， ∵∠E＝37°，∠C＝ 20°，∴∠CFE=180°-37°-20°=123°，∴∠AFD=123°， ∵AB∥CD，∴∠AFD+∠EAB=180°，∴∠EAB=180°-123°=57°，故答案为：57°． 8．（2025·河北沧州·校考模拟预测）如图，，，，，点是上一点．  （1）的度数为 ；（2）若．则与 （填“平行”或“不平行”）． 【答案】 /度 平行 【详解】解：（1）∵，，∴，∴， ∵，，∴，∴；故答案为：． （2）∵，∴， ∵，∴，∴，∴．故答案为：平行． 9．（24-25下·湖南衡阳·七年级校考期中）如图，，，则 ．    【答案】/60度 【详解】  如图，过点C作，∴，∵，，∴， ∴，∴．故答案为： 10．（24-25·浙江·七年级专题练习）已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D 【答案】见解析 【详解】证明：过点E作EF∥CD，如图 ∵AB∥CD， ∴∠B=∠BOD，∵EF∥CD（辅助线）， ∴∠BOD=∠BEF（两直线平行，同位角相等）；∠D=∠DEF（两直线平行，内错角相等）； ∴∠BEF=∠BED+∠DEF=∠BED+∠D（等量代换）， ∴∠BOD=∠E+∠D（等量代换）， 即∠B=∠E+∠D． 11．（24-25下·福建福州·七年级统考期末）如图1，已知，，，．    (1)判断与的位置关系，并说明理由；(2)当时，求，的度数； (3)如图（2），求，的度数（用含m的代数式表示）． 【答案】(1)平行，证明见解析(2)，．(3)，． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵，，∴，∴． （2）如图，过点E作，    ∵，∴， ∴，，∴， 又∵，∴，∴，． （3）如图，过作，而，∴， ∴，， ∵，∴，①    又  ② 联立① ②解得，． 12．（24-25下·广西河池·七年级校考阶段练习）（1）如图1，已知，点E在两平行线的内侧，连接，．若，，求的度数； （2）如图2，已知，点E在两平行线的外侧，连接，，若，． ①求的大小（用含α，β的代数式表示）； ②作的平分线交于点G，连接，平分（如图3）．若，，分别求出α，β的度数．    【答案】（1）；（2）①；②， 【详解】解：（1）如图1，过点E作．∵，∴．    ∵，，∴．∴．∴． （2）①∵，∴． 又∵，，∴． ②如图3，∵，∴． 又∵平分，∴．∴． ∵平分于，∴．∴． ∵，∴．∴． 又∵，∴，． 13．（24-25下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，，点E，F分别为直线上的一点．    (1)如图1，点G在直线之间，且．直接写出和之间的数量关系（用等式表示）； (2)如图2，点G在同旁．直接写出之间的数量关系（用等式表示）； (3)如图3，点G在同旁，的平分线与的平分线交于点H．用等式表示与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)(2)(3)，证明见解析 【详解】（1）解：如图所示，过点G作， ∵，∴， ∴，∴， ∵，即，∴， ∴，∴；    （2）解：如图所示，过点G作， ∵，∴，∴， ∵，∴    （3）解：，证明如下：同理可得， ∵的平分线与的平分线交于点H， ∴，∴， ∵，∴． 14．（24-25下·黑龙江·七年级统考期末）已知，为直线，所确定的平面内一点．    (1)如图①，，，之间的数量关系为______；(2)如图②，求证：； (3)如图③，点在直线上，若，，过点作，作，的平分线交于点，直接写出的度数． 【答案】(1)(2)见解析(3)25° 【详解】（1）解：．理由：过点作，如下图：    ∵，∴，∴，，∴； （2）证明：如图，过点作．∵，∴ ∵，，∴∴ ∵，∴． （3）解：的度数为，∵，，如图：， ∵，∴， ∵，的平分线交于点，∴，， ∴． 15．（24-25下·北京海淀·七年级校考期末）如图，已知 ，猜想图①，图②，图③中，，， 之间有何数量关系?请用等式表示出它们的关系，并选择其中的两个等式说明理由．    【答案】① ，详见解析；② ，详见解析；③，详见解析 【详解】① ，理由：如图 ，过点 作 ，    ∵ ，∴ ，∴ ，， ∴ ，即 ； ② ，理由：∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，即 ； ③ ，理由：如图 ，延长 交 于点 ，    ∵ ，∴ ，∵ ， ∴ ，即 ． 16．（24-25下·福建宁德·七年级校考阶段练习）如图，先画了两条平行线、，然后在平行线间画了一点E，连接，后（如图①），再拖动点E，分别得到如图②、③、④等图形．    (1)请你分别写出图①至图④各图中的、与之间关系； ①______，②______，③______，④______． (2)请写出图③证明过程． 【答案】(1)；；；(2)见解析 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； （2）①如图①，过点作，则，，， ，．    ②如图②，过点作，则，，， ，． ③如图③，过点作，则，，， ，． ④如图④，过点作，则，，， ，． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04.平行线中的拐点模型之羊角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（羊角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型运用 4 模型1.羊角模型 4 8 羊角模型是初中几何中“平行线拐点模型”的一种，其核心是通过“见拐点作平行线”将复杂角度关系转化为平行线性质的应用。这个模型的名字来源于其形状类似羊角，这个形象化的命名让这个几何模型更容易被记住和理解。在解题时，过拐点作一条平行线，就能利用内错角、同位角等性质，将拐角拆解为其他角的和或差，从而快速求解。 （2025·山东淄博·中考真题）已知：如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． （24-25广元·七年级校考期中）如图，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 羊角模型：如图1，已知：AB∥DE，结论：；如图2，已知：AB∥DE，结论：。 图1图2 【证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB 图1 图2 ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠. 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°. 模型1.羊角模型 例1（2025·山东青岛·模拟预测）如图，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 例2（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，从位于焦点处的光源发出两束光线，光线经反光镜反射后平行于地面射出，已知，，则的度数为(    ) A． B． C． D． 例3（24-25七年级下·山东滨州·期末）如图，，点位于与的同侧，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 例4（24-25七年级下·浙江·期中）已知：在如下四个图形中，，   (1)图（1）中与的关系满足：，请说明理由． (2)分别探讨其余的三个图形中，与的关系，请你从所得三个关系中任意选取一个说明理由． 例5（2025·四川眉山·模拟预测）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例6（24-25七年级下·重庆·期中）经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1．，，，则______； (2)如图2．，点在直线上方，探究、、的数量关系，并证明．(3)如图3．，点在直线上方，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点（点在直线的下方）．请写出和之间的数量关系．并证明． 1．（24-25上·广东·八年级校考期末）如图，，，则为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25下·重庆沙坪坝·七年级校考期中）如图，已知，，的延长线交的角平分线于点，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25上·湖北·七年级校考期末）如图，，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25下·山东临沂·七年级统考期中）如图，直线，， ，那么的度数是 ．    5．（2025·广东·校联考三模）如图，，，，则的度数是 ．    6．（24-25下·江苏宿迁·七年级校考期中）如图，直线，，，则的度数是 ．    7．（24-25·上海·七年级专题练习）如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为 ． 8．（2025·河北沧州·校考模拟预测）如图，，，，，点是上一点．  （1）的度数为 ；（2）若．则与 （填“平行”或“不平行”）． 9．（24-25下·湖南衡阳·七年级校考期中）如图，，，则 ．    10．（24-25·浙江·七年级专题练习）已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D 11．（24-25下·福建福州·七年级统考期末）如图1，已知，，，．(1)判断与的位置关系，并说明理由；(2)当时，求，的度数； (3)如图（2），求，的度数（用含m的代数式表示）． 12．（24-25下·广西河池·七年级校考阶段练习）（1）如图1，已知，点E在两平行线的内侧，连接，．若，，求的度数； （2）如图2，已知，点E在两平行线的外侧，连接，，若，． ①求的大小（用含α，β的代数式表示）； ②作的平分线交于点G，连接，平分（如图3）．若，，分别求出α，β的度数．    13．（24-25下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，，点E，F分别为直线上的一点．    (1)如图1，点G在直线之间，且．直接写出和之间的数量关系（用等式表示）； (2)如图2，点G在同旁．直接写出之间的数量关系（用等式表示）； (3)如图3，点G在同旁，的平分线与的平分线交于点H．用等式表示与之间的数量关系，并证明． 14．（24-25下·黑龙江·七年级统考期末）已知，为直线，所确定的平面内一点．    (1)如图①，，，之间的数量关系为______；(2)如图②，求证：； (3)如图③，点在直线上，若，，过点作，作，的平分线交于点，直接写出的度数． 15．（24-25下·北京海淀·七年级校考期末）如图，已知 ，猜想图①，图②，图③中，，， 之间有何数量关系?请用等式表示出它们的关系，并选择其中的两个等式说明理由．    16．（24-25下·福建宁德·七年级校考阶段练习）如图，先画了两条平行线、，然后在平行线间画了一点E，连接，后（如图①），再拖动点E，分别得到如图②、③、④等图形．    (1)请你分别写出图①至图④各图中的、与之间关系； ①______，②______，③______，④______． (2)请写出图③证明过程． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $