专题09 倒角模型之双角平分线模型（几何模型讲义）数学新教材北师大版七年级下册

专题09.三角形中的倒角模型之双角平分线模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就三类双角平分线模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1双角平分线模型（双内角） 5 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 9 模型3.双角平分线模型（双外角） 12 16 古希腊数学家毕达哥拉斯提出角平分线基本概念，欧几里得《几何原本》完善了单角平分线定理（平分角且对边成比例），但未涉及双角组合模型；直到20-21世纪双角平分线按位置关系提炼为三类标准模型。三类模型均通过角平分线性质将复杂角度关系转化为∠A的线性函数，体现“集中条件”的核心思想。该模型本质是角平分线研究的现代结晶，通过教育实践完成从理论到工具的转化。 口诀化总结：“内内90°加一半，外外90°减一半，内外直接取一半”。 （2025·陕西榆林·模拟预测）（1）问题解决：如图，中，、分别是和的平分线，为、交点，若，求的度数；（写出求解过程） （2）拓展与探究：①如图1，中，、分别是和的平分线，为、交点，则与的关系是______；（请直接写出你的结论） ②如图2，、分别是和的两个外角和的平分线，为、交点，则与的关系是______；（请直接写出你的结论） ③如图3，、分别是的一个内角和一个外角的平分线，为、交点，则与的关系是______．（请直接写出你的结论） 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②理由见解析；③，理由见解析 【详解】解（1）∵，∴， ∵、分别是和的平分线，∴， ∴，∴； （2）①，理由如下： ∵，∴， ∵、分别是和的平分线，∴， ∴， ∴，故答案为：； ②，理由如下： ∵，∴， ∵分别是两个外角和的平分线， ∴，∴， ∴，故答案为：； ③，理由如下：∵、分别是的一个内角和一个外角的平分线，， ∴， 又∵是的一外角，∴，∴， ∵是的一外角，∴， 故答案为：． 1）两内角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 图1 图2 图3 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P； 结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 3）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 4）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图1，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 图1 图2 图3 图4 5）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图2，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图3，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 7）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图4，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图4，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。, 模型1双角平分线模型（双内角） 例1（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，已知中，分别是的角平分线交于点O，如果，那么的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴， ∵分别是的角平分线交于点O， ∴，∴， ∵是的一个外角，∴；故选C． 例2（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，在中，、的平分线相交于点I，若，则 度． 【答案】100 【详解】解：连接并延长交于P， 平分，，平分，，， ，， ，，故答案为：100． 例3（24-25七年级下·成都·期中）如图，在四边形中，，点为与的角平分线的交点，则的度数是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴， ∵为角平分线，∴ ∴；即：．故答案为：C． 例4（24-25七年级下·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______； 【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______． 【答案】（1）（2）（3）（4）（5）105 【详解】解：（1）∵，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴ ． （2）∵、是的三等分线，、是的三等分线， ∴，， ∴ ．故答案为： （3）∵、、是的四等分线，、、是的四等分线， ∴，， ∴ ．故答案为： （4）∵、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，∴，，，， ∴ ， ， ∴． 故答案为： （5）∵、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线， ∴，，，， ∴ ， ， ∴， ∵∴，∴， 同理可得．故答案为：105 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 例1（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，是的平分线，是的邻补角的平分线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：是的平分线，是的邻补角的平分线，，， ，， 是的外角，．故选：C． 例2（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在中，分别平分，交于点O，为外角的平分线，的延长线交于点E．以下结论①，②，③，④，其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵平分，为外角的平分线， ∴，， ∵，∴，结论①正确； ∵平分，∴， ∴ ，结论③正确； 又∵，∴，∴，结论②正确； 假设，∴，解得，∴， 由已知条件不能得出这个结论，则假设不成立，结论④错误；综上，结论正确的是①②③，故选：C． 例3（24-25七年级下·山东东营·期末）如图，点是的内角和的平分线的交点，点是的内角和的角平分线的交点，同样点是的内角和的角平分线的交点，若，那么 ． 【答案】 【详解】解：∵和的平分线交于点，∴， ∵， ∴； 同理可得，，…，∴，∴ 故答案为：． 例4（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图①，在中，平分，且与的外角的平分线交于点D． 【问题解决】（1）若，求的度数；（2）若，则 ． 【猜想证明】（3）当和在变化，而始终保持不变，则是否变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含有的式子表示） 【拓展提高】（4）若把截去，得到四边形，如图②，猜想的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）（2）（3）不变化，理由见解析，结论 （4），理由见解析 【详解】解：（1）∵，平分，∴， 又∵，∴， ∵平分，∴，∴， （2）∵平分，∴，∵平分，∴， ∴， （3）不变化，理由如下：∵平分，∴， ∵平分，∴，∴ ；即 （4），理由如下：如图，延长交于点A， 则 ∴，由（3）可得，∴． 模型3.双角平分线模型（双外角） 例1（24-25七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，和的平分线交于点D，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，是的外角，是的外角 ， 平分，平分， 在中，， 在中， 故选：C ． 例2（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则的度数是 ． 【答案】 【详解】解：延长，过点作于点，作于点，作于点， ， 的外角的平分线与内角平分线交于点， ，，，是的平分线， ∵，∴，∴， 平分，平分，，， ，， ，；故答案为：． 例3（24-25七年级下·山东滨州·期末）如图，中，分别平分外角、外角．以下结论：①；②；③；④平分．其中正确的是 （填写所有正确结论的序号）．    【答案】①③④ 【详解】解：∵，∴， ∵分别平分外角、外角，∴，， ∴，①正确，故符合要求；不平行，②错误，故不符合要求； ∵，∴，，∴，∴， ∴，即，③正确，故符合要求； ∴平分，④正确，故符合要求；故答案为：①③④． 例4（24-25七年级下·山东淄博·期中）如图，在中，平分，平分，，分别在的延长线上，平分，平分，平分，平分，则的度数是 ． 【答案】 【详解】解：∵在中，，． 平分，平分，，， ，． ∵平分，平分，， ． 平分，， ，平分， ， ， ， ，故答案为：． 例5（24-25七年级下·吉林长春·期末）在中，． (1)如图①，若平分平分，则___________． (2)如图②，若和的外角平分线、相交于点，则___________； (3)如图③，若的平分线与的外角平分线相交于点，求的度数． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：，， ∵平分平分，，，， ，，当时，；故答案为：； （2）解：，∵平分平分， ，， ∵，， ∵，，即． 当时，，故答案为：70； （3）解：， 而平分平分，， ， ，即．当时，． 1．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，的外角和的平分线交于点，和的平分线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴， ∴， ∵和分别平分和，∴， ∴， ∵和分别平分和，∴ ∴， ∴．故选：C 2．（25-26八年级上·天津西青·期末）如图，已知的两条角平分线，相交于点，是外角的平分线，的延长线与交于点，连接交于点，若，有下列结论： ①；②；③点到直线，直线，直线的距离相等； ④．其中正确的结论个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：∵分别平分，∴， ∵，∴，即， ∴，故①正确；∵的两条角平分线，相交于点 ∴， ∵，∴， ∴，故②正确； ∵分别平分， ∴点G到直线的距离等于点G到直线，点G到直线的距离等于点G到直线的距离， ∴点到直线，直线，直线的距离相等，故③正确； ∵平分，∴， ∵，∴，∴，∴， 同理可得，∴，故④正确；故选D． 3．（25-26八年级上·山东潍坊·阶段练习）如图，在中，， 分别平分，，交于 O，为外角的平分线，交 的延长线于点 E，记，，则以下结论正确的是（    ）（多选题）    A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】  分别平分，， 是的一个外角，，即． ∵是的一个外角，，，．故A选项正确； ∵、 分别平分、，， 中，， ． 故B选项错误，C选项正确，D选项错误．故选：AC 4．（24-25七年级下·河南新乡·期末）如图，在中，，D是延长线上一点，是的平分线，分别作，的平分线，交于点E，F，则 °， °． 【答案】 【详解】解：∵在中，，∴， ∵，的平分线，∴，， ∴， ∵是的平分线，∴， ， ∵，∴，解得：， 又，，，解得：，故答案为：，． 5．（24-25八年级上·广西钦州·期中）如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，则的大小为 ． 【答案】 【详解】平分，平分，， 又，由， 得，， 同理可求，，，以此类推，可得，， 当时，，又，．故答案为：． 6．（24-25七年级下·四川遂宁·期末）如图中，，平分，平分，则 度． 【答案】 【详解】解：∵，，∴， ∵平分，平分，∴， ∴．故答案为：115． 7．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图所示，中，，分别是的平分线，则的度数为 ． 【答案】/100度 【详解】解：∵分别是的平分线， ∴ ∴ ∴，∴， ∴，故答案为： ． 8．（24-25八年级上·四川绵阳市·期中）在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） ①；②；③；④． 【答案】①②④ 【详解】解：，的平分线交于点， ，，， ，， ， ，故①正确， 平分，， ，，，故②正确； ，，， ，平分，平分， ，，， ，，故③错误； ，， ，．故④正确， 综上正确的有：①②④，故答案为：①②④． 9．（24-25八年级下·广东·期中）如图，的外角的平分线与内角的平分线相交于点P．(1)试探索与的关系；(2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析(2) 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，∴， ∵分别平分，∴， ∵，∴，∴； （2）解：如图，过点P作于点Q，于点R，交延长线于点M， ∵分别是的平分线， ∴，∴， ∴点P在的平分线上，即平分，由（1）得， ∴，∴． 10．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在中，，分别是，的内角平分线，交于点，，分别是，的外角平分线，交于点．若． (1)求；(2)如果，直接用表示出的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵，∴． ∵，分别是，的内角平分线，∴，， ∴，∴； （2）解：∵，∴． ∵，， ∴． ∵，分别是，的外角平分线，∴，， ∴， ∴． 11.（24-25七年级下·福建泉州·期末）小明完成了下面的探究过程，请你也探究一下，看看你的结论是否跟他一样． (1)探究1：如图1，是的内角与的平分线和的交点，若，则____________度： (2)探究2：如图2，是的外角与外角的平分线和的交点，求与的数量关系？并说明理由． (3)拓展：如图3，是四边形的外角与的平分线和的交点，设． ①直接写出与的数量关系； ②根据的值的情况，判断的形状（按角分类）． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3)①；②当时，则是钝角三角形；当时，则是直角三角形；当时，则是锐角三角形. 【详解】（1）∵，∴. ∵是的内角与的平分线和的交点， ∴，∴ ∵，∴.故答案为： （2）.理由：∵是的外角与外角的平分线和的交点， ∴在中，. （3）如图，①，延长交于点Q， 由（2）可知，，∴， ∴.∴. ②当时，则，则是钝角三角形; 当时，则，则是直角三角形; 当时，则， ∵是四边形的外角与的平分线和的交点， ∴∴是锐角三角形. 12．（24-25·辽宁鞍山·八年级统考期中）（1）已知：如图（1），在中，、分别平分和，直接写出与的数量关系；（2）已知：如图（2），在四边形中，、分别平分和，试探究与、之间的数量关系． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）∵平分 ，∴． 同理，． ∴ ； （2）∵平分 ，∴． 同理，． ∴ ． 13．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）探究一：（1）如图1，在中，，，分别是两个内角，的角平分线，则_______度；（2）如图2，在中，，，分别是两个外角，的角平分线，则________度． 探究二：（3）如图3，在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线，请说明和之间的数量关系?并证明你的结论． （4）如图，在四边形中，是内角的角平分线，是外角的角平分线，请直接写出与，之间的数量关系．（不用说明理由） 【答案】探究一：（1）；（2）；探究二：（3），证明见解析；（4） 【详解】解：探究一：（1）在中，，， ，分别是两个内角，的角平分线，，， ； （2）在中，，， ， ，分别是两个外角，的角平分线，，， ； 探究二：（3），证明如下： 在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线， ，， ，，， ， （4）由四边形内角和定理得， ， 由三角形的外角性质得：， 是内角的角平分线，是外角的角平分线， ，， ； 14．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图①，在中，和的平分线交于点，．    (1)如图①，若，求的度数．(2)如图②，连接，求证：平分． (3)如图③，若射线与的外角平分线交于点，问与有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】(1)(2)见解析(3)，理由见解析 【详解】（1）解：，， 和的平分线交于点，，， ，； （2）证明：过点作，，，垂足分别为，，，    和的平分线交于点，，，， ，，，平分； （3），理由如下，证明：平分，平分， ，， ，． 15．（24-25八年级上·重庆江北·开学考试）下面是有关三角形内角、外角平分线的探究，阅读后请按要求作答：(1)如图1，，分别是和的平分线且相交于点，若，求的度数： (2)如图2，，分别是和外角的平分线且相交于点，请猜想与之间的数量关系，并说明理由：(3)如图3，在中，平分，平分，和交于点，若，直接写出的度数． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，分别是和的平分线，∴， ∴，∴； （2），理由如下： ∵，， ∴，∴， ∵，分别是和外角的平分线，∴， ∴，∴； （3）∵，平分，∴， ∵，∴， ∵平分，∴，∴，∴， ∵，∴，∴． 16．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，已知，A，B两点同时从点O出发，点A沿射线运动，点B沿射线运动，点C为三条内角平分线交点，连接，． (1)当时，求的度数；(2)点A，B在运动的过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由；(3)连接并延长，与的角平分线交于点P，在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数． 【答案】(1)(2)的度数不变，(3)°或 【详解】（1）解：∵，，∴， ∵点C为三条内角平分线交点，∴，， ∴； （2）解：的度数不变，理由：∵，∴， ∵点C为三条内角平分线交点，∴，， ∴； （3）解：为或．设， ∵，∴， ∵平分，∴， ∵平分，∴， ∵，∴， ∵，， ∴， ∴， 在中有一个角是另一个角的2倍， ∴①若，则，解得：（舍）， ②若，则，解得：， ③若，则，解得：， ④若，则，解得：， 综上，在中有一个角是另一个角的2倍时，为或． 17．（25-26八年级上·安徽淮南·阶段练习）请认真完成下列的数学活动 我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？    ●尝试探究（1）如图①，与分别为的两个外角，试探究与之间的数量关系． ●初步运用（2）如图②，在纸片中前去，得到四边形．若，则___________．小明联想到了曾经解决的一个问题：如图③，在中，，分别平分外角，，则与之间的数量关系为________________（请利用上面的结论直接写出答案）． ●拓展提升（3）如图④，在四边形中，，分别平分外角，，设． ①试说明与的数量关系；②根据值的情况，请直接判断的形状（按角分类）． 【答案】（1）（2）； （3）①；②当时，为钝角三角形；当，为直角三角形；当时，为锐角三角形 【详解】解：（1），， ，， （2）∵，∴，∵，∴， ∵，分别平分外角，，∴，， ∴ 即 （3）如图，    ① ， ②当时，∵，∴，∴为钝角三角形； 当时，，∴为直角三角形； 当时，∵，∴，∴为锐角三角形． 18．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三个内角度数的一半． （1）如图1，在中，点是的内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程； 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】（2）如图2，在中，．延长至，延长至，已知的平分线与外角的平分线相交于点，外角的平分线与的延长线相交于点，求的度数； 【变式拓展】（3）如图3，四边形的内角的平分线与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，则的度数和是__________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】（1）证明：∵点E是内角的平分线与外角的平分线的交点， ∴，， ∵，，， ∴，∴； （2）∵平分，平分，∴； 又∵平分，∴ ∴； （3）延长，交于点M，延长、交于点N，如图所示， ∵、分别平分，，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴．故答案为： 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09.三角形中的倒角模型之双角平分线模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就三类双角平分线模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1双角平分线模型（双内角） 5 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 9 模型3.双角平分线模型（双外角） 12 16 古希腊数学家毕达哥拉斯提出角平分线基本概念，欧几里得《几何原本》完善了单角平分线定理（平分角且对边成比例），但未涉及双角组合模型；直到20-21世纪双角平分线按位置关系提炼为三类标准模型。三类模型均通过角平分线性质将复杂角度关系转化为∠A的线性函数，体现“集中条件”的核心思想。该模型本质是角平分线研究的现代结晶，通过教育实践完成从理论到工具的转化。 口诀化总结：“内内90°加一半，外外90°减一半，内外直接取一半”。 （2025·陕西榆林·模拟预测）（1）问题解决：如图，中，、分别是和的平分线，为、交点，若，求的度数；（写出求解过程） （2）拓展与探究：①如图1，中，、分别是和的平分线，为、交点，则与的关系是______；（请直接写出你的结论） ②如图2，、分别是和的两个外角和的平分线，为、交点，则与的关系是______；（请直接写出你的结论） ③如图3，、分别是的一个内角和一个外角的平分线，为、交点，则与的关系是______．（请直接写出你的结论） 1）两内角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 图1 图2 图3 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P； 结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 3）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 4）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图1，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 图1 图2 图3 图4 5）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图2，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图3，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 7）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图4，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图4，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。, 模型1双角平分线模型（双内角） 例1（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，已知中，分别是的角平分线交于点O，如果，那么的度数是（　　） A． B． C． D． 例2（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，在中，、的平分线相交于点I，若，则 度． 例3（24-25七年级下·成都·期中）如图，在四边形中，，点为与的角平分线的交点，则的度数是（    ）．    A． B． C． D． 例4（24-25七年级下·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______； 【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______． 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 例1（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，是的平分线，是的邻补角的平分线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例2（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在中，分别平分，交于点O，为外角的平分线，的延长线交于点E．以下结论①，②，③，④，其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例3（24-25七年级下·山东东营·期末）如图，点是的内角和的平分线的交点，点是的内角和的角平分线的交点，同样点是的内角和的角平分线的交点，若，那么 ． 例4（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图①，在中，平分，且与的外角的平分线交于点D． 【问题解决】（1）若，求的度数；（2）若，则 ． 【猜想证明】（3）当和在变化，而始终保持不变，则是否变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含有的式子表示） 【拓展提高】（4）若把截去，得到四边形，如图②，猜想的数量关系，并说明理由． 模型3.双角平分线模型（双外角） 例1（24-25七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，和的平分线交于点D，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例2（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则的度数是 ． 例3（24-25七年级下·山东滨州·期末）如图，中，分别平分外角、外角．以下结论：①；②；③；④平分．其中正确的是 （填写所有正确结论的序号）．    例4（24-25七年级下·山东淄博·期中）如图，在中，平分，平分，，分别在的延长线上，平分，平分，平分，平分，则的度数是 ． 例5（24-25七年级下·吉林长春·期末）在中，． (1)如图①，若平分平分，则___________． (2)如图②，若和的外角平分线、相交于点，则___________； (3)如图③，若的平分线与的外角平分线相交于点，求的度数． 1．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，的外角和的平分线交于点，和的平分线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·天津西青·期末）如图，已知的两条角平分线，相交于点，是外角的平分线，的延长线与交于点，连接交于点，若，有下列结论： ①；②；③点到直线，直线，直线的距离相等； ④．其中正确的结论个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26八年级上·山东潍坊·阶段练习）如图，在中，， 分别平分，，交于 O，为外角的平分线，交 的延长线于点 E，记，，则以下结论正确的是（    ）（多选题）    A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·河南新乡·期末）如图，在中，，D是延长线上一点，是的平分线，分别作，的平分线，交于点E，F，则 °， °． 5．（24-25八年级上·广西钦州·期中）如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，则的大小为 ． 6．（24-25七年级下·四川遂宁·期末）如图中，，平分，平分，则 度． 7．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图所示，中，，分别是的平分线，则的度数为 ． 8．（24-25八年级上·四川绵阳市·期中）在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） ①；②；③；④． 9．（24-25八年级下·广东·期中）如图，的外角的平分线与内角的平分线相交于点P．(1)试探索与的关系；(2)若，求的度数． 10．（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在中，，分别是，的内角平分线，交于点，，分别是，的外角平分线，交于点．若． (1)求；(2)如果，直接用表示出的度数． 11.（24-25七年级下·福建泉州·期末）小明完成了下面的探究过程，请你也探究一下，看看你的结论是否跟他一样． (1)探究1：如图1，是的内角与的平分线和的交点，若，则____________度： (2)探究2：如图2，是的外角与外角的平分线和的交点，求与的数量关系？并说明理由． (3)拓展：如图3，是四边形的外角与的平分线和的交点，设． ①直接写出与的数量关系； ②根据的值的情况，判断的形状（按角分类）． 12．（24-25·辽宁鞍山·八年级统考期中）（1）已知：如图（1），在中，、分别平分和，直接写出与的数量关系；（2）已知：如图（2），在四边形中，、分别平分和，试探究与、之间的数量关系． 13．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）探究一：（1）如图1，在中，，，分别是两个内角，的角平分线，则_______度；（2）如图2，在中，，，分别是两个外角，的角平分线，则________度． 探究二：（3）如图3，在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线，请说明和之间的数量关系?并证明你的结论． （4）如图，在四边形中，是内角的角平分线，是外角的角平分线，请直接写出与，之间的数量关系．（不用说明理由） 14．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图①，在中，和的平分线交于点，．    (1)如图①，若，求的度数．(2)如图②，连接，求证：平分． (3)如图③，若射线与的外角平分线交于点，问与有怎样的位置关系？请说明理由． 15．（24-25八年级上·重庆江北·开学考试）下面是有关三角形内角、外角平分线的探究，阅读后请按要求作答：(1)如图1，，分别是和的平分线且相交于点，若，求的度数： (2)如图2，，分别是和外角的平分线且相交于点，请猜想与之间的数量关系，并说明理由：(3)如图3，在中，平分，平分，和交于点，若，直接写出的度数． 16．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，已知，A，B两点同时从点O出发，点A沿射线运动，点B沿射线运动，点C为三条内角平分线交点，连接，． (1)当时，求的度数；(2)点A，B在运动的过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由；(3)连接并延长，与的角平分线交于点P，在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数． 17．（25-26八年级上·安徽淮南·阶段练习）请认真完成下列的数学活动 我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？    ●尝试探究（1）如图①，与分别为的两个外角，试探究与之间的数量关系． ●初步运用（2）如图②，在纸片中前去，得到四边形．若，则___________．小明联想到了曾经解决的一个问题：如图③，在中，，分别平分外角，，则与之间的数量关系为________________（请利用上面的结论直接写出答案）． ●拓展提升（3）如图④，在四边形中，，分别平分外角，，设． ①试说明与的数量关系；②根据值的情况，请直接判断的形状（按角分类）． 18．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三个内角度数的一半． （1）如图1，在中，点是的内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程； 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】（2）如图2，在中，．延长至，延长至，已知的平分线与外角的平分线相交于点，外角的平分线与的延长线相交于点，求的度数； 【变式拓展】（3）如图3，四边形的内角的平分线与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，则的度数和是__________． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $