精品解析：山东省青州第一中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题

高三普通部下学期开学考试---数学 一、单选题 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. i 2. 已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则（ ） A. {−2，3} B. {−2，2，3} C. {−2，−1，0，3} D. {−2，−1，0，2，3} 3. 已知等差数列的前项和为，若与是方程的两根，则（ ） A 41 B. 42 C. 43 D. 44 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，满足，且在上的投影向量为单位向量，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 2 6. 双曲线的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，且，记，则（ ） A. B. C. D. 8. 记内角的对边分别为，已知．则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（ ） A. 的准线方程为 B. 直线与相切 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的周长的最小值为11 11. 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则（ ） A. 球与圆柱的体积之比为 B. 四面体CDEF的体积的取值范围为 C. 平面DEF截得球的截面面积最小值为 D. 若P为球面和圆柱侧面交线上一点，则的取值范围为 三、填空题 12. 在的展开式中，的系数是__________． 13. 某流水线上生产的一批零件，其规格指标X可以看作一个随机变量，且，对于的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为0.05，现从这批零件中随机抽取500个，用Y表示这500个零件的规格指标X位于区间的个数，则随机变量Y的方差是________. 14. 已知，若，不等式恒成立，则的取值范围为______. 四、解答题 15. 已知数列的首项，前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 如图，四边形是等腰梯形，是的中点，是与的交点，将沿折到的位置. （1）证明：平面； （2）若平面，求二面角的正弦值. 17. 为培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某学校每月都会开展学农实践活动．已知学农基地前10个月的利润数据如下表，月份用表示，，利润用y（单位：万元）表示，已知与的经验回归方程为． x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 4.683 4.819 3282 1.486 1.082 2.441 4.314 4.979 3.824 1.912 t 0.841 0.909 0.141 -0.757 -0.959 -0.279 0.657 0.989 0.412 -0.544 （1）求的值（结果精确到1）； （2）某班班主任和农学指导教师分别独立从该班5名班级干部名单中各随机选择2人作为组长，设被选出的组长构成集合M，集合M中元素的个数记为随机变量X. （i）求X的分布列及数学期望； （ii）规定：进行多轮选择，每轮出现记为，出现记为，先出现为甲胜，先出现为乙胜．记表示“第一轮为A且最终甲胜的概率”，表示“第一轮为且最终甲胜的概率”，求，及甲胜的概率． 参考数据：，，，． 参考公式：对于一组数据．其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式为：，． 18. 如图，已知椭圆离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程； （Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明； （Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 19. 若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线． （1）当时，求函数与在公共点处的切线方程； （2）求的最小值； （3）求证：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三普通部下学期开学考试---数学 一、单选题 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. i 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，结合虚部的概念可得答案. 【详解】因为，所以，所以的虚部为1. 故选：B 2. 已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则（ ） A. {−2，3} B. {−2，2，3} C. {−2，−1，0，3} D. {−2，−1，0，2，3} 【答案】A 【解析】 【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可. 【详解】由题意可得：，则. 故选：A. 【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题. 3. 已知等差数列前项和为，若与是方程的两根，则（ ） A. 41 B. 42 C. 43 D. 44 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】由于与是方程的两根，故， 即，得， 因此， 故选：D 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角恒等变换公式求解. 【详解】 所以， 所以 故选:B. 5. 已知向量，满足，且在上的投影向量为单位向量，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，进而可得，设设，，计算可求. 【详解】因为在上的投影向量为单位向量，所以， 所以，所以， 设，，可得， 两边平方得，所以， 令，则，解得或， 当时，这时，此时，此时，不符合题意， 当时，即， 此时. 故选：D. 6. 双曲线的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点在轴右侧，由双曲线定义可得，，由是直角三角形，建立等式求解即可. 【详解】如图，设点在轴右侧，则， 因为， 所以， 因为点在以为直径圆上， 所以是直角三角形，， 即，化简得， 所以离心率. 故选：D 7. 已知函数的定义域为，且，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数满足的表达式以及，利用赋值法即可计算出的大小. 【详解】由可得， 令，代入可得，即， 令，代入可得，即， 令，代入可得，即； 由可得， 显然可得. 故选：A 【点睛】方法点睛：研究抽象函数性质时，可根据满足的关系式利用赋值法合理选取自变量的取值，由函数值或范围得出函数单调性等性质，进而实现问题求解. 8. 记的内角的对边分别为，已知．则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意及正切与正弦与余弦的关系，两角和的正弦公式及余弦公式可得角的大小，再由余弦定理及基本不等式可得的最大值，进而求出该三角形的面积的最大值． 【详解】因为，可得， 即， 整理可得， 即， 在三角形中，， 即，,可得； 由余弦定理可得，当且仅当时取等号， 而， 所以， 所以． 即该三角形的面积的最大值为． 故选：A． 二、多选题 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，因为，，则， 由不等式的基本性质可得，则，A对； 对于B选项，因为，不等式的两边同时除以可得， 因为，由不等式的基本性质可得，B对； 对于C选项，因为，，则， 由不等式的基本性质可得，C错； 对于D选项，因为，，由不等式的基本性质可得，则， 由不等式的基本性质可得，D对. 故选：ABD. 10. 已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（ ） A. 的准线方程为 B. 直线与相切 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的周长的最小值为11 【答案】BCD 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A，联立直线与抛物线方程，消元，由判断B，设点，表示出，根据二次函数的性质判断C，根据抛物线的定义转化求出的周长的最小值，即可判断D. 【详解】解：抛物线：，即，所以焦点坐标为，准线方程为，故A错误； 由，即，解得，所以直线与相切，故B正确； 设点，所以， 所以，故C正确； 如图过点作准线，交于点，，， 所以， 当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确； 故选：BCD 11. 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则（ ） A. 球与圆柱的体积之比为 B. 四面体CDEF的体积的取值范围为 C. 平面DEF截得球的截面面积最小值为 D. 若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定的条件，利用球、圆柱的体积公式计算判断A；利用建立函数关系判断B；求出球心O到平面DEF距离的最大值判断C；令点P在圆柱下底面圆所在平面上的投影点为Q，设，利用勾股定理建立函数关系，求出值域作答. 【详解】对于A，球的体积为，圆柱的体积，则球与圆柱的体积之比为，A正确； 对于B，设为点到平面的距离，，而平面经过线段的中点， 四面体CDEF体积，B错误； 对于C，过作于，如图，而，则， 又，于是，设截面圆的半径为，球心到平面的距离为，则， 又，则平面DEF截球的截面圆面积，C错误； 对于D，令经过点P的圆柱的母线与下底面圆的公共点为Q，连接， 当与都不重合时，设，则，当与之一重合时，上式也成立， 因此，， 则， 令，则，而，即， 因此，解得，所以的取值范围为，D正确. 故选：AD 【点睛】思路点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图. 三、填空题 12. 在的展开式中，的系数是__________． 【答案】160 【解析】 【分析】求出二项式的展开式通项，令的指数为6即可求出. 【详解】展开式的通项为， 令，解得， 所以的系数是. 故答案为：160. 13. 某流水线上生产的一批零件，其规格指标X可以看作一个随机变量，且，对于的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为0.05，现从这批零件中随机抽取500个，用Y表示这500个零件的规格指标X位于区间的个数，则随机变量Y的方差是________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得质量指标在区间的概率，后由二项分布的方差可得答案. 【详解】由正态分布的性质得质量指标在区间的概率为， 即1件产品的质量指标位于区间的概率为，∴， 故. 故答案为： 14. 已知，若，不等式恒成立，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】将不等式化简恒成立，则只需令的最小值大于等于，通过求导求出函数单调性即可找到最小值. 【详解】令，则， 令，，在区间上单调递增，且， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， ， 令，易知在区间上单调递增， 又，，. 故答案为： 四、解答题 15. 已知数列的首项，前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)由数列的递推公式可得数列是首项为1,，公比为3的等比数列，则其通项公式为； (2)结合(1)中求得的通项公式可得：，分组求和可得数列的前n项和为 . 【小问1详解】 由题意得 两式相减得， 因为 所以，，对任意正整数成立， 所以数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以. 【小问2详解】 ， 所以， . 所以数列的前项和为. 16. 如图，四边形是等腰梯形，是的中点，是与的交点，将沿折到的位置. （1）证明：平面； （2）若平面，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理先证明平面，再由可得答案； （2）建立空间直角坐标系，利用二面角的向量计算公式计算可得答案. 【小问1详解】 如图，连接. 为的中点，， 又且四边形为菱形，. ，又平面. 与四边形为菱形同理，可知四边形为菱形， 平面 【小问2详解】 由（1）可知即是边长为2的等边三角形，又平面， 所以两两互相垂直，以为坐标原点， 以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 已知， 则， 设平面的一个法向量为， 则，取. 设平面的一个法向量为， 则取. 故二面角的正弦值为. . 17. 为培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某学校每月都会开展学农实践活动．已知学农基地前10个月的利润数据如下表，月份用表示，，利润用y（单位：万元）表示，已知与的经验回归方程为． x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 4.683 4819 3.282 1.486 1.082 2.441 4.314 4.979 3.824 1.912 t 0.841 0.909 0.141 -0.757 -0.959 -0.279 0.657 0.989 0.412 -0.544 （1）求的值（结果精确到1）； （2）某班班主任和农学指导教师分别独立从该班5名班级干部名单中各随机选择2人作为组长，设被选出的组长构成集合M，集合M中元素的个数记为随机变量X. （i）求X的分布列及数学期望； （ii）规定：进行多轮选择，每轮出现记为，出现记为，先出现为甲胜，先出现为乙胜．记表示“第一轮为A且最终甲胜的概率”，表示“第一轮为且最终甲胜的概率”，求，及甲胜的概率． 参考数据：，，，． 参考公式：对于一组数据．其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式为：，． 【答案】（1）3;2 （2）（i）分布列见解析，；（ii），， 【解析】 【分析】（1）借助回归直线方程知识，将题干条件的数据代入计算即可； （2）由题意知，X的可能取值为2，3，4，分别计算出概率,列出分布列计算期望；依次计算概率即可. 【小问1详解】 由已知公式得， 所以，， 所以. 【小问2详解】 （i）由题意知，X的可能取值为2，3，4， ， ， ， 其分布列为 2 3 4 ． 当第一轮为时，若第二轮为，则甲胜；若第二轮为，则乙胜， 所以; 当第一轮为时，若第二轮为，则最终甲胜的概率为，若第二轮为，则最终甲胜的概率为； 所以，解得． 故甲胜的概率． 18. 如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程； （Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明； （Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）椭圆的标准方程为；双曲线的标准方程为 （Ⅱ）=1．（Ⅲ）存在常数使得恒成立， 【解析】 【详解】试题分析：(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知：， 2a＋2c＝4(＋1)，所以a＝2，c＝2. 又a2＝b2＋c2，因此b＝2.故椭圆的标准方程为＝1. 由题意设等轴双曲线的标准方程为＝1(m＞0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m＝2，因此双曲线的标准方程为＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则k1＝，k2＝. 因为点P在双曲线x2－y2＝4上，所以x－y＝4. 因此k1·k2＝·＝＝1，即k1·k2＝1. (3)由于PF1的方程为y＝k1(x＋2)，将其代入椭圆方程得(2k＋1)x2－8kx＋8k－8＝0， 显然2k＋1≠0，显然Δ＞0.由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝. 所以|AB|＝ ＝. 同理可得|CD|＝. 则， 又k1·k2＝1， 所以. 故|AB|＋|CD|＝|AB|·|CD|. 因此存在λ＝，使|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立． 考点：本题考查了圆锥曲线方程的求法及直线与圆锥曲线的位置关系 点评：对于直线与圆锥曲线的综合问题，往往要联立方程，同时结合一元二次方程根与系数的关系进行求解；而对于最值问题，则可将该表达式用直线斜率k表示，然后根据题意将其进行化简结合表达式的形式选取最值的计算方式 19. 若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线． （1）当时，求函数与在公共点处的切线方程； （2）求的最小值； （3）求证：当时，． 【答案】（1） （2）1 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设为与的一个公共点，再根据斜率相等和切点在函数图像上列出等式，即可求得结果. （2）设为与的一个公共点，再根据斜率相等和切点在函数图像上列出等式，得到，再构造函数利用函数的单调性与最大值即可求得结果. （3）证：时，，即证：对恒成立，再通过构造函数利用函数的单调性即可证明. 【小问1详解】 当时，，设为与的一个公共点 ，，切点 与在公共点处的切线方程为． 【小问2详解】 设为与的一个公共点， ，由，代入①， ， 令 当时，在区间单调递增； 当时，在单调递减，当时，，， 当且仅当时取“”，． 【小问3详解】 由（2）知， 证：时，， 即证：对恒成立 令， 当时，在上单调递减；当时，在单调递增, 当时，，故函数在时取最小值， ，证毕！ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $