山东济宁市嘉祥县第一中学2024-2025学年高三下学期2月开学考试数学试题

嘉祥一中2024一2025学年度第二学期收心考试 高三数学试题 第I卷（共40分） 一、选择题：每小题5分，共40分。四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.欧拉恒等式c“+1=0(i为虚部单位，e为自然对数的底数)被称为数学中最奇妙的公式，它是复 分析中欧拉公式e=cosx+isinx的特例：当自变量x=π时，e“=cosπ+isinπ=-l,得e“+l=0.根 ,2023 据欧拉公式，复数e4的虚部为() A. B.-3 c.-2 D.2 2 2 2.若集合4={r≤4，B={y=1,,则1B=（) A.[-2,2] B.[0,2]C.(0,2]D.[2,+o) 3.设平面向量a,方均为单位向量，则后-2b-2+是“a1古”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为1：2，则它们 的体积比是() A.1:V10 B.1:V5 c.2:V10 D.2:V5 的展开式中，下列说法正确的是() 2x A常数项为15 B.各项的系数和为64 C第3项的二项式系数最大 D.奇数项二项式系数和为-32 6.某单位安排5名同志在5月1日至5日值班，每天安排1人，每人值班1天.若5名同志中的甲、 乙安排在相邻两天，丙不安排在5月3日，则不同的安排方案共有() A.42种 B.40种 C.36种 D.30种 7.己知圆C:(x-1)2+y2=9,直线：x+y+m=0,P为直线1上的动点，过点P作圆C的切线PM, PN,切点为M,N.若使得四边形PMCN为正方形的点P有且只有一个，则正实数m=() A.1 B.3V2 C.5 D.7 8.已知函数问在R上都存在导函数了女，对于任意的实数积-心，当x<0时， f(-x) 高三数学试题第1页共4页 f倒->0，若a-/2,b=y-,c=5r 则a,b,c的大小关系是() 2 A.a>c>b B.c>b>a C.c>a>b D.a>b>c 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9.某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值（单 位：分)作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点 值作代表)() 缬串 组距 0.035 0.015 0.0i0 5060708090100质量指标值/分 A.m=0.030 B.样本质量指标值的平均数为75 C样本质量指标值的众数小于其平均数 D.样本质量指标值的第75百分位数为85 10.己知∫(x)=sin(x+p)(o>0),下列结论正确的是() A.若=石（倒）的图象向左平移乏个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则0可以等于 B.若p-不()在(0，)上恰有3个零点，则o的取值范围是<0≤5 4 4 3sa<14 C.若9行()在[？上拾有3个零点，则ω的取值范围 D.若在[不引上单调且/()f)-(, 则f(x)的最小正周期为π 动点P(x,y)满足PA=V2PB,则下列结论正确的是() A.点P的轨迹围成的图形面积为π B.PB的最小值为1- 2 C.R,B是P的任意两个位置点，则R≤背 D.过点(（22 的直线与点P的轨迹交于点M,N,则MN的最小值为瓦 高三数学试题第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设F为抛物线C:x2=4y的焦点，直线1：2x-2y-1=0交C于A,B两点，则FA+|FB= 13.若函数f=2-e在区间0，+∞)单调递减，则k的取值范围是 已知双曲线C-一1o>0,b>0与椭圆十1的焦点重合，离心率互为倒数，设日 1612 与分别为双曲线C的左、有焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为 PE, 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.在VABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,己知acos B+bcos A-2 ccos B=0. (1)求内角B的大小； 2)若MBC的积为，a=2c,MM=4C,求线段M的长 3 16.设首项为2的数列@，}的前n项和为S,前n项积为，且满足刀1-+2。 3 (1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列 n+1 的前n项和M,<4 （参考公式：12+2+32+L+=m+12n+D) 6 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC,AD=3,AB=BC=2, PA⊥平面ABCD,且PA=3,点M在棱PD上，点N为BC中点. D D C (1)证明：若DM=2MP,直线MNM平面PAB; (2)是否存在点M,使MM与平面PCD所成角的正弦值为三？若存在求出PM值若不存在，说 6 PD 明理由. 18.(17分)己知函数f(x)=am-bnx,其中a>0. 高三数学试题第3页共4页 (1)若曲线y=f(x)在点L,)处的切线方程为y=1,求f(x)的最小值： (2)若/四≥3x-2对于任意x>0均成立，且g@=b+a的最小值为1，求实数k. a Q17分)如图，各边5坠标甜平行或垂直的知形cD内接于椭圆方子+片二1>b>0,其中 点A,B分别在第三、四象限，边AD,BC与x轴的交点为M1,M2· D M 0 M A ⊙ (1)若AB=BC=1,且M,M2为椭圆E的焦点，求椭圆E的离心率： (2)若AB,CD,是椭圆E的另一内接矩形，且点A也在第三象限，若矩形ABCD和矩形4B,C,D,的 面积相等，证明：|OA2+OA2是定值，并求出该定值： (3)若ABCD是边长为1的正方形，边AB,CD与y轴的交点为M,M4,设P(i=1,2,, 100 100)是正方形ABCD内部的100个点，记4-∑M,其中k=1,2,3,4.证明：4，d, d,d,中至少有两个小于81. 高三数学试题第4页共4页高三数学收心试题参考答案 1.C.2.C.3.c4.A5.A6.B7.c 8【详解】令86国=但，因为x<0时、f-/>0, 所以当x<0时，g-四f国<0，则树在(o,0)上单调递减， 因为g=四的定文域为R,又积-e,则四_f(, f(-x) 所以g-对-八_巴=g,所以为偶函数，故g在0+o)上单调递增， e-x er 又a-f2到=g仙2，b=g(-)=g(-0=80, 2 c=5/(写)8时)g(-hs-gu5), 而h5>1>h2,所以g(血5)>g()>g(h2),即c>b>a. 故选：B. 9.ACD10.BD.11.ABD12.5 13. 14【详解】设椭圆的长半轴长为a1,短半轴长为b1,半焦距为c, 则=G-好162=2，故椭圆的离心率e1&一 从而双曲线的离心率e=9=2=2,可得a=1, aa 根据双曲线的定义有PF1一PF2=2a,即PF1=PF2+2, 故2E-（Et2_Ft+4p5+4 4 PF PF, 由双曲线的范围可得PF22c一a=1, 4 4 根据基本不等式可得P,+P,+42P,×pE +4=8, 当且仅当P听P,即P听，=2时取=”，所以F的最小值为8. 4 PE, 15【小问1详解】因为acos B+bcosA-2 ccos B=0, 所以由正弦定理边化角得sin Acos B+-sin Bcos A-2 sin Ccos B=0, 高三数学试题答案第1页共6页 所以sin(A+B)-2 sin Ccos B=0因为A+B=元-C 所以sinC-2 sin CeosB=0,因为sinC≠0，所以cosB= 2 因为B∈(0，)，所以B= 6分 【小问2详解】 C 因为M8C的面积为5,8子所以S=acmB=怎c= 2 2 aC= 2,所以ac=2. 4 2 因为a=2c,所以c=l,a=2,所以b=va+c2-2 accos B=1+4-2x2x=V3, 2 所以d=+2,即MBC为直角三角形，因为w=!咒，所以M= 题1匹 3 3, ,123 所以BM=VAB2+AM2=1+号 —13分 33 16【小陶1都】因为=中2，所以会2。，即号 n n+2 n 所以a合)所以数列 an 为常数列， (n+1) 又1，所以1，即a=a+. 也可累乘求通项。 -7分 (2).证明：由(1)知：an=n(n+l)=n2+n, 结合参考公式可得20t23+同4a+x小-e+a2, 所以g0习习2) 以业点日0兮点 年-最同8可 2n+3]3 2n+3 高三数学试题答案第2页共6页 2n+3 因为neN,所以2a+a+2>0, 即，<子 --15分 17【小问1详解】 M A B 如图所示，在线段AD上取一点2， 使4QD,连接M0,N№， Q DM=2MP, ∴QM∥AP, 又AD=3,AB=BC=2, .AQ∥BN,四边形ABNQ为平行四边形， .NO//AB, 又N2IM9=9,ABI AP=A, 所以平面MNQ平面PAB, QMNc平面MW9, .MN∥平面PAB;- -6分 【小问2详解】 有在.州背01 -7分 假设存在点M,设M=元，即P成=P觉，2∈0，]， PD 高三数学试题答案第3页共6页 D 3 如图所示，以点A为坐标原点，以AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系， 则B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,3,0),P(0,0,3), 又N是BC中点，则N(21,0), 所以P0=(0,3,-3),Cm=(-2,10),Dm=(2,2,0), 设平面PCD的法向量=(x,y,Z), PD.h=3y-3z1=0 CD%=-2x+y=0' 令=1，则员=22列 -—--10分 又PD=(0,3-3),PM=(0,32,-32), 则M(0,3孔，3-32)， m=(2,1-32,3-3列， -12分 sino-lcosy. 2+21-32)+2(31-3) 2 F+22+22+1-3+(32-3 6 解得元=或元=1， 3 放作在点加，此州%-写器1. -15分 18.(17分) 解：(1)①由题意，且f(x)的定义域为(0，+o) f(x)=a'xa1_b_a'xa-b xx 发a周名名-面6- 高三数学试题答案第4页共6页 故f倒=x-血x,f=x-, 从而函数∫(x)在(0,1)上单调递减，在(L,+o)上单调递增， 所以f(x)n=f()=1.----6分 (2)依题意，x-b1nx≥3x-2,其中a>0,记)=-b1nx-3x+2,则M≥0， a 因为)=0，h(x)≥h(①，即)是h(x)的极小值也是最小值，故H①=0， 而h=m21-b-3,所以a-b-3=0,解得b=d2-3a,-8分 ax 此时h(x)=x-(a-3)nx-3x+2(x>0), 若0<a<3,则x→0时，x→0，血x→∞，(a-3)nx→o,-3x+2→2， 即h(x)→o,与h(x)≥0矛盾！--- ----10分 若a23,h倒=m1_a-3-3=2-3x-a+3_a--3x-1) x x 则当0<x<1时，h<a(x-)-3(x-D_a-3x-D≤0，单调递减， 当x>1时，H>x-)-3(x-少_a-3x-D≥0，单调递增， 符合题意.故a≥3.-- -12分 所以g(a)=b+ka=a2-(3-k)a,其中a≥3. 若3-k≤3即k≥-3时，则函数g@在B,∞)上最小值为g③)， 2 依题意9-33-)=1，解得k=1,符合题意； ----14分 若3>3即k<-3时，则函数8回在B,+o)上最小位为82) 2 依题盒g2)1,即6=1，无解，不符合愿数。一一16分 4 所以，k=1 -17分 19.（17分) 解：1)依题意，2a=C+C=1+5,2c=MM1BF1, 2 所以e=c=2=5-1 a1+V52 高三数学试题答案第5页共6页 (2)设A(x,),A(:,),由题意，矩形ABCD和矩形ABCD,的面积相等， 所以4x%=4xy, 即就坊而导+长r-引) 从商上式化为-}=-荐) 整理可得x+=a2, 代入(*)式，y。2+=b2, 故10A+0A2=x+y+X+=a2+b2, 即1OA+OA为定值，且该定值为a2+b2.--10分 (3)如图，以AD,BC的中点为焦点构造经过A,B,C,D的椭圆，对于点P,连接MB并延 长，与该椭圆交于点2，连接M22, y M2 B 则AM+RM,≤RM,+Re+l2M,-lOM,+OM,=2a-5+1<162 2 100 d+d,=∑M,+∑M<162 因而d,d,中至少有一个小于81， 同理d,d中至少有一个小于81， 故d,d,d,d,中至少有两个小于81.- ---17分 (以上答案仅供参考，其它解法请酌情赋分) 高三数学试题答案第6页共6页