山东济宁市嘉祥县第一中学2024-2025学年高三下学期2月开学考试数学试题

嘉祥一中2024—2025学年度第二学期收心考试 高三数学试题 第Ⅰ卷（共40分） 一、选择题：每小题5分，共40分.四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 欧拉恒等式（i为虚部单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式，它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得．根据欧拉公式，复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设平面向量，均为单位向量，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为，则它们的体积比是（ ） A. B. C. D. 5. 在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 常数项为 B. 各项的系数和为64 C. 第3项的二项式系数最大 D. 奇数项二项式系数和为 6. 某单位安排5名同志在5月1日至5日值班，每天安排1人，每人值班1天．若5名同志中的甲、乙安排在相邻两天，丙不安排在5月3日，则不同的安排方案共有（ ） A. 42种 B. 40种 C. 36种 D. 30种 7. 已知圆，直线，为直线上的动点．过点作圆的切线PM，PN，切点为M，N．若使得四边形为正方形的点有且只有一个，则正实数（ ） A. 1 B. C. 5 D. 7 8. 已知函数在上都存在导函数，对于任意的实数，当时，，若，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（ ） A. B. 样本质量指标值的平均数为75 C. 样本质量指标值的众数小于其平均数 D. 样本质量指标值的第75百分位数为85 10. 已知，下列结论正确的是（ ） A. 若的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则可以等于 B. 若在上恰有3个零点，则的取值范围是 C. 若在上恰有3个零点，则的取值范围是 D. 若在上单调，且，则的最小正周期为 11. 已知，动点满足，则下列结论正确的是（ ） A. 点的轨迹围成的图形面积为 B. 的最小值为 C. 是的任意两个位置点，则 D. 过点的直线与点的轨迹交于点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设为抛物线的焦点，直线交于A，B两点，则__________． 13. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是__________． 14. 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与椭圆＋＝1的焦点重合，离心率互为倒数，设F1、F2分别为双曲线C的左、右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知． （1）求内角B的大小； （2）若的面积为，，，求线段BM的长． 16. 设首项为2的数列的前n项和为，前n项积为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列的前n项和. （参考公式：） 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，平面，且，点M在棱上，点N为中点. （1）证明： 若， 直线平面； （2）是否存在点M，使与平面所成角的正弦值为？若存在求出 值；若不存在，说明理由. 18. 已知函数，其中. （1）若曲线在点处的切线方程为，求的最小值； （2）若对于任意均成立，且的最小值为1，求实数. 19. 如图，各边与坐标轴平行或垂直的矩形内接于椭圆，其中点，分别在第三、四象限，边，与轴的交点为，. （1）若，且，为椭圆的焦点，求椭圆的离心率； （2）若是椭圆的另一内接矩形，且点也在第三象限，若矩形和矩形的面积相等，证明：是定值，并求出该定值； （3）若是边长为1的正方形，边，与轴的交点为，，设（，，…，）是正方形内部的100个点，记，其中，，，.证明：，，，中至少有两个小于81. 嘉祥一中2024—2025学年度第二学期收心考试 高三数学试题 第Ⅰ卷（共40分） 一、选择题：每小题5分，共40分.四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】5 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】8 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）证明见解析 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，或 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2）证明如下： 设，，由题意，矩形和矩形的面积相等， 所以， 即，而，（*） 从而上式化为， 整理可得， 代入（*）式，， 故， 即为定值，且该定值为. （3）证明如下： 如图，以，的中点为焦点构造经过，，，的椭圆，对于点，连接并延长，与该椭圆交于点，连接， 则. 因而，中至少有一个小于81， 同理，中至少有一个小于81， 故，，，中至少有两个小于81. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $