专题17 全等与相似模型之一线三等角（K字）模型（几何模型讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

专题17 全等与相似模型之一线三等角（K字）模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 6 模型1.一线三等角（K型图）模型（全等型） 6 模型2.一线三等角（K型图）模型（相似型） 9 13 “一线三等角”的概念最早可以追溯到古希腊数学家欧几里得的《几何原本》中。在这本经典的数学著作中，欧几里得系统地阐述了平面几何的基本原理和定理，其中就包括了关于角和线段关系的诸多论述。虽然“一线三等角”这一术语可能并非直接出自欧几里得之口，但其所涉及的原理和概念无疑在他的著作中得到了充分的体现和阐述。 在欧几里得之后，许多数学家都对“一线三等角”进行了深入的研究和探索。他们通过不同的方法和途径来证明这一结论的正确性，并寻找其在实际问题中的应用。这些数学家们的努力不仅推动了几何学的发展，也为后来的科学研究提供了宝贵的经验和启示。 随着时间的推移，“一线三等角”逐渐成为了中学数学教育中的重要内容之一。通过学习和掌握这一概念，学生们可以更加深入地理解角度和线段之间的关系，提高解决几何问题的能力。同时，这一概念也激发了学生们对数学的兴趣和热爱，为他们的未来学习和发展奠定了坚实的基础。 （2023·山东聊城·中考真题）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，． (1)求证：；(2)若，时，求的面积．    （2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．      （2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：ΔABE≅ΔECD，AB+CD=BC. 证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。 证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 3.一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 4.一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 5.一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM；故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 模型1.一线三等角（K型图）模型（全等型） 例1（24-25·山东·模拟预测）（1）已知：如图①，在中，，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为D，E．求证：． （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角：那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）应用，如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是15，求与的面积之和． 例2（2022·湖南湘潭·中考真题）在中，，，直线经过点，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、． (1)特例体验：如图①，若直线，，分别求出线段、和的长； (2)规律探究：①如图②，若直线从图①状态开始绕点旋转，请探究线段、和的数量关系并说明理由；②如图③，若直线从图①状态开始绕点A顺时针旋转，与线段相交于点，请再探线段、和的数量关系并说明理由； (3)尝试应用：在图③中，延长线段交线段于点，若，，求． 例3（24-25·安徽·校考一模）（1）理解证明：如图1，，射线AE在这个角的内部，点B，C在的边AM，AN上，且，于点F，于点D．求证：； （2）类比探究：如图2，点B，C在的边AM，AN上，点E，F在内部的射线AD上，，分别是，的外角．已知，．求证：； （3）拓展应用：如图3，在中，，，点D在边BC上，，点E，F在线段AD上，．若的面积为21，求与的面积之和．    模型2.一线三等角模型（相似模型） 例1（2023·山东东营·统考中考真题）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（        ）    A． B． C． D． 例2（2025·江苏南京·二模）如图，在正方形中，是的中点，点在上，且．求证：． 例3（2024·北京校考·一模）已知梯形中，∥，且，，． ⑴如图，P为上的一点，满足∠BPC=∠A，求AP的长； ⑵如果点P在边上移动（点P与点不重合），且满足∠BPE=∠A，交直线于点E，同时交直线DC于点．①当点在线段DC的延长线上时，设，CQ=y，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②写CE=1时，写出AP的长（不必写解答过程） 例4（2025·四川乐山·模拟预测）【解决问题】如图1，点C，D在线段上，，若，求证：． 【知识迁移】如图2，中，，，点C，D在线段上，点F在线段上，若，求证：． 【拓展应用】如图3，点E在平行四边形的边延长线上，，在线段上确定点M，使得，并说明理由． 1．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，在矩形纸片中，，，为的中点，为边上一动点，连接．过点作，交线段于点．在点的移动过程中，当为等腰三角形时，的长是 ；当经过点时，的长是 ． 2．（2025·河南·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，分别是边的中点，连接．若是直角三角形，则的长为 ． 3.（2025·贵州安顺·三模）如图，在矩形中，，，E是边上的一动点，连接，过点E作，与边交于点F，连接，则的最小值为 ． 4．（2025·河北保定·模拟预测）如图，桌面上竖直放置着一个等腰直角三角板，若测得斜边的两端点到桌面的距离分别为，．（1）求证：；（2）若，，求的长． 5．（2025·宁夏银川·二模）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与有怎样的数量关系？ (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； (3)【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点，求的值； 6．（2025·湖北随州·模拟预测）问题背景如图（1），在中，，，，，垂足分别是D，E，证明：； 尝试应用如图（2），在中，，，点D是上一点，连接；过A作，连接，若，，求的值； 拓展创新如图（3），在中，，，点D，E在上，连接；过A作于F，连接，；若点E为的中点，平分，直接写出的值． 7．（2025·江苏·三模）在矩形中，，，点E为边上一动点，连接，在右侧作射线于点E，点F为射线上一点． (1)如图1，若点F在边上，，求的长； (2)如图2，若点F在矩形内部，，连接并延长，交边于点H，当时，求的长； (3)如图3，若点F在边上，连接，过点A作于点M，则的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 8．（2025·广西柳州·二模）综合与探索 【探索发现】如图，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图，在直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点、， (1)直接写出______，______； (2)将直线绕点顺时针旋转得直线，求出直线解析式： 小明的解题思路是：在第二象限构造等腰直角，使得，，根据型全等和坐标之间的关系，求出点的坐标为______；通过，两点坐标求出直线的解析式______； (3)如图，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数解析式． 9．（2024·山东烟台·中考真题）在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接． 【尝试发现】（1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________； 【类比探究】（2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明； 【联系拓广】（3）若，，请直接写出的值． 10．（2025·宁夏银川·二模）综合与探究 【特例感知】（1）如图1，已知，则，，可得；这一步的依据是____________________________．又因为，可得； 【类比探究】  （2）如图2，点P是线段上与点A，点B不重合的任意一点，分别以A，P，B为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段为等联线．①请直接写出图2中与的形状关系___________________； ②如图3，在边长均为方格的纸上，小正方形的顶点为格点，A，B在格点上．请用两种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹； 【迁移应用】（3）如图4，在矩形中，，，点P是线段上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P，三角板两直角中的一边始终经过点，另一直角边交线段于点E，是否存在这样的点P，使的周长等于周长的4倍？若存在，请求出的长度；若不存在，请简要说明理由．    11．（24-25九年级下·山东烟台·期中）阅读下列材料： 如图1，点A、D、E在直线l上，且， 则：，又，故． 像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形．      请根据以上阅读解决下列问题：(1)如图2，中，，，直线ED经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：．(2)如图3，在中，点D在上，，，， ，求点C到边的距离．(3)如图4，在平行四边形中，E为边上一点，F为边上一点．若，，，，求的长． 12．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）【提出问题】如图①，在中，，点三点都在直线上，若，猜想之间的数量关系___（直接写出结论） 【类比探究】如图②，若图①中的三个角变成任意角，其余条件不变，即，①中的结论是否成立，说明理由． 【拓展延伸】如图③，若，且为等边三角形，求证：为等边三角形． 【学以致用】数学兴趣小组的同学在学完相似三角形的相关知识后发现，可以类比上述思路解决与相似有关的问题，请你和他们一起完成下列问题吧． 如图④，在平行四边形中，，点是边上一点，过点作，交边于点，且，求的值． 13．（2023·湖北荆州·中考真题）如图1，点是线段上与点，点不重合的任意一点，在的同侧分别以，，为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点为等联点，线段为等联线． (1)如图2，在个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在中，，，延长至点，使，作的等联角和．将沿折叠，使点落在点处，得到，再延长交的延长线于，连接并延长交的延长线于，连接．①确定的形状，并说明理由； ②若，，求等联线和线段的长（用含的式子表示）． 14．（2025·安徽·二模）（1）如图，等腰直角中，，，线段经过点，过A作于点，过作于求证：≌． （2）如图，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点是平面直角坐标系中的一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求点的坐标； （3）如图，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，在等腰直角中，，，点在线段上从向运动运动到点停止，以点为直角顶点向右上方做等腰直角，求点移动的距离． 15．（24-25·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来： ①如图1，是等腰直角三角形，，AE=BD，则_______； ②如图2，为正三角形，，则________； ③如图3，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F．若，，则的长为________． 【模型变式】（2）如图5所示，在中，，，于E，AD⊥CE于D，，，求的长． 16.（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图： (1)如图，，射线在这个角的内部，点、分别在的边、上，且，于点，于点．求证：； (2)如图，点、分别在的边、上，点、都在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，且．求证：； (3)如图3，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为，求与的面积之和． 17．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）【问题初探】 （1）数学活动课上，小明通过拼摆直尺和三角尺，发现了一些图形之间的特殊关系． ①如图1，将含角的三角尺的直角顶点O放在直尺边上，过斜边端点A，C向直尺的边缘作垂线，垂足分别为B，D，小明发现无论怎样调整三角尺的角度，与始终相等，并且线段，．②如图2，换成含角的三角尺时，小明发现与还始终相等，而线段与，与不再相等，但，都等于．请求出的值． 【类比分析】（2）王老师发现小明在学习时善于观察，只乐于思考.便想进一步考查小明是否能将探索的方法与发现的结论迁移到解决新的问题中去，于是提出以下问题： 如图3，在正方形中，点E为边上一点，连接，将沿翻折，点A落在点F处，延长交于点G，连接，过点G作，交的延长线于点M，过点M作的垂线，垂足为N．①求的度数；②求证：． 【学以致用】（3）如图4，在正方形中，，点E为的中点，连接，将沿翻折，点A落在点F处，直线交于点P，点Q在射线上，连接，，若，求线段的长． 18．（2025·山东济南·一模）（一）模型呈现（1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （二）模型体验（2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______； （三）模型拓展（3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程： （四）模型应用（4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度． 19．（2025·安徽合肥·三模）如图（1），是菱形边上一点，将线段绕点顺时针旋转度到位置，连接，且交于点， (1)如图（2），当时，求证：； (2)如图（1），探究与的数量关系．并说明理由； (3)如图（3），当时，若菱形边长为，且，求长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 全等与相似模型之一线三等角（K字）模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 6 模型1.一线三等角（K型图）模型（全等型） 6 模型2.一线三等角（K型图）模型（相似型） 9 13 “一线三等角”的概念最早可以追溯到古希腊数学家欧几里得的《几何原本》中。在这本经典的数学著作中，欧几里得系统地阐述了平面几何的基本原理和定理，其中就包括了关于角和线段关系的诸多论述。虽然“一线三等角”这一术语可能并非直接出自欧几里得之口，但其所涉及的原理和概念无疑在他的著作中得到了充分的体现和阐述。 在欧几里得之后，许多数学家都对“一线三等角”进行了深入的研究和探索。他们通过不同的方法和途径来证明这一结论的正确性，并寻找其在实际问题中的应用。这些数学家们的努力不仅推动了几何学的发展，也为后来的科学研究提供了宝贵的经验和启示。 随着时间的推移，“一线三等角”逐渐成为了中学数学教育中的重要内容之一。通过学习和掌握这一概念，学生们可以更加深入地理解角度和线段之间的关系，提高解决几何问题的能力。同时，这一概念也激发了学生们对数学的兴趣和热爱，为他们的未来学习和发展奠定了坚实的基础。 （2023·山东聊城·中考真题）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，． (1)求证：；(2)若，时，求的面积．    【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，∴， 即，∴， 在和中，，∴，∴，∴； （2）解：过点E作于F，由（1）知， ∵，∴，∵，∴， ∴，，∴．    （2023·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．      【答案】3 【详解】解： ∵，∴， ∵，，∴，∴，∴， 在和中：，∴， ∴，∴，故答案为：3． （2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴，∴； （2）∵，， ∴，∴． （3）∵，， ∴，∴．∴， ∵点E是的中点，∴，∴， ∵，∴，∴，∴． 1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：ΔABE≅ΔECD，AB+CD=BC. 证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。 证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 3.一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 4.一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 5.一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM；故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 模型1.一线三等角（K型图）模型（全等型） 例1（24-25·山东·模拟预测）（1）已知：如图①，在中，，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为D，E．求证：． （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角：那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）应用，如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是15，求与的面积之和． 【答案】（1）见解析（2）成立，理由见解析；（3） 【详解】证明：（1）∵直线m，直线m，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵在和中，∴， ∴，∴； （2）结论仍然成立，理由是：∵， ∴，∴， ∵在和中，∴， ∴，∴． （3）∵，∴， 在和中，，∴，∴， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ∴，，∵，∴， ∵，∴与的面积之和为． 例2（2022·湖南湘潭·中考真题）在中，，，直线经过点，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、． (1)特例体验：如图①，若直线，，分别求出线段、和的长； (2)规律探究：①如图②，若直线从图①状态开始绕点旋转，请探究线段、和的数量关系并说明理由；②如图③，若直线从图①状态开始绕点A顺时针旋转，与线段相交于点，请再探线段、和的数量关系并说明理由； (3)尝试应用：在图③中，延长线段交线段于点，若，，求． 【答案】(1)BD=1；CE=1；DE=2(2)DE=CE+BD；理由见解析；②BD=CE+DE；理由见解析 (3) 【解析】(1)解：∵，，∴， ∵，∴，， ∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴，∴，， ∴，∴， ，∴． (2)DE=CE+BD；理由如下：∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵AB=AC，∴，∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD+AE=CE+BD，即DE=CE+BD； ②BD=CE+DE，理由如下：∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵AB=AC，∴，∴AD=CE，BD=AE，∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，即BD=CE+DE． (3)根据解析（2）可知，AD=CE=3，∴， 在Rt△AEC中，根据勾股定理可得：， ∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴，∴，即，解得：， ∴，∵AB=AC=5，∴． 例3（24-25·安徽·校考一模）（1）理解证明：如图1，，射线AE在这个角的内部，点B，C在的边AM，AN上，且，于点F，于点D．求证：； （2）类比探究：如图2，点B，C在的边AM，AN上，点E，F在内部的射线AD上，，分别是，的外角．已知，．求证：； （3）拓展应用：如图3，在中，，，点D在边BC上，，点E，F在线段AD上，．若的面积为21，求与的面积之和．    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）14 【详解】解：（1）∵，， ∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴． （2）∵，，，∴， ∵，，，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴； （3）如图，∵在等腰三角形ABC中，，， ∴与等高，底边比值为：．∴与面积比为：．    ∵的面积为21，∴与面积分别为：7，14．∵，∴． ∵，，，∴．∴． ∵，，．∴．∴与面积相等， ∴与的面积之和为的面积．∴与的面积之和为14． 模型2.一线三等角模型（相似模型） 例1（2023·山东东营·统考中考真题）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（        ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵，，∴，∴∴ ∵，∴，∴∵∴，故选：C． 例2（2025·江苏南京·二模）如图，在正方形中，是的中点，点在上，且．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：法一：设正方形的边长为． 是的中点，．． 四边形为正方形，． 在Rt中，，． 又，．同理． ．． 在和中，，． 法二：设正方形的边长为．是的中点，．． 四边形为正方形，． 在Rt中，，．又，．同理． 在中，，．． 又，．在和中，，． 法三：．四边形为正方形，． 是的中点，，． 在和中，，．． ，，． 在和中，，． 例3（2024·北京校考·一模）已知梯形中，∥，且，，． ⑴如图，P为上的一点，满足∠BPC=∠A，求AP的长； ⑵如果点P在边上移动（点P与点不重合），且满足∠BPE=∠A，交直线于点E，同时交直线DC于点．①当点在线段DC的延长线上时，设，CQ=y，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②写CE=1时，写出AP的长（不必写解答过程） 【答案】⑴的长1或4;⑵① ;②或3- 【详解】解：⑴，，， 又梯形中，，，，， 设，，，解得，，的长1或4; ⑵①由⑴易得（如图），，即， ②当CE=1时，∵△PDQ∽△ECQ，∴,或， ，解得：AP=2或3−. 例4（2025·四川乐山·模拟预测）【解决问题】如图1，点C，D在线段上，，若，求证：． 【知识迁移】如图2，中，，，点C，D在线段上，点F在线段上，若，求证：． 【拓展应用】如图3，点E在平行四边形的边延长线上，，在线段上确定点M，使得，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【详解】证明：（1）∵，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， 证明：（2），， ，， ，，，， ，，，，， ，，，，； （3）解：在上截取， 四边形是平行四边形，，， ，，同（1）（2）题证明得． 1．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，在矩形纸片中，，，为的中点，为边上一动点，连接．过点作，交线段于点．在点的移动过程中，当为等腰三角形时，的长是 ；当经过点时，的长是 ． 【答案】 或 【详解】解：（1）当为等腰三角形时，且为直角，只有．如图1，过点作， ，，， ，，． ，四边形为矩形，． 在中，，．故答案为：； （2）当经过点时，如图2所示，∵，∴． ，．设，则， ∴ ，解得，．的长为或．故答案为：或 2．（2025·河南·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，分别是边的中点，连接．若是直角三角形，则的长为 ． 【答案】或 【详解】解：分下列两种情况讨论：①当时，过点作的垂线，交的延长线于点，延长交于点，如图所示，则， ∵四边形是平行四边形，∴，， ∴，，∴和是等腰直角三角形， ∵，点是的中点，∴，∴， 设，则，，∵，∴， ∵，∴， 又∵，∴，∴， 即，解得，∴， ∵点是的中点，∴； ②当时，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，如图所示，则，同理①得， 设，则，∵点是的中点，∴， ∵四边形是平行四边形，，∴，， ∴为等腰直角三角形，∴，∴， 同理①可证，∴，即，解得， ∴∴； 综上所述，若是直角三角形，则的长为或，故答案为：或． 3.（2025·贵州安顺·三模）如图，在矩形中，，，E是边上的一动点，连接，过点E作，与边交于点F，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：的长为，则，的长为， ，，，， ，，， ，，即， ，当时，， 当时，，此时为最小，．故答案为：． 4．（2025·河北保定·模拟预测）如图，桌面上竖直放置着一个等腰直角三角板，若测得斜边的两端点到桌面的距离分别为，．（1）求证：；（2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）3 【详解】解：（1）证明：∵，，∴，∴． ∵，∴，∴，∴．∴ （2）解：∵，∴，．∵，∴， ∵，∴，∴． 5．（2025·宁夏银川·二模）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与有怎样的数量关系？ (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； (3)【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点，求的值； 【答案】(1)(2)；(3)． 【详解】（1）解：． ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． ∵，∴， ∵，∴，∴， 又∵，，∴，∴； （2）解：∵，∴， ∵，∴，∴， 又∵，，∴，∴，， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴，∴， ∴； （3）解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴，∴，即，即， 又∵，∴，∴， 设，则，，解得：， ∴，∴， 6．（2025·湖北随州·模拟预测）问题背景如图（1），在中，，，，，垂足分别是D，E，证明：； 尝试应用如图（2），在中，，，点D是上一点，连接；过A作，连接，若，，求的值； 拓展创新如图（3），在中，，，点D，E在上，连接；过A作于F，连接，；若点E为的中点，平分，直接写出的值． 【答案】（1）证明见解析，（2）；（3）的值是 【详解】（1）证明：∵，，∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴； （2）解：如图，过作交延长线于，则，则． 设，，由（1）得， ∴，，∴． ∵，∴，∴， ∴，即，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 解得（已检验）或（舍去）或（舍去）；∴； （3）过C作交延长线于G，延长，交于H． ∵，∴，∴， ∴，设，则， ∵平分，，∴，， 又∵，∴，∴，即， ∵，，∴，∴，， ∵点E为的中点，即，∴，∴， 在中，． 7．（2025·江苏·三模）在矩形中，，，点E为边上一动点，连接，在右侧作射线于点E，点F为射线上一点． (1)如图1，若点F在边上，，求的长； (2)如图2，若点F在矩形内部，，连接并延长，交边于点H，当时，求的长； (3)如图3，若点F在边上，连接，过点A作于点M，则的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2.5(2)(3)存在， 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴； （2）解：∵，∴， 如图 ，过点F作于点M，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴，设，则，∴， ∵，∴， 又，∴，∴，即， 解得：，（舍），∴； （3）解：的长度是存在最小值，连接， 设，由（1）得，∴，∴∴， ∵，∴当时，y有最大值，∵， ∴当时，有最大值，为， ∵，∴ ∴取最大值时，有最小值为：． 8．（2025·广西柳州·二模）综合与探索 【探索发现】如图，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图，在直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点、， (1)直接写出______，______； (2)将直线绕点顺时针旋转得直线，求出直线解析式： 小明的解题思路是：在第二象限构造等腰直角，使得，，根据型全等和坐标之间的关系，求出点的坐标为______；通过，两点坐标求出直线的解析式______； (3)如图，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数解析式． 【答案】(1)，；(2)，；(3)的函数表达式为． 【详解】（1）解：如图，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点， 令，解得，令，得，解得：， ∴点的坐标为，点的坐标为，∴，，故答案为：，； （2）解：过点作轴于，如图，则， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴，， ∵，∴点的坐标为，设解析式为， ∴，解得：，∴解析式为，故答案为：，； （3）解：过点作交于点，过点作轴，过点作轴与交于点，与轴交于点，如图，∵，，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， 设，则，，∴，∴，解得， ∴，∴设直线解析式为 ，解得，∴的函数表达式为． 9．（2024·山东烟台·中考真题）在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接． 【尝试发现】（1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________； 【类比探究】（2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明； 【联系拓广】（3）若，，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2），补图及证明见解析；（3）或 【详解】解：（1）如图，过点作延长线于点， 由旋转得，，∴， ∵，∴，， ∴，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，故答案为：； （2）补全图形如图：，理由如下：过点作交于点， 由旋转得，，∴， ∵，∴，， ∴，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴； （3）如图，当在的延长线上时，过点作于点，连接， 由（2）得，，∴， ∴，∴． 当在的延长线上时，过点作于点，如图，连接， 同理可得：，∴，，∴，∴， ∴；综上：或 10．（2025·宁夏银川·二模）综合与探究 【特例感知】（1）如图1，已知，则，，可得；这一步的依据是____________________________．又因为，可得； 【类比探究】                                                             （2）如图2，点P是线段上与点A，点B不重合的任意一点，分别以A，P，B为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段为等联线． ①请直接写出图2中与的形状关系___________________； ②如图3，在边长均为方格的纸上，小正方形的顶点为格点，A，B在格点上．请用两种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹； 【迁移应用】（3）如图4，在矩形中，，，点P是线段上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P，三角板两直角中的一边始终经过点，另一直角边交线段于点E，是否存在这样的点P，使的周长等于周长的4倍？若存在，请求出的长度；若不存在，请简要说明理由．    【答案】（1）同角的余角相等；（2）①；②见解析；（3）存在这样的点P，使周长等于周长的4倍， 【详解】解：（1）如图1，已知，则，， 可得，这一步的依据是是同角的余角相等． 又因为，可得；故答案为：同角的余角相等； （2）①∵，∴ 又∵∴；故答案为：；      ②解：如图所示（方法不唯一） （3）存在这样的点P，使周长等于周长的4倍，，理由如下： 设，，当在线段上时即，如图所示，    ∵，∴，∴，∴， ∵，，，，∴，， ∴，∴ 当时，即重合，此时重合，则，不符合题意，∴ ∵∴当周长等于周长的4倍时， 即，即，，解得：（舍去）或，即：， ∴存在这样的点P，使周长等于周长的4倍，． 11．（24-25九年级下·山东烟台·期中）阅读下列材料： 如图1，点A、D、E在直线l上，且， 则：，又，故． 像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形．      请根据以上阅读解决下列问题：(1)如图2，中，，，直线ED经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：．(2)如图3，在中，点D在上，，，， ，求点C到边的距离．(3)如图4，在平行四边形中，E为边上一点，F为边上一点．若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)(3)15 【详解】（1）解：∵，∴． ∵，，∴，．∴． 在与中，，∴； （2）解：过点D作于点F，过点C作，交延长线于点E，      ∵，∴．∴． ∵，∴．∵，∴． 在与中，，∴． ∴．即点C到的距离为； （3）解：以点D为端点，作线段，交延长线于点M，则． ∵四边形是平行四边形，∴，．∴． ∵，，∴． ∴．∴．∴．∴．    12．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）【提出问题】如图①，在中，，点三点都在直线上，若，猜想之间的数量关系___（直接写出结论） 【类比探究】如图②，若图①中的三个角变成任意角，其余条件不变，即，①中的结论是否成立，说明理由． 【拓展延伸】如图③，若，且为等边三角形，求证：为等边三角形． 【学以致用】数学兴趣小组的同学在学完相似三角形的相关知识后发现，可以类比上述思路解决与相似有关的问题，请你和他们一起完成下列问题吧． 如图④，在平行四边形中，，点是边上一点，过点作，交边于点，且，求的值． 【答案】提出问题：；类比探究：成立，见解析；拓展延伸：见解析；学以致用： 【详解】提出问题：如图①， 证明：，，， 在和中，，， ．； 类比探究：如图②， 证明：，，， 在和中，，， ．； 拓展延伸：如图③证明：由类比探究可知，， 为等边三角形，．又，． ，，是等边三角形，， ，． ．，． ，为等边三角形． （4）学以致用：解：如图，延长至点使，连接， 四边形是平行四边形，，， ，是等边三角形，， ，，， ，，，又，， ，，，，． 13．（2023·湖北荆州·中考真题）如图1，点是线段上与点，点不重合的任意一点，在的同侧分别以，，为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点为等联点，线段为等联线． (1)如图2，在个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在中，，，延长至点，使，作的等联角和．将沿折叠，使点落在点处，得到，再延长交的延长线于，连接并延长交的延长线于，连接．①确定的形状，并说明理由； ②若，，求等联线和线段的长（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析(2)①等腰直角三角形，见解析；②； 【详解】（1）解：如图所示（方法不唯一） （2）①是等腰直角三角形．理由为：如图，过点作交的延长线于． 由折叠得，， ，，四边形为正方形 又， ，而， 是等腰直角三角形． ②过点作于，交的延长线于，则． ，，由是等腰直角三角形知：， ，，，而，， 在中，，，， ，，由，， ∴四边形为正方形，，由，得：，∴， ，而，即，解得：， 由①知：，，． 14．（2025·安徽·二模）（1）如图，等腰直角中，，，线段经过点，过A作于点，过作于求证：≌． （2）如图，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点是平面直角坐标系中的一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求点的坐标； （3）如图，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，在等腰直角中，，，点在线段上从向运动运动到点停止，以点为直角顶点向右上方做等腰直角，求点移动的距离． 【答案】（1）见解析；（2），，，；（3）8 【详解】解：（1）为等腰直角三角形，， 又，，，， 又，，即，≌； （2）分四种情况讨论：当点为直角顶点时，且点在左侧时，如图，过点作轴于点． 为等腰直角三角形，由（1）可知：≌， ，，，， ，，，； 其余三种情况如图所示，同理可求得：，，； （3）过点作轴于点，过点作于点，如图， 为等腰直角三角形，由（1）可知：≌， ，，， 点在直线上运动，当点在点时，点的坐标是， 当点在点时，点的坐标是，点运动的距离是． 15．（24-25·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来： ①如图1，是等腰直角三角形，，AE=BD，则_______； ②如图2，为正三角形，，则________； ③如图3，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F．若，，则的长为________． 【模型变式】（2）如图5所示，在中，，，于E，AD⊥CE于D，，，求的长． 【答案】①△BDF；②△CFD；③3；（2）2cm 【详解】①∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90゜ ∴∠A=∠B=45゜∴∠BDF+∠BFD=180゜−∠B=135゜ ∵∠EDF=45゜∴∠ADE+∠BDF=180゜−∠EDF=135゜∴∠ADE=∠BFD 在△AED和△BDF中∴△AED≌△BDF(AAS) 答案为：△BDF； ②∵△ABC是等边三角形 ∴∠B=∠C=60゜∴∠BDE+∠BED=180゜−∠B=120゜ ∵∠EDF=60゜∴∠BDE+∠CDF=180゜−∠EDF=120゜∴∠BED=∠CDF 在△BDE和△CFD中∴△BDE≌△CFD(AAS)故答案为：△CFD； ③∵四边形ABCD是正方形∴∠ABC=90゜，AB=BC∴∠ABE+∠CBF=180゜−∠ABC=90゜ ∵AE⊥l，CF⊥l∴∠AEB=∠CFB =90゜∴∠ABE+∠EAB=90゜∴∠EAB=∠CBF 在△ABE和△BCF中∴△ABE≌△BCF(AAS) ∴AE=BF=1，BE=CF=2∴EF=BE+BF=2+1=3 故答案为：3； （2）∵∠ACB=90゜∴∠BCE+∠ACD =90゜∵BE⊥CE，AD⊥CE ∴∠CEB=∠ADC=90゜ ∴∠BCE+∠CBE=90゜ ∴∠CBE=∠ACD 在△BCE和△CAD中∴△BCE≌△CAD(AAS) ∴BE=CD，CE=AD=6cm ∴BE=CD=CE－DE=6－4=2(cm) 16.（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图： (1)如图，，射线在这个角的内部，点、分别在的边、上，且，于点，于点．求证：； (2)如图，点、分别在的边、上，点、都在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，且．求证：； (3)如图3，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为，求与的面积之和． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)与的面积之和等于 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，，∴，∴， 在和中，，∴（）； （2）证明：∵，，∴，同理：， 在和中，，∴（）； （3）解：如图，过点作于， ∵，∴，∵，， ∴由（）知，，∴， ∴，即：与的面积之和等于． 17．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）【问题初探】 （1）数学活动课上，小明通过拼摆直尺和三角尺，发现了一些图形之间的特殊关系． ①如图1，将含角的三角尺的直角顶点O放在直尺边上，过斜边端点A，C向直尺的边缘作垂线，垂足分别为B，D，小明发现无论怎样调整三角尺的角度，与始终相等，并且线段，．②如图2，换成含角的三角尺时，小明发现与还始终相等，而线段与，与不再相等，但，都等于．请求出的值． 【类比分析】（2）王老师发现小明在学习时善于观察，只乐于思考.便想进一步考查小明是否能将探索的方法与发现的结论迁移到解决新的问题中去，于是提出以下问题： 如图3，在正方形中，点E为边上一点，连接，将沿翻折，点A落在点F处，延长交于点G，连接，过点G作，交的延长线于点M，过点M作的垂线，垂足为N．①求的度数；②求证：． 【学以致用】（3）如图4，在正方形中，，点E为的中点，连接，将沿翻折，点A落在点F处，直线交于点P，点Q在射线上，连接，，若，求线段的长． 【答案】（1）②（2）①；②见解析；（3） 【详解】解：（1）②，，， ，， ，，， ，，，，； （2）①四边形是正方形，，， 将沿翻折，点A落在点F处，， ，，，延长交于点G，， ，，，，， ， ，，； ②证明，，为等腰直角三角形，， ，，，， ，，，由①可知，，； （3）连接，如图所示：在正方形中，，点E为的中点， ，，， 将沿翻折，点A落在点F处， ，，，，，， ，，， ，即，，，， ， ，，，， ，，，， ，，， ，，， ，，，即， ，，，，（舍去负值）． 18．（2025·山东济南·一模）（一）模型呈现（1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （二）模型体验（2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______； （三）模型拓展（3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程： （四）模型应用（4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析；（4）当时 【详解】（一）解：，，故答案为： （二）解：四边形的周长为，，，， 的周长为，， ，，，故答案为：； （三）解：；理由如下，，， ，，，， ，，， ，，，，； （四）解：在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为． 在矩形中，，，，， ，，， ，， ， ，，，为等腰三角形， ，设，则，，， ，，，，， ， ， ，，，，， ，， ∴，，设，， ，，，即， ，对称轴为直线，当时，，即当时，． 19．（2025·安徽合肥·三模）如图（1），是菱形边上一点，将线段绕点顺时针旋转度到位置，连接，且交于点， (1)如图（2），当时，求证：； (2)如图（1），探究与的数量关系．并说明理由； (3)如图（3），当时，若菱形边长为，且，求长． 【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）证明：如图，作的延长线， ，，， 在和中， ，，，，； （2）解：，理由如下：如图，在上截取，使，连接， ，，． ，．． ，，． ； （3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点， 设菱形的边长为，， ， ，由（2）知，， ，，，，． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $