专题20 全等与相似模型之对角互补模型（几何模型讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦“全等与相似模型之对角互补模型”专题，覆盖中考几何核心考点，整合全等型（90°+90°、60°+120°等）与相似型模型，通过“模型提炼-结论证明-真题应用”架构梳理知识联系，设计考点梳理、方法指导（如构造垂线、旋转转化）、分层训练环节，帮助学生突破综合题难点。 亮点在于“模型化”教学策略，以“构造辅助线-推理论证-结论应用”流程培养几何直观与推理能力，如90°对角互补模型通过双垂线构造全等。含基础过关、能力提升、挑战突破三级练习及真题限时训练，确保高效复习，助力教师精准把控节奏，提升学生应考能力。

专题22.全等与相似模型之对角互补模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 8 模型1.对角互补模型（全等型） 8 模型2.对角互补模型（相似型） 15 21 因结构中存在“对角互补”的核心特征，模型被命名为“对角互补模型”‌。2023年分类突破‌：文献明确划分‌全等型与‌相似型‌，确立模型框架‌；‌2025年深度整合‌：将旋转、垂线、四点共圆等技巧按“构造→转化→结论”流程标准化，成为中考压轴题核心工具。模型在八年级首次出现于三角形全等证明，常与角平分线、等腰三角形结合，通过旋转或垂线构造全等形‌。九年级扩展至相似三角形领域，利用双垂线法构造相似三角形，适用于任意互补角，重点在于比例关系的推导。 （2024·吉林长春·一模）【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容． 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图所示，是的平分线，P是上任一点，作，，垂足分别为点D和点E．将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有：角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图所示，是的平分线，点P是上的任意一点，，，垂足分别为点D和点E．求证：． 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． （1）请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． 【定理应用】（2）如图②，已知是的平分线，点P是上的任意一点，点D、E分别在边上，连结，．若，，则的长为______． （3）如图③，在平行四边形中，，平分交于点E，连结，将绕点E旋转，当点C的对应点F落在边上时，若，则四边形的面积为______． 【答案】（1）详见解析；（2）；（3） 【详解】解：（1）证明：∵是的平分线，∴， ∵，∴，∵，∴，∴； （2）作，垂足分别为点M和点N， ∵是的平分线，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，即，∴，故答案为：5； （3）作，垂足分别为点M和点N， 由于绕点E旋转，点C的对应点F落在边上，即， ∵平分，，∴， ∵，∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， ∵平分，，∴，∴，∴， ∵，∴四边形的面积， 故答案为：． （2025·广东惠州·二模）如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边于点． (1)【探究一】在旋转过程中，①如图2，当时，求证：． ②如图3，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由． ③根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，与满足的数量关系式为___________，其中的取值范围是___________（直接写出结论，不必证明） (2)【探究二】若且，连接，设的面积为，在旋转过程中：是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析；③；(2)见解析 【详解】（1）解：如图所示，连接BE．①当时，为中点， 是等腰直角三角形，， 又，，， 在和中，，； ②；理由如下：作，，， 又，，，， 又，，，， ． ③；理由如下：作，，， 又，，，， 又，，，， ；如图所示，当且，点F在上 ∴是等腰直角三角形∴设，则 ∴ ∴ 由题意得，∴ ∴当时，和没有交点; ∴的取值范围是； （2）解：存在．由【探究一】中（2）知当时，； 设，则，， 当时，与重合时，面积取最小， ，是等腰直角三角形，，，，，， 在等腰中，，当时，；当时，取得最大， ，，， 在中，，，此时面积最大，． 1.全等模型-对角互补模型（90°+90°） 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， 根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，∴∠CON＝45°，OM=ON， 又∵OD＋OE＝OM-DM+ON+NE，∴OD＋OE=OM+ON=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE， ∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形， ∴∠CON＝45°，OM=ON，又∵OE－OD＝ON+NE-（DM-OM），∴OE－OD=ON+OM=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，. 2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60° ∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 3）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°，PA平分∠BPC。 结论：PB+PC=PA； 证明：将△PAC绕点A顺时针旋转120°至△QAB，即△PAC≌△QAB， ∴∠ACP=∠ABQ，∠CAP=∠BAQ，AP＝AQ，PC＝QB； ∵∠BAC=120°，∠BPC=60°，∴∠ACP+∠ABP=180°，∴∠ABQ+∠ABP=180°，故P、B、Q共线。 又∵∠BPC=60°，PA平分∠BPC，∴∠APQ=60°，∵AP＝AQ，∴∠AQP=60°， 根据勾股定理易证：PQ=PA，又∵PQ=PB+QB=PB+PC，∴PB+PC=PA。 3.全等模型-对角互补模型（α+180°-α） 1）“α对180°-α模型”：条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°， ∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 4.相似模型-对角互补模型 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴，∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 模型1.对角互补模型（全等型） 例1（2022·辽宁朝阳·中考真题）【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，连接AC．求证：BC+CD＝AC． (1)小明的思路是：延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，从而得到∠B＝∠ADE，然后证明ADE≌ABC，从而可证BC+CD＝AC，请你帮助小明写出完整的证明过程．(2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由．(3)【思维拓展】在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝，AC与BD相交于点O．若四边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长．    【答案】(1)AC=BC+CD；理由见详解；(2)CB+CD=AC；理由见详解；(3)或 【详解】（1）证明：如图1中，延长CD到点E，使DE=BC，连接AE．          ∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠B+∠ADC=180°，∵∠ADE+∠ADC=180°∴∠B=∠ADE， 在△ADE和△ABC中，，∴△ADE≌△ABC（SAS），∴∠DAE=∠BAC，AE=AC， ∴∠CAE=∠BAD=60°，∴△ACE的等边三角形，∴CE=AC，∵CE=DE+CD，∴AC=BC+CD； （2）解：结论：CB+CD=AC． 理由：如图2中，过点A作AM⊥CD于点M，AN⊥CB交CB的延长线于点N． ∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠CDA+∠CBA=180°，∵∠ABN+∠ABC=180°，∴∠D=∠ABN， ∵∠AMD=∠N=90°，AD=AB，∴△AMD≌△ANB（AAS），∴DM=BN，AM=AN， ∵AM⊥CD，AN⊥CN，∴∠ACD=∠ACB=45°，∴AC=CM， ∵AC=AC．AM=AN，∴Rt△ACM≌Rt△ACN（HL），∴CM=CN，∴CB+CD=CNBN+CM+DM=2CM=AC； （3）解：如图3-1中，当∠CDA=75°时，过点O作OP⊥CB于点P，CQ⊥CD于点Q． ∵∠CDA=75°，∠ADB=45°，∴∠CDB=30°，∵∠DCB=90°，∴CD=CB， ∵∠DCO=∠BCO=45°，OP⊥CB，OQ⊥CD，∴OP=OQ，∴，∴， ∵AB=AD=，∠DAB=90°，∴BD=AD=2，∴OD=． 如图3-2中，当∠CBD=75°时，同法可证，， 综上所述，满足条件的OD的长为或． 例2（24-25九年级上·河南许昌·期中）已知为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于． (1)如图1，当绕点旋转到于时，与的和与之间数量关系为______； (2)如图2，当点在线段上时，绕点旋转到和不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由； (3)如图3，这种情况下，的数量关系是______． 【答案】(1)(2)（1）中的结论成立；证明见解析(3) 【详解】（1）解：当绕D点旋转到时，∴， ∴四边形是矩形．∴，， ∵为边的中点，∴，，∴，， ∵，∴，∴四边形是正方形． 设的边长， ∴正方形的边长为． ∴，，即； （2）解：（1）中的结论成立；过点D作，，则， 又∵，∴，，∵D为边的中点， 同理可得：四边形为正方形，∴，， ∵，∴，，∴， 在与中，，∴，∴， ∴，由（1）可得：，∴． （3）解：如图，连接，∵，，D为边的中点，∴，， ∴，∴，同理可得：， ∴， ∴，∴． 故、、的关系是：． 例3（2025湖南一模）如图，已知，在的角平分线上有一点，将一个角的顶点与点重合，它的两条边分别与射线相交于点. （1）如图1，当绕点旋转到与垂直时，请猜想与的数量关系，并说明理由； （2）当绕点旋转到与不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由； （3）如图3，当绕点旋转到点位于的反向延长线上时，求线段与之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. 【答案】（1），见解析；（2）结论仍然成立，见解析；（3） 【详解】解：（1）是的角平分线 在中，，同理： （2）（1）中结论仍然成立，理由：过点作于，于 由（1）知， ，且点是的平分线上一点 （3）结论为：.理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC＝∠OGC＝90°， ∵∠AOB＝60°，∴∠FCG＝120°，同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，∴OF＋OG＝OC， ∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点， ∴CF＝CG，∵∠DCE＝120°，∠FCG＝120°，∴∠DCF＝∠ECG， ∴△CFD≌△CGE，∴DF＝EG，∴OF＝DF−OD＝EG−OD，OG＝OE−EG， ∴OF＋OG＝EG−OD＋OE−EG＝OE−OD，∴OE−OD＝OC． 例4（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，解决相应问题，通常会涉及到旋转构造、全等三角形的证明等综合性较高的几何知识．如果问题中有“，”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考察．    (1)【问题解决】如图①，，平分，小明同学从P点分别向，作垂线，，由此得到正方形，与全等的三角形是________； (2)【问题探究】如图②，若，，平分，，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，点P是正方形外一点，，，对角线，交于点O，连接，且，求正方形的面积． 【答案】(1)(2)3(3)16 【详解】（1）解：，，且平分， ，，四边形是正方形，， ，，， 在和中，，；故答案为：． （2）如图，过点P作于M，于N，如图：       平分，．，．． 在四边形中，，且，， ．，． 又．． ，，设，则，． ，解得，．． 在中，，，． （3）如图，延长到，使，连接．如图： 在四边形中，，且． 四边形是正方形，，．． 又，．．，．，． 是等腰直角三角形．由勾股定理，． 在中，，设，由勾股定理，， ．． ．．． 模型2.对角互补模型（相似型） 例1（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，中，，点M，N，E分别为边上一点，且，．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，当时，求的值；(3)在（2）的条件下，连接，当最小时，则的值为________．    【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）证明：当时，，∴， 连接，过点作，垂足分别为G，H，则：平分，          ∴，∵，，∴四边形为矩形， ∵，∴四边形为正方形，∴，∴， 又∵，∴，∴； （2）解：过点作，同（1）可知四边形为矩形，∴，∴，∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴； （3）解：连接，由（2）知：，∴， ∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴当最小时，最小， ∵点在上，∴当时，最小，此时，如图： ∵，∴，∴，，∴．故答案为：． 例2（2025·广东·校考一模）综合与实践 问题情境：在中，，，．直角三角板中，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点M，N．    猜想证明：(1)如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由；问题解决：(2)如图②，在三角板旋转过程中，当时，请直接写出的长； (3)如图③，在三角板旋转过程中，当时，请求出线段的长． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析(2)(3) 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下： 点是的中点，点是的中点，，， ，，，四边形是矩形； （2）如图2，过点作于，       ，，，，点是的中点，， ，，，，， 又，，，，； （3）如图③，连接，，过点作于， ，，， ，点，点，点，点四点共圆，， ，，，，， ，，，， ，，，． 例3（2025·内蒙古呼和浩特·二模）问题背景 人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形的对角线相交于点，点（又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等.无论正方形绕点怎样转动、两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的.想一想，这是为什么？（此问题不需要作答） 类比探究：将正方形沿方向平移. 【实验猜想】将点平移到的中点时，如图2，于点，于点，请你猜想并直接写出的值. 【拓展运用】将点平移到线段上的任意点（不与，重合）时，记.（1）如图3，求证：；（2）如图4，点在边上（不与，重合），连接并延长与的延长线交于点，当且时，求的值. 【答案】实验猜想：3；拓展应用：（1）见解析；（2） 【详解】解：实验猜想：∵四边形是正方形，∴，， ∵为的中点，∴，∴， ∵于点，于点，∴， ∴，∴,∴； 拓展运用：（1）证明：过点P作，，垂足分别为点M和点N， ∵点P在正方形的对角线上，∴和是等腰直角三角形， ∴，，， ∴四边形是矩形，∴，∵四边形是正方形，， ∴，∴， ，∴，∴ （2）过点P作交于点E，于点M，于点N， ，，∴， ∴，即，同理：， ∵，∴，∵，∴，∴， 设，则，设，则， ∵，，则， ∵，，解得：，则，． 例4（2025·吉林长春·模拟预测）在菱形中，是对角线上一点． 【感知】如图①，过点作交于点，作交于点，易证．（不需要证明） 【应用】如图②，，，的两边分别交边、于点、（、不与荾形顶点重合），连结．（1）判断的形状，并说明理由； （2）若，则面积最小值时，与的面积之比为______． 【拓展】如图②，，，的两边分别交边、于点、（、不与荾形顶点重合），连结，当，，且时，线段的长为______． 【答案】[应用]（1）是等边三角形，理由见解析；（2）；[拓展] 【详解】解：[应用]（1）是等边三角形，理由如下： ∵四边形是菱形，，∴， ∵，∴， ∴点、、、共圆，∴，，∴是等边三角形； （2）当时，的边长最小，的面积最小，此时， ∵四边形是菱形，∴，∵，∴是等边三角形，∴， ∵，∴，∴， ∴，故答案为：； [拓展]如图，由（1）可得：是等边三角形，∵四边形是菱形，，，， ∴，，，， ∴，是等边三角形， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，解得：或（负值不符合题意，舍去）， 作于，∴， ，∴， ∴，故答案为：． 1．（24-25九年级下·山东潍坊·期末）如图，中，，，点是斜边上的一点， ，过点作一个直角，交边分别于点，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， 又∵，∴∴四边形是矩形∴， ∵∴，∴∴ ∵设，则∵中，，， ∴，在中，∴∴ 在中，，∴，故答案为：． 2.（24-25九年级下·山东·期中）如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论： ①的值不变；②；③的长度不变；④四边形的面积不变； 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【详解】解：作于，于，如图所示： ，， ，，， 平分，于，于，， 在和中，，∴，， 在和中，，，，， ，为定值，故①正确， ∵，设，则， ∴， ∵，∴，∴，故②正确； ∵，，定值，故④正确， 在旋转过程中，是顶角不变的等腰三角形， 的长度是变化的，的长度是变化的，故③错误； 则正确的有①②④．故答案为：①②④． 3．（2019·内蒙古·中考真题）（1）【探究发现】如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合）．则之间满足的数量关系是　 　． （2）【类比应用】如图2，若将（1）中的“正方形”改为“的菱形”，其他条件不变，当时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由． （3）【拓展延伸】如图3，，，，平分，，且，点是上一点，，求的长． 【答案】（1）（2）结论不成立．（3） 【详解】（1）如图1中，结论：．理由如下： ∵四边形是正方形，∴，，， ∵，∴，∴， ∴，∴．故答案为． （2）如图2中，结论不成立．． 理由：连接，在上截取，连接． ∵四边形是菱形，，∴， ∵，∴四点共圆，∴， ∵，∴是等边三角形，∴，， ∵，，∴是等边三角形，∴，， ∴，∴，∴，∴， （3）如图3中，由可知是钝角三角形，，作于，设． 在中，，∵，∴，解得（舍弃）或，∴， ∵，∴四点共圆， ∵平分，∴，∴， ∵，∴是等边三角形，由（2）可知：，∴． 4．（2025·河南信阳·一模）数学综合与实践课上，同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动，如图，小东同学把等腰直角三角板的直角顶点绕着直角三角板的斜边中点旋转，其中，直线，相交于点，边与相交于点．(1)如图①，当时，线段与的数量关系是______；(2)将图①中的旋转到如图②所示的位置，请判断线段与的数量关系是否发生变化，并说明理由．(3)在（2）的情况下，若绕点旋转时，边与的交点始终在线段上，连接，若，，请直接写出线段的长度． 【答案】(1)(2)不变，见解析(3) 【详解】（1）∵，∴． ∵点C为EF中点，∴CG为中位线，∴．∵，∴． ∵点C为EF中点，∴CH为中位线，∴点H为DE中点，∴∴． ∵，∴，即； （2） 理由：如图，分别取，的中点，，连接，． ∵，，分别为，，的中点，∴，，，． 又∵，∴，，∴， ∴，∴，∴． 又∵，∴∴．由（1）可知，∴； （3）由（2）中结论知∴，∴． ∵，∴．又易知， 如（2）图，当点在点左下侧时，， 如图，当点在点右上侧时， 综上可知线段的长度为． 5．（2025·宁夏吴忠·模拟预测）定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图，四边形中，，则四边形叫做“等补四边形”． (1)概念理解：①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是___________； A．平行四边形    B．菱形 C．矩形    D．正方形 ②如图，在四边形中，平分．求证：四边形是等补四边形． (2)探究发现：如图，在等补四边形中，，连接是否平分？请说明理由． (3)拓展应用：如图，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，求的长． 【答案】(1)①D；②(2)平分，理由见解析(3) 【详解】（1）解：①平行四边形的对角相等，不一定互补，对边相等，邻边不一定相等， 平行四边形不一定是等补四边形； 菱形四边相等，对角相等，但不一定互补，菱形不一定是等补四边形； 矩形对角互补，但邻边不一定相等，矩形不一定是等补四边形； 正方形四个角是直角，四条边相相等，正方形一定是等补四边形，故选：D； ②证明：在上截取，连接，如图： 在和中，，，． ，，，，， 又，四边形是等补四边形． （2）解：平分，理由如下：如图，过点A分别作于E，于F， 则，四边形是等补四边形，， 又，， ，，，是的角平分线． （3）解：连接，在等补四边形中，，同（2）可知平分， 四边形是等补四边形，， 又，， 平分，平分，， 又，，，即，解得． 6．（2025浙江校考一模）（1）特例感知：如图1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF； （2）探索发现：如图2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长； （3）类比迁移：如图3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长． 【答案】（1）见解析；（2）4；（3）或或 【详解】（1）证明：如图1中，∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是高， ∴BD＝CD＝ADBC，∠B＝∠C＝45°，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝45°， ∵DF⊥DE，∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°﹣∠ADE， 在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF； （2）解：如图2中，由（1）知，BD＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD＝45°， ∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°+∠ADE， 在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF， ∵AB＝3，AE＝1，∴BE＝AB+AE＝4，∴AF＝4； （3）解：如图3中，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝60°， ∴BD＝CD＝AB•sin60°＝2，∵AE＝4AF，∴可以假设AF＝m，则AE＝4m，BE＝4﹣4m，CF＝4﹣m， ∵∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠BED，∠EDF＝∠B＝30°， ∴∠FDC＝∠BED，∵∠B＝∠C，∴△EBD∽△DCF，∴， ∴，整理得，m2﹣5m+1＝0，解得m或（舍弃）， 经检验，m是分式方程的解． 当点F在CA的延长线上时，CF＝4+m，由△EBD∽△DCF，可得， ∴，解得，m或（舍弃），经检验，m是分式方程的解． 当点E在射线BA上时，BE＝4+4m，∵△EBD∽△DCF，∴，∴ 解得，m或（舍弃），经检验，m是分式方程的解． 综上所述，满足条件的AF的值为或或． 7．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图1，等边中，为边上的一点，且，分别为上的两个动点，始终保持. (1)若，求证：①，②； (2)①如图2，若，试探究之间的数量关系，请写出证明过程； ②请通过类比、归纳、猜想，探究出之间的数量关系的一般结论（用含有的代数式直接写出，不用证明）；(3)如图3，为边上的中点，，连接，当点分别在线段上运动时，当时，直接写出线段扫过的图形的面积. 【答案】(1)①见解析；②见解析(2)①；②；(3) 【详解】（1）证明：①如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，连接， ∵是等边三角形，∴，∵， ∴，， 又∵，∴，， ∴，∴， ∴，即， 在中，，∴，∴；    ②证明：∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）① 证明：如图，过的中点作的平行线，交于点，交于点， 当时，，即，是的中点，，， ，，， ，是等边三角形，， ，根据（1）中的结论可得， ； 故线段之间的数量关系为； ②解：如图，在上取一点使得，过作的平行线，交于点，交于点， 同①，可得，，，，， 同①可得，， 即线段之间数量关系为； （3）解：如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点， 当与重合时，，则，∴是等边三角形， 当与重合时，同理可得是等边三角形， ∵，∴，∴， ∵分别为的中点，∴则 ∴，则 又∵∴∴ ∴是等边三角形；则扫过的图形的面积即为的面积， ， ，，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，，如图所示，过点作于点， ∴∵是等边三角形，∴， ∴，∴，过点作于点，则， ∴，∴， 即线段扫过的图形的面积为． 8.（24-25九年级上·重庆·校考期末）如图，已知与，平分． (1)如图1，与的两边分别相交于点D、E，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 以下是小宇同学给出如下正确的解法：解：． 理由如下：如图1，过点C作，交于点F，则， 请你根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．(2)若，． ①如图3，与的两边分别相交于点D、E时，写出线段、、的数量关系 ； ②如图4，的一边与的延长线相交时，写出线段、、的数量关系 ； 若，的面积为a，则的面积＝ （用含a的代数式表示）． 【答案】(1)见详解(2)，， 【详解】（1）解：过点C作，交于点F，如图，则， 平分，， ，∴，， 又，∴， 在与中，，． （2）①．理由如下：方法一：过点作，，垂足分别为，，如图， 则，又∵平分，∴， 在四边形中，， 又∵，∴，又∵，∴， 在与中，，∴，∴． ∴． 在中，， ∴，同理，∴． 方法二：以为一边作，交于点，如图， ∵平分，∴，∴， ∴，，∴是等边三角形，∴， ∵，，∴， 在与中，∴， ∴．∴． ②有结论成立．以为一边，作与交于F点，如图， ∵，为的角平分线，∴， 又∵，∴为等边三角形∴， ∵，，∴， 又∵，， ∴，∴，∴，， ∴，即． 过点C作，垂足分别为M，N，如图，则， 又∵平分，∴，设， ∵， ∴，则， ∵，，∴，则． 9.（24-25九年级上·重庆江津·期中）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F． （1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长； （2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=AB．（3）如图3，若∠EDF的两边分别交AB、AC的延长线于E、F两点，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出线段BE、AB、CF之间的数量关系． 【答案】（1）1（2）证明见解析（3）结论不成立．结论：BE﹣CF=AB 【详解】解：（1）如图1中， ∵AB=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，BC=AC=AB=4， ∵点D是线段BC的中点，∴BD=DC=BC=2，∵DF⊥AC，即∠CFD=90°，∴∠CDF=30°， 又∵∠EDF=120°，∴∠EDB=30°，∴∠BED=90°∴BE=BD=1． （2）如图2中，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N． ∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，∴△BDM≌△CDN，∴BM=CN，DM=DN， 又∵∠EDF=120°=∠MDN，∴∠EDM=∠NDF，又∵∠EMD=∠FND=90°，∴△EDM≌△FDN，∴ME=NF， ∴BE+CF=BM+EM+NC﹣FN=2BM=BD=AB． （3）结论不成立．结论：BE﹣CF=AB． ∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，∴△BDM≌△CDN，∴BM=CN，DM=DN， 又∵∠EDF=120°=∠MDN，∴∠EDM=∠NDF， 又∵∠EMD=∠FND=90°，∴△EDM≌△FDN，∴ME=NF， ∴BE﹣CF=BM+EM﹣（FN﹣CN）=2BM=BD=AB． 10.（2025·河南焦作·一模）【操作判断】如图1，为两条互相垂直的射线，为的平分线上任意一点，过点作，分别交射线于点．此时在的两侧，试探究之间的数量关系．以下是小明简略的解题过程，请根据要求作答． 解：，理由如下：过点作于点于点，则四边形为矩形． 平分，．① ，．，② ．… （1）①的依据是______，②中所填的关系表达式为______； 【迁移探究】（2）如图2，若过点作的两条垂线在的同侧．题中的结论是否发生变化？如果结论不变，请说明理由；如果变化，请写出新结论并给出证明； 【答案】（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，；（2）不发生变化，依旧是，理由见解析； 【详解】（1）解：①的依据是角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；②中所填的关系表达式为； （2）解：不发生变化，依旧是，理由如下： 过点作于点，作于， ∵为两条互相垂直的射线，∴， ∴四边形是矩形，∴ ∵平分，，，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴； 11.（24-25九年级上·广东惠州·期中）在中，，．将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点处，将三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交边、于点D、E． (1)如图①，当时，则的值是________． (2)如图②，当与不垂直时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，在内作，使得、分别交、于点、，连接．那么的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)2(2)依然成立(3)的周长为定值，且周长为2 【详解】（1）连 ∵P是的中点，，∴ ∵，∴ ∴四边形是矩形， ∴ 又∵∴∴；故答案为：2； （2）结论成立．连接，如图②．是等腰直角三角形，是的中点， ，，． ，．． 又，．≌． ，． （3）的周长为定值，且周长为2．在上截取，如图③， 由（2）可知：，，，，． ， 又，≌，． ，．的周长是2． 12．（2025·河南周口·模拟预测）综合与实践课上，李老师与学生一起探究了如下与“中点”有关的问题． (1)如图1，在中，，，D是的中点，E，F分别在上，且，连接．若，则______ (2)如图2，在中，，D是的中点．E，F分别在上，连接．当，请写出线段之间的数量关系，并证明． (3)如图3，在中，，，D是的中点．E为直线上一动点，连接．过点D作，交直线于点F．请直接写出当时线段的长． 【答案】(1)(2)，证明见解析(3) 【详解】（1）解：如图，连接， ，，D是的中点， ，，， ，，，， 又，，，故答案为：； （2）解：，证明：如图，延长到点G，使，连接，， ，，垂直平分，； D是的中点，，在和 中，， ，，， ，，， 是直角三角形，，； （3）解：如图，延长到点G，使，连接，，， ，，垂直平分，， D是的中点，，在和 中， ，，，， ，，， 是直角三角形，， ，，， 在中，，，， 设，则，，， ，解得，． 13．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】（1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，，平分，求证：． ①如图2，小强同学从角平分线性质的角度出发给出如下解题思路：过点C分别作，，垂足分别为M，N．以此来证明阴影部分的三角形全等得到． ②如图3，小颖同学从平分的条件出发给出另一种解题思路：过C作，交于点F．以此来证明阴影部分的三角形全等得到． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师发现两名同学都运用了作垂线的方法造的全等三角形，为了帮助学生更好地感悟，张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．如图4，，平分，求证：． 【学以致用】（3）如图5，在中，，，D是边的中点，，与边相交于点E，与边相交于点F．请直接写出线段，和的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】（1）①选择小强同学，证明：如图2，过点作于，于， 平分，，，， ，， 在与中，，； ②选择小颖同学，证明：如图3，过点作，交于点，则， ，平分，，且， ，，，， 在和中，，，． （2）如图，过点作，，垂足分别为，， ，又平分，， ，， 在四边形中，， 又，， 又，，且，， ，； （3）取中点，连接， 点、分别是、边上的中点，， 是等边三角形，， ，， ，，， ， 14．（2024·北京·一模）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是BC边的中点，作射线DE，与边AB交于点E，射线DE绕点D顺时针旋转120°，与直线AC交于点F． （1）依题意将图1补全； （2）小华通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有DE=DF．小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：由点D是BC边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE=DF； 想法2：利用等边三角形的对称性，作点E关于线段AD的对称点P，由∠BAC与∠EDF互补，可得∠AED与∠AFD互补，由等角对等边，可证DE=DF； 想法3：由等腰三角形三线合一，可得AD是∠BAC的角平分线，由角平分线定理，构造点D到AB，AC的高，利用全等三角形，可证DE=DF……. 请你参考上面的想法，帮助小华证明DE=DF（选一种方法即可）； （3）在点E运动的过程中，直接写出BE，CF，AB之间的数量关系． 【答案】（1）将图1补全见解析；（2）证明见解析； （3）数量关系：当点F在AC边上时，；,当点F在AC延长线上时，． 【详解】解：（1）如图1，     （2）想法1：证明：如图2，过D作，交AC于G， ∵点D是BC边的中点，∴DG=AB．∴△CDG是等边三角形．∴∠EDB+∠EDG=120°． ∵∠FDG+∠EDG=120°，∴∠EDB =∠FDG．∵BD=DG，∠B=∠FGD=60°，∴△BDE≌△GDF．∴DE=DF． 想法2：证明：如图3，连接AD， ∵点D是BC边的中点，∴AD是△ABC的对称轴．作点E关于线段AD的对称点P，点P在边AC上， ∴△ADE≌△ADP．∴DE=DP，∠AED=∠APD．∵∠BAC+∠EDF=180°，∴∠AED+∠AFD=180°． ∵∠APD+∠DPF=180°，∴∠AFD=∠DPF．∴DP=DF．∴DE=DF． 想法3：证明：如图4，连接AD，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N， ∵点D是BC边的中点，∴AD平分∠BAC．∵DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，∴DM=DN． ∵∠A=60°，∴∠MDE+∠EDN=120°．∵∠FDN+∠EDN=120°，∴∠MDE=∠FDN． ∴Rt△MDE≌Rt△NDF．∴DE=DF． （3）当点F在AC边上时，； 证明：如图5中，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N． ∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°， 在△BDM与△CDN中， ， ∴△BDM≌△CDN， ∴BM=CN，DM=DN， 又∵∠EDF=120°=∠MDN， ∴∠EDM=∠NDF， 又∵∠EMD=∠FND=90°， ∴△EDM≌△FDN，∴ME=NF， ∴BE+CF=BM+EM+NC-FN=2BM=BD= AB； 当点F在AC延长线上时，．如图6， ∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°， ∴△BDM≌△CDN， ∴BM=CN，DM=DN， 又∵∠EDF=120°=∠MDN， ∴∠EDM=∠NDF， 又∵∠EMD=∠FND=90°， ∴△EDM≌△FDN， ∴ME=NF， ∴BE-CF=BM+EM-（FN-CN）=2BM=BD=AB 15．（24-25山西忻州·九年级校考期末）综合与实践 问题情境：在学习了三角形的相似后，同学们开始了对不同三角形中的相似模型的探究． 猜想推理：（1）如图1，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，，，，则______．    问题解决：（2）如图2，是等边三角形，D是的中点，射线，分别交，于点E，F，且，求证：．（3）如图3，，，，D是的中点，射线，分别交，于点E，F，且，求的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【详解】解：（1）∵在等边中，，，，∴， ∵，，∴， ∴，∴，即，∴； （2）如图，连接，过D作于M，作于N， ∵是等边三角形，D为的中点， ∴是的平分线，，∴，， 又∵，∴，∴， ∴在与中，，∴，∴；    （3）过点分别作于，于， 在中，，是的中点，， ，，，，， 是的中点，是的中位线，是的中位线，，， 四边形为矩形，，， ，， ，，． 16.（2024·山东青岛·二模）如图，在中，，，是边上一点，，点分别在边上，且． (1)如图，若，则______； (2)如图，若，则线段之间的数量关系：______； (3)请你通过类比、猜想、归纳，写出之间数量关系的一般结论：______． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【详解】（1）连接，∵，，， ∴，，，， ∵，∴，∴，∴，∴， ∴，故答案为：； （2）过点作于，于，∵，，∴， ∵，，∴和是等腰直角三角形， ∴，，，，， ∴，∴，设，， ∴，，∴，∵，，， ∴四边形是矩形，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∴，故答案为：； （3）如图，过点作于，于， ∵，，∴，∵，， ∴和是等腰直角三角形， ∴，，，，， ∴，∴，设，， ∴，，∴，∴， ∵，，，∴四边形是矩形， ∴，∴，又∵， ∴，∴，∴，∴， 故答案为：． 17.（2025·山东·校考一模）已知：是等边三角形，点是边上任意一点． (1)如图，于点，于点，求证：； (2)如图，点是的中点，，交延长线于点，过点作于点，且，：：求线段的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：是等边三角形，， ，，， ，，，． （2）解：是等边三角形，， ，，，，， 点是的中点，，，，， ，，， ，∽，， ，：：．，，， 如图，作，，即，，， ，即，，， ，，，． 18．（2025·河南周口·校考一模）（1）问题发现：如图1，四边形为矩形，，，点在矩形的对角线上，的两条直角边、分别交、于点、，当，时，__________（用含、的代数式表示）； （2）拓展探究：在（1）中，固定点，使绕点旋转，如图2，的大小有无变化？请仅就图2的图形给出证明； （3）问题解决：如图3，四边形为正方形，，点在对角线上，、分别在、上，，当时（是正实数），直接写出四边形的面积是__________（用含，的代数式表示）．    【答案】（1）；（2）的大小没有变化，证明见解析；（3） 【详解】解：（1）∵四边形是矩形，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵四边形是矩形，∴，∵，， ∴，∴四边形是矩形， ∴，∴，故答案为：；． （2）的大小没有变化．证明如下：过作于点，于点， 则，，， 又，，， ，，，，， 又，，，即，．    （3）解：过作于点，于点， 则，，， 又，，，，， ，，，又，，即， 四边形是正方形，， 当时（n是正实数），，∴， ∴四边形的面积，故答案为：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20.全等与相似模型之对角互补模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.对角互补模型（全等型） 1 模型2.对角互补模型（相似型） 18 17 因结构中存在“对角互补”的核心特征，模型被命名为“对角互补模型”‌。2023年分类突破‌：文献明确划分‌全等型与‌相似型‌，确立模型框架‌；‌2025年深度整合‌：将旋转、垂线、四点共圆等技巧按“构造→转化→结论”流程标准化，成为中考压轴题核心工具。模型在八年级首次出现于三角形全等证明，常与角平分线、等腰三角形结合，通过旋转或垂线构造全等形‌。九年级扩展至相似三角形领域，利用双垂线法构造相似三角形，适用于任意互补角，重点在于比例关系的推导。 （2024·吉林长春·一模）【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容． 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图所示，是的平分线，P是上任一点，作，，垂足分别为点D和点E．将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有：角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图所示，是的平分线，点P是上的任意一点，，，垂足分别为点D和点E．求证：． 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． （1）请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． 【定理应用】（2）如图②，已知是的平分线，点P是上的任意一点，点D、E分别在边上，连结，．若，，则的长为______． （3）如图③，在平行四边形中，，平分交于点E，连结，将绕点E旋转，当点C的对应点F落在边上时，若，则四边形的面积为______． （2025·广东惠州·二模）如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边于点． (1)【探究一】在旋转过程中，①如图2，当时，求证：． ②如图3，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由． ③根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，与满足的数量关系式为___________，其中的取值范围是___________（直接写出结论，不必证明） (2)【探究二】若且，连接，设的面积为，在旋转过程中：是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由． 1.全等模型-对角互补模型（90°+90°） 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， 根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，∴∠CON＝45°，OM=ON， 又∵OD＋OE＝OM-DM+ON+NE，∴OD＋OE=OM+ON=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE， ∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形， ∴∠CON＝45°，OM=ON，又∵OE－OD＝ON+NE-（DM-OM），∴OE－OD=ON+OM=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，. 2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60° ∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 3）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°，PA平分∠BPC。 结论：PB+PC=PA； 证明：将△PAC绕点A顺时针旋转120°至△QAB，即△PAC≌△QAB， ∴∠ACP=∠ABQ，∠CAP=∠BAQ，AP＝AQ，PC＝QB； ∵∠BAC=120°，∠BPC=60°，∴∠ACP+∠ABP=180°，∴∠ABQ+∠ABP=180°，故P、B、Q共线。 又∵∠BPC=60°，PA平分∠BPC，∴∠APQ=60°，∵AP＝AQ，∴∠AQP=60°， 根据勾股定理易证：PQ=PA，又∵PQ=PB+QB=PB+PC，∴PB+PC=PA。 3.全等模型-对角互补模型（α+180°-α） 1）“α对180°-α模型”：条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°， ∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 4.相似模型-对角互补模型 1）对角互补相似1 条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点， 结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE∼△OHF；② 证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°， ∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE∼△OHF，∴， ∵∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴ ∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB∼△ACB，∴，∴ 2）对角互补相似 2 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝. 结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG∼△DCF；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°， ∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG∼△DCF，∴， ∵CF=OG，∴，∵在Rt△COG中，，∴CE＝CD· 结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE∼△COD；②CE＝CD·. 证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90°， ∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO， ∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°， ∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE∼△COD，∴，∵在Rt△OCF中，，∴CE＝CD·. 模型1.对角互补模型（全等型） 例1（2022·辽宁朝阳·中考真题）【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，连接AC．求证：BC+CD＝AC． (1)小明的思路是：延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，从而得到∠B＝∠ADE，然后证明ADE≌ABC，从而可证BC+CD＝AC，请你帮助小明写出完整的证明过程．(2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由．(3)【思维拓展】在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝，AC与BD相交于点O．若四边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长．    例2（24-25九年级上·河南许昌·期中）已知为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于． (1)如图1，当绕点旋转到于时，与的和与之间数量关系为______； (2)如图2，当点在线段上时，绕点旋转到和不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由； (3)如图3，这种情况下，的数量关系是______． 例3（2025湖南一模）如图，已知，在的角平分线上有一点，将一个角的顶点与点重合，它的两条边分别与射线相交于点. （1）如图1，当绕点旋转到与垂直时，请猜想与的数量关系，并说明理由； （2）当绕点旋转到与不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由； （3）如图3，当绕点旋转到点位于的反向延长线上时，求线段与之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. 例4（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，解决相应问题，通常会涉及到旋转构造、全等三角形的证明等综合性较高的几何知识．如果问题中有“，”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考察．    (1)【问题解决】如图①，，平分，小明同学从P点分别向，作垂线，，由此得到正方形，与全等的三角形是________； (2)【问题探究】如图②，若，，平分，，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，点P是正方形外一点，，，对角线，交于点O，连接，且，求正方形的面积． 模型2.对角互补模型（相似型） 例1（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，中，，点M，N，E分别为边上一点，且，．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，当时，求的值；(3)在（2）的条件下，连接，当最小时，则的值为________．    例2（2025·广东·校考一模）综合与实践 问题情境：在中，，，．直角三角板中，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点M，N．    猜想证明：(1)如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由；问题解决：(2)如图②，在三角板旋转过程中，当时，请直接写出的长； (3)如图③，在三角板旋转过程中，当时，请求出线段的长． 例3（2025·内蒙古呼和浩特·二模）问题背景 人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形的对角线相交于点，点（又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等.无论正方形绕点怎样转动、两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的.想一想，这是为什么？（此问题不需要作答） 类比探究：将正方形沿方向平移. 【实验猜想】将点平移到的中点时，如图2，于点，于点，请你猜想并直接写出的值. 【拓展运用】将点平移到线段上的任意点（不与，重合）时，记.（1）如图3，求证：；（2）如图4，点在边上（不与，重合），连接并延长与的延长线交于点，当且时，求的值. 例4（2025·吉林长春·模拟预测）在菱形中，是对角线上一点． 【感知】如图①，过点作交于点，作交于点，易证．（不需要证明） 【应用】如图②，，，的两边分别交边、于点、（、不与荾形顶点重合），连结．（1）判断的形状，并说明理由； （2）若，则面积最小值时，与的面积之比为______． 【拓展】如图②，，，的两边分别交边、于点、（、不与荾形顶点重合），连结，当，，且时，线段的长为______． 1．（24-25九年级下·山东潍坊·期末）如图，中，，，点是斜边上的一点， ，过点作一个直角，交边分别于点，则 ． 2.（24-25九年级下·山东·期中）如图，点为的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点旋转的过程中，其两条边分别与，相交于，两点．则以下结论： ①的值不变；②；③的长度不变；④四边形的面积不变； 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 3．（2019·内蒙古·中考真题）（1）【探究发现】如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点和点（点与点，不重合）．则之间满足的数量关系是　 　． （2）【类比应用】如图2，若将（1）中的“正方形”改为“的菱形”，其他条件不变，当时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由． （3）【拓展延伸】如图3，，，，平分，，且，点是上一点，，求的长． 4．（2025·河南信阳·一模）数学综合与实践课上，同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动，如图，小东同学把等腰直角三角板的直角顶点绕着直角三角板的斜边中点旋转，其中，直线，相交于点，边与相交于点．(1)如图①，当时，线段与的数量关系是______；(2)将图①中的旋转到如图②所示的位置，请判断线段与的数量关系是否发生变化，并说明理由．(3)在（2）的情况下，若绕点旋转时，边与的交点始终在线段上，连接，若，，请直接写出线段的长度． 5．（2025·宁夏吴忠·模拟预测）定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图，四边形中，，则四边形叫做“等补四边形”． (1)概念理解：①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是___________； A．平行四边形    B．菱形 C．矩形    D．正方形 ②如图，在四边形中，平分．求证：四边形是等补四边形． (2)探究发现：如图，在等补四边形中，，连接是否平分？请说明理由． (3)拓展应用：如图，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，求的长． 6．（2025浙江校考一模）（1）特例感知：如图1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF； （2）探索发现：如图2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长； （3）类比迁移：如图3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长． 7．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图1，等边中，为边上的一点，且，分别为上的两个动点，始终保持. (1)若，求证：①，②； (2)①如图2，若，试探究之间的数量关系，请写出证明过程； ②请通过类比、归纳、猜想，探究出之间的数量关系的一般结论（用含有的代数式直接写出，不用证明）；(3)如图3，为边上的中点，，连接，当点分别在线段上运动时，当时，直接写出线段扫过的图形的面积. 8.（24-25九年级上·重庆·校考期末）如图，已知与，平分． (1)如图1，与的两边分别相交于点D、E，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 以下是小宇同学给出如下正确的解法：解：． 理由如下：如图1，过点C作，交于点F，则， 请你根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．(2)若，． ①如图3，与的两边分别相交于点D、E时，写出线段、、的数量关系 ； ②如图4，的一边与的延长线相交时，写出线段、、的数量关系 ； 若，的面积为a，则的面积＝ （用含a的代数式表示）． 9.（24-25九年级上·重庆江津·期中）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F． （1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长； （2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=AB．（3）如图3，若∠EDF的两边分别交AB、AC的延长线于E、F两点，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出线段BE、AB、CF之间的数量关系． 10.（2025·河南焦作·一模）【操作判断】如图1，为两条互相垂直的射线，为的平分线上任意一点，过点作，分别交射线于点．此时在的两侧，试探究之间的数量关系．以下是小明简略的解题过程，请根据要求作答． 解：，理由如下：过点作于点于点，则四边形为矩形． 平分，．① ，．，② ．… （1）①的依据是______，②中所填的关系表达式为______； 【迁移探究】（2）如图2，若过点作的两条垂线在的同侧．题中的结论是否发生变化？如果结论不变，请说明理由；如果变化，请写出新结论并给出证明； 11.（24-25九年级上·广东惠州·期中）在中，，．将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点处，将三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交边、于点D、E． (1)如图①，当时，则的值是________． (2)如图②，当与不垂直时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，在内作，使得、分别交、于点、，连接．那么的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 12．（2025·河南周口·模拟预测）综合与实践课上，李老师与学生一起探究了如下与“中点”有关的问题． (1)如图1，在中，，，D是的中点，E，F分别在上，且，连接．若，则______ (2)如图2，在中，，D是的中点．E，F分别在上，连接．当，请写出线段之间的数量关系，并证明． (3)如图3，在中，，，D是的中点．E为直线上一动点，连接．过点D作，交直线于点F．请直接写出当时线段的长． 13．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】（1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，，平分，求证：． ①如图2，小强同学从角平分线性质的角度出发给出如下解题思路：过点C分别作，，垂足分别为M，N．以此来证明阴影部分的三角形全等得到． ②如图3，小颖同学从平分的条件出发给出另一种解题思路：过C作，交于点F．以此来证明阴影部分的三角形全等得到． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师发现两名同学都运用了作垂线的方法造的全等三角形，为了帮助学生更好地感悟，张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．如图4，，平分，求证：． 【学以致用】（3）如图5，在中，，，D是边的中点，，与边相交于点E，与边相交于点F．请直接写出线段，和的数量关系． 14．（2024·北京·一模）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是BC边的中点，作射线DE，与边AB交于点E，射线DE绕点D顺时针旋转120°，与直线AC交于点F． （1）依题意将图1补全； （2）小华通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有DE=DF．小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：由点D是BC边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE=DF； 想法2：利用等边三角形的对称性，作点E关于线段AD的对称点P，由∠BAC与∠EDF互补，可得∠AED与∠AFD互补，由等角对等边，可证DE=DF； 想法3：由等腰三角形三线合一，可得AD是∠BAC的角平分线，由角平分线定理，构造点D到AB，AC的高，利用全等三角形，可证DE=DF……. 请你参考上面的想法，帮助小华证明DE=DF（选一种方法即可）； （3）在点E运动的过程中，直接写出BE，CF，AB之间的数量关系． 15．（24-25山西忻州·九年级校考期末）综合与实践 问题情境：在学习了三角形的相似后，同学们开始了对不同三角形中的相似模型的探究． 猜想推理：（1）如图1，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，，，，则______．    问题解决：（2）如图2，是等边三角形，D是的中点，射线，分别交，于点E，F，且，求证：．（3）如图3，，，，D是的中点，射线，分别交，于点E，F，且，求的值． 16.（2024·山东青岛·二模）如图，在中，，，是边上一点，，点分别在边上，且． (1)如图，若，则______； (2)如图，若，则线段之间的数量关系：______； (3)请你通过类比、猜想、归纳，写出之间数量关系的一般结论：______． 17.（2025·山东·校考一模）已知：是等边三角形，点是边上任意一点． (1)如图，于点，于点，求证：； (2)如图，点是的中点，，交延长线于点，过点作于点，且，：：求线段的长． 18．（2025·河南周口·校考一模）（1）问题发现：如图1，四边形为矩形，，，点在矩形的对角线上，的两条直角边、分别交、于点、，当，时，__________（用含、的代数式表示）； （2）拓展探究：在（1）中，固定点，使绕点旋转，如图2，的大小有无变化？请仅就图2的图形给出证明； （3）问题解决：如图3，四边形为正方形，，点在对角线上，、分别在、上，，当时（是正实数），直接写出四边形的面积是__________（用含，的代数式表示）．    1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $