11.1余弦定理（教学课件，含交互动画）高一数学苏教版必修第二册

11.1 余弦定理 第十章 三角恒等变换 学 习 目 标 1 2 3 理解余弦定理的推导过程，掌握余弦定理的核心表达式及求角的变形形式. 能运用余弦定理解决 已知两边及夹角求第三边、已知三边求角两类解三角形问题以及简单的实际几何应用问题. 经历向量法推导余弦定理的过程，掌握几何问题代数化的方法，体会数形结合思想. 新课导入 如图，已知 的长度和 的角度，如何测量 两地之间的距离？ 在直角三角形中，我们可以用勾股定理求边长，那这个非直角三角形的边角关系该如何推导？ 在该三角形中，已知两边及其夹角，如何求第三边？已知三边，如何求角？ 这就是本节课核心探究主题： 三角形的边角定量关系 —— 余弦定理 新知探究 探究一：余弦定理 在中，分别为角 的对边，已知向量等式 ，如何将这个向量等式转化为边长和角度的数量等式？ 所以 因为 新知探究 以上推导出的公式有怎样的共同规律？这个规律该如何归纳定义为余弦定理？ 余弦定理： 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. （分别为角 对边） 同理可得： 即时训练 1.设分别为内角的对边，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据余弦定理，即可求解. 【详解】根据余弦定理可知，. B 新知探究 利用余弦定理可以知道两边及其夹角求第三边，那么余弦定理能否变形为求角的形式？ 余弦定理通过变形也可以写成如下形式： 我们把三角形的三个角和三条边叫作三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形. 即时训练 2.在中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【分析】由余弦定理直接求解即可. 【解析】在中， 已知，， 由余弦定理得： A 知识小结 余弦定理 ② ③ ① ① ② ③ 典例分析 例1 根据下列条件解三角形（边长精确到0.01，角度精确到0.1°）： （1）已知，，，求； （2）已知，，，求． 【分析】已知两边及夹角用余弦定理求第三边，已知三边用余弦定理的变形求对应角. 解 （1）由余弦定理，得 所以 （2）由余弦定理，得 所以 典例分析 例2 ， 两地之间隔着一个水塘（如图），现选择另一点 ，测得 ，，，求 ， 两地之间的距离（精确到 ）. 【分析】已知三角形两边及夹角，用余弦定理求第三边 解：由余弦定理，得 所以 答 ：， 两地之间的距离约为 . 典例分析 例3 用余弦定理证明：在 中，当 为锐角时， 当 为钝角时 【分析】根据余弦定理，通过角 的余弦值符号，判断 与 的大小关系 证明：当 为锐角时， 由余弦定理，得 即 同理可证，当 为钝角时， 典例分析 例4 在长江某渡口处，江水以 的速度向东流。一渡船从长江南岸的 码头出发，预定要在 后到达北岸的 码头（如图），设 为正北方向，已知 码头在 码头北偏东 的方向上，并与 码头相距 ，该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到 ，速度精确到 ）？ 【分析】将船的实际位移分解为船速和水流速度，通过余弦定理求解航行方向和速度. 解：如图，船按 方向开出， 方向为水流方向，以 为一边、 为对角线作平行四边形，其中 典例分析 在 中，由余弦定理，得 所以 因此，船的航行速度为 。 在 中，由余弦定理，得 所以 因此，。 答：渡船应按北偏西 的方向，并以 的速度航行。 典例分析 例5 在△ABC 中，已知 求证：△ABC 为等腰三角形. 【分析】利用余弦定理将角的关系转化为边的关系，通过化简得到两边相等，从而证明三角形为等腰三角形. 证明：由余弦定理，得 整理，得 因为 ，，所以 因此，△ABC 为等腰三角形 典例分析 例6 如图，AM 是△ABC 的边 BC 上的中线，求证： 【分析】在中线分割出的两个三角形中分别应用余弦定理，利用角的互补关系和中线性质消元，推导出中线长度公式. 在△ACM 中，由余弦定理，得 证明：设 ，则 在△ABM 中，由余弦定理，得 典例分析 因为 ，， 所以 从而 巩固提升 题型1 余弦定理及辨析 1.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则为（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【分析】用余弦定理求最大边所对角. 【详解】 可设， 最大角为C 所以C为钝角. C 巩固提升 题型2 余弦定理解三角形 2.在中，，则（    ） A．5 B．3或5 C．4 D．2或4 【分析】利用余弦定理求解即可. 即，即 解得或5 经检验，均满足题意. 【详解】由余弦定理 得 B 巩固提升 题型2 余弦定理解三角形 3.在中，三个内角的对边分别是，若，求,. 【分析】由余弦定理求出、，勾股定理求出. 【详解】由余弦定理得 所以 所以 因为，所以 又，所以，所以 所以，. 巩固提升 题型3 余弦定理边角互化的应用 4.已知的内角，，的对边分别为，，，且，若，，求的值. 【分析】由余弦定理求得，结合，可求得，故结合可求得，再利用余弦定理即可求得答案. 【详解】由中，可得， 由可得， 故 由于 则，且 课堂总结 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! 余弦定理 苏教版 · 必修二 📚 知识点回顾 ⚠️ 易错点警示 💡 解题技巧 🔊 课堂导语 知识点回顾 点击蓝色色块查看关键术语 定理内容 三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 a2 = b2 + c2 - 2bc cosA b2 = a2 + c2 - 2ac cosB c2 = a2 + b2 - 2ab cosC 点击查看公式 向量形式 若 AB = c, AC = b, BC = a 则 a2 = b2 + c2 - 2|b||c| cosA 变形公式 ① 求角公式 cosA = b2 + c2 - a2 2bc cosB = a2 + c2 - b2 2ac cosC = a2 + b2 - c2 2ab ② 求边公式 a = √(b2 + c2 - 2bccosA) ③ 勾股定理推广 当 C = 90° 时，cosC = 0 则 c2 = a2 + b2 易错点警示 避开这些常见的逻辑陷阱 🚫 忽视角的范围 在利用余弦定理求角时，要注意三角形内角的范围是 (0, π)。 特别提醒： 当 cosA < 0 时，角 A 为钝角； 当 cosA > 0 时，角 A 为锐角。 ⚠️ 边角对应关系混淆 公式中的边与角必须严格对应。例如求 cosA 时，分子中减去的一定是角 A 的对边 a 的平方。 🔢 计算精度问题 在多步计算中，建议保留根号形式进行运算，避免过早取近似值导致最终结果误差过大。 解题技巧与模型 掌握核心模型，快速破题 1 知三边求角 已知三角形的三边长，判断三角形形状或求内角。 策略：直接使用变形公式 cosC = (a2+b2-c2) / 2ab 2 知两边一夹角 已知两边及其夹角，求第三边或其他角。 策略：先求第三边，再求其他角 c2 = a2+b2-2abcosC 3 判断三角形形状 利用余弦定理判断三角形是锐角、直角还是钝角三角形。 a2 + b2 > c2 角C为锐角 a2 + b2 = c2 角C为直角 a2 + b2 < c2 角C为钝角 $