数学一模突破卷（广西专用）学易金卷：2026年中考第一次模拟考试

画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考第一次模拟考试 数学·参考答案 第I卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 题号 1 2 3 4 6 6 7 8 9 10 答案 B A B B C A A D C A 题号 11 12 答案 C 0 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13.3 14.x≠-3 15.4 16.125 5 三、解答题（第17题8分，第18,19,20,21题，每题10分；第22,23题，每题12分，共72分） 17.【详解】解：(1)原式=5+1-1 =5;4分 (2)原式=x2-4x+4-x2+x =-3x+4.8分 18 【详解】(1)解：设敖丙挂件的单价为x元，则哪吒挂件的单价为x+1)元. 由题意得， 400360 x+1 x 解得x=9,符合题意， ·哪吒挂件单价为x+1=10元，敖丙挂件单价为9元.5分 (2)解：设购进哪吒挂件m个，敖丙挂件n个. 1/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 叫 m+n=500 (14-10)m+(12-9)n=1800 m=300 解得， n=200' ·购进哪吒挂件300个，敖丙挂件200个.10分 19. 【详解】(1)解：把八年级10名学生的平均每周阅读时长排好顺序为：5,5,6,7,7,8,8,8,8,8， 所以中位数为a=7+8=75,众数6=8， 2 故答案为：7.5,8；…4分 (2)解：100×3+1200x5 =900(名)， 10 10 答：估计两个年级被评为“阅读之星”的学生共有900名；…7分 (3)解：八年级的阅读情况较好， 理由：因为七、八年级的平均数相等，但是八年级的中位数、众数都大于七年级的，方差小于七年级的方差， 所以八年级的阅读情况较好.（答案不唯一).…10分 20. 【详解】(1)解：当x=0时，y=- 1.35 3412 故答案为： 123分 2》当y=0时，x-+0 4 解得：x=或x=- （舍去) 2 2 240×2.52π_25 π， 360 6 答：它能喷灌的草坪面积为 6 元m2;6分 (3)连接BC,过O作OD⊥BC于点D, 240 图1 图2 图3 2/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 则BD=CD,LB0D=∠C0D=3602-240 =60°， 2 OD 在Rt△OBD中，coS∠BOD= OB' 片0D=0Bcos∠B0D=5x-1.25>1, 22 喷水装置安装位置不合理.10分 21. 【详解】(1)证明：连接0C,如图， B D :AC平分∠DAB, .∠BAC=∠DAC, .BC=DC .OC⊥BD, :CP为⊙0的切线， ..OC L PC BD∥CP.3分 (2)解：：BD∥PC, ∠ABD=∠P, :.cOsABD=cosP- AB是⊙O的直径， ∠ADB=90°， 在Rt△ABD中， :COs∠ABD=BD4 AB 5' AB=BD 4 _5×24=30, .0B=0C=15, 3/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :0C⊥PC, ∠0CP=90°， 在RtAOCP中， cos P= PC4 PO5' .设PC=4x,P0=5x, .0C=3x, 即3x=15, 解得x=5, .0P=5x=25, BP=0P-0B=25-15=10.6分 (3)解：AB是⊙0的直径，AB=4, ∴∠ADB=90°，0A=0B=2, :四边形OADC为菱形， 6AD=0c=01AB=2,AD∥0C .sin∠ABD= AD 1 AB=2' .∠ABD=30°， 由(1)知BD∥CP, .∠PC0=∠ADB=90°，∠P=LABD=30°， .∠P0C=60°， PC=OC 2 -=2V5 tan∠P√3 3 S.c-5aac=0CpC-60Xx2-25-2.…l10分 1 360 3 22. 【详解】(1)解：：0A=0D,0B=0C, ∴.0A-0B=0D-0C, AB=CD.4分 (2)证明：如图，过点O作OE⊥I于点E, 4/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 0 D B :0E⊥1， .AE=DE,BE CE, .AE-BE DE-CE, .AB=CD.8分 (3)解：如图，连接FH,过点N作NR‖FH交EF于点R,过点P作PT‖FH交GH于点T, B F :AB‖EF,NR‖FH, .四边形NRFB是平行四边形， .NR=FB,∠NRM=∠BFR, 同理可得，PT=DH,∠DHT=∠PTQ, :四边形ABCD与四边形EFGH均为菱形，O为它们的中心， ..OF =0H,OB=OD GH EF, :.FB=DH,∠PQT=∠NMR,∠DHT=∠BFR, .NR=PT,∠NRM=∠PTQ, :△MNR≌△2PT(AAS), :MN PO, MN :.PO =1.12分 23. 【详解】解：(1)根据表格信息得到，0A=08;2分 (2)证明：过点A,B分别作AC⊥x轴于C,BD⊥x轴于D 设点A的横坐标为p(p≠0)，由点A是y=c,y=ax的交点，得p=ap2, 5/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解得k=吧； 设点B的横坐标为qq≠0)，由点B是y=kx,y=bx2的交点，得kg=bg, 解得k=bg. 又：k=k, .ap=bq :2=b,即0C=卫-6 q a OD q a :∠AOC=∠BOD,∠OCA=∠ODB=90° ∴△A0C∽aB0D, AO OC 即04、6 BO OD OB a ·5分 (3)①直线，=2x与抛物线y2=x2分别交于点A, 设点A的横坐标为a,则y=2a,y2=a2, .乃1=y2,即2a=a2, 解得，a=2, A2,4, 直线男=2x与抛物线男=弓分别交于点8， 设点B的横坐标为b,则月=2b,乃=b, 月=为，即2b=-b2, 2 解得，b=-4, B-4,-8, 同理，直线y4=-x与抛物线y2=x2交于点C, .C(-1,, 直线y=-x与抛物线为=-x交于点D, 2 .D2,-2), .C,D关于y轴对称点分别是E(1,1,F(-2,-2), 6/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 AE=V2-12+(4-1)2=10,BF=V-4+22+(-8+2)2=210, AE 10 1 BF21028分 ②直线y=kx(k>0)与抛物线y=ax2(a≠0)相交于点O,A, .kx=ax2, 解得，x=0,名=。 k 04= kN2+1k2+1 a lal 直线y=k(x-h)+d与抛物线y=2(x-h)+d相交于点P,2, k(x-h)+d=2(x-h)2+d,整理得，(x-)2(x-h)-k=0 解得，x=h五=2 Po- :OA=6P2, kvk2+1 a =6, PO kk2+1 2 :la=3' 1 ,1 .a= 3·12分 7/72026年中考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D1 9.[A1[B1[CJ[D] 2.[A][B][C][D] 6.A][BJ[C1[D1 10.[A][B][CJ[D] 3.[A][B][C][D] 7.A][B1[C1[D1 11.[AI[B1[CJ[D] 4.A][B1[CI[D] 8.A][B][CJ[D1 12.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共12分） 13 14. 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（第17题8分，第18,19,20,21题，每题10分；第22,23题，每题12分，共72分) 17.(8分) 18.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(10分) 20.10分) A240° 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) 图① 图② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(12分) 耳安《 B A合 图1 图2 图3 图4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) 对称轴 YA y=bx2/ YA v-axy y=kx =2x B O D 4= D B )t3 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2026年中考第一次模拟考试 三 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【1【/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[AJ[B][CJ[D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIICJID] 11[AJ[B]ICIID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 12[AJ[B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共12分） 13. 14 15 16 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（第17题8分，第18,19,20,21题，每题10分；第22,23题，每题12分，共72分） 17.(8分) 18.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(10分) 20.10分) 学 A240° 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) 0 D 图① 图② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(12分) 图1 图2 图3 图4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) 12=x2 对称轴 =bx2 =ax1 =kx 1=2x A D C D B助 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年中考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．2026的相反数是（   ） A．2026 B． C． D． 2．为了解学生体质健康状况，体育老师随机抽取班上10名学生进行立定跳远测试，其成绩（单位：）如下：235，210，238，235，240，239，216，239，235，237．这组数据的中位数和众数分别是（    ） A．236，235 B．236，239 C．235，236 D．235，235 3．某物体如图所示，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 4．查询，2026年元旦当天整个长三角铁路发送旅客量达到370万人次，创下了历年元旦假期客流量的新高．为读写方便，可将370万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 5．若，，下列结论不正确的是（  ） A． B． C． D． 6．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条 7．点在函数的图象上，则代数式的值等于（    ） A． B．5 C．3 D． 8．如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（    ） A． B． C． D． 9．硫酸钠是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用．硫酸钠在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当温度为时，硫酸钠在水中溶解度为0 B．硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C．时，温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同 D．要使硫酸钠的溶解度不低于，温度应控制在 10．把分解因式，结果正确的是（       ） A． B． C． D． 11．设是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．1 B．2025 C． D． 12．如图，在平面直角坐标系中，A在x轴上，C在y轴上，四边形为矩形，D、E分别在上，若反比例函数过E、D两点，交于点F．则下列说法正确的是（    ） A．k越小，的长越小 B．当时，为定值 C．若矩形面积为16，时， D．当为边长1的正方形时，最小为 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．_____． 14．若分式有意义，则实数x的取值范围是____． 15．为培养学生运用的意识，某校主办的科学社团展示活动，确定了“灵光”“”“豆包”和“千问”四个主题．若八年级的13班和14班分别随机选择其中一个主题来展示，则这两个班选择同一主题的概率是____． 16．如图，在中，，，，F为的中点，E，P分别为，上一动点，则的最小值为______． 三、解答题（第17题8分，第18，19，20，21题，每题10分；第22，23题，每题12分，共72分） 17．（1）计算：． （2）化简：． 18．某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件，已知每个哪吒挂件的进价比每个敖丙挂件的进价贵1元，用400元购买哪吒挂件的个数恰好与用360元购买敖丙挂件的个数相同． (1)求该批发商购进哪吒、敖丙两种挂件的单价各是多少元； (2)若该批发商计划购进哪吒、敖丙两种挂件共500个，且决定将哪吒挂件以每个14元，敖丙挂件以每个12元的价格对外出售，若要获得总利润为1800元，应购进哪吒、敖丙两种挂件各多少个？ 19．为了解初中生的课外阅读情况，某校通过问卷调查，收集了七、八年级学生平均每周阅读时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周阅读时长（单位：小时）进行统计： 七年级：7，6，4，7，8，7，6，10，7，8． 八年级：6，8，8，5，7，8，8，8，5，7． 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 7 7 7 2.2 八年级 7 1.4 (1)填空：______，______； (2)该校七年级有1000名学生，八年级有1200名学生，若平均每周阅读时长不低于8小时的学生被评为“阅读之星”，请估计两个年级被评为“阅读之星”的学生共有多少名？ (3)根据以上统计量分析，你认为哪个年级的阅读情况较好？请说明理由（写出一条理由即可）． 20．美丽邕城四季常青，这与南宁市重视城市绿化密不可分，市区很多公园广场都安装有绿地喷淋系统．现准备在某草坪上安装一个自动喷水装置，其示意图如图1，喷水装置喷射出来的水流可以近似的看成抛物线，点A、M在抛物线上，A为出水口，M为水流与地面的交点．如图2，若水流距离地面的高度y（单位m）与水流距离出水口的水平距离x（单位m）之间具有函数关系：． (1)自动喷水装置喷水口距离地面的高度_____m； (2)如图1，该自动喷水装置能旋转，它的喷灌区域是一个扇形，求它能喷灌的草坪面积（结果保留π）； (3)如图3，若喷水口正后方1米处有一条人行步道l，为行人安全，水流不能喷溅到步道上，请通过计算说明喷水装置安装位置是否合理？ 21．如图①，是的外接圆，是的直径，点在上，连接平分，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图②，连接，，若四边形为菱形，，求阴影部分的面积． 22．综合与实践 【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”． 【实践探究】设直线与“环花”从左到右依次交于点，，，． (1)如图2，当直线经过中心时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图3，当直线不经过中心时，请证明（1）中的结论仍然成立； 【问题深化】 (3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点是这两个菱形对角线的公共交点，且，，，四点均在对角线上），类似地形成了“方花”，直线不经中心时，与“方花”从左到右依次交于点，，，，求的值． 23．数学小组利用刻度尺对二次函数图象的相关性质进行研究．如图1，点为两条开口向上的抛物线的公共顶点，将刻度尺绕点旋转，与两条抛物线分别交于点，点（异于点）． 【猜想】学生先对，进行探究，对进行多次测量，部分数据如表： （单位：） … … （单位：） … 1 … （1）猜想：与的数量关系是______． 【验证】（2）如图2，直线与二次函数，分别交于点，点．与的数量关系是什么？请完成填空，并补全推导过程． 证明：过点分别作轴于轴于． 设点的横坐标为，由点是，的交点，得，解得； 设点的横坐标为，由点是，的交点，得______，解得______． 又∵，∴______． 易证． ∴…… 请完成证明过程． 【应用】（3）①如图3，若直线与抛物线，分别交于点，直线与抛物线，分别交于点，其中异于点．若关于轴对称点分别是，则线段与线段的数量关系是什么？请说明理由． ②若直线与抛物线相交于点，直线与抛物线相交于点，且，直接写出的值．          试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．2026的相反数是（   ） A．2026 B． C． D． 2．为了解学生体质健康状况，体育老师随机抽取班上10名学生进行立定跳远测试，其成绩（单位：）如下：235，210，238，235，240，239，216，239，235，237．这组数据的中位数和众数分别是（    ） A．236，235 B．236，239 C．235，236 D．235，235 3．某物体如图所示，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 4．查询，2026年元旦当天整个长三角铁路发送旅客量达到370万人次，创下了历年元旦假期客流量的新高．为读写方便，可将370万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 5．若，，下列结论不正确的是（  ） A． B． C． D． 6．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条 7．点在函数的图象上，则代数式的值等于（    ） A． B．5 C．3 D． 8．如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（    ） A． B． C． D． 9．硫酸钠是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用．硫酸钠在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当温度为时，硫酸钠在水中溶解度为0 B．硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C．时，温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同 D．要使硫酸钠的溶解度不低于，温度应控制在 10．把分解因式，结果正确的是（       ） A． B． C． D． 11．设是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．1 B．2025 C． D． 12．如图，在平面直角坐标系中，A在x轴上，C在y轴上，四边形为矩形，D、E分别在上，若反比例函数过E、D两点，交于点F．则下列说法正确的是（    ） A．k越小，的长越小 B．当时，为定值 C．若矩形面积为16，时， D．当为边长1的正方形时，最小为 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．_____． 14．若分式有意义，则实数x的取值范围是____． 15．为培养学生运用的意识，某校主办的科学社团展示活动，确定了“灵光”“”“豆包”和“千问”四个主题．若八年级的13班和14班分别随机选择其中一个主题来展示，则这两个班选择同一主题的概率是____． 16．如图，在中，，，，F为的中点，E，P分别为，上一动点，则的最小值为______． 三、解答题（第17题8分，第18，19，20，21题，每题10分；第22，23题，每题12分，共72分） 17．（1）计算：． （2）化简：． 18．某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件，已知每个哪吒挂件的进价比每个敖丙挂件的进价贵1元，用400元购买哪吒挂件的个数恰好与用360元购买敖丙挂件的个数相同． (1)求该批发商购进哪吒、敖丙两种挂件的单价各是多少元； (2)若该批发商计划购进哪吒、敖丙两种挂件共500个，且决定将哪吒挂件以每个14元，敖丙挂件以每个12元的价格对外出售，若要获得总利润为1800元，应购进哪吒、敖丙两种挂件各多少个？ 19．为了解初中生的课外阅读情况，某校通过问卷调查，收集了七、八年级学生平均每周阅读时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周阅读时长（单位：小时）进行统计： 七年级：7，6，4，7，8，7，6，10，7，8． 八年级：6，8，8，5，7，8，8，8，5，7． 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 7 7 7 2.2 八年级 7 1.4 (1)填空：______，______； (2)该校七年级有1000名学生，八年级有1200名学生，若平均每周阅读时长不低于8小时的学生被评为“阅读之星”，请估计两个年级被评为“阅读之星”的学生共有多少名？ (3)根据以上统计量分析，你认为哪个年级的阅读情况较好？请说明理由（写出一条理由即可）． 20．美丽邕城四季常青，这与南宁市重视城市绿化密不可分，市区很多公园广场都安装有绿地喷淋系统．现准备在某草坪上安装一个自动喷水装置，其示意图如图1，喷水装置喷射出来的水流可以近似的看成抛物线，点A、M在抛物线上，A为出水口，M为水流与地面的交点．如图2，若水流距离地面的高度y（单位m）与水流距离出水口的水平距离x（单位m）之间具有函数关系：． (1)自动喷水装置喷水口距离地面的高度_____m； (2)如图1，该自动喷水装置能旋转，它的喷灌区域是一个扇形，求它能喷灌的草坪面积（结果保留π）； (3)如图3，若喷水口正后方1米处有一条人行步道l，为行人安全，水流不能喷溅到步道上，请通过计算说明喷水装置安装位置是否合理？ 21．如图①，是的外接圆，是的直径，点在上，连接平分，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图②，连接，，若四边形为菱形，，求阴影部分的面积． 22．综合与实践 【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”． 【实践探究】设直线与“环花”从左到右依次交于点，，，． (1)如图2，当直线经过中心时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图3，当直线不经过中心时，请证明（1）中的结论仍然成立； 【问题深化】 (3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点是这两个菱形对角线的公共交点，且，，，四点均在对角线上），类似地形成了“方花”，直线不经中心时，与“方花”从左到右依次交于点，，，，求的值． 23．数学小组利用刻度尺对二次函数图象的相关性质进行研究．如图1，点为两条开口向上的抛物线的公共顶点，将刻度尺绕点旋转，与两条抛物线分别交于点，点（异于点）． 【猜想】学生先对，进行探究，对进行多次测量，部分数据如表： （单位：） … … （单位：） … 1 … （1）猜想：与的数量关系是______． 【验证】（2）如图2，直线与二次函数，分别交于点，点．与的数量关系是什么？请完成填空，并补全推导过程． 证明：过点分别作轴于轴于． 设点的横坐标为，由点是，的交点，得，解得； 设点的横坐标为，由点是，的交点，得______，解得______． 又∵，∴______． 易证． ∴…… 请完成证明过程． 【应用】（3）①如图3，若直线与抛物线，分别交于点，直线与抛物线，分别交于点，其中异于点．若关于轴对称点分别是，则线段与线段的数量关系是什么？请说明理由． ②若直线与抛物线相交于点，直线与抛物线相交于点，且，直接写出的值．          / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．2026的相反数是（   ） A．2026 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相反数的定义，根据相反数的概念直接求解即可． 【详解】解：∵只有符号不同的两个数互为相反数， ∴2026的相反数是， 故选：B． 2．为了解学生体质健康状况，体育老师随机抽取班上10名学生进行立定跳远测试，其成绩（单位：）如下：235，210，238，235，240，239，216，239，235，237．这组数据的中位数和众数分别是（    ） A．236，235 B．236，239 C．235，236 D．235，235 【答案】A 【分析】本题考查了求一组数据中位数和众数，熟练掌握求一组数据中位数和众数是关键．因为数据是偶数个，所以计算中位数时需将数据排序后取中间两数的平均值，众数为出现次数最多的数，据此求解即可． 【详解】解：10名学生立定跳远测试成绩排序后为：210，216，235，235，235，237，238，239，239，240， 其中第5和第6个数据为235，237， 所以这组数据的中位数是； 因为出现次数最多的数据是235， 所以这组数据的众数是235． 故选：A． 3．某物体如图所示，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三视图，根据从物体的正面看到的图形是物体的主视图进行分析，即可作答． 【详解】 解：依题意，该物体的主视图是， 故选：B． 4．查询，2026年元旦当天整个长三角铁路发送旅客量达到370万人次，创下了历年元旦假期客流量的新高．为读写方便，可将370万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：将370万用科学记数法表示为． 故选：B． 5．若，，下列结论不正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键，根据已知条件结合不等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A：由，两式相加，得，即，正确，不符合题意； B：由，两式相加，得，正确，不符合题意； C：由得，代入，可得，即，不能得到，原选项错误，符合题意． D：由得，代入，可得，即，正确，不符合题意； 故选C 6．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短，线段的性质．根据垂线段最短，线段的性质分别判断即可． 【详解】解：A、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意； B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； C、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意； D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； 故选：A． 7．点在函数的图象上，则代数式的值等于（    ） A． B．5 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标特征满足函数表达式是解题的关键. 由点P在函数图象上可得，代入代数式并化简求值. 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴. ∴. 故选：A. 8．如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理和解直角三角形，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用锐角的正切定义求解．取格点，连接，，由网格的特点易得三点共线，利用勾股定理求出，，，，进而得到，证明为直角三角形，，由即可求解． 【详解】解：如图，取格点，连接，， 由网格的特点得，三点共线， ，，， ， 为直角三角形，， tan． 故选：D． 9．硫酸钠是一种无机化合物，在工业、农业、食品、医疗等多个领域发挥重要作用．硫酸钠在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当温度为时，硫酸钠在水中溶解度为0 B．硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 C．时，温度每升高，硫酸钠溶解度的增加量不相同 D．要使硫酸钠的溶解度不低于，温度应控制在 【答案】C 【分析】本题考查了溶解度曲线的解读与应用，解题的关键是结合题目给出的温度与溶解度对应数据，逐一验证选项中关于溶解度概念、变化趋势、变化量及特定溶解度对应温度范围的描述是否正确． 根据图中提供的核心数据分析各选项即可． 【详解】解：A、题目未给出时硫酸钠的溶解度数据，且固体物质的溶解度一般不为，此选项不符合题意； B、由数据可知，时溶解度为，时溶解度为，说明温度升高到一定程度后，硫酸钠的溶解度反而减小，并非随温度升高而增大，此选项不符合题意； C、时，溶解度曲线为非线性变化（多数固体溶解度曲线并非直线），因此温度每升高，溶解度的增加量不相同，此选项符合题意； D、时溶解度为，时溶解度为，但无法确定之后溶解度是否仍不低于，且题目未明确“仅满足”，此选项不符合题意； 故选：C． 10．把分解因式，结果正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，提取公因式，再用平方差公式进行分解，即可求解；掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 故选：A． 11．设是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．1 B．2025 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．直接利用一元二次方程根与系数的关系计算两根之和即可. 【详解】∵a、b是方程的两个实数根， ∴， 故选：C． 12．如图，在平面直角坐标系中，A在x轴上，C在y轴上，四边形为矩形，D、E分别在上，若反比例函数过E、D两点，交于点F．则下列说法正确的是（    ） A．k越小，的长越小 B．当时，为定值 C．若矩形面积为16，时， D．当为边长1的正方形时，最小为 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何应用，涉及了勾股定理，求反比例函数的解析式，相似三角形的判定和性质等．设点B的坐标为，则，点，从而得到，再由勾股定理可得，可判定A；当时， ，可判定B；过点F作于点G，则，根据，可得，，从而得到点，进而得到，可判断C；若为边长1的正方形，可得，可判断D． 【详解】解：如图， 设点B的坐标为，则， ∵四边形为矩形，D、E分别在上，若反比例函数过E、D两点， ∴点， ∴， ∴， ∴， 当，即时，k越小，的长越大，故A选项错误； 当时， ，， ∴ ， 即的大小与有关，不是定值，故B选项错误； ∵矩形面积为16， ∴， 如图，过点F作于点G，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即，， ∴点， 把点代入，得： ，故C选项正确； ∵为边长1的正方形， ∴， ∴， 此时当时，取得最小值，为0，故D选项错误． 故选： 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．_____． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，核心知识点为二次根式的乘法法则：．先利用法则将两个二次根式合并为一个二次根式，计算根号内的乘积后，再化简二次根式得到最终结果． 【详解】解：； 故答案为：． 14．若分式有意义，则实数x的取值范围是____． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件：分母不等于零． 根据分式有意义的条件，分母不等于零即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故答案为：． 15．为培养学生运用的意识，某校主办的科学社团展示活动，确定了“灵光”“”“豆包”和“千问”四个主题．若八年级的13班和14班分别随机选择其中一个主题来展示，则这两个班选择同一主题的概率是____． 【答案】 【分析】本题考查了利用列表或树状图求概率，画树状图法或列表法，根据题意利用概率计算公式，进行计算即可． 【详解】解：依题意，把“灵光”“”“豆包”和“千问”四个主题分别记为，，， 列表如下： D D 共有16种等可能结果，其中这两个班选择同一主题的结果有4种， 这两个班选择同一主题的概率是， 故答案为：． 16．如图，在中，，，，F为的中点，E，P分别为，上一动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题．作点关于的对称点，过点作于点，由对称性质可知，的最小值即为的值，再根据解直角三角形求出故可求解． 【详解】解：如图， 作点关于的对称点，过点作于点，由对称性质可知， 的最小值即为的值， ，，， ∴， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（第17题8分，第18，19，20，21题，每题10分；第22，23题，每题12分，共72分） 17．（1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）5；（2） 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 18．某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件，已知每个哪吒挂件的进价比每个敖丙挂件的进价贵1元，用400元购买哪吒挂件的个数恰好与用360元购买敖丙挂件的个数相同． (1)求该批发商购进哪吒、敖丙两种挂件的单价各是多少元； (2)若该批发商计划购进哪吒、敖丙两种挂件共500个，且决定将哪吒挂件以每个14元，敖丙挂件以每个12元的价格对外出售，若要获得总利润为1800元，应购进哪吒、敖丙两种挂件各多少个？ 【答案】(1)该批发商购进哪吒挂件的单价是10元，敖丙挂件的单价是9元 (2)购进哪吒挂件300个，敖丙挂件200个 【分析】（1）通过设未知数，利用总价单价数量及两种挂件购买数量相同列分式方程求解单价． （2）设两种挂件的购进数量，根据总个数和总利润列二元一次方程组求解． 【详解】（1）解：设敖丙挂件的单价为元，则哪吒挂件的单价为元． 由题意得，， 解得，符合题意， 哪吒挂件单价为元，敖丙挂件单价为9元． （2）解：设购进哪吒挂件m个，敖丙挂件n个．   则， 解得，， 购进哪吒挂件300个，敖丙挂件200个． 【点睛】本题考查了分式方程与二元一次方程组的实际应用，熟练掌握根据等量关系列方程并求解是解题的关键． 19．为了解初中生的课外阅读情况，某校通过问卷调查，收集了七、八年级学生平均每周阅读时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周阅读时长（单位：小时）进行统计： 七年级：7，6，4，7，8，7，6，10，7，8． 八年级：6，8，8，5，7，8，8，8，5，7． 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 7 7 7 2.2 八年级 7 1.4 (1)填空：______，______； (2)该校七年级有1000名学生，八年级有1200名学生，若平均每周阅读时长不低于8小时的学生被评为“阅读之星”，请估计两个年级被评为“阅读之星”的学生共有多少名？ (3)根据以上统计量分析，你认为哪个年级的阅读情况较好？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】(1)7.5，8 (2)估计两个年级被评为“阅读之星”的学生共有900名 (3)八年级的阅读情况较好，理由见解析 【分析】本题考查平均数、中位数、众数、方差的意义和计算方法． （1）根据中位数、众数的定义即可求出答案； （2）利用样本估计总体即可； （3）两组数据的平均数相同，通过中位数、众数和方差的大小直接比较即可． 【详解】（1）解：把八年级10名学生的平均每周阅读时长排好顺序为：5，5，6，7，7，8，8，8，8，8， 所以中位数为，众数， 故答案为：7.5，8； （2）解：（名）， 答：估计两个年级被评为“阅读之星”的学生共有900名； （3）解：八年级的阅读情况较好， 理由：因为七、八年级的平均数相等，但是八年级的中位数、众数都大于七年级的，方差小于七年级的方差， 所以八年级的阅读情况较好．（答案不唯一）． 20．美丽邕城四季常青，这与南宁市重视城市绿化密不可分，市区很多公园广场都安装有绿地喷淋系统．现准备在某草坪上安装一个自动喷水装置，其示意图如图1，喷水装置喷射出来的水流可以近似的看成抛物线，点A、M在抛物线上，A为出水口，M为水流与地面的交点．如图2，若水流距离地面的高度y（单位m）与水流距离出水口的水平距离x（单位m）之间具有函数关系：． (1)自动喷水装置喷水口距离地面的高度_____m； (2)如图1，该自动喷水装置能旋转，它的喷灌区域是一个扇形，求它能喷灌的草坪面积（结果保留π）； (3)如图3，若喷水口正后方1米处有一条人行步道l，为行人安全，水流不能喷溅到步道上，请通过计算说明喷水装置安装位置是否合理？ 【答案】(1)； (2)它能喷灌的草坪面积为； (3)喷水装置安装位置不合理，过程见解析． 【分析】本题考查解直角三角形的应用，二次函数的应用等． （1）当时，求出y的值即可； （2）令求出x的值，根据扇形的面积公式求解即可． （3）连接，过O作于点D，求出，在中，解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）当时，， 解得：或（舍去）， ∴， 答：它能喷灌的草坪面积为； （3）连接，过O作于点D， 则，， 在中，， ∴， ∴喷水装置安装位置不合理． 21．如图①，是的外接圆，是的直径，点在上，连接平分，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图②，连接，，若四边形为菱形，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 (3) 【分析】（1）连接，如图，先利用圆周角定理得到，再根据垂径定理得到，接着利用切线的性质得，然后根据平行线的性质得到结论； （2）先利用得到，所以，再根据圆周角定理得，则利用余弦的定义可求出，所以，接着在中利用余弦的定义得到，于是设，则，求出得到，然后计算即可； （3）由圆周角定理得到，再根据菱形的性质得到，解直角三角形求出，由（1）知，进而推出，，进而求出，再根据阴影部分的面积为即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴设， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． （3）解：∵是的直径，， ∴，， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理、不规则图形的面积、菱形的性质和解直角三角形．掌握切线的性质，圆的基本性质，解直角三角形是解题的关键． 22．综合与实践 【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”． 【实践探究】设直线与“环花”从左到右依次交于点，，，． (1)如图2，当直线经过中心时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图3，当直线不经过中心时，请证明（1）中的结论仍然成立； 【问题深化】 (3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点是这两个菱形对角线的公共交点，且，，，四点均在对角线上），类似地形成了“方花”，直线不经中心时，与“方花”从左到右依次交于点，，，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)1 【分析】（1）根据，，再利用线段的和差即可求解； （2）过点作于点，利用垂径定理得到，，再利用线段的和差即可证明； （3）连接，过点作交于点，过点作交于点，利用平行四边形的判定得到是平行四边形，得出，，同理可得，，再利用菱形的性质证明，推出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴． （3）解：如图，连接，过点作交于点，过点作交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 同理可得，，， ∵四边形与四边形均为菱形，为它们的中心， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理、菱形的性质、相似图形的性质、平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23．数学小组利用刻度尺对二次函数图象的相关性质进行研究．如图1，点为两条开口向上的抛物线的公共顶点，将刻度尺绕点旋转，与两条抛物线分别交于点，点（异于点）． 【猜想】学生先对，进行探究，对进行多次测量，部分数据如表： （单位：） … … （单位：） … 1 … （1）猜想：与的数量关系是______． 【验证】（2）如图2，直线与二次函数，分别交于点，点．与的数量关系是什么？请完成填空，并补全推导过程． 证明：过点分别作轴于轴于． 设点的横坐标为，由点是，的交点，得，解得； 设点的横坐标为，由点是，的交点，得______，解得______． 又∵，∴______． 易证． ∴…… 请完成证明过程． 【应用】（3）①如图3，若直线与抛物线，分别交于点，直线与抛物线，分别交于点，其中异于点．若关于轴对称点分别是，则线段与线段的数量关系是什么？请说明理由． ②若直线与抛物线相交于点，直线与抛物线相交于点，且，直接写出的值．          【答案】 （1） （2） （3）①；② 【分析】本题主要一次函数，二次函数图象的性质，理解材料提示方法，掌握一次函数，二次函数图象的性质是关键． （1）根据表格信息求解即可； （2）根据题意得到，证明，即可求解； （3）①根据材料提示的方法得到，根据两点之间距离的计算即可求解；②根据题意分段得到的坐标，得到的值，代入计算即可求解． 【详解】解：（1）根据表格信息得到，； （2）证明：过点分别作轴于轴于． 设点的横坐标为，由点是，的交点，得， 解得； 设点的横坐标为，由点是，的交点，得， 解得． 又∵， ∴ ∴，即， ∴， ∴，即． （3）①直线与抛物线分别交于点， 设点的横坐标为，则，， ∴，即， 解得，， ∴， 直线与抛物线分别交于点， 设点的横坐标为，则，， ∴，即， 解得，， ∴， 同理，直线与抛物线交于点， ∴， 直线与抛物线交于点， ∴， ∴关于轴对称点分别是， ∴， ∴； ②直线与抛物线相交于点， ∴， 解得，， ∴， ∴， 直线与抛物线相交于点， ，整理得， 解得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $