精品解析：北京中国人民大学附属中学昌平学校2025-2026学年九年级下学期数学学科学情调研

中国人民大学附属中学昌平学校2025-2026学年九年级下学期 数学学科学情调研 一、单选题 1. 已知，则下面结论成立的是（ ） A B. C. D. 2. 由二次函数，可知（　　） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其最小值为1 D. 当时，y随x的增大而增大 3. 如图，顶点A、B、C均在上，，则为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点O到直线l的距离为，以点O为圆心的与直线l有两个交点，则的半径可能为（ ） A. B. C. D. 6. 将二次函数向右平移2个单位，再向上平移5个单位长度，得到的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图①是花架实物图，图②是其对应的侧面示意图，已知，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. “不倒翁”是生活中极具趣味性的儿童玩具，也因独特的造型被制作成各种精美的摆件．它的核心设计原理是降低重心．如图是小静在劳动课上制作的简易版不倒翁（上半部分为圆锥，下半部分为球的一部分，底部居中放置一正方体重物，并固定）及其主视图（主视图为轴对称图形）．已知，分别与所在圆相切于点，，点是该圆与地面水平线的切点，圆的半径是，，正方形边长为．所有正确结论的序号是（ ） ①无论不倒翁如何摇晃的度数始终不变且为； ②； ③点到的距离为； ④不倒翁上面的圆锥形纸筒（粘贴忽略不计）的展开图是圆心角为的扇形． A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题 9. 若两个相似三角形的面积比为，则它们的周长比为___________． 10. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴翻折，所得抛物线相应的函数表达式为___________． 11. 如图，是正方形的外接圆，若正方形的边长为，则圆的半径是________． 12. 某校学生开展综合实践活动，如图，要测量树的高度，小李同学在离点10米的处利用测倾器测得处的仰角为，（，在同一平面内，，在同一水平面上），已知米，则树的高为_______米．（答案可以带根号） 13. 已知，是反比例函数图象上的两个点，则_____（用“”“”或“”填空）． 14. 如图，在矩形中，E是的中点，连接，交对角线于点F．若，则的值为______． 15. 如图，是的直径，点，是上的两点．若则的度数是_______． 16. 如图，直线与直线分别交函数图象于点，，则以点，，为顶点的三角形面积是_______ 三、解答题 17 计算：． 18. 如图，在中，，，，求和的值． 19. 某二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x 0 1 2 3 4 y m 0 1 0 （1）求此二次函数的解析式； （2）表格中的 ； （3）当，则二次函数y的最大值为 ，最小值为 ． 20. 如图，在中，，，，求的长． 21. 已知，如图所示，在中，点在边上，点在边上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 下面是小亮设计的“过圆外一点作圆的一条切线”的尺规作图的过程． 已知：如图，及圆外一点． 求作：过点作的一条切线． 作法：①连接； ②作垂直平分线，交于点A； ③以A为圆心，的长为半径作弧，交于点； ④作直线． 即直线为所求作的一条切线． 根据上述尺规作图的过程，回答以下问题： （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）该作图过程中，可以得到_____°，所作直线为圆切线的依据为_____． 23. 图1是某种手机支架，包括夹持杆以及支撑杆．某款手机恰好能够固定在该支架上，如图2所示（将手机看作一个矩形）．此时夹持杆两端，以及支撑杆的底端在同一个圆上，，支撑杆另一端是的中点，且，．已知该手机的宽度为，求圆的半径长． 24. 如图，为的直径，是的一条弦，，交于点，延长交于点，连接，过点作的切线分别交，延长线于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 当咖啡滴到桌面上时，随着液体的蒸发，液体边缘会形成一个颜色更深的环状沉积物，而中心区域则相对干净，这就是物理中的“咖啡环效应”，其核心是由于液滴边缘蒸发更快，带动内部液体向边缘流动并沉积溶质． 小华参加了学校某科研社团，在研究“咖啡环效应”时发现，一滴咖啡滴在水平桌面上，自然扩散后形成一个直径为的圆形液滴．小华将液滴的沉积厚度分布用二次函数模型来模拟：设离圆心距离（单位：）处的沉积厚度（单位：）满足函数：；其中，并且已知在圆心处时，沉积厚度为0；在液滴边缘处，沉积厚度最大，为； （1）求液滴距离圆心处的沉积厚度； （2）直径为圆形咖啡液滴的沉积厚度模型为：（单位：）其中．若沉积厚度超过的区域算作“明显咖啡环”，则液滴与液滴“明显咖啡环”区域的径向宽度（圆环宽度）与相比，______（填“”或“”）． 26. 在平面直角坐标系中，点，，在抛物线 （1）当时，求抛物线的顶点坐标以及与轴交点坐标； （2）若对于任意，，，，都有，求的取值范围． 27. 已知，在中，，，点是上一点，将绕点逆时针旋转得到，过点作的垂线，分别交延长线于点，于点． （1）如图，点与点重合，点与点重合，求证：； （2）如图，用等式表示和的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，已知半径为1的和线段，给出如下定义：若存在点使得线段关于点中心对称的线段恰为的一条弦，则称线段是的关于点的关联线段． （1）如图，点的横、纵坐标都是整数，在线段中，的以点为中心的关联线段是___________； （2）若，线段是的关于点的关联线段，则点的坐标为___________； （3）已知点是一点，线段在直线上，线段是的关于点的关联线段，则线段长度的最大值为___________；此时点坐标为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中国人民大学附属中学昌平学校2025-2026学年九年级下学期 数学学科学情调研 一、单选题 1. 已知，则下面结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比的性质，由已知等式 直接变形，求解比值 ，即可判断选项正确性． 【详解】解：∵ ，且 ， ∴ 两边同除以，得 ，即 ， 故选项A成立． 其他选项与上述结果矛盾，均不成立． 故选∶A． 2. 由二次函数，可知（　　） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其最小值为1 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，结合，得出其图象开口向上，对称轴为最小值为1，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵二次函数， ∴其图象开口向上，故A不正确； ∴对称轴为故B不正确； ∴最小值为1，故C正确； ∴在对称轴的左侧y随x的增大而减小，故D不正确． 故选：C． 3. 如图，顶点A、B、C均在上，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解． 【详解】解：由圆周角定理可知：， ， ， 解得， 故选：A． 4. 在中，，，，则值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理， 在直角中，根据勾股定理可以求出的长，再根据三角函数的定义就可以求出函数值． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 故选：B． 5. 已知点O到直线l的距离为，以点O为圆心的与直线l有两个交点，则的半径可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．据此作答即可． 【详解】解：∵点O到直线l的距离为，以点O为圆心的与直线l有两个交点， ∴的半径． ∴的半径可能为． 故选：D． 6. 将二次函数向右平移2个单位，再向上平移5个单位长度，得到的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线的平移变换，解题的关键是掌握抛物线平移规律：左加右减，上加下减． 根据抛物线平移规律：左加右减，上加下减即可得到答案． 【详解】解：二次函数向右平移2个单位，再向上平移5个单位长度，得到的函数解析式为， 故选：C． 7. 如图①是花架实物图，图②是其对应的侧面示意图，已知，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例的定理．根据平行线分线段成比例可得，代入数据求得，进一步计算即可求解． 【详解】解：∵，，， ，即， ∴， 解得：， 故选：A． 8. “不倒翁”是生活中极具趣味性的儿童玩具，也因独特的造型被制作成各种精美的摆件．它的核心设计原理是降低重心．如图是小静在劳动课上制作的简易版不倒翁（上半部分为圆锥，下半部分为球的一部分，底部居中放置一正方体重物，并固定）及其主视图（主视图为轴对称图形）．已知，分别与所在圆相切于点，，点是该圆与地面水平线的切点，圆的半径是，，正方形边长为．所有正确结论的序号是（ ） ①无论不倒翁如何摇晃的度数始终不变且为； ②； ③点到的距离为； ④不倒翁上面的圆锥形纸筒（粘贴忽略不计）的展开图是圆心角为的扇形． A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①设圆心为O，连接，，根据切线的性质求出的度数，再根据圆周角定理可得出的度数，则可判断正误；②先证得平分，则有，再根据锐角三角函数解直角三角形即可求得的长度；③利用垂径定理求得点O到的距离，取的中点Q，的中点为M，点到的距离为，计算出长度即可；④分别求出圆锥底面半径，圆锥的母线长，圆锥底面周长，再根据弧长公式求展开图扇形的圆心角即可判断． 【详解】解：①如图1，设圆心为O，连接，，，，， 由切线性质，得，， 在四边形中，，， ∴圆心角． 由图可知点一直在优弧上， ∴，故①正确； ②∵，，， ∴平分， ∴， 在中，，则， 同理，． ∴，故②正确； ③如图2，取的中点Q，的中点为M， ∵，， ∴， 正方形边长为，底部居中放置，其中心在对称轴上，则点都在对称轴上， ∴点P到的距离即的长度， ∵， ∴． ∴，故③错误； ④如图3， 圆锥的母线长， 设圆锥底面圆心为，且在上， 在直角三角形中，． ∴圆锥底面周长， 根据弧长公式，， ∴展开图是圆心角为的扇形，故④正确． 综上所述，所有正确结论的序号是①②④． 二、填空题 9. 若两个相似三角形的面积比为，则它们的周长比为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为， ∴它们的相似比为， ∴它们周长比为． 故答案为：． 10. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴翻折，所得抛物线相应的函数表达式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查二次函数图象与几何变换，正解掌握平移规律是解题的关键． 将二次函数图象沿x轴翻折，相当于对每个点进行坐标变换，即点变为，因此新函数表达式可通过将原函数中的y替换为并求解得到． 【详解】∵将二次函数的图象沿轴翻折， ∴ ∴所得抛物线相应的函数表达式为． 故答案为：． 11. 如图，是正方形的外接圆，若正方形的边长为，则圆的半径是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、圆的相关概念，连接，由题意并结合勾股定理可得，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， ∵是正方形的外接圆，正方形的边长为， ∴， ∴圆的半径是， 故答案为：． 12. 某校学生开展综合实践活动，如图，要测量树的高度，小李同学在离点10米的处利用测倾器测得处的仰角为，（，在同一平面内，，在同一水平面上），已知米，则树的高为_______米．（答案可以带根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意；过点A作于点E，由题意易得四边形是矩形，则有，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：过点A作于点E，如图所示： 由题意得：， ∴四边形矩形， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 13. 已知，是反比例函数图象上的两个点，则_____（用“”“”或“”填空）． 【答案】 【解析】 【分析】先根据解析式得到反比例函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，再根据，判断出A、B都在第三象限，据此可得答案． 本题主要考查了比较反比例函数值的大小，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的性质． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∵是反比例函数图象上的两个点，， ∴A、B都在第三象限， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，E是的中点，连接，交对角线于点F．若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，得到是解题的关键． 由矩形得到，则，再由线段关系，根据对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 15. 如图，是的直径，点，是上的两点．若则的度数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆中求角度，涉及圆内接四边形性质、直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握圆内接四边形性质、圆周角定理是解决问题的关键．连接，如图所示，由圆内接四边形性质得到，再由直径所对的圆周角是直角及直角三角形性质即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是圆内接四边形， ， 是的直径， ， ， 故答案为：． 16. 如图，直线与直线分别交函数图象于点，，则以点，，为顶点的三角形面积是_______ 【答案】 【解析】 【分析】将一次函数与反比例函数解析式联立，求出点A，B坐标，根据求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，过点B作轴，得到矩形， 联立，得：， 联立，得：， ，， ，， ， ， 点，在函数图象上， ， ． 三、解答题 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的运算．原式利用特殊角的三角函数值及绝对值性质化简，再计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，在中，，，，求和的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先利用勾股定理求出，再根据余弦和正切的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 19. 某二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x 0 1 2 3 4 y m 0 1 0 （1）求此二次函数的解析式； （2）表格中的 ； （3）当，则二次函数y的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】（1） （2） （3）1， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，掌握待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的对称性是解题的关键； （1）根据对称性求出对称轴，进而确定顶点坐标，设顶点式，代入其中一个点，即可得解． （2）根据对称性即可得解； （3）根据抛物线开口向下时，离对称轴越远，函数值越小求解即可． 【小问1详解】 解：观察表格可知，是对称点， 抛物线的对称轴是直线， 由表格可知，顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入，得， 解得， 这个二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴是直线， 是对称点， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， 抛物线开口向下， 抛物线的对称轴是直线，， 当时，y有最大值，y最大， ， ， 当时，y有最小值，y最小， 故答案为1，． 20. 如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作，垂足为，根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据，得出，由勾股定理得，，解方程即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为． 在中，，， ， 在中，，， ， 设，则，由勾股定理得，， 解得或（舍去）， 21. 已知，如图所示，在中，点在边上，点在边上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质定理． （1）利用三角形外角的性质及可得出，结合即可证出； （2）利用相似三角形的性质求出的长即可． 【小问1详解】 证明：∵ 又， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 下面是小亮设计的“过圆外一点作圆的一条切线”的尺规作图的过程． 已知：如图，及圆外一点． 求作：过点作的一条切线． 作法：①连接； ②作的垂直平分线，交于点A； ③以A为圆心，的长为半径作弧，交于点； ④作直线． 即直线为所求作的一条切线． 根据上述尺规作图的过程，回答以下问题： （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）该作图过程中，可以得到_____°，所作直线为圆的切线的依据为_____． 【答案】（1）见解析 （2）90，切线的判定定理 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图-基本作图（作线段的垂直平分线）、切线的判定与性质、直径所对的圆周角等于等知识，按尺规作图的要求正确地作出图形是解题的关键． （1）按尺规作图的要求补全图形即可； （2）由直径所对的圆周角等于，为的直径，得，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，补全图形． 理由：连接， ∵，且为⊙A的半径， ∴为的直径， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线为的切线． 【小问2详解】 ∵直径所对的圆周角等于，为的直径， ∴， 故答案为：90，切线的判定定理． 23. 图1是某种手机支架，包括夹持杆以及支撑杆．某款手机恰好能够固定在该支架上，如图2所示（将手机看作一个矩形）．此时夹持杆两端，以及支撑杆的底端在同一个圆上，，支撑杆另一端是的中点，且，．已知该手机的宽度为，求圆的半径长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、垂径定理、勾股定理，根据垂径定理可知，设圆的半径长为，则，，根据勾股定理可得方程，解方程即可求出圆的半径． 【详解】解：如下图所示，连接，，则， 设圆的半径长为， 点在线段的垂直平分线上， ，且是的中点， 在上，． ， ，， 在中，， 由勾股定理得，， ， 解得：， 答：圆的半径长为． 24. 如图，为的直径，是的一条弦，，交于点，延长交于点，连接，过点作的切线分别交，延长线于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的性质，切线的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，熟练掌握相应知识是解题的关键． （1）由，是的切线，可得，，又由，可得，从而可得； （2）由可设，，可得圆的半径，则在中，，根据锐角三角函数定义可得，，从而在中，，可得，的长，从而可得的长，由（1）的可得，列出方程即可求解． 小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴设，，则． ∵中，，， ∴，，． ∵中，， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴，解得． ∴． 25. 当咖啡滴到桌面上时，随着液体的蒸发，液体边缘会形成一个颜色更深的环状沉积物，而中心区域则相对干净，这就是物理中的“咖啡环效应”，其核心是由于液滴边缘蒸发更快，带动内部液体向边缘流动并沉积溶质． 小华参加了学校某科研社团，在研究“咖啡环效应”时发现，一滴咖啡滴在水平桌面上，自然扩散后形成一个直径为的圆形液滴．小华将液滴的沉积厚度分布用二次函数模型来模拟：设离圆心距离（单位：）处的沉积厚度（单位：）满足函数：；其中，并且已知在圆心处时，沉积厚度为0；在液滴边缘处，沉积厚度最大，为； （1）求液滴距离圆心处的沉积厚度； （2）直径为的圆形咖啡液滴的沉积厚度模型为：（单位：）其中．若沉积厚度超过的区域算作“明显咖啡环”，则液滴与液滴“明显咖啡环”区域的径向宽度（圆环宽度）与相比，______（填“”或“”）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用及解一元二次方程，无理数比较大小，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）利用待定系数法求出解析式即可； （2）当，，分别求出对应的x值，进而可得和的值，再比较即可． 【小问1详解】 解：将 代入得： ， ， ， 将代入得：， 液滴距离圆心处的沉积厚度为； 【小问2详解】 解：当时，即， 解得，（不符合，舍去）， ∴， 当，即， 解得，（不符合，舍去）， ∴， ∵，， ∴，即， 故答案为：． 26. 在平面直角坐标系中，点，，在抛物线 （1）当时，求抛物线的顶点坐标以及与轴交点坐标； （2）若对于任意，，，，都有，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式、对称轴和增减性，根据抛物线开口方向分情况讨论，结合对称轴分析函数值的大小关系是解题的关键． （1）代入得抛物线表达式，再配成顶点式求顶点坐标，令即可求得与轴交点坐标； （2）先求得抛物线对称轴，分（开口向上）、（开口向下）讨论：当：利用对称轴找的对称点，结合右侧增减性，由对称点横坐标得；当：结合右侧增减性，由得；综合即得的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，抛物线， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为， 令，得， ∴抛物线与轴交点坐标为； 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为，已知，，需分情况讨论： ①若， ∵， ∴，， （ⅰ）当时， 设点关于对称轴的对称点为， 则，， ∴， ∵当时，随的增大而增大，， ∴， ∴； （ⅱ）当时， ∵当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴当时，取最小值为， 又∵， ∴，不符合题意； （ⅲ）当时 ∵当时，随的增大而减小，， ∴， ∴，不符合题意； ②若， ∵，， ∴，； ∵当时，随的增大而减小， ∴， ∴； 综上，或． 27. 已知，在中，，，点是上一点，将绕点逆时针旋转得到，过点作的垂线，分别交延长线于点，于点． （1）如图，点与点重合，点与点重合，求证：； （2）如图，用等式表示和的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质与全等三角形的判定及性质，通过构造全等三角形、利用角度和边的关系推导是解题关键． （1）利用等腰三角形边相等性质，结合直角三角形全等判定（），证明对应边相等； （2）先通过“”证明三角形全等得到边与角的关系，再借助角平分线垂线的条件，用“”证明另一组三角形全等，进而推导边的数量关系． 【小问1详解】 证明：， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 ，证明如下： 如图，连接， 由题意知，，， 在中，，， ， ， ，即， 在和中， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 28. 在平面直角坐标系中，已知半径为1的和线段，给出如下定义：若存在点使得线段关于点中心对称的线段恰为的一条弦，则称线段是的关于点的关联线段． （1）如图，点的横、纵坐标都是整数，在线段中，的以点为中心的关联线段是___________； （2）若，线段是的关于点的关联线段，则点的坐标为___________； （3）已知点是一点，线段在直线上，线段是的关于点的关联线段，则线段长度的最大值为___________；此时点坐标为___________． 【答案】（1） （2）或 （3）2；或 【解析】 【分析】本题考查了新定义，涉及勾股定理，圆的对称性，中心对称的性质，一次函数的图象上点的坐标特征，难度较大，解题的关键在于理解新定义，利用反向思考的方式解决问题． （1）首先根据可知比的直径还大，根据题意不符合，然后作图可知均符合题意； （2）由于线段是的关于点的关联线段，那么反向思考线段在一定也在半径为1的上，且与关于点C对称，由，半径为1，则为等边三角形，然后根据等边三角形的性质以及勾股定理求出点坐标，再根据中点坐标公式求解点坐标； （3）反向思考线段在一定也在半径为1的上，且与关于点C对称，而，那么当时，为直径，而线段在直线上，故点在直线上，设，点在上，且点与点关于点C对称，则，再建立方程求出点坐标再根据中点坐标公式求解点坐标． 【小问1详解】 解：∵，而的半径为1，则直径为2， ∴线段不可能是的关于点的关联线段； 如图所示，结合定义可知和是的以点为中心的关联线段， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图： ∵线段是关于点的关联线段， ∴反向思考线段在一定也在半径为1的上，且与关于点C对称， ∵，半径为1， ∴为等边三角形， ∴根据等边的对称性可知点在轴上，记与轴交于点H， ∴， ∴， ∴或， ∵与关于点C对称， ∴或； 【小问3详解】 解：∵线段是的关于点的关联线段， ∴反向思考线段在一定也在半径为1的上，且与关于点C对称， ∵， ∴当时，为直径， 而线段在直线上， ∴点在直线上，如图： 设， ∵点在上，且点与点关于点C对称， ∴， ∴， 解得：， ∴或， ∴或， 故答案为：2；或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $