第23章 四边形（单元自测·基础卷）数学新教材沪教版五四制八年级下册

2025-2026学年八年级下册数学单元自测卷 第23章 四边形·基础通关 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如果一个多边形的边数由4增加到n（n为整数，且），那么它的外角和的度数（    ） A．不变 B．增加 C．减少 D．不能确定 2．在平行四边形中，对角线与相交于点，则下列式子不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知矩形的对角线、交于点，下列条件中能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 4.如图，在中，，对角线相交于点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．面积为S的菱形一条对角线是另一条的2倍，则其边长为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知，如图，，点E、F分别为，的中点，连接，设，，，且，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的形状一定是______． 8．如图，在中，分别是边的中点，连接．如果，那么的长为___________．    9．如图，E是正方形对角线延长线上一点，，则___．    10．如果正方形的边长为x厘米，其面积为平方厘米，则正方形的对角线的长为__________厘米． 11．如果一个四边形的某个顶点到其他三个顶点的距离相等，我们把这个四边形叫做等距四边形．已知平行四边形是等距四边形，，那么它的面积等于___________．   12．已知点E为矩形的边上一点，若，，如果，那么_______． 13．如图，O是等边三角形内任意一点，过点O作分别交于点G，H，I，已知等边三角形的周长18，则_____． 14．如图，已知的对角线相交于点O，它的周长为，的周长比的周长多，则__________． 15．如图，梯形中，，，，，则______． 16．如图，菱形，对角线，相交于点，测得，，过点作于点，那么的长为___________． 17．如图，正方形和正方形中，B、C、E三点共线，点G在上，，那么的长是___________． 18．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，．将边沿着过点O的一条直线翻折，点C的对应点为E，点B的对应点为F，连接，如果点E落在线段上，那么的面积为________． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）已知：如图，在中，是角平分线，E是上一点，且，，交于点G．求证：四边形是菱形． 20．（6分）如图，在中，，E为的中点，四边形是平行四边形，求证：与互相垂直平分． 21．（6分）（本题要写成完整的推导过程及证明理由）梯形中，分别是对角线中点，求证： 22．（6分）如图，是一个由8个单位正方形组成的图形，是其中一个小正方形的顶点． (1)过点画一条直线，将这个图形分割成面积为的两部分，画出这条直线，并求出该直线被这个图形所截得的线段长： (2)如果经过点的一条直线将这个图形分割成面积相等的两部分，画出这条直线． 23．（7分）如图，在中，，分别为边，的中点，延长至点，使得，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)，如果，请判断四边形是什么特殊的平行四边形，并证明． 24．（7分）已知：点E、F、G、H分别在正方形的边上（如图）． (1)如果四边形是平行四边形，求证：； (2)如果四边形是正方形，试探究线段之间的数量关系． 25．（10分）已知：如图，在中，，点D在上，，垂足为F，且，点E为线段的中点，过点F作交射线于G，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． (3)当时，求证：四边形是正方形． 26．（10分）综合与实践 问题情境： 在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为． 分析探究： （1）如图1，当，当点恰好落在边上时，三角形的形状为 ____ ． 问题解决： （2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为24，，请直接写出线段的长． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测卷 第23章 四边形·基础通关 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如果一个多边形的边数由4增加到n（n为整数，且），那么它的外角和的度数（    ） A．不变 B．增加 C．减少 D．不能确定 2．在平行四边形中，对角线与相交于点，则下列式子不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知矩形的对角线、交于点，下列条件中能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 4.如图，在中，，对角线相交于点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．面积为S的菱形一条对角线是另一条的2倍，则其边长为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知，如图，，点E、F分别为，的中点，连接，设，，，且，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的形状一定是______． 8．如图，在中，分别是边的中点，连接．如果，那么的长为___________．    9．如图，E是正方形对角线延长线上一点，，则___．    10．如果正方形的边长为x厘米，其面积为平方厘米，则正方形的对角线的长为__________厘米． 11．如果一个四边形的某个顶点到其他三个顶点的距离相等，我们把这个四边形叫做等距四边形．已知平行四边形是等距四边形，，那么它的面积等于___________．   12．已知点E为矩形的边上一点，若，，如果，那么_______． 13．如图，O是等边三角形内任意一点，过点O作分别交于点G，H，I，已知等边三角形的周长18，则_____． 14．如图，已知的对角线相交于点O，它的周长为，的周长比的周长多，则__________． 15．如图，梯形中，，，，，则______． 16．如图，菱形，对角线，相交于点，测得，，过点作于点，那么的长为___________． 17．如图，正方形和正方形中，B、C、E三点共线，点G在上，，那么的长是___________． 18．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，．将边沿着过点O的一条直线翻折，点C的对应点为E，点B的对应点为F，连接，如果点E落在线段上，那么的面积为________． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）已知：如图，在中，是角平分线，E是上一点，且，，交于点G．求证：四边形是菱形． 20．（6分）如图，在中，，E为的中点，四边形是平行四边形，求证：与互相垂直平分． 21．（6分）（本题要写成完整的推导过程及证明理由）梯形中，分别是对角线中点，求证： 22．（6分）如图，是一个由8个单位正方形组成的图形，是其中一个小正方形的顶点． (1)过点画一条直线，将这个图形分割成面积为的两部分，画出这条直线，并求出该直线被这个图形所截得的线段长： (2)如果经过点的一条直线将这个图形分割成面积相等的两部分，画出这条直线． 23．（7分）如图，在中，，分别为边，的中点，延长至点，使得，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)，如果，请判断四边形是什么特殊的平行四边形，并证明． 24．（7分）已知：点E、F、G、H分别在正方形的边上（如图）． (1)如果四边形是平行四边形，求证：； (2)如果四边形是正方形，试探究线段之间的数量关系． 25．（10分）已知：如图，在中，，点D在上，，垂足为F，且，点E为线段的中点，过点F作交射线于G，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． (3)当时，求证：四边形是正方形． 26．（10分）综合与实践 问题情境： 在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为． 分析探究： （1）如图1，当，当点恰好落在边上时，三角形的形状为 ____ ． 问题解决： （2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为24，，请直接写出线段的长. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级下册数学单元自测卷 第23章四边形·参考答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的) 2 4 6 A O C A A 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7.六边形 8.6 9.1050 10.2 11.23 12.8 13.6 14.5 15.11 16. 48 18.5 5 17.25 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 19.(6分) 【详解】证明：·在ABC中，AD是角平分线， ∴.∠DAE=∠DAC, 又：AE=∠AC,AD=AD, △DAE≌△DAC(SAS,·(2分) .DE=DC,∠ADE=∠ADC, :EG∥BC, .∠EGD=LCDG, ∴.∠EGD=LEDG, :EG=ED, .EG=CD, ∴.四边形EDCG是平行四边形， EG=ED, .四边形EDCG是菱形.…(6分) 20.(6分)》 【详解】解：如图，连接AD, 1/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A E B :四边形BCDE是平行四边形， .BE CD,BE CD, :∠ACB=90°，E为AB的中点， :AE BE CE, ·AE=CD, .四边形AECD是平行四边形，…(4分) 又：AE=CE, :.平行四边形AECD是菱形， ·.AC与DE互相垂直平分.…(6分) 21.(6分) 【详解】解：连接DF,并延长交BC于点G, E G :AD∥BC, ∴：∠DAF=∠GCF(两直线平行，内错角相等) :F是AC的中点， AF=CF(线段中点的定义) 在△ADF和aGCF中， ∠DAF=∠GCF AF=CF ∠AFD=∠CFG .△ADF≌AGCF(ASA, .DF=FG,CG=AD(全等三角形的对应边相等)，…(3分) .BG=BC-CG=BC-AD ∠/ō 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :E是BD的中点， ·BE=DE(线段中点的定义)， :EF:8G=BC-4D)(中位线的性质.…(6分) 22.(6分) 【详解】(1)解：如图，直线MN即为所求： M A 线段MN=3x1=3…(3分) (2)解：如图，直线AB即为所求： …(6分) 23.(7分) 【详解】(1)证明：：D,E分别为边AB,AC的中点， DE-BC.DEWBC. DF=2DE, DF=BC, DFI BC, :四边形BCFD是平行四边形；…(3分) (2)解：四边形BCDF是菱形. 联结CF; D 5/ō 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :四边形BCDF是平行四边形， :BD、CF互相平分， AF=AC, :AB⊥CF,即BD⊥CF, :四边形BCDF是平行四边形， :平行四边形BCDF是菱形.…(7分) 24.(7分) 【详解】(1)证明：连接FH, D B :四边形ABCD是正方形， .AD∥BC,∠A=∠C=90° :四边形EFGH是平行四边形， .EH∥FG,EH=FG, .∠EHF=∠GFH. :AD∥BC, .∠AHF=∠CFH. .∠AHF-∠EHF=LCFH-∠GFH,即LAHE=∠CFG. 在△AEH和△CGF中， :∠AHE=∠CFG,∠A=∠C,EH=FG, .aAEH≌aCGF, .AE=CG;…(3分) (2)解：：四边形ABCD是正方形， ∴.∠B=∠C=90°. :四边形EFGH是正方形， .EF=FG,∠EFG=90°. :∠BFE+∠CFG=90°，LCGF+∠CFG=90°， 4/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠BFE=∠CGF. 在△BEF和△CFG中， :∠BFE=∠CGF,∠B=∠C,EF=FG, .△BEF≌△CFG, :BE =CF. 又：AE+BE=AB, .AE+CF=AB.…(7分) 25.(10分) 【详解】(1)证明：：∠ACB=90°，DF⊥AB, .∠DFA=90°， 在Rt△ACD与Rt△AFD中， DF-CD AD=AD .Rt△ACD≌RtAAFD(HL), ∠CAD=∠FAD,AC=AF, 在△ACG与△AFG中， AC=AF ∠CAD=∠FAD, AG=AG .△ACG≌△AFG(SAS, .CG=FG,LCGA=∠FGA, 在△CEG和△FEG中， CG=FG ∠CGA=∠FGA, EG=EG :△CEG≌△FEG(SAS, ∴.CE=EF,∠CEG=LFEG;…(4分) (2)证明：FG∥CE, ∠FGA=∠CEG, 5/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(1)知：∠CGA=∠FGA, ∴LCGE=LCEG, .CE =CG, 由(1)知：CE=EF,CG=FG, ∴CE=EF=FG=CG, 四边形CEFG是菱形.…(7分) (3)证明：AC=BC,∠ACB=90°， ∠C41B=∠B=180-9091=450, 由(1)知，∠CAD=∠FAD, .∠CAD=∠FAD=22.5°， :E为AD的中点，∠ACB=90°， i.CE=AE=IAD, ∴.∠CAE=∠ECA=22.5°， .∠CEG=∠CAE+∠ECA=45°， 由(1)知：∠FEG=∠CEG=45°， .∠CEF=∠CEG+∠FEG=90°， :四边形CEFG是菱形， 四边形CEFG是正方形.…(10分) 26.(10分) 【详解】解：(1)：四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD,∠ABC=∠ADE=60°，则∠D'AE=∠AED 由折叠可知：AD=AD',∠DAE=∠D'AE,LADE=LAD'E=60°， ∠DAE=∠AED, :AD DE AD', :四边形ADED'是平行四边形， 又：AD=AD', .四边形ADED'是菱形， :D'E AD', 6/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△AD'E是等边三角形， 故答案为：等边三角形；…(2分) (2)BG=2AG,理由如下： :四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD,AB=CD, 又：E,F为CD边的三等分点， DE-EF-CF-DC, 由折叠可知：ED=ED,∠AED=∠AED', 则ED=ED'=EF, ∴.∠ED'F=∠EFD', 由三角形外角可知：∠DED'=∠ED'F+∠EFD'=∠AED+∠AED', ∴∠AED'=∠ED'F, .AE∥FG, .四边形AEFG是平行四边形， .EF=AG, EF=IDC,AB=CD, 3 :AG=;AB,则BG= 3 348, BG=2AG;…(6分) (3)由折叠可知：∠DAE=LD'AE=45°，AD=AD', ∴∠DAD'=90°，则△DAD'为等腰直角三角形， ∴.∠ADH=∠AD'D=45°， 延长AD'交BC于M,则∠MD'H=∠AD'D=45° D' D :四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC, ∴∠DHM=∠ADH=45°=∠MD'H,∠AMH=∠DAD'=90°，即AM⊥AD, 7/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .MD'=MH :口ABCD的面积为24，AD=4,即：AD·AM=24, .AM=6, MD'=AM-AD'=AM-AD=2, D'H=√MD2+MH2=2√2.…(10分) 8/8 2025-2026学年八年级下册数学单元自测卷 第23章 四边形·基础通关 建议用时：90分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如果一个多边形的边数由4增加到n（n为整数，且），那么它的外角和的度数（    ） A．不变 B．增加 C．减少 D．不能确定 【答案】A 【详解】解：因为多边形外角和为，所以外角和的度数是不变的． 故选：A． 2．在平行四边形中，对角线与相交于点，则下列式子不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图： ∵四边形是平行四边形， ， ， ， 故A、B、D都不符合题意，C符合题意． 故选：C． 3．已知矩形的对角线、交于点，下列条件中能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，矩形对角线互相平分，必然成立，无法判定正方形，故不符合题意； B、，矩形对角线相等且平分，故，此条件恒成立，无法判定正方形，故不符合题意； C、，说明对角线与垂直，矩形对角线若垂直则为正方形，符合判定条件，故符合题意； D、，矩形对角线本相等，此条件恒成立，无法判定正方形，故不符合题意； 故选：C． 4.如图，在中，，对角线相交于点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， 故选：C． 5．面积为S的菱形一条对角线是另一条的2倍，则其边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，在菱形中，对角线交于点O，且， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 即菱形的边长为． 故选：A． 6．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知，如图，，点E、F分别为，的中点，连接，设，，，且，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接并延长交于点H， ∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点E为的中点，点F为的中点，， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的形状一定是______． 【答案】六边形 【详解】解：∵一个多边形的每一个外角都是， ∴多边形的边数是， ∴这个多边形的形状一定是六边形． 故答案为：六边形． 8．如图，在中，分别是边的中点，连接．如果，那么的长为___________．    【答案】6 【详解】解：∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 9．如图，E是正方形对角线延长线上一点，，则___．    【答案】 【详解】解：如图，连接，，    ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如果正方形的边长为x厘米，其面积为平方厘米，则正方形的对角线的长为__________厘米． 【答案】2 【详解】解：∵正方形的边长为x厘米，其面积为平方厘米， ∴ ∴ 即 则正方形的对角线的长（厘米）， 故答案为：2 11．如果一个四边形的某个顶点到其他三个顶点的距离相等，我们把这个四边形叫做等距四边形．已知平行四边形是等距四边形，，那么它的面积等于___________． 【答案】 【详解】解：如图，四边形是等距四边形，， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 作于E，则， ∴， ∴菱形的面积； 故答案为：．    12．已知点E为矩形的边上一点，若，，如果，那么_______． 【答案】8 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 13．如图，O是等边三角形内任意一点，过点O作分别交于点G，H，I，已知等边三角形的周长18，则_____． 【答案】6 【详解】解：∵ ∴ 则四边形和四边形都是平行四边形， ∵是等边三角形 ∴三角形是等边三角形， 则， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴． 故答案为：6． 14．如图，已知的对角线相交于点O，它的周长为，的周长比的周长多，则__________． 【答案】5 【详解】解：∵的周长为． ∴， ∵的周长比的周长多， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 即， ∴ 解得， ∴． 故答案为：5． 15．如图，梯形中，，，，，则______． 【答案】11 【详解】解：作交于点E，则， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：11． 16．如图，菱形，对角线，相交于点，测得，，过点作于点，那么的长为___________． 【答案】 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．如图，正方形和正方形中，B、C、E三点共线，点G在上，，那么的长是___________． 【答案】2 【详解】解：延长、相交于M， ∵正方形和正方形中，，， ∴，，，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 18．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，．将边沿着过点O的一条直线翻折，点C的对应点为E，点B的对应点为F，连接，如果点E落在线段上，那么的面积为________． 【答案】5 【详解】解：如图 ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵折叠，点C的对应点为E，且点E落在线段上， ∴，折痕平分，即平分， ∴在射线上， ∴， ∴的面积为， 故答案为：5． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）已知：如图，在中，是角平分线，E是上一点，且，，交于点G．求证：四边形是菱形． 【详解】证明：∵在中，是角平分线， ∴， 又∵， ∴，……（2分） ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形．……（6分） 20．（6分）如图，在中，，E为的中点，四边形是平行四边形，求证：与互相垂直平分． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，……（4分） 又∵， ∴平行四边形是菱形， ∴与互相垂直平分．……（6分） 21．（6分）（本题要写成完整的推导过程及证明理由）梯形中，分别是对角线中点，求证： 【详解】解：连接，并延长交于点G， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等） ∵F是的中点， ∴（线段中点的定义） 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等），……（3分） ∴， ∵E是的中点， ∴（线段中点的定义）， ∴（中位线的性质）．……（6分） 22．（6分）如图，是一个由8个单位正方形组成的图形，是其中一个小正方形的顶点． (1)过点画一条直线，将这个图形分割成面积为的两部分，画出这条直线，并求出该直线被这个图形所截得的线段长： (2)如果经过点的一条直线将这个图形分割成面积相等的两部分，画出这条直线． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求： 线段……（3分） （2）解：如图，直线即为所求： ……（6分） 23．（7分）如图，在中，，分别为边，的中点，延长至点，使得，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)，如果，请判断四边形是什么特殊的平行四边形，并证明． 【详解】（1）证明：分别为边的中点， ， ， ， ∵， 四边形是平行四边形；……（3分） （2）解：四边形是菱形． 联结； ∵四边形是平行四边形， 互相平分， ∵， ，即， ∵四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形.……（7分） 24．（7分）已知：点E、F、G、H分别在正方形的边上（如图）． (1)如果四边形是平行四边形，求证：； (2)如果四边形是正方形，试探究线段之间的数量关系． 【详解】（1）证明：连接， ∵四边形是正方形， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴，即． 在和中， ∵， ∴， ∴；……（3分） （2）解：∵四边形是正方形， ∴． ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴．……（7分） 25．（10分）已知：如图，在中，，点D在上，，垂足为F，且，点E为线段的中点，过点F作交射线于G，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． (3)当时，求证：四边形是正方形． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，；……（4分） （2）证明：∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， 由（1）知：，， ∴， ∴四边形是菱形．……（7分） （3）证明：∵，， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形．……（10分） 26．（10分）综合与实践 问题情境： 在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为． 分析探究： （1）如图1，当，当点恰好落在边上时，三角形的形状为 ____ ． 问题解决： （2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为24，，请直接写出线段的长． 【详解】解：（1）∵四边形是平行四边形， ∴，，则 由折叠可知：，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：等边三角形；……（2分） （2），理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵E，F为边的三等分点， ∴， 由折叠可知：，， 则， ∴， 由三角形外角可知：， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则， ∴；……（6分） （3）由折叠可知：，， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 延长交于，则 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，即， ∴ ∵的面积为24，，即：， ∴， 则， ∴．……（10分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $