6.4.1平面几何中的向量方法导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2020-2021创美高一数学导学案 数学必修第二册--导学案 第六章 平面向量 第六章 平面向量 §6.4.1平面几何中的向量方法【导学】【解析】 【导学目标】 1.通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的“三步曲”； 2.明确平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示． 【重点】用向量法解决几何问题 【难点】掌握用向量方法解决平面几何的问题的“三步曲”. 【知识要点】 向量方法在几何中的应用 对于平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． (1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件： a∥b(b≠0)⇔a=b⇔(x1y2－x2y1=0. (2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件： 非零向量a，b，a⊥b⇔ (3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝＝. (4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式： ＝. 平面几何中的 向量方法 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把向量运算的结果 “翻译”成几何关系． 直线的方向向量和法向量 (1)直线y＝kx＋b的方向向量为（1，k），法向量为（－k，1）. (2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为（B，－A），法向量为（A，B）. 【典型例题】 题型一 平面几何的向量方法 【例1-1】 在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【例1-2】在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形为(　 　) A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 【答案】D 【例1-3】如图所示，在边长为 3 的等边三角形ABC中，，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上.若，则（ ） A.; B. ; C. 的最大值为 8 ; D. 的最大值为. 【答案】AD 【例1-4】点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的(　　) A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 【答案】D 【例1-5】已知非零向量与满足·＝0且·＝，则△ABC的形状是(　　)　　　　　　　　　　　　　 A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰(非等边)三角形 D．等边三角形 【答案】D 【例1-6】(多选)已知P为△ABC所在平面内一点，则下列结论正确的是(　　) A．若＋3＋2＝0，则点P在△ABC的中位线上； B．若＋＋＝0，则P为△ABC的重心； C．若·>0，则△ABC为锐角三角形； D．若＝＋，则△ABC与△ABP的面积比为3∶2. 【答案】ABD 题型二 利用向量证明平行问题 【例2】如图所示，若四边形ABCD为平行四边形，EF∥AB，AE与BF相交于点N，DE与CF相交于点M. 求证：MN∥AD. 【答案】略 题型三 利用向量证明垂直问题 【例3】如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2， 求证：AD⊥BC. 【答案】略 题型四 利用向量解决长度和夹角问题 【例4-1】如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC. 求：(1)AD的长； (2)∠DAC的大小． 【答案】(1)AD的长为； (2)∠DAC=900. 【例4-2】如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长． 【答案】对角线AC的长为． 题型五 利用向量解决直线问题 【例5-1】如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________． 【答案】2 【例5-2】在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分线的方程． 【答案】. 【例5-3】已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点． (1)求直线DE、EF、FD的方程； (2)求AB边上的高线CH所在直线方程． 【答案】(1)直线DE的方程为：； 直线EF的方程：； 直线FD的方程; (2)CH所在直线方程为． ( 第 2 页 共 2 页 ) ( 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $2020-2021创美高一数学导学案 数学必修第二册--导学案 第六章 平面向量 第六章 平面向量 §6.4.1平面几何中的向量方法【导学】 【导学目标】 1.通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的“三步曲”； 2.明确平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示． 【重点】用向量法解决几何问题 【难点】掌握用向量方法解决平面几何的问题的“三步曲”. 【知识要点】 向量方法在几何中的应用 对于平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． (1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件： a∥b(b≠0)⇔a=b⇔(x1y2－x2y1=0. (2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件： 非零向量a，b，a⊥b⇔ (3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝＝. (4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式： ＝. 平面几何中的 向量方法 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把向量运算的结果 “翻译”成几何关系． 直线的方向向量和法向量 (1)直线y＝kx＋b的方向向量为（1，k），法向量为（－k，1）. (2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为（B，－A），法向量为（A，B）. 【典型例题】 题型一 平面几何的向量方法 【例1-1】 在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【例1-2】在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形为(　 　) A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 【例1-3】如图所示，在边长为 3 的等边三角形ABC中，，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上.若，则（ ） A.; B. ; C. 的最大值为 8 ; D. 的最大值为. 【例1-4】点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的(　　) A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 【例1-4】已知非零向量与满足·＝0且·＝，则△ABC的形状是(　　)　　　　　　　　　　　　　 A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰(非等边)三角形 D．等边三角形 【例1-5】(多选)已知P为△ABC所在平面内一点，则下列结论正确的是(　　) A．若＋3＋2＝0，则点P在△ABC的中位线上； B．若＋＋＝0，则P为△ABC的重心； C．若·>0，则△ABC为锐角三角形； D．若＝＋，则△ABC与△ABP的面积比为3∶2. 题型二 利用向量证明平行问题 【例2】如图所示，若四边形ABCD为平行四边形，EF∥AB，AE与BF相交于点N，DE与CF相交于点M. 求证：MN∥AD. 题型三 利用向量证明垂直问题 【例3】如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2， 求证：AD⊥BC. 题型四 利用向量解决长度和夹角问题 【例4-1】如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC. 求：(1)AD的长； (2)∠DAC的大小． 【例4-2】如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长． 题型五 利用向量解决直线问题 【例5-1】如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________． 【例5-2】在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分线的方程． 【例5-3】已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点． (1)求直线DE、EF、FD的方程； (2)求AB边上的高线CH所在直线方程． ( 第 2 页 共 2 页 ) ( 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $