6.4.2 向量在物理中的应用举例 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.4 平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例 【学习目标】 1. 会用向量方法解决简单的平面几何问题（如平行、垂直、长度、夹角等）. 1. 会用向量方法解决简单的力学问题和速度合成等实际问题. 1. 通过运用向量方法解决几何和物理问题，培养直观想象、数学运算和数学建模素养. 【学习重点】 1. 向量法解决几何问题的两种思路：基底法和坐标法. 2. 向量法解决物理问题：力的合成与分解，解释“夹角越大越费力”等现象. 【学习难点】 1. 选择适当的基底或坐标系，将几何问题转化为向量运算. 2. 将物理量（力、速度）抽象为向量，并利用向量运算解释现象. 学习任务一 平面几何中的向量方法 【合作探究】 1. 问题引入： · 在平面几何中，我们经常需要证明线段平行、垂直、相等，或求长度、夹角等.向量作为一种工具，能将这些几何关系转化为代数运算.常用的方法有： (1) 基底法：选取一组基底（通常为两个不共线的向量），将相关向量用基底表示，然后进行数量积、数乘等运算. (2) 坐标法：建立平面直角坐标系，将点和向量用坐标表示，然后利用坐标运算求解. 1. 经典结论： (1) 三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半. (2) 平行四边形对角线互相平分. (3) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 1. 例题探究（以三角形中位线为例）： · 已知 中， 为 中点， 为 中点.求证：，且 . · 向量法： · . · 所以 与 共线且长度比为 ，得证. 1. 思考： (1) 如何用基底法证明平行四边形对角线互相平分？ (2) 如何用坐标法证明直角三角形斜边上的中线等于斜边一半？ 【自主梳理】 1. 向量法解决几何问题的步骤： (1) 明确已知条件，确定要证的结论. (2) 选择基底或建立坐标系. (3) 用向量表示相关线段. (4) 进行向量运算（线性运算、数量积等）. (5) 将向量结论翻译为几何结论. 1. 常用向量关系： (1) 平行（共线）：. (2) 垂直：. (3) 长度：. (4) 夹角：. 学习任务二 向量在物理中的应用 【合作探究】 1. 问题引入： · 两人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；做引体向上时，两臂夹角越小越省力.如何用向量解释？ 1. 物理建模： · 设两人拉力大小相等均为 ，合力大小为 （包的重力），两拉力夹角为 （或 不同定义），则 （其中 为拉力与竖直方向的夹角）. · 当合力 固定时，拉力大小 ，夹角增大时 减小，故 增大，即越费力. · 用向量合成：， 固定，分析 与夹角的关系. 1. 例题： · 一个物体在水平面上受两个大小相等的力，夹角为 ，合力大小为 ，求每个力的大小. · 解：设每力为 ，由平行四边形法则，合力 ，所以 . 1. 思考： (1) 为什么在斜面上拉物体时，拉力方向与斜面夹角越小越省力？ (2) 用向量解释速度和位移的合成. 【自主梳理】 向量在物理中的应用： 1. 力、速度、位移等都是向量，可用向量加、减、数乘等运算合成与分解. 2. 常见模型：力的平衡（合力为零）、速度合成（船速、水速等）. 3. 分析最值问题：如固定合力时，分力与夹角的关系. 【自查自纠】（正误判断） 1. 用向量方法证明几何问题时，基底可以任意选取. （ ） 1. 在 中， 为 中点，则 . （ ） 1. 两人提包，夹角越大越省力. （ ） 1. 建立坐标系后，向量的坐标运算可完全替代几何推理. （ ） 1. 向量法只能解决平面几何问题，不能解决立体几何问题. （ ） 答案：1.√ 2.√ 3.× 4.×（需结合几何意义） 5.×（也可推广） 【典例分析】 例1：在 中， 为边 的中点， 为边 的中点，用向量法证明 与 的交点 将 分成 . 解：设 ，，则 ，.设 ，，由 得 .整理得 ，由 不共线得 ，，解得 ，，所以 ，即 分 为 . 例2：一个物体同时受两个力 ，（单位：N），求合力的大小及方向（与 轴正方向的夹角）. 解：合力 ， N.方向角 满足 ，. 【习题巩固】 1. 在平行四边形 中， 为 中点， 为 中点，则 等于（ ） · A.  B. · C.  D. 1. 已知 ，，且 与 的夹角为 ，则 等于（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 两个大小相等的力 ，，夹角为 ，合力大小为 N，则每个力的大小为（ ） · A. N B. N C. N D. N 1. 在 中， 为 中点，，，则 ______（用 表示）. 1. （选做）用向量法证明：对角线相等的平行四边形是矩形. 【参考答案】 自查自纠：已附. 习题巩固： 1. A（，，和为 ） 1. A（） 1. A（） 1. 1. 证明：设 ，，则对角线 ，，若 ，则两边平方得 ，解得 ，故 ，即平行四边形为矩形. 学科网（北京）股份有限公司 $