15.3 可化为一元一次方程的分式方程（第一课时） 题型专项训练 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

15.3 可化为一元一次方程的分式方程（第一课时） 题型专项训练 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册 基础题型训练 题型一、分式方程的有关概念 1．有下列方程：①；②；③；④．其中是关于的分式方程的有（    ） A．① B．② C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 分式方程需满足分母中含有未知数，据此逐一判断各方程即可. 【详解】解：∵ 方程①分母为和，是常数，不含，∴ 不是分式方程； ∵ 方程②分母为和，均含，∴ 是分式方程； ∵ 方程③可化为：，分母中含，∴ 是分式方程； ∵ 方程④可化为：，分母为，是常数，不含，∴ 不是分式方程； ∴ 是关于的分式方程的有②③. 故选：C. 2．请你利用代数式，，组成一个分式方程：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的分母必须含有未知数，通过合理分配给定代数式构造等式是解题的关键． 利用给定的代数式组成分式方程，需确保分母含有未知数，因此将 作为分子， 作为分母，并令其等于 ，形成分式方程． 【详解】解：分式方程是指分母中含有未知数的方程．根据给定代数式 ， 和 ， 可构造分式，并令其等于，即， 此方程满足分式方程的定义，且使用了所有给定代数式． 故答案为：（答案不唯一）． 3．若关于的分式方程的解为2，则的值为______． 【答案】3 【分析】本题考查了分式方程，解决本题的关键是理解方程解的意义. 把方程的解代入方程，得到关于m的一元一次方程，求解即可. 【详解】解：去分母得： 整理得： 因为分式方程的解为 故答案为：3． 题型二、解分式方程（可化为一元一次方程） 【分母为不可约的整式】 1．方程的解为_______． 【答案】 【分析】先通过去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后，检验所得解是否使原分式方程分母不为，进而确定原方程的解． 【详解】解： 两边同乘最简公分母得：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 2．解方程： 【答案】 【详解】解： 方程两边都乘以得， 解得 当时， ∴是分式方程的解． 3．解方程：． 【详解】， 方程两边同乘，得：， ， 整理得：， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 4．解方程：． 【详解】方程两边都乘以得 解得：， 检验：把代入， 所以是原方程的解， 即原方程的解是． 【分母互为相反数的整式】 1．解方程：5． 【详解】， 方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得x， 检验：当时，， 所以原分式方程的解是． 2．解方程：． 【详解】， ， 两边同乘以，得， 解得， 经检验，时，，则是分式方程的增根， ∴原分式方程无解. 3．解方程：； 【详解】解：， ， ， 方程两边同乘，得：， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解； 【分母含有公因式的整式】 1．解方程：； 【详解】解： ， 方程可化为， 方程两边同乘(，得， 解得， 检验：当时，(，所以不是分式方程的解， 所以原分式方程无解； 2．解方程： 【详解】解： 去分母得：， 解得：， 检验：当时，原式， 所以原方程无解； 3．解方程： 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 所以原方程的解为． 4．解方程：； 【详解】解：， 因式分解，得：， 等式两边同时乘，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 检验当时，， ∴原分式方程的解为； 5．解方程： 【详解】解：， 方程两边同时乘以得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 是分式方程的增根， 原分式方程无解； 题型三、已知分式方程有增根求字母的值 1．若关于的分式方程有增根，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；让最简公分母为确定增根；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．方程两边都乘，得，由分式方程有增根，得到最简公分母，求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解：方程两边都乘，得：， 原方程有增根， 最简公分母，解得， 当时，即， ． 故答案为：． 2．若用去分母的方法解关于的分式方程时有增根，则______． 【答案】或6 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先去分母将分式方程化为整式方程；然后确定原方程的分母为零的x值，即增根可能为或；最后将增根代入整式方程求解即可． 【详解】解：原方程为，其中，公分母为， 去分母，两边同乘，得： ， 化简得：， 移项整理得：， 由，得：或， 即增根为或， 代入得：， 解得：， 代入得：， 解得：． 故答案为：或6． 3．若关于的分式方程有增根，则增根是___________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的增根，分式方程的增根是使原分式方程中分母为零的未知数的值，因此令分母，即可求得增根． 【详解】解：∵关于的分式方程有增根， ∴令分母， 解得． 故增根为． 故答案为：． 4．已知关于的分式方程有增根，则________． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，根据分式方程增根的定义，将分式方程转化为整式方程后，再代入增根到整式方程求解参数即可． 【详解】解： 去分母，得， 整理得：， 代入到方程得，， 解得， 故答案为：． 题型四、已知分式方程解的正负求字母的取值范围 1．如果关于的分式方程的解是正数，那么实数的取值范围是（） A．且 B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】先解分式方程得到x关于m的表达式，再根据解为正数且分母不为零列不等式求解即可． 【详解】解：方程为， 变形得， 去分母得，， 解得：， ∵分式方程的分母不能为0， ∴，即，解得， ∵方程的解是正数， ∴，即，解得， 综上，实数m的取值范围是且． 2．若关于x的分式方程的解为非正数，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程得到，再根据分式方程的解为非正数且分母不为0得到不等式组，解之可得答案． 【详解】解: 去分母得：， 整理得， 解得， ∵关于x的分式方程的解为非正数， ∴， 解得： 又∵ ∴ ∴且 ∴且 故选：D． 3．已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是________． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先求出方程的解，再根据解为负数列不等式即可． 【详解】解：， ∴且， 由题意知，， 解得且． 故答案为：且． 4．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是_____． 【答案】且 【分析】本题主要考查了分式方程的解和解一元一次不等式，先解含字母参数的分式方程，求出x，再根据分式的分母不能为0和关于x的分式方程的解为非负数，列出不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：解方程， 解得：， ∵， ∴，即， ∵方程的解为非负数，即， ∴， 解得， ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 题型五、已知分式方程的解是整数求字母的值 1．若关于的分式方程的解为正整数，则整数的一个值可以是___________． 【答案】(或或，写出一个即可) 【分析】本题考查分式方程的解法，关键是先解出分式方程的解，再根据解为正整数且不为增根的条件，推导整数的取值． 【详解】解：分式方程两边同乘，得， 展开整理得，即， 解得； ∵方程的解为正整数，且， ∴是8的正约数，2，4，， 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时(增根，舍去)； 故整数的一个值可以是(或或)； 故答案为：(或或，写出一个即可)． 2．若关于的分式方程的解是正整数，则所有符合条件的整数的和为___________． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解法与整数解的综合应用，解题的关键是先解分式方程，再根据“解是正整数”且“分母不为0”的条件，确定整数的取值． 先将分式方程去分母化为整式方程，求出的表达式；再根据是正整数且，推导的取值，最后计算所有符合条件的整数的和． 【详解】解：原方程为， 两边同乘（），得， ， ． 当时，． 因为方程的解是正整数，且， 所以 为正整数，是6的正约数， 即可以是1、2、3、6． 同时，所以． 逐个分析： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，（此时，使分母为0，舍去）． 符合条件的整数为，其和为． 故答案为：． 3．已知关于的分式方程的解为正整数，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法，理解分式方程增根的定义是正确解答的关键．根据分式方程的解法得出，因为分式方程的解是正整数，而，得出，进而可得出答案． 【详解】解：将分式方程的两边都乘以，得 ， 解得， 由于分式方程的增根是， 所以， 即， 因为分式方程的解是正整数，而， 则x的最小值为2， 所以， 解得， 故答案为：4． 4．若，且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和为___________． 【答案】10 【分析】本题考查了解分式方程，先理解题意，由得到，要求为正整数且，结合，求出所有符合条件的整数，然后求和，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 化简得 ， ∴． 依题意，为正整数且， ∴为正整数且不等于2． 设，则，其中为正整数且．又因为， ∴， 解得， 即（为正整数）． 因此． 对应值：当 ，； 当，； 当，． ∴所有整数的和为 ． 故答案为 10． 题型六、已知分式方程有解（无解）求字母的值 1．若关于x的方程有解，则a的值不能是______． 【答案】或或 【分析】本题考查分式方程有解的条件，将分式方程化为整式方程，当时，即时，此方程变为，无解，当时，，当或，即或时，方程有增根，此时也无解，由此即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：去分母可得：， 整理可得：， 当时，即时，此方程变为，无解， 当时，， 当或，即或时，方程有增根，此时也无解， ∴或， 解得：或， ∴若关于x的方程有解，则a的值不能是或或， 故答案为：或或． 2．若关于的分式方程无解，则的值是________． 【答案】 2 【分析】此题考查已知分式方程的解求参数，分式方程无解的情况有两种：一是化简后的整式方程无解；二是解出的根使原方程的分母为零（增根），本题需通过化整式方程并讨论增根情况求解 【详解】原方程为 ， 两边同乘 ，得：， 即 ， 若方程无解，则需 为增根，即 ，解得 ； 当 时，原方程化为 ，即 ，矛盾，方程无解， 综上， 时方程无解， 故答案为 2 3．若关于x的分式方程无解，则满足条件的k值为_____． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程无解，理解分式方程无解的含义是解题的关键． 分式方程无解的情况有两种：一是化简后的整式方程无解；二是整式方程的解是增根（使原方程分母为零），分别求解即可． 【详解】解：方程两边同时乘以最简公分母 ，得： 整理得： 移项得： 当 即 时， 方程左边为 ，右边为 ，即 ，矛盾，整式方程无解，故原分式方程无解， 当 时，， 若解为增根，则 或 ， 当 时，，解得 ，即 ，得 ，不成立，无解， 当 时，，解得 ，即 ，整理得 ，所以 ，此时解为增根，故原方程无解， 综上，满足条件的 值为 或 ． 故答案为： 或 ． 4．如果关于的方程无解，那么的值为___． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程（三）——去分母，根据分式方程解的情况求值，分式方程无解问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先去分母，化为关于x的一元一次方程求解，再根据原分式方程无解得出，求得的值． 【详解】解：去分母，得， 解得：， 因为原分式方程无解， 所以， 所以， 解得：， 故答案为：． 能力提升 题型一、与不等式（组）的解集结合确定字母的值或取值范围 1．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，根据分式方程的解的情况求参数，通过解一元一次不等式组得到，解分式方程得到，根据解为负整数且，找出满足条件的整数并求和即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵关于的一元一次不等式组的解集为， ∴， ∴； 去分母得，解得， ∵关于的分式方程的解为负整数， ∴是负整数，且 ∴是小于0的偶数，且， ∴a是小于0的奇数，且， 又∵， ∴a的值可以为， ∴所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：． 2．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的和是_____． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组和分式方程的知识点，解题关键是根据不等式组无解的条件和分式方程解的非负性确定整数的取值范围． 先解不等式组，根据无解条件求出m的取值范围；再解分式方程，根据解为非负数且分母不为零求出m的取值范围，最后求公共范围内所有整数的和． 【详解】解：解不等式组： 由 得：， 由 得 ， ∵不等式组无解， ∴，即； 解分式方程， 去分母得：， 整理得：． 解得：． ∵解为非负数且， ∴且， 解得：且． ∴的取值范围为： 且 ， ∴满足条件的所有整数为 ，，，，， 满足条件的所有整数的和为． 故答案为： 3．若关于的不等式组有且只有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为___________． 【答案】4 【分析】本题主要考查已知不等式组解集求参数，已知分式方程解求参数，先解不等式组，得到解集范围，根据有且只有3个整数解，确定m的取值范围；再解分式方程，得到x关于m的表达式，根据解为非负整数且不为增根，确定m的值；最后求满足条件的整数m的和． 【详解】解：解不等式组： 由，得； 由，得． 所以不等式组的解集为． 因为有且只有3个整数解，所以整数解为1，2，3，故， 解得，所以整数m的值为2，3，4，5． 解分式方程： 方程化为， 解得． 由解为非负整数且， 所以且为整数，且， 即且是3的倍数且． 当时，不是整数； 当时，不是整数； 当时，符合要求； 当时， 不是整数． 所以符合条件的整数m只有4，故和为4． 故答案为：4． 4．若关于的分式方程的解为非负数，关于的一元一次不等式组有解且最多有个整数解，则所有满足条件的整数的值的和是_____． 【答案】 【分析】本题考查分式方程，一元一次不等式组，先解分式方程得到与的关系，根据解为非负数确定的范围；再解不等式组，根据有解且最多有个整数解确定的范围；综合两个范围得到整数的值并求它们的和．掌握一元一次不等式组的整数解的定义以及分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：将分式方程 去分母得：， 即， ∵关于的分式方程有解， ∴且， 解得：， ∵关于的分式方程的解为非负数， ∴，且， ∴且， ∵不等式组 ， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于的一元一次不等式组有解且最多有个整数解， ∴， ∴， 综上所述，的取值范围是且， ∴整数可取，，，，，且， ∴所有满足条件的整数的值的和是． 故答案为：． 题型二、综合与实践题 1．我们把形如（a、b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则______，______； (2)请利用上述方法求“十字分式方程”的解： (3)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义——“十字分式方程”．熟练掌握新定义，分解因数，拆数，完全平方公式变形，是解决问题的关键． （1）根据新定义计算，即可解答； （2）根据新定义计算，即可解答； （3）根据新定义可得，由可化为，代入即可解答． 【详解】（1）解：∵为“十字分式方程”， ∴， ； 故答案为：． （2）∵为“十字分式方程”， ∴， ∴， ∴或， ∴． （3）∵“十字分式方程”的两个解分别为， ∴， ∴． 2．对于两个分式，如果，那么我们称分式与分式互为“相伴分式”．结合以上信息，完成下列各题． (1)下列互为“相伴分式”的是______；（填序号） ① 与 ；②与 ． (2)若 与 互为“相伴分式”，求x的值； (3)若 与 互为“相伴分式”，且为正整数，求整数的值． 【答案】(1)② (2)或 (3)或或或． 【分析】本题考查了分式的减法、解一元一次方程、解分式方程，熟练掌握运算法则并理解题意是解此题的关键． （）根据“相伴分式”(两分式差的绝对值为)的定义，计算各选项中两个分式的差值，判断其绝对值是否等于，进而选出符合条件的选项； （）依据定义列出含的方程，合并同分母分式后去分母转化为整式方程，求解后验证分式有意义； （）根据“两分式差的绝对值为”分两种情况列方程，整理后结合为正整数、为整数的条件，分析方程中未知数的约数情况，求解并筛选出符合要求的值． 【详解】（1）解：① ∵； ∴①的两个分式不互为“相伴分式”． ②． ∵对于两个分式，如果，那么我们称分式互为“相伴分式”． ∴②的两个分式互为“相伴分式”． 故答案为：②； （2）解：∵与互为相伴分式， ∴或， 由，解得，经检验：是原方程的解， 由，解得，经检验：是原方程的解， ∴或 （3）解：∵与互为相伴分式， ∴或， ①由，解得， 所以是的约数， ∵为正整数，为整数， ∴， ∴或1或7， 当时，，； 当时，，； 当时，，； ∴当或或时，或或； 经检验：或或是原方程的解；         ②由，解得， ∵为正整数，为整数， ∴， ∴， ∴，； 经检验：是原方程的解． 综上所述，或或或． 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.3 可化为一元一次方程的分式方程（第一课时） 题型专项训练 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册 基础题型训练 题型一、分式方程的有关概念 题型二、解分式方程（可化为一元一次方程） 题型三、已知分式方程有增根求字母的值 题型四、已知分式方程解的正负求字母的取值范围 题型五、已知分式方程的解是整数求字母的值 题型六、已知分式方程有解（无解）求字母的值 能力提升 题型一、与不等式（组）的解集结合确定字母的值或取值范围 题型二、综合与实践题 基础题型训练 题型一、分式方程的有关概念 1．有下列方程：①；②；③；④．其中是关于的分式方程的有（    ） A．① B．② C．②③ D．②④ 2．请你利用代数式，，组成一个分式方程：______． 3．若关于的分式方程的解为2，则的值为______． 题型二、解分式方程（可化为一元一次方程） 【分母为不可约的整式】1．方程的解为_______． 2．解方程： 3．解方程：． 4．解方程：． 【分母互为相反数的整式】 1．解方程：5． 2．解方程：． 3．解方程：； 【分母含有公因式的整式】 1．解方程：； 2．解方程： 3．解方程： 4．解方程：； 5．解方程： 题型三、已知分式方程有增根求字母的值 1．若关于的分式方程有增根，则的值为______． 2．若用去分母的方法解关于的分式方程时有增根，则______． 3．若关于的分式方程有增根，则增根是___________． 4．已知关于的分式方程有增根，则________． 题型四、已知分式方程解的正负求字母的取值范围 1．如果关于的分式方程的解是正数，那么实数的取值范围是（） A．且 B． C．且 D．且 2．若关于x的分式方程的解为非正数，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 3．已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是________． 4．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是_____． 题型五、已知分式方程的解是整数求字母的值 1．若关于的分式方程的解为正整数，则整数的一个值可以是___________． 2．若关于的分式方程的解是正整数，则所有符合条件的整数的和为___________． 3．已知关于的分式方程的解为正整数，则的最小值是___________． 4．若，且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和为___________． 题型六、已知分式方程有解（无解）求字母的值 1．若关于x的方程有解，则a的值不能是______． 2．若关于的分式方程无解，则的值是________． 3．若关于x的分式方程无解，则满足条件的k值为_____． 4．如果关于的方程无解，那么的值为___． 能力提升 题型一、与不等式（组）的解集结合确定字母的值或取值范围 1．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是______． 2．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的和是_____． 3．若关于的不等式组有且只有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为___________． 4．若关于的分式方程的解为非负数，关于的一元一次不等式组有解且最多有个整数解，则所有满足条件的整数的值的和是_____． 题型二、综合与实践题 1．我们把形如（a、b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则______，______； (2)请利用上述方法求“十字分式方程”的解： (3)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求的值． 2．对于两个分式，如果，那么我们称分式与分式互为“相伴分式”．结合以上信息，完成下列各题． (1)下列互为“相伴分式”的是______；（填序号） ① 与 ；②与 ． (2)若 与 互为“相伴分式”，求x的值； (3)若 与 互为“相伴分式”，且为正整数，求整数的值． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $