3.2　图形的旋转 同步练习 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2　图形的旋转 第2课时　旋转作图 　作旋转后的图形 1．如图，在方格纸中，将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，则下列四个图形中正确的是(　　) 2.如图所示，△ABC绕点O旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B，C对应点的位置，以及旋转后的△DEF。 　借助平移、旋转分析图案的运动变化 3.如图，在9×6的方格纸中，小树从位置A经过平移旋转后到达位置B，下列说法中正确的是(　　) A.先向右平移6格，再绕点B顺时针旋转45° B．先向右平移6格，再绕点B逆时针旋转45° C．先向右平移6格，再绕点B顺时针旋转90° D．先向右平移6格，再绕点B逆时针旋转90° 1.如图，如果将其中的图甲变成图乙，那么经过的变换正确的是(　　) A．旋转、平移 B．轴对称、平移 C．轴对称、旋转 D．旋转、旋转 2.如图，在方格纸上，△ABC经过变换后与△DEF重合，下列对变换过程的叙述正确的是(　　) A．△ABC先绕点A顺时针旋转90°，再向右平移7格 B．△ABC先向右平移4格，再向上平移7格 C．△ABC先绕点A逆时针旋转90°，再向右平移7格 D．△ABC先向右平移4格，再绕点B逆时针旋转90° 3.(几何直观)如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBP′。 (1)在图中画出△CBP′。 (2)若PB＝4，求PP′的长。 【详解答案】 基础达标 1．B 2．解：(1)如图，连接OA，OD，OB，OC。 (2)分别以OB，OC为一边按顺时针方向作∠BOE，∠COF，使得∠BOE＝∠COF＝∠AOD。 (3)分别在射线OE，OF上截取OE＝OB，OF＝OC。 (4)连接EF，ED，FD。△DEF就是△ABC绕点O旋转后的图形，点E，F分别是点B，C的对应点。 3．B 能力提升 1．C　解析：观察题中图形可得，先将图甲轴对称变换，再逆时针旋转即可变成图乙。故选C。 2．C　解析：根据题图，得△ABC先绕点A逆时针旋转90°，再向右平移7格就可以与△DEF重合。故选C。 3．解：(1)如图，△CBP′即为所求。 (2)由已知得∠ABP＝∠CBP′，PB＝BP′＝4，∠PBP′＝90°。连接PP′，在Rt△PBP′中，PP′2＝BP2＋BP′2＝16＋16＝32，∴PP′＝4。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2　图形的旋转 第1课时　认识旋转 　旋转的相关概念 1.下列现象中属于旋转的有(　　) ①地下水位逐年下降；②飞驰的火车；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的摆动；⑥摩天轮的转动。 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2.如图所示，△AOB绕着点O旋转得到△A′OB′，此时： (1)点B的对应点是点________。 (2)旋转中心是点________，旋转角为________。 (3)∠A的对应角是________，线段OB的对应线段是线段________。 3.如图，把一块砖ABCD直立于地面上，然后将其轻轻推倒，在这个过程中A点保持不变，四边形ABCD旋转到AB′C′D′的位置。 (1)指出在这个过程中的旋转中心，并说出旋转角度是多大？ (2)指出图中的对应线段。 　旋转的性质 4.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD。若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是(　　) A．60° B．45° C．30° D．15° 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，连接A′B，若点A′，B，A在同一条直线上，则AA′的长为(　　) A． B．2 C．3 D．3 6.如图，线段CD是由线段AB绕点O顺时针旋转得到的，其中点A，B的对应点分别是点C，D。下列各角中等于旋转角的是(　　) A．∠AOB B．∠BOC C．∠AOD D．∠BOD 7.如图，在正方形网格中，△EFG绕某一点旋转某一角度得到△RPQ，则旋转中心可能是(　　) A．点A B．点B C．点C D．点D 8.如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，AP＝5，则PP′的长是多少？ 1.如图，已知△ADE是△ABC绕点A逆时针旋转所得，其中点D在射线AC上，设旋转角为α，直线BC与直线DE交于点F，那么下列结论不一定正确的是(　　) A．∠BAC＝α B．∠DAE＝α C．AB∥DE D．∠DFC＝α 2.如图，点A的坐标是(－4，6)，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点的坐标是(　　) A．(4，6) B．(6，4) C．(－6，－4) D．(－4，－6) 3.如图，在等边三角形ABC中，D是边AC上一点，连接BD。将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接ED。若BC＝10，BD＝9，则△AED的周长是________。 4.如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转30°，得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E。则DE的长为________。 5.如图，P是等边三角形ABC内部一点，△ABP旋转后能与△CBP′重合。 (1)旋转中心是哪一点？旋转角是多少度？ (2)连接PP′，△BPP′是什么三角形？并说明理由。 6.(几何直观)将一副三角板如图1放置，点B，A，E在同一条直线上，点D在AC上，CA⊥BE，点A为垂足，∠BCA＝30°，∠AED＝45°。 (1)如图1，∠ADE的度数为________，∠ABC的度数为________。 (2)若将三角板ADE绕点A逆时针旋转角α(0°＜α＜90°)。 ①如图2，当旋转角α等于45°时，试问DE∥BA吗？请说明理由。 ②如图3，当AD⊥BC于点F时，请求出旋转角α的度数。 【详解答案】 基础达标 1．C 2．(1)B′　(2)O　∠AOA′(或∠BOB′)(3)∠A′　OB′ 3．解：(1)旋转中心是点A，旋转角度是90°。 (2)对应线段分别是：CD与C′D′，AB与AB′，AD与AD′，BC与B′C′。 4．C　5.D　6.D　7.C 8．解：由旋转易知AP′＝AP＝5，∠BAP＝∠CAP′。∵∠BAC＝90°，∴∠PAP′＝∠CAP＋∠CAP′＝∠CAP＋∠BAP＝90°，则在Rt△PAP′中，由勾股定理得PP′＝＝5。 能力提升 1．C　解析：由△ADE是△ABC绕点A逆时针旋转α所得，知∠BAC＝∠DAE＝α，故A，B选项正确；∵∠B＝∠D，∠BCA＝∠DCF，∴根据三角形内角和定理得∠DFC＝∠BAC＝α，故D选项正确；∵∠D不一定等于∠BAC，故AB不一定平行于DE，故C选项不一定正确。故选C。 2．B　解析：如图，过点A和点A′分别作x轴的垂线，垂足分别为B，C，∴∠ABO＝∠OCA′＝90°。∵点A的坐标为(－4，6)，∴OB＝4，AB＝6。∵将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到OA′，∴OA′＝OA，∠AOA′＝90°，∴∠AOB＝90°－∠A′OC＝∠OA′C，∴△AOB≌△OA′C(AAS)，∴A′C＝OB＝4，OC＝AB＝6，∴点A′的坐标为(6，4)。故选B。 3．19　解析：∵在等边三角形ABC中，BC＝10，∴AB＝AC＝BC＝10。∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，且BD＝9，∴AE＝CD，BE＝BD＝9，∠DBE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴DE＝BD＝9，∴△AED的周长是AE＋AD＋DE＝CD＋AD＋DE＝AC＋DE＝10＋9＝19。 4．2－2　解析：根据旋转过程可知∠CAD＝∠CAB＝30°，AD＝AC＝4，∴∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°，∴∠ECD＝180°－2×75°＝30°，∴∠E＝75°－30°＝45°。如图，过点C作CH⊥AE于点H。在Rt△ACH中，CH＝AC＝2，AH＝2，∴HD＝AD－AH＝4－2。在Rt△CHE中，∵∠E＝45°，∴EH＝CH＝2，∴DE＝EH－HD＝2－(4－2)＝2－2。 5．解：(1)旋转中心是点B，旋转角是60°。 (2)△BPP′是等边三角形。理由如下： ∵△ABP旋转后能与△CBP′重合， ∴BP＝BP′，∠PBP′＝∠ABC＝60°， ∴△BPP′是等边三角形。 6．解：(1)45°　60° (2)①DE∥BA。理由如下： 当旋转角α等于45°时， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD＝∠BAC－α＝45°。 又∵∠ADE＝45°， ∴∠BAD＝∠ADE，∴DE∥BA。 ②当AD⊥BC于点F时，∠AFB＝90°。 ∵∠C＝30°， ∴α＝90°－∠C＝90°－30°＝60°。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2　图形的旋转 第3课时　中心对称 　成中心对称的概念和性质 1.下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有(　　) A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 2.如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是(　　) A．O1 B．O2 C．O3 D．O4 3.如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，若AB＝2，则DE＝________。 　和中心对称有关的作图 4.如图，已知四边形ABCD和点O，试画出与四边形ABCD关于点O成中心对称的图形A′B′C′D′。 　中心对称图形 5.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是(　　) 6.图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是________。 1.(传统文化)中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“大雪”“芒种”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　) 2.下列说法：①成中心对称的两个图形形状一样，大小一样；②成中心对称的两个图形一定能重合；③形状一样、大小一样的两个图形成中心对称；④旋转后能够重合的两个图形成中心对称。 其中说法正确的有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3.如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是(　　) A．(3，－1) B．(0，0) C．(2，－1) D．(－1，3) 4.如图，直线a，b垂直相交于点O，曲线c关于点O成中心对称，点A的对应点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D。若OB＝3，AB＝2，则阴影部分的面积之和为________。 5.在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，三颗棋子A，O，B的位置如图所示，它们的坐标分别是(－1，1)，(0，0)和(1，0)，在其他点位置添加一颗棋子P，使A，O，B，P四颗棋子成为一个中心对称图形，请写出棋子P的位置坐标________(写出一个即可)。 6.(新考法)由16个边长相等的小正方形组成的图形如图所示，请你用一条割线(可以是折线)将它分割成两个图形，使之关于某一点成中心对称，要求给出两种不同的方法。 7.如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，且A，B，C，D的对称点分别为A1，B1，C1，D1。已知A，D1，D三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2)。 (1)求对称中心的坐标。 (2)写出顶点B，C，B1，C1的坐标。 8.(推理能力)课外兴趣小组活动时，老师提出了以下问题：如图1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求边BC上的中线AD的取值范围。 小明在组内经过合作交流，得到了下面的解决方法：延长AD到点E，使得DE＝AD，连接BE(或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD)，把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2<AE<8，则1<AD<4。 解决问题：如图2，在△ABC中，D是边BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF。 (1)求证：BE＋CF>EF。 (2)若∠A＝90°，探索三条线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明。 【详解答案】 基础达标 1．C　2.A　3.2 4．解：画法：①连接AO，并延长至点A′，使A′O＝AO；连接BO，并延长至点B′，使B′O＝BO；同理可得点C′，D′。②顺次连接点A′，B′，C′，D′，则四边形A′B′C′D′即为所求，如图所示。 5．A　6.③ 能力提升 1．C　解析：四个选项中的图形都是轴对称图形，但只有选项C还是中心对称图形。故选C。 2．C　解析：①正确；②正确；③错误；④错误。故选C。 3．A　解析：如图，连接BB1，CC1，则交点就是对称中心点E， 观察图形可知E(3，－1)。 4．6　解析：过点A作AC⊥b，交b于点C(图略)，则由曲线C关于点O成中心对称知阴影部分的面积等于长方形OBAC的面积，∴阴影部分的面积之和为3×2＝6。 5．(0，1)(答案不唯一)　解析：如图所示，棋子P的位置坐标可以为(0，1)。 6．解：如图所示(方法不唯一)。 7．解：(1)根据中心对称的性质，可得对称中心是D1D的中点。 ∵D1，D的坐标分别是(0，3)，(0，2)， ∴对称中心的坐标是(0，2.5)。 (2)∵A，D的坐标分别是(0，4)，(0，2)， ∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是4－2＝2。 ∴B，C的坐标分别是(－2，4)，(－2，2)。 ∵A1D1＝2，D1的坐标是(0，3)， ∴A1的坐标是(0，1)， ∴B1，C1的坐标分别是(2，1)，(2，3)。 综上可得顶点B，C，B1，C1的坐标分别是(－2，4)，(－2，2)，(2，1)，(2，3)。 8．解：(1)证明：如图，将△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD，连接EG， 则∠FCD＝∠DBG，CF＝BG，DF＝DG。 ∵DE⊥DF，∴EF＝EG。 在△BEG中，BE＋BG>EG， 即BE＋CF>EF。 (2)BE2＋CF2＝EF2。 证明：∵∠A＝90°，∴∠EBC＋∠FCB＝90°。 由(1)知，∠FCD＝∠DBG，EF＝EG， ∴∠EBC＋∠DBG＝90°，即∠EBG＝90°。 ∴在Rt△EBG中，BE2＋BG2＝EG2。 ∴BE2＋CF2＝EF2。 学科网（北京）股份有限公司 $