6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第2课时限时练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学导学案聚焦分类加法与分步乘法计数原理，通过错题回顾（如服装搭配问题）衔接第1课时内容，以当堂巩固（如数字组成、种植方案）和拓展应用（如三位数构成、涂色问题）为学习支架，构建知识递进脉络。 导学案特色在于结合生活情境设计习题（如游戏种植、火车乘客下车），引导学生用数学眼光观察现实，通过分步与分类训练发展数学思维，融入“四色定理”阅读材料，提升数学语言表达与应用意识，助力核心素养培养。

周口高中高二数学限时练 编号： SXXSL-选修3--02 使用时间：2026-3-10 编制：卢智录 审核：屈聪雨 试做：屈聪雨 《6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理》第2课时 班级： 姓名：_______ 小组： 组号： 得分： 规范： 本练习限时40分钟，满分100分。 1． 【错题回顾】 1．晓芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳不同的选择穿衣服的方式有(　　) A．24种 B．14种 C．10种 D．9种 二、【当堂巩固】 2．由数字0,1,2,3,4可组成无重复数字的两位数的个数是(　　) A．25　　　　　　　　 B．20 C．16 D．12 3．从1,2,3,4,5五个数中任取3个，可组成不同的等差数列的个数为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 4．由数字1,2,3,4组成的三位数中，各位数字按严格递增(如“134”)或严格递减(如“421”)顺序排列的数的个数是(　　) A．4 B．8 C．16 D．24 5．某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛，如果每班每项限报1人，则这3名学生的参赛的不同方法有(　　) A．24种 B．48种 C．64种 D．81种 6．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有(　　) A．24种 B．18种 C．12种 D．6种 7．某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有(　　) A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 8．有A，B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，要从这三名工人中选两名分别去操作这两种车床，则不同的选派方法有(　　) A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 9．用0,1，…，9这10个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　) A．243 B．252 C．261 D．648 10．火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有(　　) A．510种 B．105种 C．50种 D．500种 11．(a1＋a2＋a3＋a4)·(b1＋b2)·(c1＋c2＋c3)展开后共有不同的项数为(　　) A．9 B．12 C．18 D．24 12．一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，则不重复(除交汇点O外)的不同游览线路有(　　) A．6种 B．8种 C．12种 D．48种 13．小张正在玩“一款种菜的”游戏，他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物)，若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种植方案共有________种． 14．如图所示，从点A沿圆或三角形的边运动到点C，则不同的走法有________种． 14题 15题 15．如图，用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有________种． 16．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答) 三、【拓展应用】　 17．用0,1，…，9这十个数字，可以组成多少个． (1)三位整数？ (2)无重复数字的三位整数？ (3)小于500的无重复数字的三位整数？ 18．有4种不同的作物可供选择种植在如图所示的4块试验田中，每块种植一种作物，相邻的试验田(有公共边)不能种植同一种作物，共有多少种不同的种植方法？ 班级： 小组： 组号： 姓名： 规范：__________ 1、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题 13、 14、 15、 16、 阅读材料之“四色定理” 有一张空白的地图，需要给它上色，那么最少需要几种颜色才可以保证地图上每个相邻国家的颜色不同？或者用数学方式来表达：给一个平面上任意互不重叠区域的编号，保证相邻区域的数字互不相同，最少需要几个数字？ 答案是4。也就是说给一张空白的世界地图填色只需要四种颜色即可，或者说给平面上不同区域编号也只需要四个数字足够，无论这个区域划分多么复杂。只需要四种颜色。 《6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理》第1课时解析版 班级： 姓名：_______ 小组： 组号： 得分： 规范： 本练习限时40分钟，满分95分。 2． 【错题回顾】 1．晓芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳不同的选择穿衣服的方式有(　　) A．24种 B．14种 C．10种 D．9种 B　[首先分两类．第一类是穿衬衣和裙子，由分步乘法计数原理知共有4×3＝12种，第二类是穿连衣裙有2种．所以由分类加法计数原理知共有12＋2＝14种穿衣服的方式．] 二、【当堂巩固】 2．由数字0,1,2,3,4可组成无重复数字的两位数的个数是(　　) A．25　　　　　　　　 B．20 C．16 D．12 C　[分两步：先选十位，再选个位，可组成无重复数字的两位数的个数为4×4＝16.] 3．从1,2,3,4,5五个数中任取3个，可组成不同的等差数列的个数为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 D　[第一类，公差大于0，有①1,2,3，②2,3,4，③3,4,5，④1,3,5，共4个等差数列；第二类，公差小于0，也有4个． 根据分类加法计数原理可知，共有4＋4＝8个不同的等差数列．] 4．由数字1,2,3,4组成的三位数中，各位数字按严格递增(如“134”)或严格递减(如“421”)顺序排列的数的个数是(　　) A．4 B．8 C．16 D．24 B　[由题意分析知，严格递增的三位数只要从4个数中任取3个，共有4种取法；同理严格递减的三位数也有4个，所以符合条件的数的个数为4＋4＝8.] 5．某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛，如果每班每项限报1人，则这3名学生的参赛的不同方法有(　　) A．24种 B．48种 C．64种 D．81种 考点　分步乘法计数原理 题点　分步乘法计数原理的应用 答案　A 解析　由于每班每项限报1人，故当前面的学生选了某项之后，后面的学生不能再报，由分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24(种)不同的参赛方法． 6．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有(　　) A．24种 B．18种 C．12种 D．6种 B　[法一：(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6种不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3×2×1＝6种不同的种植方法．故共有6×3＝18种不同的种植方法． 7．某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有(　　) A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 D　[可按女生人数分类：若选派一名女生，有2×3＝6种；若选派2名女生，则有3种．由分类加法计数原理，共有9种不同的选派方法．] 8．有A，B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，要从这三名工人中选两名分别去操作这两种车床，则不同的选派方法有(　　) A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 考点　分类加法计数原理 题点　分类加法计数原理的应用 答案　C 解析　不同的选派情况可分为3类：若选甲、乙，有2种方法；若选甲、丙，有1种方法；若选乙、丙，有1种方法．根据分类加法计数原理知，不同的选派方法有2＋1＋1＝4(种)． 9．用0,1，…，9这10个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　) A．243 B．252 C．261 D．648 考点　两个计数原理的应用 题点　两个原理在排数中的应用 答案　B 解析　0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，所以有重复数字的三位数有900－648＝252(个)． 10．火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有(　　) A．510种 B．105种 C．50种 D．500种 考点　分步乘法计数原理 题点　分步乘法计数原理的应用 答案　A 解析　分10步． 第1步：考虑第1名乘客下车的所有可能有5种； 第2步：考虑第2名乘客下车的所有可能有5种； …； 第10步：考虑第10名乘客下车的所有可能有5种． 故共有乘客下车的可能方式＝510(种)． 11．(a1＋a2＋a3＋a4)·(b1＋b2)·(c1＋c2＋c3)展开后共有不同的项数为(　　) A．9 B．12 C．18 D．24 D　[由分步乘法计数原理得共有不同的项数为4×2×3＝24.故选D.] 12．一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，则不重复(除交汇点O外)的不同游览线路有(　　) A．6种 B．8种 C．12种 D．48种 D　[每个景区都有2条线路，所以游览第一个景点有6种选法，游览第二个景点有4种选法，游览第三个景点有2种选法，故共有6×4×2＝48种不同的游览线路．] 13．小张正在玩“一款种菜的”游戏，他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物)，若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种植方案共有________种． 48　[当第一块地种茄子时，有4×3×2＝24种不同的种法；当第一块地种辣椒时，有4×3×2＝24种不同的种法，故共有48种不同的种植方案．] 14．如图所示，从点A沿圆或三角形的边运动到点C，则不同的走法有________种． 6　[由A直接到C有2种不同的走法，由A经点B到C有2×2＝4种不同的走法．因此由分类加法计数原理共有2＋4＝6种不同走法．] 15．如图，用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有________种． 180　[由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，C有3种涂法，D有3种涂法，所以共有5×4×3×3＝180(种)不同的涂色方案．] 16．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答) 14　[法一：数字2只出现一次的四位数有4个；数字2出现两次的四位数有6个；数字2出现三次的四位数有4个．故总共有4＋6＋4＝14(个)． 法二：由数字2,3组成的四位数共有24＝16个．其中没有数字2的四位数只有1个，没有数字3的四位数也只有1个，故符合条件的四位数共有16－2＝14(个)．] 三、【拓展应用】　 17．用0,1，…，9这十个数字，可以组成多少个． (1)三位整数？ (2)无重复数字的三位整数？ (3)小于500的无重复数字的三位整数？ [解]　由于0不可在最高位，因此应对它进行单独考虑． (1)百位的数字有9种选择，十位和个位的数字都各有10种选择，由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数共有9×10×10＝900个． (2)由于数字不可重复，可知百位的数字有9种选择，十位的数字也有9种选择，但个位数字仅有8种选择，由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数共有9×9×8＝648个． (3)百位只有4种选择，十位可有9种选择，个位数字有8种选择，由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数共有4×9×8＝288个. 18．有4种不同的作物可供选择种植在如图所示的4块试验田中，每块种植一种作物，相邻的试验田(有公共边)不能种植同一种作物，共有多少种不同的种植方法？ [解]　法一：第一步：种植A试验田有4种方法； 第二步：种植B试验田有3种方法； 第三步：若C试验田种植的作物与B试验田相同，则D试验田有3种方法，此时有1×3＝3种种植方法． 若C试验田种植的作物与B试验田不同，则C试验田有2种种植方法，D试验田也有2种种植方法，共有2×2＝4种种植方法．由分类加法计数原理知，有3＋4＝7种种植方法． 第四步：由分步乘法计数原理有N＝4×3×7＝84种不同的种植方法． 法二：(1)若A、D种植同种作物，则A、D有4种不同的种法，B有3种种植方法，C也有3种种植方法，由分步乘法计数原理，共有4×3×3＝36种种植方法． (2)若A、D种植不同作物，则A有4种种植方法，D有3种种植方法，B有2种种植方法，C有2种种植方法，由分步乘法计数原理，共有4×3×2×2＝48种种植方法．综上所述，由分类加法计数原理，共有N＝36＋48＝84种种植方法. 高二数学 第 3 页（共4页） 高二数学 第 4 页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $