6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第2课时）教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学教学设计聚焦分类加法与分步乘法计数原理的综合运用，通过预习检查回顾基础应用，引导学生回顾原理核心区别，搭建从单一原理到综合运用的学习支架。 以画作挂法、程序命名等实例，培养数学抽象与逻辑推理素养，通过合作探究与直观工具突破“分类不重不漏、分步步骤完整”难点，提升学生解决复杂计数问题能力，为教师提供层次分明、素养导向的教学方案。

人教A版选择性必修三教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 《6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第2课时）》教学设计 1、 课标及课标分析 （一）课标要求 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分两个原理的适用情境，运用两个计数原理解决简单的实际计数问题，体会计数原理在解决实际问题中的核心作用，提升逻辑推理和数学运算素养。 （二）课标分析 分类加法计数原理和分步乘法计数原理是计数原理的基础，也是后续学习排列、组合、二项式定理的理论依据，在整个计数知识体系中占据基石地位。课标要求学生不仅要掌握两个原理的定义，更要能准确辨析“分类”与“分步”的本质区别，学会将实际计数问题转化为符合原理的数学模型，这一过程能有效培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力。同时，通过解决各类实际计数问题，让学生感受数学与生活的联系，体会数学建模的思想，落实数学核心素养的培养目标。本节课作为第2课时，重点在于两个原理的综合运用，是对第1课时基础概念的深化和拓展，要求学生能灵活选择并结合两个原理解决较复杂的计数问题。 2、 教材分析 “分类加法计数原理与分步乘法计数原理（第2课时）”是人教A版选择性必修第三册第六章计数原理的核心内容，是在学生初步掌握两个计数原理基本概念后的综合应用课。本节课建立在两个原理的定义和简单应用基础之上，进一步探索两个原理的本质区别与综合运用方法，为后续学习排列数、组合数的计算以及二项式定理奠定重要的计数基础。 教材通过多个典型实例（如画作挂法、程序命名、二进制编码、汽车号牌编码等），层层递进地引导学生理解“完成一件事”的内涵，掌握分类与分步的判断方法，体现了从具体到抽象、从简单到复杂的认知规律。同时，教材注重数学与实际生活、信息技术的结合，让学生感受计数原理的应用价值，不仅是数学知识体系的重要组成部分，更是培养学生逻辑推理、数学运算和数学建模素养的优质素材。 3、 学情分析 学生在学习本节课之前，已经初步理解了分类加法计数原理和分步乘法计数原理的基本定义，能运用单个原理解决简单的计数问题，具备了一定的基础计数思维和简单的逻辑推理能力。但学生对于“完成一件事”的准确界定存在困难，容易混淆“分类”和“分步”的判断标准，在面对需要综合运用两个原理的复杂问题时，难以快速理清解题思路，容易出现分类不重不漏、分步步骤完整方面的错误。 此外，学生的抽象概括能力和数学建模能力存在差异，部分学生在将实际问题转化为计数原理模型时会遇到障碍，对有约束条件的计数问题（如数字排列、分配问题）的处理能力较弱。但学生已有的生活经验和基础数学知识能为本节课的学习提供支撑，教师应通过典型例题分析、变式练习、合作探究等方式，帮助学生突破难点，理清解题思路，提升运用计数原理解决问题的能力。 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：通过对实际计数问题的分析，抽象出“分类”和“分步”的数学本质，准确界定“完成一件事”的内涵，提升从实际问题中抽象出数学模型的能力。 1. 逻辑推理素养：能正确辨析分类加法计数原理和分步乘法计数原理的适用条件，推导出综合运用两个原理的解题思路，培养严谨的逻辑推理和论证能力。 1. 数学运算素养：熟练运用两个计数原理进行计数计算，能准确处理分类、分步中的数量关系，提高计数运算的准确性和速度，养成严谨的运算习惯。 1. 数学建模素养：将实际生活中的计数问题转化为分类加法或分步乘法计数的数学模型，运用计数原理解决问题，体会数学在实际生活中的应用价值，提升数学建模意识和实践能力。 1. 直观想象素养：借助树状图、示意图等直观工具分析计数问题，理清分类和分步的层次，增强利用直观图形思考和解决计数问题的能力。 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：分类加法计数原理和分步乘法计数原理的本质区别，两个计数原理的综合运用，能准确判断实际问题的计数类型并选择对应的原理。 1. 难点：准确界定“完成一件事”的内涵，掌握分类“不重不漏”、分步“步骤完整”的原则，综合运用两个原理解决有约束条件的复杂计数问题。 六、教学过程 环节一：检查预习 展示预习问题，要求学生独立完成并说明解题依据： (1) 从甲地到乙地，可乘火车、汽车、轮船，火车有3班，汽车有4班，轮船有2班，从甲地到乙地共有____种不同的走法。（答案：9，分类加法计数原理） (2) 从甲地到丙地需经过乙地，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条路，从甲地到丙地共有____种不同的走法。（答案：6，分步乘法计数原理） (3) 用1,2,3这三个数字组成两位数，十位和个位数字不同，共有____种不同的两位数。（答案：6，分步乘法计数原理） 请学生回答问题，对回答正确的学生给予肯定，对回答错误的学生引导其分析错误原因（如混淆分类与分步、计数时重复或遗漏），进行纠正，强化两个原理的基础应用。 环节二：引入课题 1. 请学生回顾两个计数原理的核心内容，随机提问学生： 1. 分类加法计数原理：完成一件事，有类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法……在第类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。 1. 分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法……做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。 1. 强调两个原理的核心区别：分类加法计数原理中，各类方法相互独立，任一种方法都能独立完成这件事；分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，只有完成所有步骤才能完成这件事。为后续两个原理的综合运用做铺垫。 环节三：合作探究 1. 两个原理的辨析与简单综合（5分钟） 提出问题：要完成“从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置”这件事，该用哪个计数原理？能否用两种方法解决？ 引导学生以小组为单位讨论，完成以下探究： (1) 界定“完成一件事”：选出2幅画并按左右位置挂好。 (2) 方法一（分步乘法）：第一步，选1幅画挂左边，有3种方法；第二步，选1幅画挂右边，有2种方法，共有种挂法。 (3) 方法二（分类加法）：第一类，甲挂左边，右边有乙、丙2种选择；第二类，乙挂左边，右边有甲、丙2种选择；第三类，丙挂左边，右边有甲、乙2种选择，共有种挂法。 (4) 总结：同一个计数问题，可能既可以用分类加法计数原理，也可以用分步乘法计数原理解决，核心是准确判断“分类”还是“分步”。 通过探究，让学生进一步明确：判断分类还是分步，关键看完成这件事的方法是否能独立完成，能独立完成则为分类，不能独立完成则为分步。 2. 含分类的分步计数问题（5分钟） 提出问题：给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母AG或UZ，后两个要求用数字1~9，最多可以给多少个程序命名？ 引导学生分析： (1) 界定“完成一件事”：给程序模块命名（确定3个字符的组合）。 (2) 解题思路：需要分三步完成，第一步选首字符，第二步选中间字符，第三步选最后一个字符；其中第一步选首字符属于分类，有A ~ G（7个）和U ~ Z（6个）两类。 (3) 小组推导计算过程： 第一步，首字符的选法：由分类加法计数原理，种； 第二步，中间字符的选法：9种； 第三步，最后一个字符的选法：9种； 由分步乘法计数原理，总命名数：种。 (4) 变式思考：若首字符为A ~ Z（除去O、I），后两个为0~9，结果如何？（答案：） 总结：当计数问题需要先分类后分步时，先对分类部分用分类加法计数原理计算，再将结果与分步部分用分步乘法计数原理计算。 3. 含约束条件的计数问题（5分钟） 提出问题：计算机中一个字节由8个二进制位构成，每个二进制位为0或1，一个字节最多可以表示多少个不同的字符？若要表示6763个汉字，每个汉字至少要用多少个字节？ 引导学生独立分析后小组交流： (1) 第一问：界定“完成一件事”：确定1个字节的8个二进制位的数字，每一位有2种选择，属于分步，由分步乘法计数原理，种。 (2) 第二问：1个字节只能表示256个字符，不足6763个；2个字节时，第一个字节有256种，第二个字节有256种，由分步乘法计数原理，种，，故至少用2个字节。 (3) 核心要点：有约束条件的计数问题，先明确约束条件，再按“完成一件事”的步骤分步，每一步的计数要符合约束条件。 组织学生讨论：在计数问题中，如何保证“分类不重不漏、分步步骤完整”？通过交流得出：分类时要确定统一的分类标准，分步时要理清完成事件的先后顺序，不遗漏任何一个步骤。 环节四：学以致用 1. 基础练习（5分钟） 要求学生独立完成，教师巡视指导，及时纠正错误，重点讲解解题思路。 (1) 某电话局管辖范围内的电话号码由8位数字组成，其中前4位数字固定，后4位数字为0~9中的一个，这个电话局不同的电话号码最多有多少个？ 答案：分步乘法计数原理，后4位每一位有10种选择，共个。 (2) 从5名同学中选出正、副组长各1名，有多少种不同的选法？ 答案：分步乘法计数原理，第一步选组长有5种，第二步选副组长有4种，共种。 (3) 从1,2,…,20中选一个数作被减数，从1,2,…,10中选一个数作减数，共可得到多少个不同的减法算式？ 答案：分步乘法计数原理，被减数有20种，减数有10种，共个。 2. 综合练习（7分钟） 教师引导学生分析题目，展示解题思路和过程，强调解题要点，重点讲解综合运用两个原理的方法。 例1 计算乘积展开后共有多少项？ 分析：完成“展开式得到一项”这件事，需要分三步：从第一个括号选一个字母，从第二个括号选一个字母，从第三个括号选一个字母，每一步的选法数相乘即为总项数。 答案：分步乘法计数原理，项。 例2 在1,2,…,500中，被5除余2的数共有多少个？ 分析：方法一（分类）：按位数分类，一位数、两位数、三位数，分别计数后相加；方法二（通项）：被5除余2的数可表示为（为整数），确定的取值范围即可。 答案：方法一，一位数：2、7，共2个；两位数：十位1~ 9，个位2或7，共个；三位数：百位1~ 4，十位0~ 9，个位2或7，共个；总计个。方法二，由，得，取0~99共100个，故有100个。 例3 某地级市汽车号牌5位序号，由10个阿拉伯数字和除O、I外的24个英文字母组成，最多只能有2个英文字母，求这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？ 分析：按英文字母的个数分类，即0个字母、1个字母、2个字母，分别计数后用分类加法计数原理求和；每一类中根据分步乘法计数原理计算。 答案： ① 0个字母：全为数字，张； ② 1个字母：字母有5个位置，每个位置有24种选法，其余为数字，共张； ③ 2个字母：字母有个位置组合，每个位置有24种选法，其余为数字，共张； 总计：张。 例4 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜中选出3种，分别种在三块不同土质的土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法？ 分析：先选蔬菜（分类，黄瓜必选，再选2种），再种植（分步，分配到三块土地）。 答案：第一步，选蔬菜：黄瓜必选，从剩下3种选2种，有种；第二步，种植：3种蔬菜种在3块土地，有种；总计种。 小试牛刀： 第1题 由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字且是奇数的四位数的个数为( ) A. 18 B. 36 C. 54 D. 72 第2题 用3种不同的颜色给正三角形的3个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条边的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有( ) A. 6种 B. 9种 C. 3种 D. 5种 第3题 某市人民医院急诊科有3名男医生、3名女医生，内科有5名男医生、4名女医生，现从该医院急诊科和内科各选派1名男医生和1名女医生组成一个4人小组参加省人民医院组织的交流会，则不同的选派方案有( ) A. 180种 B. 56种 C. 29种 D. 15种 第4题 如图，用4种不同的颜色涂所给图形中的4个区域，要求相邻区域的颜色不能相同，则不同的涂色方法有（ ）种。 环节五：课堂小结 请学生回顾本节课所学内容，同桌之间相互交流，梳理知识点： 两个计数原理的本质区别：分类独立，分步依存； 综合运用两个原理的关键：先准确界定“完成一件事”，再判断分类或分步，遵循“分类不重不漏、分步步骤完整”； 常见计数问题的解题思路：数字排列、分配、种植等问题，先明确约束条件，再选择计数原理。 教师进行补充和完善，构建知识体系：实际计数问题界定“完成一件事”判断分类/分步运用计数原理计算验证是否重漏，强调两个计数原理是解决所有计数问题的基础，后续将在此基础上学习排列和组合。 环节六：布置作业 1. 书面作业：完成课本P7、P11的巩固练习题，要求写出解题思路和计数原理的运用依据； 2. 拓展作业：寻找生活中需要综合运用两个计数原理的计数问题（如彩票号码、密码设置、座位安排等），记录问题并尝试解决。 3. 预习引导：引导学生预习下一课“排列与排列数”，思考：从个不同元素中取出个元素排成一列，有多少种不同的排法？如何用计数原理推导排列数公式？。 授课人个案修改记录： 教学反思 在教学过程中，要注重引导学生通过实例辨析“分类”和“分步”的本质，让学生在解决实际问题中理解“完成一件事”的内涵，这是突破本节课难点的关键。多借助树状图、示意图等直观工具帮助学生理清解题思路，减少计数中的重复和遗漏问题。 对于综合运用两个原理的复杂问题，要采用“由浅入深、层层递进”的方式，从简单的综合问题到有约束条件的计数问题，逐步培养学生的解题思维。同时，要关注学生的个体差异，对计数能力较弱的学生进行针对性指导，鼓励学生积极参与小组讨论，在交流中理清解题思路。 在后续教学中，要加强变式练习，让学生掌握不同类型计数问题的解题方法，进一步强化“分类不重不漏、分步步骤完整”的计数原则，为后续排列、组合的学习打好基础，持续提升学生的逻辑推理和数学建模素养。 学科网（北京）股份有限公司 $