6.2排列与组合导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.2《排列与组合》导学案（学生版） （ 制作：许鸥 日期：2026年4月16日 地区：云南省昆明市 ） 班级： 姓名： 分数： . 1、 排列 （1） 问题探究 问题 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的 活动,另1名同学参加下午的活动,有几种不同的选法? 探究：此时,要完成的一件事是"选出2名同学参加活动,1名同学参加上午的活动,另1名同学参加下午的活动",可以分两个步骤: 第1步,确定参加上午活动的同学,从3人中任选1人,有3种选法; 第2步,确定参加下午活动的同学,当参加上午活动的同学确定后,参加下午活动的同学只能从剩下的2人中去选,有2种选法. 根据分步乘法计数原理,不同的选法种数为 这6种不同的选法如图6.2-1所示. 如果把上面问题中被取出的对象叫做元素,那么问题可叙述为: 从3个不同的元素中任意取出2个,并按一定的顺序排成一列,共有多少种不同的排列方法? 所有不同的排列是 不同的排列方法种数为 （二）排列的定义 一般地,从个不同元素中取出个元素,并按照-一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个 . 2、 排列数 （1） 排列数的定义 我们把从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的 ,用符号“ ”表示. 例如,前面问题是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数,表示为.已经算得 . （二）排列数公式 1、问题探究 问题：从个不同元素中取出个元素的排列数是多少? 探究： 一般地,求排列数可以按依次填m个空位来考虑: 假定有排好顺序的个空位,如图6.2-4所示,从个不同元素中取出个元素去填空,一个空位填上一个元素,每一种填法就对应一个排列,因此,所有不同填法的种数就是排列数. 填空可以分为个步骤完成: 第1步,从个不同元素中任选1个填在第1位,有种选法去; 第2步,从剩下的个元素中任选1个填在第2位,有种选法; 第3步,从剩下的个元素中任选1个填在第3位,有种选法; …… 第步,从剩下的个元素中任选1个填在第位,有种选法. 根据分步乘法计数原理,个空位的填法种数为 . 2.排列数公式一 根据问题探究，我们得到公式 . 这里,,并且.这个公式叫做排列数公式. 根据排列数公式,我们就能方便地计算出从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数.例如, . . 3. 全排列与阶乘 特别地,我们把个不同的元素全部取出的一个排列,叫做个元素的一个全排列.这时,排列数公式中,即有 . 也就是说,将个不同的元素全部取出的排列数,等于正整数1到的连乘积. 正整数1到的连乘积,叫做的阶乘,用表示.于是,个元素的全排列数公式可以写成 . 另外,我们规定,0!= . 4. 排列数公式二 根据阶乘的定义，我们有 因此,排列数公式还可以写成 . （三）实例运用 例1．某农场要在4种不同类型的土地上，分别试验种植A，B，C，D四个不同品种的小麦，共有多少种不同的种植方案？ 例2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 例3．求证：． 例4．计算： (1)； (2)． 例5．3名男生和4名女生按下列条件排成一排，分别有多少种不同的排法？ (1)男生排在一起，女生排在一起； (2)男、女生间隔排列； (3)男生互不相邻． 例6．（1）5名运动员中有3名参加乒乓球团体比赛，如果前三场单打比赛每名运动员各出场1次，那么前三场单打比赛的顺序有几种？ （2）乒乓球比赛规定，团体比赛采取5场单打3胜制，每支球队由3名运动员参赛，前三场各出场1次，其中第1，2个出场的运动员分别还将参加第4，5场比赛.写出甲、乙、丙三人参加比赛可能的全部顺序. 例7．计算： (1)； (2). 例8．某晩会要安排3个歌唱节目（记为A、B、C）和2个舞蹈节目（记为甲、乙），要求舞蹈节目不能相邻，共有多少种不同的安排方法？ 例9． 现要从A，B，C，D，E，F这6人中选出4人安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，那么一共有多少种不同的安排方法？ 3、 组合 （1） 问题探究 问题：从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动,有多少种不同的选法? 探究： 在第2节问题的6种选法中,存在"甲上午、乙下午"和"乙上午、甲下午"2种不同顺序的选法,我们可以将它看成是先选出甲、乙2名同学,然后再分配上午和下午而得到的,同样,先选出甲、丙或乙、丙,再分配上午和下午也都各有2种方法. 而从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动,就只需考虑将选出的2名同学作为一组,不需要考虑他们的顺序.于是,在第2节问题的6种选法中,将选出的2名同学作为一组的选法就只有如下3种情况: 甲乙,甲丙,乙丙. 将具体背景舍去,上述问题可以概括为: 从3个不同元素中取出2个元素作为一组,一共有多少个不同的组？ 这就是我们要研究的问题. （二）组合的定义 一般地,从个不同元素中取出个元素作为一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个 . 四、组合数 （1） 组合数的定义 从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的 ,用符号 表示. 例如,从3个不同元素中取出2个元素的组合数表示为 ,从4个不同元素中取出3个元素的组合数表示为 . （2） 组合数的公式 1. 问题探究 问题：我们能否利用组合和排列关系,由排列数来求组合数呢? 探究：求"从个元素中取出个元素的排列数,可以看作由以下两个步骤得到: 第1步,从个不同元素中取出个元素作为一组,共有种不同的取法; 第2步,将取出的个元素作全排列,共有种不同的排法. 根据分步乘法计数原理,有 . 2. 组合数公式 由上探究可得 这里,,并且.这个公式叫做组合数公式 因为 所以,上面的组合数公式还可以写成 另外,我们规定 . 3. 组合数的性质 （1）性质一 （2）性质二 证明： （3）性质三 证明： （三）实例运用 例1．一个口袋里有7个不同的白球和1个红球，从中取5个球： (1)共有多少种不同的取法？ (2)如果不取红球，共有多少种不同的取法？ (3)如果必须取红球，共有多少种不同的取法？ 例2．计算： (1)； (2)． 例3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 例4．1. 将杨辉三角中的每一个数都换成分数，可得到一个如图所示的分数三角形，称为“莱布尼茨三角形”，从莱布尼茨三角形可看出，存在使得，求的值． 例5．求的值． 例6．在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件． (1)有多少种不同的抽法？ (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ 五、达标检测 练习1．解决下列问题，写出计算过程，用具体数字回答 (1)4名男生和3名女生排成一排，4名男生站在一起，3名女生站在一起，有多少种排法？ (2)4名男生和3名女生排成一排，女生不相邻的排法有多少种？ (3)4名男生和3名女生排成一排，甲、乙二人不能站在两端的排法有多少种？ (4)4名男生和3名女生排成一排，甲、乙两人中间有且只有2人的排法有多少种？ (5)4名男生和3名女生排成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，有多少种排法？ 练习2．现将6名优秀学生分配到三个班级进行研学活动． (1)若每个班级分配2名学生，求不同的分法种数； (2)若每个班至少分配1名学生，且分配到各班的人数互不相同，求不同的分法种数． 练习3．（1）计算：（结果用数字作答） （2）解方程： （3）解不等式：的解集． 练习4．（1）求值：． （2）解方程：． （3）求不等式的解集． 练习5．在2名指导老师的带领下，4名大学生（男生2名，女生2名)，志愿者深入乡村，开启了支教之旅.他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅导等多元化课程，并组织了丰富多彩的文体游戏.支教结束后，让这6名师生站成一排合影，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻； (2)2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生. 练习6．从包含甲、乙2人的8人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答） (1)甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒； (2)甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒； (3)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒； (4)甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒． 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2《排列与组合》导学案（教用版） （ 制作：许鸥 日期：2026年4月16日 地区：云南省昆明市 ） 班级： 姓名： 分数： . 1、 排列 （1） 问题探究 问题 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的 活动,另1名同学参加下午的活动,有几种不同的选法? 探究：此时,要完成的一件事是"选出2名同学参加活动,1名同学参加上午的活动,另1名同学参加下午的活动",可以分两个步骤: 第1步,确定参加上午活动的同学,从3人中任选1人,有3种选法; 第2步,确定参加下午活动的同学,当参加上午活动的同学确定后,参加下午活动的同学只能从剩下的2人中去选,有2种选法. 根据分步乘法计数原理,不同的选法种数为 这6种不同的选法如图6.2-1所示. 如果把上面问题中被取出的对象叫做元素,那么问题可叙述为: 从3个不同的元素中任意取出2个,并按一定的顺序排成一列,共有多少种不同的排列方法? 所有不同的排列是 不同的排列方法种数为 （二）排列的定义 一般地,从个不同元素中取出个元素,并按照-一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列. 2、 排列数 （1） 排列数的定义 我们把从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号“”表示. 例如,前面问题是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数,表示为.已经算得 （二）排列数公式 1、问题探究 问题：从个不同元素中取出个元素的排列数是多少? 探究： 一般地,求排列数可以按依次填m个空位来考虑: 假定有排好顺序的个空位,如图6.2-4所示,从个不同元素中取出个元素去填空,一个空位填上一个元素,每一种填法就对应一个排列,因此,所有不同填法的种数就是排列数. 填空可以分为个步骤完成: 第1步,从个不同元素中任选1个填在第1位,有种选法去; 第2步,从剩下的个元素中任选1个填在第2位,有种选法; 第3步,从剩下的个元素中任选1个填在第3位,有种选法; …… 第步,从剩下的个元素中任选1个填在第位,有种选法. 根据分步乘法计数原理,个空位的填法种数为 2.排列数公式一 根据问题探究，我们得到公式 这里,,并且.这个公式叫做排列数公式. 根据排列数公式,我们就能方便地计算出从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数.例如, , . 3. 全排列与阶乘 特别地,我们把个不同的元素全部取出的一个排列,叫做个元素的一个全排列.这时,排列数公式中,即有 也就是说,将个不同的元素全部取出的排列数,等于正整数1到的连乘积. 正整数1到的连乘积,叫做的阶乘,用表示.于是,个元素的全排列数公式可以写成 . 另外,我们规定,0!=1. 4. 排列数公式二 根据阶乘的定义，我们有 因此,排列数公式还可以写成 （三）实例运用 例1．某农场要在4种不同类型的土地上，分别试验种植A，B，C，D四个不同品种的小麦，共有多少种不同的种植方案？ 【答案】24 【难度】0.94 【知识点】排列数的计算、排列的意义理解 【分析】根据排列数的定义求解即可. 【详解】由题意，A，B，C，D四个不同品种的小麦在4种不同类型的土地上全排列， 故种植方案共有种. 例2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)60 (2)120 (3)5040 (4)1256640 【难度】0.94 【知识点】排列数的计算 【分析】（1）（2）（3）（4）由排列数的定义即可求解. 【详解】（1）． （2）． （3）． （4）． 例3．求证：． 【答案】证明见解析 【难度】0.65 【知识点】用排列数公式证明 【分析】根据排列数公式可得 【详解】． 例4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)348； (2)64. 【难度】0.94 【知识点】排列数的计算 【分析】（1）（2）利用排列数公式直接计算作答. 【详解】（1）. （2）. 例5．3名男生和4名女生按下列条件排成一排，分别有多少种不同的排法？ (1)男生排在一起，女生排在一起； (2)男、女生间隔排列； (3)男生互不相邻． 【答案】(1)288 (2)144 (3)1440 【难度】0.85 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】（1）利用捆绑法进行求解； （2）先安排男生，再将女生进行插空； （3）先安排女生，再将男生进行插空. 【详解】（1）将男生和女生分别进行捆绑，则分别有和种方案， 再将男生组和女生组进行全排列，故共有种方案； （2）先将男生进行排列，有种方案，再将女生进行插空，刚好有种方案， 故男、女生间隔排列，共有种方案； （3）先将女生进行排列，有种方案，再将男生进行插空，有种选择， 故男生互不相邻，共有种方案. 例6．（1）5名运动员中有3名参加乒乓球团体比赛，如果前三场单打比赛每名运动员各出场1次，那么前三场单打比赛的顺序有几种？ （2）乒乓球比赛规定，团体比赛采取5场单打3胜制，每支球队由3名运动员参赛，前三场各出场1次，其中第1，2个出场的运动员分别还将参加第4，5场比赛.写出甲、乙、丙三人参加比赛可能的全部顺序. 【答案】（1）60；（2）一共18种，具体见解析. 【难度】0.85 【知识点】排列数的计算 【分析】（1）可看作是从5名运动员中选3名进行排列； （2）分三种情况，进行3场比赛，进行4场比赛，进行5场比赛. 【详解】（1）可看作是从5名运动员中选3名进行排列，则前三场单打比赛的顺序有种； （2）若进行3场比赛，出场顺序有“甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲”共6种； 若进行4场比赛，出场顺序有“甲乙丙甲，甲丙乙甲，乙甲丙乙，乙丙甲乙，丙甲乙丙，丙乙甲丙” 共6种； 若进行5场比赛，出场顺序有“甲乙丙甲乙，甲丙乙甲丙，乙甲丙乙甲，乙丙甲乙丙，丙甲乙丙甲，丙乙甲丙乙” 共6种； 则甲、乙、丙三人参加比赛可能的全部顺序有18种. 例7．计算： (1)； (2). 【答案】(1)24； (2)64. 【难度】0.94 【知识点】排列数的计算 【分析】根据排列数公式计算即可. 【详解】（1）； （2）. 例8．某晩会要安排3个歌唱节目（记为A、B、C）和2个舞蹈节目（记为甲、乙），要求舞蹈节目不能相邻，共有多少种不同的安排方法？ 【答案】72 【难度】0.65 【知识点】不相邻排列问题、相邻问题的排列问题 【分析】根据捆绑法与插空法求解. 【详解】分成两步来完成：第一步，先确定3个歌唱节目的先后顺序（不考虑舞蹈节目），总共有种排法；第二步，歌唱节目的先后顺序确定之后，舞蹈节目共有种排法 （例如，如果第一步确定的歌唱节目先后顺序为，则舞蹈节目只能安排在如图所示的4个空格中）.由分步乘法计数原理可知，共有种不同的安排方法. 例9．现要从A，B，C，D，E，F这6人中选出4人安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，那么一共有多少种不同的安排方法？ 【答案】300 【难度】0.85 【知识点】排列数的计算、元素（位置）有限制的排列问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】分两种情况讨论，即按照选出的4人中有A和没有A进行讨论，然后再进行排列，从而得出结果. 【详解】解  安排方法可以分成两类：选出的4人中有A和没有A． 当选出的4人中有A，则安排方法为： 第一步，在乙、丙、丁3个岗位中选择一个给A，共种方法， 第二步，在B，C，D，E，F这5人选出3人安排在其他3个岗位，共种方法， 所以此类安排方法共有种； 当选出的4人中没有A，则安排方法共有种. 所以安排方法种数为． 3、 组合 （1） 问题探究 问题：从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动,有多少种不同的选法? 探究： 在第2节问题的6种选法中,存在"甲上午、乙下午"和"乙上午、甲下午"2种不同顺序的选法,我们可以将它看成是先选出甲、乙2名同学,然后再分配上午和下午而得到的,同样,先选出甲、丙或乙、丙,再分配上午和下午也都各有2种方法. 而从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动,就只需考虑将选出的2名同学作为一组,不需要考虑他们的顺序.于是,在第2节问题的6种选法中,将选出的2名同学作为一组的选法就只有如下3种情况: 甲乙,甲丙,乙丙. 将具体背景舍去,上述问题可以概括为: 从3个不同元素中取出2个元素作为一组,一共有多少个不同的组？ 这就是我们要研究的问题. （二）组合的定义 一般地,从个不同元素中取出个元素作为一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. 四、组合数 （1） 组合数的定义 从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号表示. 例如,从3个不同元素中取出2个元素的组合数表示为,从4个不同元素中取出3个元素的组合数表示为. （2） 组合数的公式 1. 问题探究 问题：我们能否利用组合和排列关系,由排列数来求组合数呢? 探究：求"从个元素中取出个元素的排列数,可以看作由以下两个步骤得到: 第1步,从个不同元素中取出个元素作为一组,共有种不同的取法; 第2步,将取出的个元素作全排列,共有种不同的排法. 根据分步乘法计数原理,有 2. 组合数公式 由上探究可得 这里,,并且.这个公式叫做组合数公式 因为 所以,上面的组合数公式还可以写成 另外,我们规定. 3. 组合数的性质 （1）性质一 （2）性质二 证明：∵， ， ∴. （3）性质三 证明：因为， ， 所以． （三）实例运用 例1．一个口袋里有7个不同的白球和1个红球，从中取5个球： (1)共有多少种不同的取法？ (2)如果不取红球，共有多少种不同的取法？ (3)如果必须取红球，共有多少种不同的取法？ 【答案】(1)56 (2)21 (3)35 【难度】0.94 【知识点】组合数的计算、组合意义理解 【分析】（1）根据组合的定义直接解题； （2）从红球中运用组合定义解题； （3）红球必选1个，再从白球中选择4个，运用组合定义解题. 【详解】（1）解：因为共有8个球， 所以共有不同的取法种数为； （2）因为不取红球， 所以只要在7个白球中取5个球即可， 因此共有不同的取法种数为； （3）因为必须取红球， 所以只需在7个白球中再取4个球即可， 因此共有不同的取法种数为． 例2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)70 (2)253 【难度】0.94 【知识点】组合数的计算 【分析】（1）运用组合公式进行计算； （2）运用组合公式进行计算. 【详解】（1）； （2）． 例3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)17 (2)20 (3)1 (4)4950 【难度】0.94 【知识点】组合数的计算 【分析】利用组合数公式与性质计算即可. 【详解】（1）由组合数公式，得； （2）由组合数公式，得； （3）由组合数性质，得； （4）由组合数性质，得. 例4．1. 将杨辉三角中的每一个数都换成分数，可得到一个如图所示的分数三角形，称为“莱布尼茨三角形”，从莱布尼茨三角形可看出，存在使得，求的值． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】组合数方程和不等式 【分析】利用组合数公式化简等式，可得，由此得到结果. 【详解】，，，， 由得： ， 又，， 或 例5．求的值． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】组合数的性质及应用 【分析】利用组合数的性质计算即可得解. 【详解】对任意的且，，其中且， 所以，. 例6．在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件． (1)有多少种不同的抽法？ (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ 【答案】(1)161700种； (2)9506种； (3)9604种. 【难度】0.65 【知识点】组合数的计算、分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题、分类加法计数原理 【分析】(1)根据题意直接利用组合列式计算即可. (2)利用分步计数乘法原理结合组合列式计算即可 (3)求出含有1件次品、2件次品的抽法，再利用分类加法计数原理计算作答. 【详解】（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，即(种) 所以有161700种不同的抽法. （2）从2件次品中抽出1件次品的抽法有种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有种，则(种)， 所以抽出的3件中恰好有 1件次品的抽法有9506种. （3）抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况， 由(2)知，有1件是次品的抽法有种，有2件次品的抽法有种， 由分类加法计数原理得：(种)， 所以抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有9604种. 4、 达标检测 练习1．解决下列问题，写出计算过程，用具体数字回答 (1)4名男生和3名女生排成一排，4名男生站在一起，3名女生站在一起，有多少种排法？ (2)4名男生和3名女生排成一排，女生不相邻的排法有多少种？ (3)4名男生和3名女生排成一排，甲、乙二人不能站在两端的排法有多少种？ (4)4名男生和3名女生排成一排，甲、乙两人中间有且只有2人的排法有多少种？ (5)4名男生和3名女生排成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，有多少种排法？ 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【难度】0.64 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】（1）利用捆绑法即可求解； （2）利用插空法即可求解； （3）利用特殊位置优先排的方法，结合排列数的计算方法及分步乘法计数原理即可求解； （4）利用捆绑法即可求解； （5）利用考虑反面的方法即可求解． 【详解】（1）4名男生站在一起，共有种排法， 3名女生站在一起，共有种排法， 所以共有种排法． （2）女生不相邻的排法有种排法． （3）从除甲、乙以外的5人中选2人站两端，共有种排法， 剩下5人共有种排法， 所以共有种排法． （4）甲、乙两人中间有且只有2人的排法有种排法． （5）人共有种排法， 甲站在排头共有种排法， 乙站在排尾共有种排法， 所以甲不站在排头，乙不站在排尾，共有种排法． 练习2．现将6名优秀学生分配到三个班级进行研学活动． (1)若每个班级分配2名学生，求不同的分法种数； (2)若每个班至少分配1名学生，且分配到各班的人数互不相同，求不同的分法种数． 【答案】(1) (2) 【难度】0.69 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题 【分析】（1）先将6名学生平均分为3组，再分配到三个班级即可； （2）先将6名学生分成3组，其中1组1人，1组2人，1组3人，再将3组分配到三个班即可. 【详解】（1）解：先将6名优秀学生分为3组，每组2人，共有种情况， 再将3组学生分配到3个班级，有种情况， 所以，满足条件的不同分法为种. （2）解：6名学生分成3组，每组人数至少1名且互不相等，唯一的整数拆分方案为：， 即将6名学生分成3组，其中1组1人，1组2人，1组3人，有种， 再将3组分配到三个班，有种分法， 所以，总的分法为种. 练习3．（1）计算：（结果用数字作答） （2）解方程： （3）解不等式：的解集． 【答案】（1）；（2）（3） 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、排列数的计算、排列数方程和不等式 【分析】（1）根据排列数公式计算； （2）根据排列数展开原方程，再结合的范围求解； （3）根据排列数展开原不等式，再结合的范围求解. 【详解】（1）分子：， 分母：， 约分化简得： （2）由，得. 根据排列数公式展开原方程：， 约去，可得， 化简得：，即， 解得或（舍去），故解为. （3）由，，得. 根据排列数展开原不等式：， 整理得：， 因式分解得，由于时，， 故不等式等价于，即， 结合定义域得解集为. 练习4．（1）求值：． （2）解方程：． （3）求不等式的解集． 【答案】（1）（2）（3） 【难度】0.71 【知识点】排列数的计算、排列数方程和不等式、组合数的计算、组合数方程和不等式 【分析】利用排列数和组合数的公式运算求解即可. 【详解】（1）原式 （2） 由题可知且 ，则， 整理得，解得或（舍去）， 故. （3）由题可知且，则， 整理得，解得，又因为且， 故，即不等式的解集为. 练习5．在2名指导老师的带领下，4名大学生（男生2名，女生2名)，志愿者深入乡村，开启了支教之旅.他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅导等多元化课程，并组织了丰富多彩的文体游戏.支教结束后，让这6名师生站成一排合影，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻； (2)2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生. 【答案】(1)16 (2)96 【难度】0.6 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、相邻问题的排列问题 【分析】（1）利用捆绑法及分步计数原理排列即可； （2）利用捆绑法来排列即可. 【详解】（1）先让2名指导老师捆绑站中间，有种站法； 再让两名女大学生捆绑站在两位老师的左侧或右侧，有种站法； 最后让2名男大学生站在两位老师的另一侧，有种站法. 所以根据乘法计数原理，共有种站法. （2）先选1名女大学生和1名男大学生和2名指导老师进行排列，有种站法； 将这4个人作为一个整体，与剩余的两名大学生进行排列，有种站法. 所以根据乘法计数原理，共有种站法. 练习6．从包含甲、乙2人的8人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答） (1)甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒； (2)甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒； (3)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒； (4)甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒． 【答案】(1)60 (2)480 (3)180 (4)180 【难度】0.64 【知识点】排列组合综合、元素（位置）有限制的排列问题、相邻问题的排列问题、不相邻排列问题 【分析】（1）先固定甲、乙在中间两棒的顺序，再从剩余6人选2人排在首尾两棒即可； （2）先选甲、乙中的1人并安排在首尾棒，再从剩余6人中选3人排列剩余3棒即可； （3）先将甲、乙捆绑成一个整体并确定相邻位置，再排列整体内部顺序，最后从剩余6人中选2人排列剩余位置即可； （4）先从剩余6人中选2人排列，再将甲、乙插入其形成的空位中即可. 【详解】（1）先排甲、乙在第2、3棒，有种排法；再从剩下6人中选2人跑第1、4棒，有种排法， 所以共有种排法. （2）先从甲、乙中选1人，有种选法；再安排他跑第1或第4棒，有种排法； 最后从剩下6人中选3人排剩下的3棒，有种排法， 所以共有种排法. （3）先把甲、乙看成一个整体，相邻的位置有三种，整体内部有种排法； 再从剩下6人中选2人排剩下的2棒，有种排法，所以共有种排法. （4）先从除甲、乙外的6人中选2人进行排列，有种排法，此时形成3个空位； 再将甲、乙两人插入空位中，有种排法，所以共有种排法. 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $