专题04 一元二次方程重难点题型汇编（高效培优专项训练）数学浙教版新教材八年级下册

专题04 一元二次方程重难点题型汇编 【题型一：一元二次方程的概念】.....................................................................................................................1 【题型二 ：一元二次方程的解】.......................................................................................................................2. 【题型三：解一元二次方程】.............................................................................................................................2 【题型四：与一元二次方程根的判别式有关的问题】.....................................................................................2 【题型五：一元二次方程根与系数的关系】.....................................................................................................3 【题型六：有关一元二次方程传播问题】.........................................................................................................3 【题型七：一元二次方程的应用-握手，循环问题】.......................................................................................4 【题型八：有关一元二次方程面积问题】........................................................................................................6 【题型九：有关一元二次方程增长率问题】....................................................................................................7 【题型十：有关一元二次方程利润问题】........................................................................................................9 【题型十一：有关一元二次方程动点问题】....................................................................................................11 题型一：一元二次方程的概念 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A．B． C． D． 4．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．3，，9 B．3，， C．3，5，9 D．3，5， 5．若关于的方程是一元二次方程，则 ． 6．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 题型二 ：一元二次方程的解 1．若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 2．若是方程的一个根，则代数式的值为 ． 3．若是方程的一个实数根，则的值为 ． 题型三：解一元二次方程 1．解方程： (1)； (2)． 2．解下列方程． (1)． (2)． 3．解方程： (1) (2)． 4．解下列方程： (1)； (2)． 5．解方程 (1) (2) 题型四：与一元二次方程根的判别式有关问题、 1．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2.对于实数定义新运算：，则关于的方程的解，下列说法正确的是（    ） A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 3．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定有没有实数根 4．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（    ） A． B．且 C．且 D． 5．关于x的一元二次方程无实数解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ）． A． B．且 C． D．且 题型五：一元二次方程根与系数的关系 1．若是关于的方程的两个根，则的值为（    ） A．0 B．2 C．－2 D．6 2．若是方程的两个根，则的值为（    ） A． B．405 C． D．2025 3．一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．若实数m、n满足且，则的值是（   ） A．3 B． C．1 D． 5．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 6．已知关于的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)若此方程的两个根分别为，，其中，若，求的值． 7．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的两个实数根、满足，求的值． 题型六：一元二次方程的应用-传播问题 1．某网络平台遭遇黑客袭击导致服务器感染病毒，最初有3台服务器感染病毒，经过两轮传播后共有147台服务器被感染，设每轮传播中平均一台服务器感染x台服务器，则根据题意可列方程为（） A． B． C． D． 2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与支干数目相同的小分支，主干、支干和小分支的总数是，求每个支干长出多少小分支．设每个支干长出x个小分支，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 3．九年级一班班长在接到学校紧急通知后，通知了班级的x名班委，班委接到通知后，又分别通知了班级的其他x名同学，这样包括班长在内的全班57名同学就都知道了该通知，求x的值． 4．学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 题型七：一元二次方程的应用-握手，循环问题 1．云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．设有支球队参加比赛，可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．为传递正能量，在中考百日誓师大会上，九年级各班决定互送励志祝福．若规定每个班要给本年级其他所有班级各送1条祝福，且所有班级送出的祝福总数是132条，则九年级的班级数为（    ）． A．11 B．12 C．13 D．14 3．班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出数学兴趣小组一共互送了132张贺卡，则数学兴趣小组有多少人？设数学兴趣小组有人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．参加一次商品交易会活动的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了份合同，请问共有多少公司参加此次商品交易会？ 5．国庆当天，小明将收到的一条短信，发送给若干人，每个收到短信的人又给相同数量的人转发了这条短信，此时收到这条短信的人共有157人，试求小明给多少个人发了短信？ 6．某市举行中学生足球比赛，要求参加比赛的所有球队直接进行双循环赛（每两个队之间进行两场比赛），共要进行110场比赛，问有多少支球队参加比赛? 题型八：一元二次方程的应用-面积问题 1．如图，某工厂要建一个矩形仓库，一边靠墙（靠墙一边不用木板，且墙的最大可利用长度为22米），并在BC边上开一扇2米宽的门，现在可用的材料为38米长的木板（全部使用完，门不用木板），设的长为米． (1)的长为_____米；（用含的代数式表示） (2)若仓库的面积为150平方米，求的长． 2．2025湖南省足球联赛（“湘超”联赛）决赛将在长沙贺龙体育场进行，万众瞩目，超100万人标记“想看”．真是一票难求，为满足球迷们的需求，各市县同时开辟了第二现场，在足球场内挂上了大屏，摆放了凳子，某市为了更好地维持秩序，在足球场内预留了三条同样宽的过道（如图）．已知足球场的长为100米，宽为65米，要保证观众座位的面积达到平方米，则过道的宽应该设计多少米？ 3．中国书法是中华文化的独特表现艺术．被誉为：无言的诗，无形的舞，无图的画，无声的乐、而“三分画，七分裱”．书画装裱技艺同时也为书画内容服务．现要装裱一幅竖式布局的《七律·长征》书法作品，装裱时四周加上一定宽度的绫边、上、下绫边的宽度之比为．左、右绫边的宽度相等、下绫边的宽度是左、右绫边宽度的2倍．若装裱成品的面积为，求装裱成品的长与宽． 4．瓦房店市被誉为“水果之乡”，尤其是葡萄品种多、质量好，而“妮娜皇后”葡萄近几年来广受消费者青睐，在瓦房店市广泛种植．某种植户有一块长45m，宽8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形葡萄地，使它们的面积之和为，两块葡萄地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度． 题型九：一元二次方程的应用-增长率问题 1．韶关市新华书店对外开放的第一个月共进书店600人次，进书店人次逐月增加，到第三个月月末为止累计进书店2850人次．若设进书店人次的月平均增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．某电商店铺在促销活动期间，月份订单量为单，月份订单量增长到单，且从月到月，每月订单量的平均增长率相同． (1)求每月订单量的平均增长率． (2)按照这个平均增长率，预计月份该店铺订单量将达到多少？ 3．某种商品原价是125元，经过两次降价，价格下降了． (1)求价格降到了多少元； (2)已知每次下降的百分率相同，那么每次下降的百分率是吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出每次下降的百分率． 4．2025年12月9日，某电影院开展“热血与担当永不落幕”系列活动，对团体购买电影票《志愿军：浴血和平》实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价10元，这样按原定零售票价需花费2000元购买的电影票，现在只花费了1500元． (1)求每张电影票的原定零售票价； (2)为了弘扬爱国精神，该影院决定对现场购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32.4元，求平均每次降价的降价率． 5．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多辆．该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率相同，求第二、三两个月的月平均增长率． 题型十：一元二次方程的应用-利润问题 1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件 ． (1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元? (2)商场平均每天盈利能否达到1500元?请说明理由 . 2．浑源黄芪，又称正北芪．早在清朝，就以名贵特产进贡于朝廷．它是国内绿色保健品种的佳品，也是我国外贸出口的名贵药材．某药材公司以20元/千克的价格收购一批浑源黄芪进行销售，日销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）之间满足一次函数的关系，经过市场调查获得部分数据如下表． 销售价格（元/千克） 20 25 30 35 40 日销售量千克 600 450 300 150 0 (1)根据表中的数据，求与的函数表达式． (2)该药材公司应该如何确定这批浑源黄芪的销售价格，才能使日销售利润恰好为3000元？ 3．某超市以每袋8元的成本价购进一些糖果，根据前期销售情况，每天销售量y（袋）与该商品定价每袋x（元）是一次函数关系，如图所示． (1)求销售量y与定价x之间的函数关系式； (2)如果超市每天销售该糖果的利润是56元，但让顾客少花钱，不考虑其它因素，求该糖果的定价应为多少． 4．广安松针是四川省广安市特产，因茶芽白毫显露似雪松披霜，外形紧细挺拔匀直若针而得名，某茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出，经过市场调查发现，若每千克茶叶的售价每降低10元，则平均每周的销售量可增加 (1)若该专卖店销售这种品牌茶叶想平均每周获利41600元，且尽可能让利于顾客，赢得市场，则每千克茶叶应降价多少元？ (2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能刚好达到50000元吗？请说明理由， 5．某宾馆有40个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为200元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用． (1)若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？ (2)若宾馆某一天获利8400元，则房价定为多少元？ 题型十一：一元二次方程的应用-动点问题 1．如图，在中，，，，点P从点A开始，沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形的面积为，则点P运动的时间是（　　） A．3 B．3或5 C．4 D．5 2．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是(    ) A．或 B． C． D． 3．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则 秒后的面积为？ 4．如图，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动，设运动时间为． (1)为多少时，四边形的面积为； (2)为多少时，点和点的距离为． (3)，同时出发，直接写出为何值时，以，，为顶点的三角形为等腰三角形． 5．如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P、Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一元二次方程重难点题型汇编 【题型一：一元二次方程的概念】.....................................................................................................................1 【题型二 ：一元二次方程的解】.......................................................................................................................3. 【题型三：解一元二次方程】.............................................................................................................................4 【题型四：与一元二次方程根的判别式有关的问题】.....................................................................................6 【题型五：一元二次方程根与系数的关系】.....................................................................................................9 【题型六：有关一元二次方程传播问题】........................................................................................................12 【题型七：一元二次方程的应用-握手，循环问题】.......................................................................................14 【题型八：有关一元二次方程面积问题】........................................................................................................16 【题型十：有关一元二次方程增长率问题】....................................................................................................18 【题型十一：有关一元二次方程利润问题】....................................................................................................20 【题型十二：有关一元二次方程动点问题】.....................................................................................................24 题型一：一元二次方程的概念 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：A、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程是一元二次方程，符合题意； D、方程中未知数的最高次数不是2，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 2．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项． 【详解】解：∵ 一元二次方程是只含一个未知数且最高次数为2的整式方程， 选项A: 中含有分式，不是整式方程，∴ 不符合； 选项B: 中，a可能为0，当时不是二次方程，∴ 不一定是一元二次方程； 选项C: 可化为，是整式方程，只含x且最高次数为2，∴ 符合； 选项D: 中含有两个未知数x和y，∴ 不是一元二次方程． 故选：C． 3．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程一般形式的特点是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是（、、为常数，）． 【详解】解：根据题意得：， ， ， 故选：D． 4．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．3，，9 B．3，， C．3，5，9 D．3，5， 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，将方程化为一般形式，即可直接读出二次项系数、一次项系数和常数项． 【详解】解：原方程为，展开左边括号得：， 将右边移到左边，得：， 则二次项系数为，一次项系数为，常数项为； 故选B． 5．若关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，方程中未知数的最高次数必须为2，且二次项系数不能为零．因此，需要满足指数条件且系数条件． 【详解】解：由于方程是一元二次方程，则的最高指数， 解得或，即或． 同时，二次项系数，即． 因此，满足条件的值为． 当时，方程为，符合一元二次方程的定义． 故答案为：． 6．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程：根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，因此． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴二次项系数，解得． 故答案为：． 题型二 ：一元二次方程的解 1．若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 根据一元二次方程的解的定义判断即可． 【详解】解：A、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； B、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； C、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； D、把代入，可得，所以是方程的根，符合题意； 故选：D． 2．若是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的特征．把代入方程得到，将原式转化为，然后代入求值即可． 【详解】解： 是方程的一个根， ∴， ， ， 故答案为：． 3．若是方程的一个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，由一元二次方程的解的定义可得，进而代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三：解一元二次方程 1．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）把方程左边利用提公因式法分解因式，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 2．解下列方程． (1)． (2)． 【答案】(1) ，； (2) ， 【分析】本题考查的知识点是解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的各种方法． （1）利用因式分解法解一元二次方程； （2）利用配方法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解：， ， ， ， ，． 3．解方程： (1) (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程和解一元一次方程的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）用公式法求解即可； （2）根据移项，系数化为1，进行求解即可． 【详解】（1）解：， ，，， ， ， 即，； （2）解：， ， ； 4．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）本题可通过因式分解法将一元二次方程转化为两个一元一次方程进行求解． （2）先将方程化为一元二次方程的一般形式，再利用公式法求解，也可通过配方法求解． 【详解】（1）解： 因式分解得 则或 解得，； （2）解：把方程整理为一般形式，其中，， ∴ ∴ 解得：， 5．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程特点选择合适的解法，如公式法、配方法或因式分解法． （1）先将方程两边同除以2简化，再用配方法或公式法求解； （2）通过十字相乘法进行因式分解，转化为两个一元一次方程求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ． （2）解： ， 或， ． 题型四：与一元二次方程根的判别式有关问题、 1．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 通过计算判别式的值判断方程根的情况即可． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∴该一元二次方程没有实数根． 故选：C． 2.对于实数定义新运算：，则关于的方程的解，下列说法正确的是（    ） A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，先根据新运算定义将方程转化为一元二次方程，并把一元二次方程化为一般式，再利用一元二次方程的根的判别式判断根的情况即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 3．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定有没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是通过计算判别式的符号，判断方程根的情况． 【详解】解：对于方程， , ， ， 即， 故方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 4．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，需同时满足二次项系数不为0和判别式非负来确定k的取值范围． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴判别式， 其中，，， ∴， 解不等式， 得， 综上，k的取值范围是且， 故选：B 5．关于x的一元二次方程无实数解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式求解参数取值范围即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数解， 又∵一元二次方程无实数解时，根的判别式， 在方程中，，，， ∴， 即， 移项得， 两边同时除以，不等号方向改变，得， 故选：D． 6．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ）． A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，牢记一元二次方程的定义和判别式与根的关系是解题关键． 先根据一元二次方程的定义和根的判别式确定且，计算求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∵，，， ， ∵， ∴，解得：， 综上且． 故选：D． 题型五：一元二次方程根与系数的关系 1．若是关于的方程的两个根，则的值为（    ） A．0 B．2 C．－2 D．6 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，直接利用两根之和的结论即可求解． 【详解】解：∵是关于的方程的两个根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和， 故选：B． 2．若是方程的两个根，则的值为（    ） A． B．405 C． D．2025 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，若两根为，则 ． 【详解】解：∵是方程的两个根，其中，， ∴． 3．一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得，，再由进行求解，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，那么将，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴根据根与系数的关系，得，， ∵， ∴将，代入，得 原式， 故选：A． 4．若实数m、n满足且，则的值是（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键，若一元二次方程的两个根分别为和，则． 利用根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：∵实数m、n满足且， 即 ∴m和n是的两个根， ∴， 则， 故选：A． 5．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义．根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到，，再把原式变形为，由此代值计算即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， 故选：B． 6．已知关于的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)若此方程的两个根分别为，，其中，若，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，整理得，再求出判别式的值，即可作答． （2）运用根与系数的关系得，，又结合进行列式计算，得出，最后根据得出符合题意，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 则， ∴此方程有两个不相等的实数根； （2）解：∵， ∴ ∵此方程的两个根分别为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， ∴， 解得， 当时，，，符合， 当时，，，不符合，故舍去 ∴． 7．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的两个实数根、满足，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与根与系数的关系的应用，关键是利用判别式判断根的存在情况，利用韦达定理转化根与系数的关系． （1）根据一元二次方程有两个实数根时判别式，代入方程系数建立不等式，求解即可得到的取值范围； （2）先将通分转化为含和的形式，再利用根与系数关系求出与的表达式，代入后建立关于的方程求解，最后验证是否满足（1）中的取值范围． 【详解】（1）解：对于一元二次方程，其中，，． ∵方程有两个实数根， ∴判别式， 解得； （2）解：由根与系数关系可知，在一元二次方程中， ，． ∵， ∴，解得，满足的取值范围， 故． 题型六：一元二次方程的应用-传播问题 1．某网络平台遭遇黑客袭击导致服务器感染病毒，最初有3台服务器感染病毒，经过两轮传播后共有147台服务器被感染，设每轮传播中平均一台服务器感染x台服务器，则根据题意可列方程为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据病毒传播过程，初始感染台数加上每轮新增感染台数，两轮后总感染台数为147，列方程求解即可． 【详解】解：∵初始感染服务器数为3台， 第一轮传播中，每台感染x台，新增感染数为台，第一轮后总感染数为台， 第二轮传播中，有台服务器，每台感染x台，新增感染数为台， ∴两轮后总感染数为． 故选：A． 2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与支干数目相同的小分支，主干、支干和小分支的总数是，求每个支干长出多少小分支．设每个支干长出x个小分支，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，准确地理解题意找到等量关系是解题的关键．根据主干、支干、小分支的数量关系，结合总数为列方程即可． 【详解】解：∵主干的数量为1个，每个支干长出个小分支， ∴支干的数量为个，小分支的数量为个， 又∵主干、支干和小分支的总数是121， ∴可列方程为， 故选：A． 3．九年级一班班长在接到学校紧急通知后，通知了班级的x名班委，班委接到通知后，又分别通知了班级的其他x名同学，这样包括班长在内的全班57名同学就都知道了该通知，求x的值． 【答案】7 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意可得方程，再解方程即可． 【详解】解：由题意得， 解得，（舍去） 答：x的值为． 4．学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲，根据题意列方程求解即可； （2）用已有接受宣讲的人数乘以（1）中结果加上已有接受宣讲的人数即为经过三轮后接受宣讲的人数． 【详解】（1）解：设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲， 依题意，得即， 解得，舍去， 故这种宣讲活动，一个人会给人宣讲； （2）解：（人）， 故按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有人． 题型七：一元二次方程的应用-握手，循环问题 1．云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．设有支球队参加比赛，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键是理解单循环赛制的比赛场数计算方法，避免重复计数． 设有支球队参加比赛，根据单循环赛制可知实际总场次为场，据此得出方程． 【详解】解：∵有支球队参赛，每支球队需与其余支球队各赛一场， ∴若不考虑重复，总场次为场， 又∵单循环赛制中，A与B比赛和B与A比赛是同一场，存在重复计数， ∴实际总场次为场， ∴可列方程为， 故选：D． 2．为传递正能量，在中考百日誓师大会上，九年级各班决定互送励志祝福．若规定每个班要给本年级其他所有班级各送1条祝福，且所有班级送出的祝福总数是132条，则九年级的班级数为（    ）． A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意并根据等量关系列方程是解题关键． 设班级数为n，则每个班送出条祝福，总祝福数为，解二次方程求n即可． 【详解】解：设九年级的班级数为，则每个班需要送出条祝福， 根据题意，可列方程， 化简，得， 解得，，（负值舍去） ∴九年级一共有12个班． 故选：B． 3．班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出数学兴趣小组一共互送了132张贺卡，则数学兴趣小组有多少人？设数学兴趣小组有人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用．设数学兴趣小组人数为x人，根据“每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了132张新年贺卡”列方程解答即可． 【详解】解：设数学兴趣小组人数为x人， 依题意得， 故选：A． 4．参加一次商品交易会活动的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了份合同，请问共有多少公司参加此次商品交易会？ 【答案】家 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设共有家公司参加此次商品交易会，根据“每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了份合同”建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设共有家公司参加此次商品交易会， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：共有9家公司参加此次商品交易会． 5．国庆当天，小明将收到的一条短信，发送给若干人，每个收到短信的人又给相同数量的人转发了这条短信，此时收到这条短信的人共有157人，试求小明给多少个人发了短信？ 【答案】12个人 【分析】首先设小明发短信给个人，根据每人只转发一次可得第一次转发共有人收到了短信，第二次转发有人收到了短信，由题意可得方程人收到了短信，再解方程即可．此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 【详解】解：设小明发短信给个人，由题意得： ， 解得：，（不合题意舍去）， 答：小明发短信给12个人． 6．某市举行中学生足球比赛，要求参加比赛的所有球队直接进行双循环赛（每两个队之间进行两场比赛），共要进行110场比赛，问有多少支球队参加比赛? 【答案】11支 【分析】每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场．等量关系为：队的个数队的个数，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：设有支球队参加比赛． 由题意可得：， 解得，（不合题意，舍去）， ∴有11支球队参加比赛． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用；得到比赛总场数的等量关系是解决本题的关键． 题型八：一元二次方程的应用-面积问题 1．如图，某工厂要建一个矩形仓库，一边靠墙（靠墙一边不用木板，且墙的最大可利用长度为22米），并在BC边上开一扇2米宽的门，现在可用的材料为38米长的木板（全部使用完，门不用木板），设的长为米． (1)的长为_____米；（用含的代数式表示） (2)若仓库的面积为150平方米，求的长． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据题意解答即可求解； （2）根据题意列出方程，解方程即可求解； 【详解】（1）解：设为米，则米， 故答案为：； （2）解：由题意得，， 整理得，， 解得， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴米． 2．2025湖南省足球联赛（“湘超”联赛）决赛将在长沙贺龙体育场进行，万众瞩目，超100万人标记“想看”．真是一票难求，为满足球迷们的需求，各市县同时开辟了第二现场，在足球场内挂上了大屏，摆放了凳子，某市为了更好地维持秩序，在足球场内预留了三条同样宽的过道（如图）．已知足球场的长为100米，宽为65米，要保证观众座位的面积达到平方米，则过道的宽应该设计多少米？ 【答案】过道的宽应该设计米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设过道的宽为米，根据题意得出，解方程，根据实际取舍方程的解，即可求解． 【详解】解：设过道的宽为米，根据题意得， 整理得， 解得：（舍去） 答：过道的宽应该设计米． 3．中国书法是中华文化的独特表现艺术．被誉为：无言的诗，无形的舞，无图的画，无声的乐、而“三分画，七分裱”．书画装裱技艺同时也为书画内容服务．现要装裱一幅竖式布局的《七律·长征》书法作品，装裱时四周加上一定宽度的绫边、上、下绫边的宽度之比为．左、右绫边的宽度相等、下绫边的宽度是左、右绫边宽度的2倍．若装裱成品的面积为，求装裱成品的长与宽． 【答案】装裱成品的长与宽分别为， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设左、右绫边的宽度为，则上绫边的宽度为，下绫边的宽度为，根据题意得，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设左、右绫边的宽度为，则上绫边的宽度为，下绫边的宽度为， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴，， 答：装裱成品的长为，宽为． 4．瓦房店市被誉为“水果之乡”，尤其是葡萄品种多、质量好，而“妮娜皇后”葡萄近几年来广受消费者青睐，在瓦房店市广泛种植．某种植户有一块长45m，宽8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形葡萄地，使它们的面积之和为，两块葡萄地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度． 【答案】1米 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意找出等量关系是解题的关键； 设人行通道的宽度为x米列出方程，求解检验即可． 【详解】解：设人行通道的宽度为x米． 由已知得：即 解得：， 当时，，不符合题意， 答：人行通道的宽度为1米． 题型九：一元二次方程的应用-增长率问题 1．韶关市新华书店对外开放的第一个月共进书店600人次，进书店人次逐月增加，到第三个月月末为止累计进书店2850人次．若设进书店人次的月平均增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程—增长率问题，分别表示出三个月的进书店人数，再结合三个月累计进书店人数列出方程即可． 【详解】解：设进书店人次的月平均增长率为x，根据题意得： ． 故选：C 2．某电商店铺在促销活动期间，月份订单量为单，月份订单量增长到单，且从月到月，每月订单量的平均增长率相同． (1)求每月订单量的平均增长率． (2)按照这个平均增长率，预计月份该店铺订单量将达到多少？ 【答案】(1) (2)单 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． （1）设每月订单量的平均增长率为，根据等量关系：月份订单量（增长率）月份订单量，列出方程求解即可； （2）根据月份订单量月份订单量（增长率）列式计算即可． 【详解】（1）解：设每月订单量的平均增长率为． 根据题意，得， 解得，（舍去）． 答：每月订单量的平均增长率为． （2）解：（单）． 答：预计月份该店铺订单量将达到单． 3．某种商品原价是125元，经过两次降价，价格下降了． (1)求价格降到了多少元； (2)已知每次下降的百分率相同，那么每次下降的百分率是吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出每次下降的百分率． 【答案】(1)80元 (2)不是，每次下降的百分率为 【分析】本题主要考查了有理数乘法的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）价格下降了，那么实际价格为原来的，据此列式求解即可； （2）设每次下降的百分率是x，根据两次降价后价格从125元变为80元建立方程求解即可． 【详解】（1）解：元， 答：价格降到了80元； （2）解：不是，每次下降的百分率为，理由如下： 设每次下降的百分率是x， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴每次下降的百分率为． 4．2025年12月9日，某电影院开展“热血与担当永不落幕”系列活动，对团体购买电影票《志愿军：浴血和平》实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价10元，这样按原定零售票价需花费2000元购买的电影票，现在只花费了1500元． (1)求每张电影票的原定零售票价； (2)为了弘扬爱国精神，该影院决定对现场购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32.4元，求平均每次降价的降价率． 【答案】(1)40 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程和分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，注意要对分式方程的解进行检验． （1）设每张电影票的原定票价为元，则降价后的价格为元，根据按原定零售票价需花费2000元购买的电影票，现在只花费了1500元，列出方程，解方程即可； （2）设原定票价平均每次的降价率为，根据原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32.4元，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设每张电影票的原定票价为元，则降价后的价格为元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：每张电影票的原定票价为40元． （2）解：设平均每次降价的降价率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：平均每次降价的降价率为． 5．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多辆．该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率相同，求第二、三两个月的月平均增长率． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设第二、三两个月的月平均增长率为，利用该单车公司第三个月投放单车的数量该单车公司第一个月投放单车的数量（第二、三两个月的月平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解方程取符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设第二、三两个月的月平均增长率为， 根据题意得， 解得，（负值不符合题意，舍去）， 答：第二、三两个月的月平均增长率为． 题型十：一元二次方程的应用-利润问题 1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件 ． (1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元? (2)商场平均每天盈利能否达到1500元?请说明理由 . 【答案】(1)每件衬衫应降价20元 (2)不能达到1500元，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用； （1）设每件衬衫降价元，可得每件盈利元，每天可以售出件，根据总利润单件利润销售量，列方程求解即可； （2）设每件衬衫降价元，可得每件盈利元，每天可以售出件，根据总利润单件利润销售量，列方程，进一步求解判断即可． 【详解】（1）解：设每件衬衫降价元，可得每件盈利元，每天可以售出件， 由题意可得：， 解得，， ∵为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存， ∴越大，每天可以售出数量越大， ∴， 答：每件衬衫应降价20元； （2）解：假设能达到，设盈利为1500元，则： ， 整理得： ， ∴， ∴方程无实数根，故不能达到1500元. 2．浑源黄芪，又称正北芪．早在清朝，就以名贵特产进贡于朝廷．它是国内绿色保健品种的佳品，也是我国外贸出口的名贵药材．某药材公司以20元/千克的价格收购一批浑源黄芪进行销售，日销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）之间满足一次函数的关系，经过市场调查获得部分数据如下表． 销售价格（元/千克） 20 25 30 35 40 日销售量千克 600 450 300 150 0 (1)根据表中的数据，求与的函数表达式． (2)该药材公司应该如何确定这批浑源黄芪的销售价格，才能使日销售利润恰好为3000元？ 【答案】(1) (2)30元/千克 【分析】本题主要考查一次函数的实际运用、一元二次方程的实际应用，理解题目表格中的数据之间的关系是解题的关键． （1）利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）根据利润单件利润销售量得到，解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为． 将，代入， 得，解得， 与的函数表达式为； （2）解：由题意，得， 即， 整理得， 即， 解得． 答：这批浑源黄芪的销售价格定为30元/千克，才能使日销售利润恰好为3000元． 3．某超市以每袋8元的成本价购进一些糖果，根据前期销售情况，每天销售量y（袋）与该商品定价每袋x（元）是一次函数关系，如图所示． (1)求销售量y与定价x之间的函数关系式； (2)如果超市每天销售该糖果的利润是56元，但让顾客少花钱，不考虑其它因素，求该糖果的定价应为多少． 【答案】(1) (2)该糖果的定价应为12元 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用，理解题意，掌握一次函数的性质是解题关键． （1）由图象可知y与x是一次函数关系，由函数图象过点和，用待定系数法即可求得y与x的函数关系式； （2）根据（1）以及利润=单件利润×销售量得到关于x的一元二次方程，进而解方程即可． 【详解】（1）解：设，由图象可知， ， 解得， ∴销售量y与定价x之间的函数关系式是：； （2）解：超市每天销售所获得的利润是： ， 解得：， ∵让顾客少花钱， ∴该糖果的定价应为12元． 4．广安松针是四川省广安市特产，因茶芽白毫显露似雪松披霜，外形紧细挺拔匀直若针而得名，某茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出，经过市场调查发现，若每千克茶叶的售价每降低10元，则平均每周的销售量可增加 (1)若该专卖店销售这种品牌茶叶想平均每周获利41600元，且尽可能让利于顾客，赢得市场，则每千克茶叶应降价多少元？ (2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能刚好达到50000元吗？请说明理由， 【答案】(1)80 (2)不能，因为方程无实数解 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． （1）设每千克茶叶降价x元，根据每千克的利润乘以销售量等于总利润建立方程求解； （2）根据每千克的利润乘以销售量等于总利润建立方程，再计算根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：设每千克茶叶降价x元， 根据题意，， 整理得， 解得或， ∵尽可能让利于顾客， ∴选择降价较多的， 答：每千克茶叶应降价80元； （2）解：不能，理由如下： 由题意得，， 整理得，， 判别式， ∴方程无实数解， 故平均每周获利不能刚好达到50000元． 5．某宾馆有40个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为200元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用． (1)若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？ (2)若宾馆某一天获利8400元，则房价定为多少元？ 【答案】(1)元 (2)房价定为300元或320元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，列出方程． （1）根据利润房价的净利润入住的房间数可得； （2）设每个房间的定价为a元，根据以上关系式列出方程求解可得． 【详解】（1）若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为： （元）； （2）设每个房间的定价为a元， 根据题意，得：， 解得：或． 答：若宾馆某一天获利8400元，则房价定为300元或320元． 题型十一：一元二次方程的应用-动点问题 1．如图，在中，，，，点P从点A开始，沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始，沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q同时出发，当一个点到达目的地时，所有运动停止．若四边形的面积为，则点P运动的时间是（　　） A．3 B．3或5 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题关键． 设点P运动的时间为，则，，根据题意易得，，根据可得关于的一元二次方程并求解，然后确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：设点P运动的时间为， 则，， ∵，，， ∴， ， ∵四边形的面积为， ∴， 即，整理可得， 解得， 又∵点P，Q同时出发，点P从点A出发运动到点B用时，点Q从点B运动到点C用时，且当一个点到达目的地时，所有运动停止， ∴， ∴点P运动的时间是． 故选：A． 2．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是(    ) A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列一元二次方程来解决现实生活中的动点运动问题；本题已知了 、的速度，设秒后，的面积等于，根据路程 速度时间，可用时间 表示出 和的长，然后根据直角三角形的面积公式，得出方程，求出未知数，然后看看解是否符合题意，将不合题意的舍去即可得出时间的值． 【详解】解：在中，，，， 设秒后，的面积等于， ， ， 当时，，即不合题意，舍去． 所以秒后，的面积等于． 故选：B． 3．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则 秒后的面积为？ 【答案】1或5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则 ，， ，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则 ，， ，， ， ， ， ， 解得：，． 故运动1秒或5秒后的面积为． 故答案为：1或5． 4．如图，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动，设运动时间为． (1)为多少时，四边形的面积为； (2)为多少时，点和点的距离为． (3)，同时出发，直接写出为何值时，以，，为顶点的三角形为等腰三角形． 【答案】(1)； (2)为或； (3)或或或． 【分析】（1）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值； （2）过点作于点，则，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． （3）分、、三种情况讨论，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，设运动时间为． ，，，， 四边形的面积为， ， 解得：， 当为5时，四边形的面积为； （2）解：如图1，，，，为矩形的四个顶点，过点作于点， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：，， 当为或时，点和点的距离为； （3）解：当时，过作，如图2， 四边形是矩形， ， ，， ，， 四边形是矩形， ， ， 解得：； 当时，过作于，如图3， 同理可证：四边形是矩形， ，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：或； 当时，如图4， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：或（不合题意，舍去）， 综上所述，或或或时，以，，为顶点的三角形为等腰三角形． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是根据题意正确列出方程． 5．如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P、Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 【答案】(1)或 (2)能， 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用； （1）根据题意得，，由勾股定理得，据此列出方程求解即可； （2）分类讨论：当时，当时，分别列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得 ，， ， ， 解得，， 故或后，的长度等于． （2）解：能； ， ； 当时， ， ， 整理得， 解得； 当时， ， ， 整理得， ， 此时方程无实数解， 故此种情况不存在； 综上所述：当时，线段能将分成面积的两部分． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $