精品解析：安徽省皖中地区2026届高三下学期2月质检数学试题

2026届高三2月质检 数学试题 考试时间：120分钟满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本卷考察内容：高考全部内容. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：集合，集合，则． 2. 已知是边长为1的正的边上的动点，为的中点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可取AC的中点为O，然后以点O为原点，直线AC为x轴，建立平面直角坐标系，从而根据条件可得出，并设，从而可得出，根据x的范围，配方即可求出的最大值和最小值，从而得出取值范围. 【详解】解：取AC的中点O，以O为原点，直线AC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    则：，设， ， ，且， 时，取最小值；时，取最大值， ∴的取值范围是， 故选：A. 3. 学校筹办元旦晚会需要从5名男生和3名女生中各选1人作为志愿者，则不同选法的种数是（ ） A. 8 B. 28 C. 20 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】由题意可知不同选法有（种）. 故选:D. 4. 在四棱锥S-ABCD中，，，，则三棱锥S-ABD的体积为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先根据向量的数量积判断和向量的关系，进而求出的面积，再求出点到平面的距离，最后根据三棱锥体积公式求解即可. 【详解】，，， ， ，， 根据三角形面积公式， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，故平面的法向量为， 又，则， 故点到平面的距离为， 则三棱锥的体积为. 故选：C. 5. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，．是上一点在第一象限，直线与轴交于点，若，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，用分别表示，，由，得到与的关系，再结合角度关系利用余弦定理求出的关系，进而得到离心率． 【详解】设，则由题意有：，，， 由题意可知，， 由，所以， 即． 因为，， 所以，， 即． 故选：A． 6. 函数的图象与函数的图象的交点个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】通过方程解的个数即判断交点个数. 【详解】若函数的图象与函数的图象有交点， 则方程在上有解， 因为方程在上的解为和， 所以两函数图象有2个交点. 故选：C 7. 已知为数列的前项和，且，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由求得，则，正负相消求和. 【详解】当时，， 当时，， 又，所以， 所以， 设数列的前项和为， 则， 故选：A. 8. 已知方程在区间上恰有3个不等实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求得过的切线的斜率，结合图形可求得的取值范围. 【详解】， 直线过点， 设， 所以在点处的的切线方程为， 即，将代入得，. ，即在函数的图象上， . 要使方程在区间上恰有3个不等实数根， 则，即的取值范围是. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知复数满足，则（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则化简，再结合共轭复数、模的概念判断AB；根据复数的乘法法则判断CD. 【详解】由题意得，， 则，其虚部为，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：BD 10. 如图，在正三棱柱中，，M，N，D，Q分别为棱AB，AC，，的中点，，则以下结论正确的是（ ） A. 平面QMN B. C. 点Q到平面DMN的距离为 D. 三棱锥D－QMN的外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用线面平行判定定理判断A；应用勾股定理计算判断B；应用等体积法求出点Q到平面的距离判断C；利用补形及直三棱柱的外接球公式计算外接球半径即可判断D. 【详解】由题，，所以，平面，平面， 故平面，A正确； 由题可得，， 设，易得，， 因为，即，解得， 故，B错误； 因为，所以，得， ，平面，得出平面， ， 所以， 又， 设点Q到平面的距离为d，则，得，C正确； 将三棱锥补成以为底面的直三棱柱，则该三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球， 其球心O位于上下底面外心的中点，， 故的外接圆半径， 设外接球半径为R，则， 所以三棱锥的外接球表面积，D正确． 故选：ACD. 11. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），、为与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积不大于32 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程；对于B，联立抛物线方程，求出点、的坐标，即得；对于C，当抛物线在点处的切线与直线垂直，且抛物线在点处的切线与直线垂直时，最大，可判断C；对于D，求出抛物线在点处的切线，并求出切线与轴的交点的坐标，可知半个花瓣的面积小于的面积，可判断D. 【详解】对于A，由题意，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为, 将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为，故A正确； 对于B，根据A项分析，由，解得或，即， 代入可得，即 由图象的对称性，可得，所以，故B错误； 对于C， 设直线与抛物线相切，联立可得， 由，可得，且方程即为， 解得，，此时切点坐标为， 设直线与抛物线相切，联立可得， 由，可得，此时方程即为， 解得，，此时切点坐标为， 两切点连线的斜率为，即切点的连线与直线平行或重合， 故当、时，取最大值， 且其最大值为，即直线截第一象限花瓣的弦长最大值为，故C正确； 对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值. 如图， 对函数求导得，则抛物线在点处的切线斜率为， 所以抛物线在点处的切线方程为，即， 令，可得， 该切线交轴于点， 所以半个花瓣的面积必小于， 故原图中的阴影部分面积必小于，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式展开式通项可求得展开式中的系数. 【详解】的展开式通项为， 由可得，所以，展开式中的系数为. 故答案为：. 13. 若圆与轴相切，则实数的值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】求得圆心与半径，进而可得，求解即可. 【详解】由，可得， 方程表示圆，则可得圆心为，半径为， 由圆与轴相切，则可得，解得. 故答案为：. 14. 已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为______． 【答案】18 【解析】 【分析】求出函数的导数，可得的表达式，由此化简推出，结合说明，继而利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由于， 故， 故，， 则 ， 由，得， 由，即，知位于之间， 不妨设，则， 故， 当且仅当，即时等号成立， 故则的最小值为18， 故答案为：18 【点睛】关键点睛：本题考查了导数的几何意义以及不等式求最值的应用，解答的关键是利用导数的表达式推出，并说明，然后利用基本不等式求最值即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处取得极值-14. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在上的最值. 【答案】（1） （2）最小值为-14，最大值18 【解析】 【分析】（1）由极值和极值点，利用导数求出未知系数，再利用导数的几何意义求切点处切线的方程. （2）利用导数求函数单调区间，根据单调性求函数在区间上的最值. 【小问1详解】 因，故 由于在处取得极值-14，故有， 化简得，解得， 经检验，时，符合题意，所以. 则，，故. 所以曲线在点处的切线方程为：，即 【小问2详解】 ，， 解得或；解得， 即函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增， ， 因此在的最小值为.最大值为 16. 某学校组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1个球，每次摸球结果相互独立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率为，摸到2分球的概率为． （1）学生甲和乙各摸一次球，求两人得分相等的概率； （2）若学生甲摸球2次，其总得分记为X，求随机变量X的分布列与期望； （3）学生甲、乙各摸5次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励．已知甲前3次摸球得了6分，求乙获得奖励的概率． 【答案】（1） （2）分布列见解析，期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，甲乙同时摸到1分球或2分球，结合概率的乘法公式，即可求解； （2）根据题意，变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解； （3）记“甲最终得分为分”，其中，“乙获得奖励”，结合相互独立事件的概率公式以及条件概率和全概率公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意，摸到1分球的概率为，摸到2分球的概率为， 若学生甲和乙各摸一次球，甲乙的得分相同，则甲乙同时摸到1分球或2分球， 所以两人得分相等的概率为. 【小问2详解】 解：由题意知，学生甲摸球2次的总得分的可能取值为， 可得， 所以随机变量的分布列为： 2 3 4 所以，期望为. 【小问3详解】 解：记“甲最终得分为分”，其中，“乙获得奖励”， 可得， 当甲的最终得分为9分时，乙获得奖励需要最终得分为10分， 则； 当甲最终得分为8分时，乙获得奖励需要最终得分为10分或9分， 则， 所以， 所以乙获得奖励的概率为. 17. 如图，四棱锥中，底面，，，. （1）若G点为的重心，求； （2）若，证明：平面； （3）若，且二面角的正弦值为，求. 【答案】（1） （2） 因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以，在底面上，可知， 又平面，平面，所以平面. （3） 【解析】 【分析】（1）设出空间的一组基向量，将用基向量表示，运用数量积的运算律即可求得； （2）利用题设条件，先由线线垂直证明平面，得出，再证，在底面上，可得，最后由线线平行证线面平行即得； （3）设，，建立空间直角坐标系，求出相关点和平面法向量的坐标，利用向量夹角的坐标公式列出方程，求得，即得. 【小问1详解】 设，，，则，， ，. 如图，连接并延长交于点,连接,则 两边取平方得. ∴，∴. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，，则①，因，如图， 过点作的平行线，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 此时有 因设平面的法向量为， 则，故可取； 又设平面的法向量为， 则，故可取； 则， 由题意，，即，② 联立① ② ，解得故 【点睛】关键点点睛：本题主要考查空间向量在证明线面关系，空间角等方面的应用，属于较难题. 解题的关键在于结合图形，要么选择空间的一组基底，将相关向量用基底表示，通过向量的线性运算和数量积运算求得结论；要么建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算解决问题. 18. 已知椭圆的左、右顶点为，离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合.过点且斜率不为的直线交椭圆于点，直线与直线交于点. （1）求椭圆的方程； （2）记，的面积分别为，，若，求直线的斜率； （3）记直线、的斜率分别为、，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由. 【答案】（1） （2） （3），证明见详解 【解析】 【分析】（1）由抛物线焦点为得椭圆右焦点，即，根据离心率可解得，再利用椭圆基本关系求得的值，从而确定椭圆的标准方程； （2）根据的坐标关系，分别表示出和的面积，利用面积比条件建立与的模长关系，设直线的参数方程后联立椭圆，通过韦达定理结合的条件建立关于斜率参数的方程并求解； （3）先由直线的方程与联立求出点坐标，进而得到直线的斜率，结合的斜率构建比值表达式，代入直线参数方程进行化简，最后利用韦达定理消去坐标变量，判断比值是否为常数. 【小问1详解】 抛物线的焦点为，故椭圆右焦点，即. 椭圆离心率，得. ，因此椭圆的方程为： 【小问2详解】 ，，. 面积， 面积. 由，得： 因为在两侧，故异号，不妨设. 设直线，与椭圆联立得： 设，， 则 代入，得： 消去得： 所以，斜率. 【小问3详解】 直线， 令得： 直线的斜率. 于是： 代入， ， 由韦达定理得：，， 可得： 代入上式，分子：， 分母：. 所以： 19. 已知函数. （1）设，曲线在点（）处切线均经过坐标原点.求 ； （2）将的极小值点从小到大排列，形成的数列记为，首项记为. （i）求证：且是单调递增数列； （ii）求的最小值. 【答案】（1）1 （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义可得函数在点处的切线方程为，代入原点坐标，可得，最后再代入，求解即可； （2）（i）利用导数及正切函数的性质可得为的一个极小值点，为的一个极大值点，记在上的第个零点为，从而得是的一个极小值点，且，，且有，又，可得，，即可得证； （ii）由题意可得，由，可得，由，可得，从而推得单调递增，即可得. 【小问1详解】 因为，所以， 故函数在点处的切线方程为， 又因为切线过原点，所以，， 所以； 【小问2详解】 （i）因为， 令，得或， 因时，，不满足，故， 设在上的第一个零点为，如图所示： 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 所以为的一个极小值点， 设在上的第二个零点为， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以为的一个极大值点， 记在上的第个零点为，其中 则由上分析，可知在上单调递减，在上单调递增， 则是的一个极小值点， 同理可知在上的第个零点为，其中， 则是的一个极大值点， 综上可知，则， 且，， 由，可得， 所以， 而在上单调递增，故，， 所以是单调递增数列； （ii）由（i）结合的单调性，可知， 而，所以，， 因为，，所以，， 故，即， 故数列为单调递增数列， 所以. 2026届高三2月质检 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三2月质检 数学试题 考试时间：120分钟满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本卷考察内容：高考全部内容. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知是边长为1的正的边上的动点，为的中点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 学校筹办元旦晚会需要从5名男生和3名女生中各选1人作为志愿者，则不同选法的种数是（ ） A. 8 B. 28 C. 20 D. 15 4. 在四棱锥S-ABCD中，，，，则三棱锥S-ABD的体积为（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，．是上一点在第一象限，直线与轴交于点，若，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象与函数的图象的交点个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 已知为数列的前项和，且，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 8. 已知方程在区间上恰有3个不等实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知复数满足，则（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 10. 如图，在正三棱柱中，，M，N，D，Q分别为棱AB，AC，，的中点，，则以下结论正确的是（ ） A. 平面QMN B. C. 点Q到平面DMN的距离为 D. 三棱锥D－QMN的外接球的表面积为 11. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），、为与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积不大于32 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为________． 13. 若圆与轴相切，则实数的值是_____. 14. 已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处取得极值-14. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在上的最值. 16. 某学校组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1个球，每次摸球结果相互独立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率为，摸到2分球的概率为． （1）学生甲和乙各摸一次球，求两人得分相等的概率； （2）若学生甲摸球2次，其总得分记为X，求随机变量X的分布列与期望； （3）学生甲、乙各摸5次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励．已知甲前3次摸球得了6分，求乙获得奖励的概率． 17. 如图，四棱锥中，底面，，，. （1）若G点为的重心，求； （2）若，证明：平面； （3）若，且二面角的正弦值为，求. 18. 已知椭圆的左、右顶点为，离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合.过点且斜率不为的直线交椭圆于点，直线与直线交于点. （1）求椭圆的方程； （2）记，的面积分别为，，若，求直线的斜率； （3）记直线、的斜率分别为、，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由. 19. 已知函数. （1）设，曲线在点（）处切线均经过坐标原点.求 ； （2）将的极小值点从小到大排列，形成的数列记为，首项记为. （i）求证：且是单调递增数列； （ii）求的最小值. 2026届高三2月质检 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $