17.4 一元二次方程的根与系数的关系（教学课件）数学新教材沪科版八年级下册

17.4 一元二次方程的根与系数的关系 第十七章 一元二次方程 沪科版 · 新教材 · 八年级下册 学 习 目 标 1 2 3 了解一元二次方程的根与系数的关系,通过由特殊到一般,培养学生观察、分析、猜测规律的能力. 通过一元二次方程根与系数的关系的探索与推导,锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力. 向学生展示认识事物的一般规律,提倡积极思维,勇于探索的精神. 知识回顾 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)与根的判别式的关系 △=b2-4ac 有两个不相等的实数根； 有两个相等的实数根； 没有实数根； ∆＝0 ∆＜0 ∆＞0 ∆≥0 有两个实数根. 探究新知 一元二次方程的根都可由它的各项系数通过运算得到. 再根据系数a、b、c 的值求出方程的根， 前面我们已经学习用公式法解一元二次方程. 利用一元二次方程的求根公式 ， 换句话讲， 与该方程的各项系数之间有怎样的关系呢？ 进一步， 你是否注意到每个方程中的 两根之和 两根之积 (x1+x2)、 （x1x2） 探究新知 填写下表，然后观察根与系数的关系： 方程 x2+2x-15=0 3x2-4x+1=0 2x2+3x-2=0 x1 x2 x1+x2 x1x2 两个根 两根 之和 两根 之积 a与b之间关系 a与c之间关系 b a - c a 3 -5 -2 -15 -2 -15 1 1 3 4 3 1 3 4 3 1 3 -2 1 2 3 2 - -1 3 2 - -1 根据你的观察，猜想：方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根如果是 x1，x2， 那么 x1+x2= ， x1x2= . b a - c a 你能证明上面的猜想吗？ 验证结论 我们知道，一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的两根为 ∴ 我们知道，一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的两根为 ∴ 验证结论 验证结论 由上面证明过程可知，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系. 那么 这就是 根与系数 的关系， 如果 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的两个根为 x1，x2 , x1+x2= ， x1x2= b a - c a 韦达定理. 通常称为 知识拓展： ① 利用韦达定理的前提条件是 一元二次方程要有实数根 ∆=b2-4ac 即 ≥0 ② 利用韦达定理时， 要先把一元二次方程化为一般形式. 不解方程，求下列方程的两根的和与积. (1) 4x2-2x-7=0 解： (1) ∵ ∆=(-2)2-4×4×(-7)=116＞0 ∴ x1+x2= b a - = -2 4 - x1x2= c a = -7 4 = 1 2 = 7 4 - (2) 4x2-7=2x2+8x (2) 整理，得 2x2-8x-7=0 ∵ ∆=(-8)2-4×2×(-7)=120＞0 4 ∴ x1+x2= b a - = -8 2 - x1x2= c a = -7 2 = = 7 2 - 巩固练习 不解方程，求下列方程的两根的和与积. 巩固练习 (3) 2x2+3x=0 解： (4) 3x2=1 (3) ∵ ∆=32-4×2×0=9＞0 ∴ x1+x2= b a - = 3 2 - x1x2= c a = 0 2 =0 (4) 整理，得 3x2-1=0 ∵ ∆=02-4×3×(-1)=12＞0 x1+x2= b a - = 0 3 - 0 = x1x2= c a -1 3 = = 1 3 - 归纳总结 当一元二次方程的二次项系数为 1 时， 它的标准形式为 x2+px+q=0. 设它的两个根为 x1，x2 ,这时韦达定理应是： x1+x2= b a - =-p， x1x2= c a =q 以 x1，x2 为根的一元二次方程是 x2-(x1+x2)x+x1x2=0 巩固练习 解法一： ∵ 方程 2x2+kx-4=0 的一个根是 -4 ∴ 解得 ∴ 原方程为 解得 x1=-4， 综上所述：方程的另一个根是 , k的值为 7. 例 1 已知关于 x 的方程 2x2+kx-4=0 的一个根是 -4，求它的另一个根及 k 的值. 32-4k-4=0 k= 7 2x2+7x-4=0 x2= 1 2 1 2 巩固练习 解法二： 设方程的另一个根为 x2. 根据题意，得 -4＋x2 -4x2 解得 x2= k =7 ∴ 方程的另一个根是 , k的值为7. = =-2 例 1 已知关于 x 的方程 2x2+kx-4=0 的一个根是 -4，求它的另一个根及 k 的值. k 2 - k 2 - 1 2 1 2 巩固练习 1、方程 2x2-3x+1=0 的两个根记作 x1，x2，不解方程，求： (1) x12+x22 (2) 求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入求值. 知识拓展： 解： 由韦达定理，得 x1+x2= x1x2= 1 2 3 2 ， ∴ x12+x22 =( )2 3 2 1 2 = 5 4 =（x1+x2）2 - 2x1x2 -2× 巩固练习 1、方程 2x2-3x+1=0 的两个根记作 x1，x2，不解方程，求： (1) x12+x22 (2) 解： 由韦达定理，得 x1+x2= x1x2= 1 2 3 2 ， ∴ 巩固练习 (3) x1-x2 解： 由韦达定理，得 x1+x2= x1x2= 1 2 3 2 ， ∴ （x1-x2）2 =( )2 3 2 1 2 = 1 4 =（x1+x2）2 - 4x1x2 ∴ x1-x2= ± 1 2 -4× 1、方程 2x2-3x+1=0 的两个根记作 x1，x2，不解方程，求： │x1-x2│ ？？ 巩固练习 常用代数式变形方法总汇 1、x12+x22 =(x1+x2)2 -2x1x2 2、（x1-x2）2 =(x1+x2)2 - 4x1x2 巩固练习 2、若 α、β 是一元二次方程 x2+3x-6=0 的两个不相等的根，则 α2-3β 的值是（　　） A.3 B.15 C.-3 D.-15 B 变式：若 p、q 是方程 x2-3x-1=0 的两个不相等的实数根，则代数式 p3-4p2-2q+5 的值为 ． -2 巩固练习 3、已知关于 x 的一元二次方程 x2-6x+2m-1=0 有两个实数根 x1，x2． （1）若 x1=1，求 x2 及 m 的值； （2）是否存在实数 m ,满足 (x1-1)(x2-1)= ？若存在，求出实数 m 的值；若不存在，请说明理由． 巩固练习 3、已知关于 x 的一元二次方程 x2-6x+2m-1=0 有两个实数根 x1，x2． （1）若 x1=1，求 x2 及 m 的值； （2）是否存在实数 m ,满足 (x1-1)(x2-1)= ？若存在，求出实数 m 的值；若不存在，请说明理由． 感谢聆听! $