第三单元 因数与倍数（知识清单）数学苏教版五年级下册

第三单元 因数与倍数 单元知识清单讲义 知识点一：因数与倍数 1、利用整数乘法认识因数和倍数。 在乘法算式中，两个乘数都是积的因数，积是两个乘数的倍数。 2、求一个数的因数的方法。 （1）利用写“乘法算式”的方法来找一个数的因数，就是看这个数能写成哪两个整数相乘的形式，这些整数就是这个数的 因数。 （2）一个数的因数的个数是有限的，一个数的最小的因数是1，最大的因数是它本身。 3、求一个数的倍数的方法。 （1）求一个数的倍数，可以用这个数分别乘1、2、3、4...... （2）一个数的倍数的个数是无限的，一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数。 知识点二：2、5、3的倍数与特征 1、2、5的倍数的特征。 （1）个位上的数字是5或0的数是5的倍数。个位上的数字是2、4、6、8或0的数是2的倍数； （2）是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数； （3）个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。 2、3的倍数的特征。 把一个数的各个数位上的数字加起来，如果所得的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。 引伸拓展：把一个属的各个数位上的数字加起来，如果所得的和是9的倍数，那么这个数就是9的倍数。 3、奇数和偶数。 是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数。 4、2、5、3倍数的数的特征。 个位上是0，且各位上数的和是3的倍数的数，既是5、2的倍数又是3的倍数。 知识点三：质数和合数 1、质数和合数的意义。 一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数。一个数除了1和它本身意外还有别的因数，这样的数叫作合数。1既不是质数，也不是合数。 最小的质数是2，最小的合数是4。 2、认识质因数。 如果一个数的因数是质数，那么这个因数就是它的质因数。 3、分解质因数。 把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。 知识点四：公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数 1、公因数的含义。 几个数公有的因数叫作这几个数的公因数。 2、求公因数、最大公因数的方法。 （1）求两个数的公因数，可以用列举法先找出每个数的因数，再找出两个数的公因数；也可以先找一个数的因数，再从这个数的因数中找出另一个数的因数。 （2）两个数的公因数的个数是有限的，其中最大的公因数叫作这两个数的最大公因数。 3、公倍数的含义。 两个自然数公有的倍数叫作这两个自然数的公倍数。一个数的倍数是最小的，但没有最大的，故两个自然数的公倍数的个数是无限的。 4、求两个数的公倍数和最小公倍数的方法。 用列举法可以找出两个数的公倍数和最小公倍数，先列举出较大数的倍数，再从较大数的倍数中找出较小数的倍数，确定这两个数的公倍数及最小公倍数。 题型1：因数与倍数的认识 【例1】a÷b＝13（a、b都是非零自然数），那么b是a的（    ）。 A．倍数 B．因数 C．质数 D．合数 【练1】根据“6×7＝42”，下列说法正确的是（    ）。 A．42是倍数 B．42是6和7的因数C．7是42和6的倍数 D．6是42的因数 【练2】如果a是17的因数，那么（    ）。 A．a只能是1 B．a只能是17 C．a是1或17 D．a是任意自然数 题型2：找一个数的因数及因数的特征 【例2】一个自然数的最小倍数是18，这个数的因数有（    ）个。 A．2 B．4 C．6 D．8 【练3】你听过“完美数”吗？比如：6的因数有1，2，3，6。这几个因数满足的关系，像6这样的数叫“完美数”。下面数是完美数的是（    ）。 A．9 B．16 C．28 D．36 【练4】下面的数中，因数个数最多的是（    ）。 A．36 B．40 C．48 D．50 题型3：根据因数的特征解决问题 【例3】冰箱中有32块糖，齐思把糖从冰箱中拿出来。他每次拿的块数相同，但不是一次全部拿完，也不是一块一块拿的，拿到最后正好一块不剩。一共有几种拿法？每次分别拿多少块？ 【练5】航天任务的人员队列安排：航天任务表彰大会上，有48名航天工作者进行队列展示，要排成长方形队列，可以怎样排？（要求：每行或每列不得少于2人） 【练6】五年级（1）班有40人，如果所有同学站成方队表演体操，每行人数同样多，至少4人，最多12人。利用“因数和倍数”知识，你可以列举出几种站队的方法？请整理出来。 题型4：找一个数的倍数及倍数的特征 【例4】一个数的最大因数和最小倍数的和是30，这个数是（    ）。 A．6 B．15 C．30 D．45 【练7】一个数既是4的倍数，又是36的因数，这样的数共有（    ）个。 A．9 B．5 C．3 D．2 【练8】下面的数中，既是30的因数，又是6的倍数的是（    ）。 A．4 B．5 C．6 D．12 题型5：根据倍数的特征解决问题 【例5】爱护环境，人人有责。星期天，南山小学环保小组的7名同学一起去清理小广告。在四道街，他们一共清理了30多张小广告，而且他们每人清理的数量相同。他们一共清理了多少张小广告？（列算式或文字说明均可） 【练9】丽丽买来一袋苹果，苹果的个数既是30的因数，又是5的倍数。丽丽可能买了多少个苹果？ 【练10】有一筐苹果不超过50个，4个4个数或6个6个地数，都正好数完，这筐苹果最多有多少个？ 题型6：2、5的倍数的特征 【例6】一个两位数是5的倍数，且个位和十位的数字之和是9，这个两位数最大是（ ），最小是（ ）。 【练11】用0、7、5组成的既是2的倍数，又是5的倍数的最大的三位数是（    ）。 A．705 B．750 C．570 D．507 【练12】4月23日是“世界读书日”，学校开展了读书活动。笑笑看了一本80页的画册，翻开后看到两个页码，其中一个页码既是2的倍数，又是5的倍数。请你想一想翻开的页码可能是（    ）。 A．35、36 B．50、51 C．75、76 D．89、90 题型7：奇数和偶数 【例7】写出103后面4个连续的偶数（ ）、（ ）、（ ）、（ ）。 【练13】1—20中合数有（ ）个，奇数有（ ）个，4的倍数有（ ）个。 【练14】7和9都是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．质数 题型8：3的倍数的特征 【例8】74□是3的倍数，□里最大能填（ ），最小能填（ ）。 【练15】第三届亚洲青年运动会拳击比赛于当地时间2025年10月23日到10月30日在巴林举行，来自31个国家和地区的182名运动员参加，在男、女14个级别争夺赛中，中国小将斩获1银6铜佳绩，霍邱姑娘王晶晶获60公斤级铜牌，是我们霍邱人的骄傲。文中出现的数字，既是60的因数，又是3的倍数的数有（    ）个。 A．4 B．3 C．2 【练16】张老师在文具店买了3个同样的篮球（单价为整数），付了200元，找回34元。张老师很快就发现售货员算错了，你知道为什么吗？写出你的理由。 题型9：2、5、3的倍数的特征 【例9】在四位数21□0的□里填入一个数字，使它同时是2，3，5的倍数，最多有（    ）种填法。 A．2 B．3 C．4 D．5 【练17】一个箱子的密码是321□，密码既是2的倍数，又是3的倍数，这个箱子的密码可能是（    ）。 A．3210 B．3212 C．3214 D．3218 【练18】三张数字卡片，上面分别写有2，7，0，用它们摆成三位数，其中既是2和3的倍数，又有因数5的数有（    ）个。 A．1 B．2 C．4 题型10：完美数 【例10】你知道“完美数”吗？6是一个完美数，它的因数有1、2、3、6，满足1＋2＋3的和正好是6。12不是完美数，因为12的因数有1、2、3、4、6、12，但1＋2＋3＋4＋6不等于12。请写出28的全部因数（ ）。28是完美数吗？（ ）（括号里填“是”或者“不是”）。 【练19】下列数中是完美数的是（    ）。 A．9 B．8 C．6 D．20 【练20】在中国传统文化中，常用到数字“6”，比如六谷，六畜，六常，秦始皇以六为国数等。在数学上，数字“6”也非常特别，因为它是一个完全数。当一个数恰好等于除了它自身以外的全部因数之和，这个数就是完全数（也叫完美数）。比如6的因数有1、2、3、6，，所以6是完全数。 请你判断8和28这两个数是否是完全数，并写出判断的过程。 题型11：质数和合数 【例11】数学上把相差为2的两个质数叫做“孪生质数”，如3和5就是一对孪生质数，那么下列选项（    ）中的两个数是孪生质数。 A．7和9 B．11和13 C．13和15 D．19和21 【练21】用一条长16cm的铁丝围成一个长和宽都是质数的长方形，它的面积是（    ）cm2。 A．7 B．12 C．15 D．55 【练22】运动手环能记录运动的步数。李叔叔每天早上戴着运动手环跑步，今天跑步回来发现运动手环记录的步数是一个四位数。这个四位数（各个数位上的数不同）的千位上既是奇数又是合数，百位上既是偶数又是质数，十位上既不是质数也不是合数，个位上是最小的偶数，这个四位数是（ ）。 题型12：质数与合数的综合应用 【例12】星源小学举行武术操比赛，每一个参赛方队站2~4列，每一列的人数必须都相等。一个方队有多少名同学？下面几个人中只有一个是对的，谁说得对？请写出你的理由。 【练23】张老师画了一幅长方形的水墨画，长和宽都是整分米数，而且都是质数，并且已知水墨画周长是36分米，这幅水墨画的面积最大是多少平方分米？ 【练24】张叔叔在花圃里种了几行玫瑰，每行的棵数相同。欢欢、笑笑和乐乐到张叔叔的花圃数了数玫瑰的总棵数。 他们谁数得对？为什么？ 题型13：分解质因数 【例13】在括号里填上不同的质数。 21＝（ ）＋（ ）＋（ ）      30＝（ ）×（ ）×（ ） 【练25】你知道吗？任何大于1的整数，要么是一个质数，要么是若干个质数的乘积。如12＝2×2×3，这个过程称为“分解质因数”。请你把30也分解质因数：30＝（ ）×（ ）×（ ）。 【练26】在括号里填上合适的质数。 26＝（ ）＋（ ）        42＝（ ）×（ ）×（ ） 50＝（ ）－（ ）        56＝（ ）×（ ）×（ ）×（ ） 题型14：最大公因数和最小公倍数 【例14】写出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 25和40         28和70         24，36和42 【练27】用短除法求最大公因数和最小公倍数。 23和46      39和52 【练28】找出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 7和8    17和34    6和21    24和32 题型15：用最大公因数解决实际问题 【例15】有两根绳子，分别长36米和30米，现在要把它们剪成同样长的短绳，且没有剩余，每根短绳最长多少米？ 【练29】把一张长48厘米、宽40厘米的长方形纸裁成同样大小，面积尽可能大的正方形，纸没有剩余，裁成的正方形的最大边长是多少厘米？至少可以裁多少个正方形？ 【练30】某城市将举办一场国际论坛，会务组需要为参与论坛的48名男性青年代表和36名女性青年代表进行混合编组。要求每组的男性青年代表人数一样多，女性青年代表人数也一样多。最多可以分成多少个小组？ 题型16：用最小公倍数解决实际问题 【例16】学校进行队列操表演，五年（1）班全班学生人数不到50人，每行12人或每行16人都正好能排成整行，你知道这个班有多少人吗？ 【练31】公交起始站：2路公交车每6分钟发一次车，8路公交车每10分钟发一次车，2路公交车和8路公交车同时发车后，至少再经过多少分钟两车又同时发车？ 【练32】大课间时同学们玩“抱团”游戏，人数在20和30之间。同学们发现当抱团口令为4或6时，每个人都可以抱团成功。有多少人在玩游戏？（“抱团”游戏的规则：当听到口令中所报的数后，相应人数的同学迅速抱在一起，算作成功。） 一、选择题 1．一个车牌号是吉A•XX△〇□（△、□、〇分别代表一位数）根据如图的信息，确定这个车牌号是吉A•XX（    ）。 A．3、2、1 B．1、3、1 C．9、2、1 D．9、4、1 2．437至少减少（    ），同时是2，3，5的倍数。 A．4 B．5 C．7 D．17 3．淘气和妈妈在小区运动，淘气骑滑板车一圈需要4分钟，妈妈快走一圈需要10分钟，两人同时从起点同向出发，他们（    ）分钟后可以在起点第一次相遇。 A．4 B．10 C．20 D．40 4．科技社团做了42个太阳能小车模型和28个风力小船模型。老师要把这两种作品分别装进若干个相同且足够大的展示盒里，要求每盒装的个数相同且尽可能多。那么每盒最多能装（    ）个模型。 A．4 B．7 C．14 D．28 5．著名的“哥德巴赫猜想”有一个命题是：每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数的和。下面式子中体现这个猜想的是（    ）。 A．18＝17＋1 B．8＝2＋6 C．20＝3＋17 D．6＝2＋4 6．下面选项正确的是（    ）。 A．2的倍数都是偶数，3的倍数都是奇数 B．一个数除以一个小数，商一定比被除数大 C．任何自然数不是质数就是合数 D．平移前后，图形的大小、形状不变，位置改变 7．数学课上，五（1）班要开展小组活动，无论是4人一组还是6人一组，都多1人，五（1）班可能有（    ）。 A．24人 B．49人 C．64人 D．36人 8．齐白石是近代中国绘画大师，世界文化名人，他画的虾栩栩如生。兵兵是个国画爱好者，他临摹了一幅画，画整体是长方形，长和宽都是整分米数且都是质数，并且周长是36分米，这幅画的面积最小是（    ）平方分米。 A．77 B．65 C．45 D．32 二、填空题 9．学校购置了36条跳绳和24个足球，要平均分给一些班级，且都没有剩余。若这些班级个数在10到15之间。那么，这些班级有（ ）个，每班分得（ ）根跳绳，每班分得（ ）个足球。 10．用2，0，4三个数字组成的三位数中，同时是2，3，5的倍数的最大三位数是（ ）。 11．五（1）班的学生超过40人，接近50人，数学老师在课堂上让学生分组合作交流时，发现按照3人一组或者4人一组都刚好分完。这个班有学生（ ）人。 12．在献爱心活动中，五（1）班共向贫困山区捐款1□8□元，这个四位数同时是2、3、5的倍数，并且是最大的一个。五（1）班共捐款（ ）元。 13．爸爸和笑笑在同一个环形跑道上跑步，爸爸跑一圈用4分，笑笑跑一圈用6分。两人从同一起点同时同方向起跑，他们（ ）分后可以在起点第一次相遇，这时爸爸跑了（ ）圈。 14．用0、2、7三个数字组成三位数，分别满足以下的条件。 （1）同时是2、3的倍数的最大的三位数：（ ）。 （2）同时是5、3的倍数的最小的三位数：（ ）。 （3）同时是2、3和5的倍数的最大的三位数：（ ）。 15．韩信点兵：有兵一队，若每五人一排，则余三人：若每六人一排，则余三人；若每七人一排，则余三人。已知兵数在六百至七百之间，则一共有兵（ ）人。 16．猜猜我是谁。 （1）我是比3大，比7小的奇数，我是（ ）。 （2）我和另一个数都是质数，我们的和是15，我是（ ），另一个数是（ ）。 （3）我是一个偶数，也是一个两位数，十位数字与个位数字的积是18。这个数是（ ）或（ ）。 三、计算题 17．请你用自己喜欢的方法，求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 24和36                60和42                 50和125 18．在下面的数中圈出质数，并把合数分解质因数。 17  39  20  23  41  121  57  49 四、操作题 19．画一个面积是的长方形，可以画出（    ）种不同的长方形，请在下面的方格图中把它们都画出来。（长、宽都是整厘米数） 五、解答题 20．猜一猜：小红家的电话号码是多少？从左边数，第一位是最小的质数，第二位的因数只有1和3，第三位既不是合数也不是质数，第四位是最小的合数，第五位的最大的因数是8，第六位是最小的自然数，第七位是既是奇数又是合数。 21．缫丝工需要操作缫丝机，将熟茧制成生丝。张师傅将48位缫丝工分成人数相等的小组（每组人数大于1，不止1组），可以分几组？列表写出所有方案。 22．母亲生日这天，小红买了一些康乃馨和百合花，她付给营业员50元，营业员找回13元，小红立刻指出营业员找回的钱数不对，你知道小红是怎么判断的吗？请你写出你的思考过程。 种类 康乃馨 百合花 价格 5元/枝 10元/枝 23．小芳、小丽和小玉三人的年龄正好是三个连续的奇数，她们的年龄总和是45岁，她们中最小的是多少岁？最大的是多少岁？ 24．广东的龙舟竞渡是极具特色的传统民俗活动，实验小学五年级的同学们要以班级为单位排练龙舟操，需要将各班学生平均分成人数相等的小组（每个小组人数大于1），便于队列整齐。哪几个班可以？哪几个班不可以？为什么？ 班级 1班 2班 3班 4班 人数 37 41 39 40 25．学校图书馆购进一批新书，总数在100本到150本之间。如果把这些书平均分给6个班，正好分完；如果平均分给8个班，也正好分完。这批新书最少有多少本？最多有多少本？ 26．3月8日是国际劳动妇女节，又称“联合国妇女权益日”和“国际和平日”或“三八节”，是全世界劳动妇女团结战斗的光辉节日。为庆祝这个节日，阳光社区购来下面两种鲜花来扎成同样的花束（正好用完，没有剩余）。 （1）最多能扎成多少束？ （2）每束中每种鲜花各有多少枝？ 27．有一面长方形墙（示意图如图），如果用一种边长是整分米数的正方形瓷砖把这面墙贴满（瓷砖为整块），那么可以选择边长是多少分米的瓷砖？瓷砖边长最长是多少分米？ （1）瓷砖边长的分米数必须是40和24的（    ）数。 （2）试着写下你的解决方案。 （3）在图中，请你试着将你的解决方案在图里画一画，沿着长方形的长能贴（    ）块，宽能贴（    ）块，一共可以贴（    ）块。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 因数与倍数 单元知识清单讲义 知识点一：因数与倍数 1、利用整数乘法认识因数和倍数。 在乘法算式中，两个乘数都是积的因数，积是两个乘数的倍数。 2、求一个数的因数的方法。 （1）利用写“乘法算式”的方法来找一个数的因数，就是看这个数能写成哪两个整数相乘的形式，这些整数就是这个数的 因数。 （2）一个数的因数的个数是有限的，一个数的最小的因数是1，最大的因数是它本身。 3、求一个数的倍数的方法。 （1）求一个数的倍数，可以用这个数分别乘1、2、3、4...... （2）一个数的倍数的个数是无限的，一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数。 知识点二：2、5、3的倍数与特征 1、2、5的倍数的特征。 （1）个位上的数字是5或0的数是5的倍数。个位上的数字是2、4、6、8或0的数是2的倍数； （2）是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数； （3）个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。 2、3的倍数的特征。 把一个数的各个数位上的数字加起来，如果所得的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。 引伸拓展：把一个属的各个数位上的数字加起来，如果所得的和是9的倍数，那么这个数就是9的倍数。 3、奇数和偶数。 是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数。 4、2、5、3倍数的数的特征。 个位上是0，且各位上数的和是3的倍数的数，既是5、2的倍数又是3的倍数。 知识点三：质数和合数 1、质数和合数的意义。 一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数。一个数除了1和它本身意外还有别的因数，这样的数叫作合数。1既不是质数，也不是合数。 最小的质数是2，最小的合数是4。 2、认识质因数。 如果一个数的因数是质数，那么这个因数就是它的质因数。 3、分解质因数。 把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。 知识点四：公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数 1、公因数的含义。 几个数公有的因数叫作这几个数的公因数。 2、求公因数、最大公因数的方法。 （1）求两个数的公因数，可以用列举法先找出每个数的因数，再找出两个数的公因数；也可以先找一个数的因数，再从这个数的因数中找出另一个数的因数。 （2）两个数的公因数的个数是有限的，其中最大的公因数叫作这两个数的最大公因数。 3、公倍数的含义。 两个自然数公有的倍数叫作这两个自然数的公倍数。一个数的倍数是最小的，但没有最大的，故两个自然数的公倍数的个数是无限的。 4、求两个数的公倍数和最小公倍数的方法。 用列举法可以找出两个数的公倍数和最小公倍数，先列举出较大数的倍数，再从较大数的倍数中找出较小数的倍数，确定这两个数的公倍数及最小公倍数。 题型1：因数与倍数的认识 【例1】a÷b＝13（a、b都是非零自然数），那么b是a的（    ）。 A．倍数 B．因数 C．质数 D．合数 【答案】B 【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的。质数：大于1的自然数，除了1和它本身，没有其他因数。合数：大于1的自然数，除了1和它本身，还有其他因数。据此解答。 【解答】因为a÷b＝13（a、b都是非零自然数），所以b是a的因数。 故答案为：B 【练1】根据“6×7＝42”，下列说法正确的是（    ）。 A．42是倍数 B．42是6和7的因数C．7是42和6的倍数 D．6是42的因数 【答案】D 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。因数与倍数是相互依存的，必须说，谁是谁的因数，谁是谁的倍数。 【解答】A．根据“6×7＝42”可知，42是6和7的倍数，原说法错误； B．根据“6×7＝42”可知，42是6和7的倍数，原说法错误； C．根据“6×7＝42”可知，7是42的因数，原说法错误； D．根据“6×7＝42”可知，6是42的因数，原说法正确。 故答案为：D 【练2】如果a是17的因数，那么（    ）。 A．a只能是1 B．a只能是17 C．a是1或17 D．a是任意自然数 【答案】C 【分析】如果整数a除以整数的商是整数且没有余数，那么b就是a的因数。商是整数且没有余数，所以1是17的因数，，商是整数且没有余数，所以17也是17的因数。因此17的因数只有1和17，对比选项，解决问题。 【解答】A.17也是17的因数，选项错误； B.1也是17的因数，选项错误； C.“a是1或17”，与17的因数只有1和17相符，选项正确； D.只有1和17能整除17，不是任意自然数，选项错误。 故答案为：C 题型2：找一个数的因数及因数的特征 【例2】一个自然数的最小倍数是18，这个数的因数有（    ）个。 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】一个数最小的倍数是它本身，最大的因数也是它本身。一个自然数的最小倍数是18，所以这个数是18。列举18的所有因数，即可解答。 【解答】一个自然数的最小倍数是18，这个数就是18。 18的因数有：1、2、3、6、9、18，共6个。 故答案为：C 【练3】你听过“完美数”吗？比如：6的因数有1，2，3，6。这几个因数满足的关系，像6这样的数叫“完美数”。下面数是完美数的是（    ）。 A．9 B．16 C．28 D．36 【答案】C 【分析】完美数的定义是：一个数等于其所有真因数（除自身以外的因数）之和。根据定义，需逐一验证各选项的因数，计算真因数之和，并与原数比较。 【解答】A．9；9的因数有1，3，9；1＋3＝4；4≠9，所以9不是完美数。 B．16；16的因数有1，2，4，8，16；1＋2＋4＋8＝15；15≠16，所以16不是完美数。 C．28；28的因数有1，2，4，7，14，1＋2＋4＋7＋14＝28；28＝28，所以28是完美数。 D．36；36的因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36；1＋2＋3＋4＋6＋9＋12＋18＝55；55≠36，所以36不是完美数。 你听过“完美数”吗？比如：6的因数有1，2，3，6.这几个因数满足的关系，像6这样的数叫“完美数”。完美数是28。 故答案为：C 【练4】下面的数中，因数个数最多的是（    ）。 A．36 B．40 C．48 D．50 【答案】C 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说除数和商是被除数的因数；一一列举出各数的因数，比较各自因数的个数即可。 【解答】A．36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36，共9个； B．40的因数有：1，2，4，5，8，10，20，40，共8个； C．48的因数有：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48，共10个； D．50的因数有：1，2，5，10，25，50，共6个 48的因数个数最多。 故答案为：C 题型3：根据因数的特征解决问题 【例3】冰箱中有32块糖，齐思把糖从冰箱中拿出来。他每次拿的块数相同，但不是一次全部拿完，也不是一块一块拿的，拿到最后正好一块不剩。一共有几种拿法？每次分别拿多少块？ 【答案】4种；2、4、8、16块 【分析】拿到最后正好一块不剩，说明每次拿的块数是糖的总块数的因数。列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此求出糖的总块数的所有因数，排除1和它本身的情况即可。 【解答】32＝1×32＝2×16＝4×8 32的因数有：1、2、4、8、16、32，排除1和32，还有2、4、8、16，4个因数。 答：一共有4种拿法。每次分别拿2、4、8、16块。 【练5】航天任务的人员队列安排：航天任务表彰大会上，有48名航天工作者进行队列展示，要排成长方形队列，可以怎样排？（要求：每行或每列不得少于2人） 【答案】可以排成2行24列、3行16列、4行12列、6行8列、8行6列、12行4列、16行3列、24行2列。 【分析】要将48人分成每行或每列不少于2人的长方形队列，也就是将48分解成两个不小于2的整数的乘积，48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8＝8×6＝12×4＝16×3＝24×2，每个乘积对应一种行或列的组合方式。 【解答】48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8＝8×6＝12×4＝16×3＝24×2 答：可以排成2行24列、3行16列、4行12列、6行8列、8行6列、12行4列、16行3列、24行2列。 【练6】五年级（1）班有40人，如果所有同学站成方队表演体操，每行人数同样多，至少4人，最多12人。利用“因数和倍数”知识，你可以列举出几种站队的方法？请整理出来。 【答案】4种；具体见详解 【分析】40人站成方队，即每行人数是40的因数，且每行人数需满足“至少4人，最多12人”。因此需要先找出40的所有因数，再筛选出符合人数范围的因数，每个符合条件的因数对应一种站队方法。 【解答】40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8 因此40的因数有：1、2、4、5、8、10、20、40。 因为要求至少4人，最多12人，因此从因数中筛选出：4、5、8、10。 方法1：每行4人，站10行（4×10＝40） 方法2：每行5人，站8行（5×8＝40） 方法3：每行8人，站5行（8×5＝40） 方法4：每行10人，站4行（10×4＝40） 综上，共有4种站队方法。 题型4：找一个数的倍数及倍数的特征 【例4】一个数的最大因数和最小倍数的和是30，这个数是（    ）。 A．6 B．15 C．30 D．45 【答案】B 【分析】解答这道题需明确：一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的。所以，一个数最大的因数和最小的倍数都是它本身。一个数的最大因数和最小倍数的和是30，用30除以2即可得到这个数。 【解答】根据分析： 所以，这个数是15。 故答案为：B 【练7】一个数既是4的倍数，又是36的因数，这样的数共有（    ）个。 A．9 B．5 C．3 D．2 【答案】C 【分析】先找出36的因数，再从这些因数中找出4的倍数，最后统计符合条件的数的个数。 【解答】因为36÷1＝36，36÷2＝18，36÷3＝12，36÷4＝9，36÷6＝6，36÷9＝4，36÷12＝3，36÷18＝2，36÷36＝1，所以36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36。 因为4÷4＝1，12÷4＝3，36÷4＝9，所以4、12、36是4的倍数。 因此，既是4的倍数，又是36的因数，这样的数共有3个。 故答案为：C 【练8】下面的数中，既是30的因数，又是6的倍数的是（    ）。 A．4 B．5 C．6 D．12 【答案】C 【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组的写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数，据此求出30的因数； 求6的倍数，用6分别乘自然数1、2、3、4……，所得的积就是6的倍数，求出30以内6的倍数，进而解答。 【解答】30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6 30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30； 30以内6的倍数有：6，12，18，24，30。 既是30的因数又是6的倍数是6，30。 故答案为：C 题型5：根据倍数的特征解决问题 【例5】爱护环境，人人有责。星期天，南山小学环保小组的7名同学一起去清理小广告。在四道街，他们一共清理了30多张小广告，而且他们每人清理的数量相同。他们一共清理了多少张小广告？（列算式或文字说明均可） 【答案】35张 【分析】根据题意，7名同学每人清理的数量相同，说明总数量是7的倍数；同时总数量是“30多张”，所以需要找出7的倍数中大于30且小于40的数，再通过“人数×每人清理的数量”计算总数量，据此解答。 【解答】确定每人清理的数量：7的倍数中，30多的数是35，因为7×5＝35。 答：他们一共清理了35张小广告。 【练9】丽丽买来一袋苹果，苹果的个数既是30的因数，又是5的倍数。丽丽可能买了多少个苹果？ 【答案】丽丽可能买了5个、10个、15个或30个苹果。 【分析】根据找一个因数的方法先找出30的因数，接着从30的因数中找出5的倍数，即找出个位是0或5的数，据此解答。 【解答】 30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30。 30的因数中是5的倍数的数有5、10、15、30。 答：丽丽可能买了5个、10个、15个或30个苹果。 【练10】有一筐苹果不超过50个，4个4个数或6个6个地数，都正好数完，这筐苹果最多有多少个？ 【答案】48个 【分析】分析题目，苹果的个数既是4的倍数又是6的倍数，且不大于50，据此找出50以内既是4的倍数又是6的倍数的最大数即可。 【解答】50以内4的倍数：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48； 50以内6的倍数：6，12，18，24，30，36，42，48； 50以内既是4的倍数又是6的倍数的最大数是：48。 答：这筐苹果最多有48个。 题型6：2、5的倍数的特征 【例6】一个两位数是5的倍数，且个位和十位的数字之和是9，这个两位数最大是（ ），最小是（ ）。 【答案】90 45 【分析】个位与十位上的数字之和是9并且这个两位数是5的倍数，则个位为“0”或“5”，由此即可填空。 【解答】当个位为0时，十位为9－0＝9； 当个位为5时，十位为9－5＝4； 即一个两位数是5的倍数，且个位和十位的数字之和是9，这个两位数最大是90，最小是45。 【练11】用0、7、5组成的既是2的倍数，又是5的倍数的最大的三位数是（    ）。 A．705 B．750 C．570 D．507 【答案】B 【分析】2的倍数的特征：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 5的倍数的特征：个位是0或5的数是5的倍数。 【解答】既是2的倍数，又是5的倍数，个位一定是0； 750＞570，则既是2的倍数，又是5的倍数的最大的三位数是750。 故答案为：B 【练12】4月23日是“世界读书日”，学校开展了读书活动。笑笑看了一本80页的画册，翻开后看到两个页码，其中一个页码既是2的倍数，又是5的倍数。请你想一想翻开的页码可能是（    ）。 A．35、36 B．50、51 C．75、76 D．89、90 【答案】B 【分析】2的倍数，尾数为2、4、6、8、0；5的倍数，尾数为5、0，所以页码既是2的倍数，又是5的倍数，尾数应该为0。再根据这本书共80页，即可做出选择。 【解答】因为一个页码既是2的倍数，又是5的倍数，所以这个页码尾数为0，A、C错误。又这本画册共80页，B正确、D错误。 故答案为：B 题型7：奇数和偶数 【例7】写出103后面4个连续的偶数（ ）、（ ）、（ ）、（ ）。 【答案】104 106 108 110 【分析】两个连续偶数之间差2，偶数必须是2的倍数，103是奇数，103后面的104是个偶数，所以在103后面写出4个连续的偶数是104、104＋2、104＋2＋2、104＋2＋2＋2。 【解答】103＋1＝104 104＋2＝106 104＋2＋2＝108 104＋2＋2＋2＝110 103后面4个连续的偶数是104、106、108、110。 【练13】1—20中合数有（ ）个，奇数有（ ）个，4的倍数有（ ）个。 【答案】11 10 5 【分析】一个数，除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数，最小的合数是4；不是2的倍数的数叫作奇数；4的倍数是能被4整除的数。据此解答。 【解答】1—20中合数有4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20，共11个； 奇数有1、3、5、7、9、11、13、15、17、19，共10个； 4的倍数有：4×1＝4，4×2＝8，4×3＝12，4×4＝16，4×5＝20，共5个。 【练14】7和9都是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．质数 【答案】A 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 【解答】A．7和9都是奇数，符合题意； B．7和9都不是偶数，不符合题意； C．7是质数，9是合数，不符合题意。 故答案为：A 题型8：3的倍数的特征 【例8】74□是3的倍数，□里最大能填（ ），最小能填（ ）。 【答案】7 1 【分析】3的倍数特征：各个数位上的数字相加，和要能被3整除；据此解答。 【解答】7＋4＋□＝11＋□ 11＋1＝12，12是3的倍数，所以□里最小能填1； 11＋9＝20，20不是3的倍数，所以□里不能填9； 11＋8＝19，19不是3的倍数，所以□里不能填8； 11＋7＝18，18是3的倍数，所以□里最大能填7。 【练15】第三届亚洲青年运动会拳击比赛于当地时间2025年10月23日到10月30日在巴林举行，来自31个国家和地区的182名运动员参加，在男、女14个级别争夺赛中，中国小将斩获1银6铜佳绩，霍邱姑娘王晶晶获60公斤级铜牌，是我们霍邱人的骄傲。文中出现的数字，既是60的因数，又是3的倍数的数有（    ）个。 A．4 B．3 C．2 【答案】B 【分析】先从题目文中逐一提取出现的所有数字，分别是2025、10、23、30、31、182、14、1、6、60，再按照要求筛选出既是60的因数，又是3的倍数的数字，先列出60的全部因数，再从中找出是3的倍数的数，对照提取出的数字匹配后统计符合条件的个数，最终得出满足条件的数字数量。 【解答】文中出现的所有数字，分别是2025、10、23、30、31、182、14、1、6、60； 60的因数有：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60； 从60的因数里，找出是3的倍数的数有：3、6、12、15、30、60； 和题目原文提取的数字对照匹配，符合既是60的因数，又是3的倍数的数：6、30、60； 故答案为：B 【练16】张老师在文具店买了3个同样的篮球（单价为整数），付了200元，找回34元。张老师很快就发现售货员算错了，你知道为什么吗？写出你的理由。 【答案】理由见详解 【分析】根据题意，付了200元，找回34元，则3个篮球的总花费是200－34＝166元；因为篮球的单价是整数，数量是3个，根据“单价×数量＝总价”可知，总花费应是3的倍数； 根据3的倍数特征“各个数位上的数字相加，和要能被3整除”，判断总花费不是3的倍数，由此得出售货员算错了。 【解答】200－34＝166（元） 1＋6＋6＝13，13不是3的倍数，所以166不是3的倍数。 答：因为3个同样的篮球总花费应是3的倍数，而实际总花费166元不是3的倍数，所以售货员算错了。 题型9：2、5、3的倍数的特征 【例9】在四位数21□0的□里填入一个数字，使它同时是2，3，5的倍数，最多有（    ）种填法。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数能被2整除； 3的倍数特征：一个数各个位上的数字之和是3的倍数，这个数能被3整除；5的倍数特征：一个数的末尾是0或5，能被5整除。的末尾是0，所以它是2、5的倍数，因为的和是3的倍数，据此分析即可。 【解答】，且里只填一个数字，有如下几种情况： 当时，，3是3的倍数； 当时，，6是3的倍数； 当时，，9是3的倍数； 当时，，12是3的倍数； 所以在四位数的方框里填入一个数字，使它能同时被2，3，5整除，最多有4种填法。 故答案为：C 【练17】一个箱子的密码是321□，密码既是2的倍数，又是3的倍数，这个箱子的密码可能是（    ）。 A．3210 B．3212 C．3214 D．3218 【答案】A 【分析】2的倍数：个位数字必须是偶数（0、2、4、6、8）。3的倍数：各位数字之和必须是3的倍数。据此依次分析选项并验证，即可解答。 【解答】通过观察可知，四个选项的个位数字都是偶数，所以均是2的倍数，只需验证是否为3的倍数即可。 A．3210：3＋2＋1＋0＝6，6是3的倍数。 B．3212：3＋2＋1＋2＝8，8不是3的倍数。 C．3214：3＋2＋1＋4＝10，10不是3的倍数。 D．3218：3＋2＋1＋8＝14，14不是3的倍数。 所以既是2的倍数，又是3的倍数这个箱子的密码可能是3210。 故答案为：A 【练18】三张数字卡片，上面分别写有2，7，0，用它们摆成三位数，其中既是2和3的倍数，又有因数5的数有（    ）个。 A．1 B．2 C．4 【答案】B 【分析】根据2、3、5的倍数的特征，个位是0的数同时是2和5的倍数；一个数各位上的数字之和是3的倍数时，这个数是3的倍数。用数字2、7、0组成的三位数中，数字和为2＋7＋0＝9，9是3的倍数，所以组成的三位数都是3的倍数，因此只需考虑个位是0的数。据此解答。 【解答】由分析可得： 用数字2、7、0可以组成的三位数有：207、270、702、720。 207：个位是7，不是0，因此不是2或5的倍数。 270：个位是0，是2和5的倍数；数字和2＋7＋0＝9，是3的倍数。 702：个位是2，不是0，因此不是2或5的倍数。 720：个位是0，是2和5的倍数；数字和7＋2＋0＝9，是3的倍数。 因此，同时满足既是2和3的倍数又有因数5的数有270和720，共2个。 故答案为：B 题型10：完美数 【例10】你知道“完美数”吗？6是一个完美数，它的因数有1、2、3、6，满足1＋2＋3的和正好是6。12不是完美数，因为12的因数有1、2、3、4、6、12，但1＋2＋3＋4＋6不等于12。请写出28的全部因数（ ）。28是完美数吗？（ ）（括号里填“是”或者“不是”）。 【答案】1、2、4、7、14、28 是 【分析】先列举出28的全部因数，再把除了28以外的所有因数相加，如果和等于28，那么28就是完美数，反之，就不是完美数。 找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 “完美数”的定义：一个数除了它本身以外的所有因数之和等于它本身。 【解答】28＝1×28＝2×14＝4×7 28的因数：1、2、4、7、14、28； 1＋2＋4＋7＋14＝28 所以，28是完美数。 填空如下： 请写出28的全部因数（1、2、4、7、14、28）。28是完美数吗？（是）。 【练19】下列数中是完美数的是（    ）。 A．9 B．8 C．6 D．20 【答案】C 【分析】6的因数有1、2、3、6，1＋2＋3＝6，像6这样的数叫完美数。 【解答】A．9的因数有1、3、9，1＋3＝4，不是完美数； B．8的因数有1、2、4、8，1＋2＋4＝7，不是完美数； C．6的因数有1、2、3、6，1＋2＋3＝6，是完美数； D．20的因数有1、2、4、5、10、20，1＋2＋4＋5+10＝22，不是完美数。 故答案为：C 【点评】到2004年，人们在无穷无尽的自然数里，一共找出了40个完美数。 【练20】在中国传统文化中，常用到数字“6”，比如六谷，六畜，六常，秦始皇以六为国数等。在数学上，数字“6”也非常特别，因为它是一个完全数。当一个数恰好等于除了它自身以外的全部因数之和，这个数就是完全数（也叫完美数）。比如6的因数有1、2、3、6，，所以6是完全数。 请你判断8和28这两个数是否是完全数，并写出判断的过程。 【答案】8不是完全数，28是完全数。 【分析】根据题意得：一个数恰好等于除了它自身以外的全部因数之和，这个数就是完全数。一个数能被其它数整除，则这些数就是这个数的因数。据此判断8、26的因数，据此可得出答案。 【解答】8的因数有1、2、4、8，非本身的因数相加：，结果不是8，则8不是完全数； 28的因数有1、2、4、7、14、28，非本身的因数相加：，则28是完全数。 答：8不是完全数，28是完全数。 题型11：质数和合数 【例11】数学上把相差为2的两个质数叫做“孪生质数”，如3和5就是一对孪生质数，那么下列选项（    ）中的两个数是孪生质数。 A．7和9 B．11和13 C．13和15 D．19和21 【答案】B 【分析】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。孪生质数是指相差为2的两个质数。 先判断每个选项中的两个数是否为质数，再判断它们的差是否为2。 【解答】A．7的因数只有1和7，所以7是质数。9的因数有1、3、9，所以9不是质数。因为9不是质数，所以7和9不是孪生质数，该选项错误。 B．11的因数只有1和11，所以11是质数。13的因数只有1和13，所以13是质数。13－11＝2，满足相差为2。所以11和13是孪生质数，该选项正确。 C．13的因数只有1和13，所以13是质数。15的因数有1、3、5、15，所以15不是质数。因为15不是质数，所以13和15不是孪生质数，该选项错误。 D．19的因数只有1和19，所以19是质数。21的因数有1、3、7、21，所以21不是质数。因为21不是质数，所以19和21不是孪生质数，该选项错误。 故答案为：B 【练21】用一条长16cm的铁丝围成一个长和宽都是质数的长方形，它的面积是（    ）cm2。 A．7 B．12 C．15 D．55 【答案】C 【分析】长方形的周长＝（长＋宽）×2，那么这道题的长＋宽＝16÷2＝8，题目中告诉我们，长和宽都是质数，那么10以内的质数只有2、3、5、7，我们可以一个个分类讨论获得答案，长方形面积＝长×宽 【解答】根据分析，长＋宽＝8，如果长和宽都是质数，我们可以做以下讨论： 当宽＝2cm，长＝6cm，6不是质数； 当宽＝3cm，长＝5cm，这时长和宽都是质数，面积＝3×5＝15（cm2） 当长＝7cm，宽＝1cm，1不是质数； 所以用一条长16cm的铁丝围成一个长和宽都是质数的长方形，长和宽只能是5cm和3cm，它的面积是15cm2。 故答案为：C 【练22】运动手环能记录运动的步数。李叔叔每天早上戴着运动手环跑步，今天跑步回来发现运动手环记录的步数是一个四位数。这个四位数（各个数位上的数不同）的千位上既是奇数又是合数，百位上既是偶数又是质数，十位上既不是质数也不是合数，个位上是最小的偶数，这个四位数是（ ）。 【答案】9210 【分析】根据题意，千位数字需满足既是奇数又是合数，在0-9中只有9符合；百位数字需满足既是偶数又是质数，只有2符合；十位数字需满足既不是质数也不是合数，只能是1；个位数字是最小的偶数0，据此即可解答。 【解答】根据分析可知： 千位：既是奇数又是合数，数字9符合条件。 百位：既是偶数又是质数，数字2符合条件。 十位：既不是质数也不是合数，数字1符合条件。 个位：最小的偶数是0。 运动手环能记录运动的步数。李叔叔每天早上戴着运动手环跑步，今天跑步回来发现运动手环记录的步数是一个四位数。这个四位数（各个数位上的数不同）的千位上既是奇数又是合数，百位上既是偶数又是质数，十位上既不是质数也不是合数，个位上是最小的偶数，这个四位数是9210。 题型12：质数与合数的综合应用 【例12】星源小学举行武术操比赛，每一个参赛方队站2~4列，每一列的人数必须都相等。一个方队有多少名同学？下面几个人中只有一个是对的，谁说得对？请写出你的理由。 【答案】45名同学；小贝说得对；理由见详解 【分析】由题中所说每一个参赛方队站2~4列，总人数＝列数×每列人数，所以总人数一定为合数。由41和43均为质数，45是合数，可知一共多少名同学，谁说的是对的。 【解答】因为每一个参赛方队站2~4列， 所以总人数一定为2或3或4的倍数， 所以总人数一定是合数。 因为41和43都是质数，45是合数，45＝3×15， 所以一个方队有45名同学，小贝说的是正确的。 【练23】张老师画了一幅长方形的水墨画，长和宽都是整分米数，而且都是质数，并且已知水墨画周长是36分米，这幅水墨画的面积最大是多少平方分米？ 【答案】77平方分米 【分析】根据长方形周长＝（长＋宽）×2，长＋宽＝周长÷2，代入数据，求出长和宽的和；一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；再将长与宽和拆成两个质数相加的形式，确定长和宽，根据长方形面积＝长×宽，求出面积即可。 【解答】36÷2＝18（分米） 18＝11＋7＝13＋5 11×7＝77（平方分米） 13×5＝65（平方分米） 77＞65，最大面积是77平方分米。 答：这幅水墨画的面积最大是77平方分米。 【练24】张叔叔在花圃里种了几行玫瑰，每行的棵数相同。欢欢、笑笑和乐乐到张叔叔的花圃数了数玫瑰的总棵数。 他们谁数得对？为什么？ 【答案】笑笑；理由见详解 【分析】先根据质数和合数的意义，分析43、47、48是质数还是合数，质数不可能有几行，且每行的棵数相同；合数才可能有几行，且每行的棵数相同。据此解答。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【解答】43的因数：1，43； 48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48； 47的因数：1，47； 43、47是质数，不可能有几行，且每行的棵数相同； 48是合数，有可能种了2行，每行24棵；或种了3行，每行16棵；或种了4行，每棵12棵；或种了6行，每行8棵；或种了8行，每行6棵；或种了12行，每行4棵；或种了16行，每行3棵；或种了24行，每行2棵。 答：笑笑数对了。43、47都是质数，不可能有几行，且每行的棵数相同；48是合数，才可能有几行，且每行的棵数相同。 题型13：分解质因数 【例13】在括号里填上不同的质数。 21＝（ ）＋（ ）＋（ ）      30＝（ ）×（ ）×（ ） 【答案】3 7 11 2 3 5 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数，先写出21以内的所有质数，再找出和为21的三个不同的质数；每个合数都可以由几个质数相乘得到，其中每个质数都是这个合数的因数，叫作这个合数的质因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来叫作分解质因数，分解质因数通常用短除法，从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止，把这个数写成所有除数和商连乘的形式，据此解答。 【解答】21以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19，其中3＋7＋11＝21，3＋5＋13＝21。 分析可知，21＝3＋7＋11（答案不唯一），30＝2×3×5。 【练25】你知道吗？任何大于1的整数，要么是一个质数，要么是若干个质数的乘积。如12＝2×2×3，这个过程称为“分解质因数”。请你把30也分解质因数：30＝（ ）×（ ）×（ ）。 【答案】2 3 5 【分析】把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数；分解质因数只针对合数，写成几个质数相乘的形式，实际运算时可采用逐步分解的方式。 质数就是只能被1和它自身整除的数，合数就是除了1和它本身之外，还能被其它数整除的数。20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19，据此分析即可。 【解答】30＝6×5＝2×3×5 所以把30也分解质因数：30＝2×3×5。 【练26】在括号里填上合适的质数。 26＝（ ）＋（ ）        42＝（ ）×（ ）×（ ） 50＝（ ）－（ ）        56＝（ ）×（ ）×（ ）×（ ） 【答案】3 23 2 3 7 53 3 2 2 2 7 【分析】因数只有1和本身的数是质数，将一个合数写成几个质数相乘的形式叫分解质因数。据此通过尝试，填出各空。 【解答】26＝3＋23（答案不唯一） 42＝2×3×7 50＝53－3（答案不唯一）          56＝2×2×2×7 题型14：最大公因数和最小公倍数 【例14】写出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 25和40         28和70         24，36和42 【答案】最大公因数是5，最小公倍数是200； 最大公因数是14，最小公倍数是140； 最大公因数是6，最小公倍数是504。 【分析】对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数特有质因数的连乘积是最小公倍数。 【解答】， 25和40的最大公因数是5，最小公倍数是； ， 28和70的最大公因数是，最小公倍数是； ，， 24，36和42的最大公因数是，最小公倍数是。 【练27】用短除法求最大公因数和最小公倍数。 23和46      39和52 【答案】23；46；13；156 【分析】把两个数公有的质因数从小到大依次作为除数连续去除这两个数，直到得出的商只有公因数1为止，然后把所有除数连乘起来，所得的积就是这两个数的最大公因数；最后把所有除数和商连乘起来，所得的积就是这两个数的最小公倍数，据此解答。 【解答】（1）23和46 23和46的最大公因数是23，最小公倍数是23×2＝46。 （2）39和52 39和52的最大公因数是13，最小公倍数是13×3×4＝156。 【练28】找出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 7和8    17和34    6和21    24和32 【答案】1；56；17；34；3；42；8；96 【分析】两个数的公有质因数连乘的积就是这两个数的最大公因数；如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的那个数；如果两个数为互质数，最大公因数是1； 两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数连乘的积，就是两个数的最小公倍数；如果两个数为倍数关系，最小公倍数为较大的那个数；如果两个数为互质数，最小公倍数就是两个数的乘积； 【解答】7和8 7和8为互质数，最大公因数是1；最小公倍数是7×8＝56； 17和34 17和34是倍数关系。最大公因数是17；最小公倍数是34； 6和21 6＝2×3 21＝3×7 6和21的最大公因数是3；最小公倍数是2×3×7＝42； 24和32 24＝2×2×2×3 32＝2×2×2×2×2 24和32的最大公因数是2×2×2＝8；最小公倍数是2×2×2×2×2×3＝96。 题型15：用最大公因数解决实际问题 【例15】有两根绳子，分别长36米和30米，现在要把它们剪成同样长的短绳，且没有剩余，每根短绳最长多少米？ 【答案】6米 【分析】公因数是一个能被若干个整数同时整除的整数。如果一个整数同时是几个整数的因数，称这个整数为它们的“公因数”；公因数中最大的称为最大公因数。可用短除法求最大公因数（短除法运算方法是先用一个除数除以能被它除尽的一个质数，以此类推，除到商是质数为止。把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，直到得出的商只有公因数1为止。把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。） 要求36米和30米能剪成同样长的短绳且最长，就是求36和30的最大公因数，用短除法求解即可。 【解答】 2×3＝6（米） 答：每根短绳最长6米。 【练29】把一张长48厘米、宽40厘米的长方形纸裁成同样大小，面积尽可能大的正方形，纸没有剩余，裁成的正方形的最大边长是多少厘米？至少可以裁多少个正方形？ 【答案】8厘米；30个 【分析】由题意可知，把一张长48厘米、宽40厘米的长方形纸裁成同样大小，面积尽可能大的正方形且纸没有剩余，那么正方形的边长应该是48和40的最大公因数。求至少可以裁多少个正方形，可以先用48和40分别除以它们的最大公因数，然后再把得数相乘即可解答。 【解答】 2×2×2＝4×2＝8，即48和40的最大公因数是8，所以裁成的正方形的最大边长是8厘米。 48÷8＝6（个） 40÷8＝5（个） 6×5＝30（个） 答：裁成的正方形的最大边长是8厘米，至少可以裁30个正方形。 【练30】某城市将举办一场国际论坛，会务组需要为参与论坛的48名男性青年代表和36名女性青年代表进行混合编组。要求每组的男性青年代表人数一样多，女性青年代表人数也一样多。最多可以分成多少个小组？ 【答案】12个 【分析】根据题意，将48名男性青年代表和36名女性青年代表进行混合编组，要求每组的男性、女性青年代表人数一样多，那么分成的组数是48和36的公因数，最多可以分成的组数是48和36的最大公因数。 48和36分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数，即可得解。 【解答】48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 48和36的最大公因数是：2×2×3＝12 即最多可以分成12个小组。 答：最多可以分成12个小组。 题型16：用最小公倍数解决实际问题 【例16】学校进行队列操表演，五年（1）班全班学生人数不到50人，每行12人或每行16人都正好能排成整行，你知道这个班有多少人吗？ 【答案】48人 【分析】根据题意，这个数刚好是12和16的公倍数，首先我们先找出12和16的最小公倍数，12＝2×2×3，16＝2×2×2×2，那么它们的最小公倍数是48。而48又刚好小于50，即48就是所求答案。 【解答】根据分析， 12＝2×2×3，16＝2×2×2×2，那么它们的最小公倍数是48； 48＜50 答：这个班有48人。 【练31】公交起始站：2路公交车每6分钟发一次车，8路公交车每10分钟发一次车，2路公交车和8路公交车同时发车后，至少再经过多少分钟两车又同时发车？ 【答案】30分钟 【分析】2路车每6分钟发车一次，那么2路车的发车间隔时间就是6的倍数；8路车每10分钟发车一次，那么8路车的发车间隔时间就是10的倍数；两辆车同时发车的间隔是6和10的公倍数，最少的间隔时间就是6和10的最小公倍数，据此解答即可。 【解答】由分析可得： 6和10的最小公倍数是： 答：两车同时发车后至少再过30分钟又同时发车。 【练32】大课间时同学们玩“抱团”游戏，人数在20和30之间。同学们发现当抱团口令为4或6时，每个人都可以抱团成功。有多少人在玩游戏？（“抱团”游戏的规则：当听到口令中所报的数后，相应人数的同学迅速抱在一起，算作成功。） 【答案】24人 【分析】根据题意，口令为4或6时，每个人都可以抱团成功，所以人数应该是4和6的公倍数，同时该公倍数应该在20和30之间，据此解答即可。 【解答】由分析可得： 4＝2×2 6＝2×3 4和6的最小公倍数是：2×2×3＝12； 则4和6的公倍数有：12、24、36、48、60… 两个数的公倍数在20和30之间的为：24，所以有24人。 答：有24人在玩游戏。 一、选择题 1．一个车牌号是吉A•XX△〇□（△、□、〇分别代表一位数）根据如图的信息，确定这个车牌号是吉A•XX（    ）。 A．3、2、1 B．1、3、1 C．9、2、1 D．9、4、1 【答案】C 【分析】9的最大因数是9，偶数中唯一的质数是2，1既不是质数也不是合数，所以△、〇、□分别是9，2，1。 【解答】由分析可知：△、□、〇分别代表一位数，△、〇、□分别是9，2，1。 确定这个车牌号是吉A•XX921。 故答案为：C 2．437至少减少（    ），同时是2，3，5的倍数。 A．4 B．5 C．7 D．17 【答案】D 【分析】同时是2，3，5的倍数特征：个位数字是0，且各个数位上的数字之和能被3整除。要使437的个位数字是0，用437－7＝430，而430中，各个数位上的数字之和为4＋3＋0＝7，7不能被3整除，可将十位上的数字减少1即将430减少10变成420，此时各个数位上的数字之和为4＋2＋0＝6，6÷3＝2，即6是3的倍数，所以420同时是2，3，5的倍数。所以437至少减少437－420＝17，同时是2，3，5的倍数。 【解答】根据分析： 437－7＝430 430－10＝420 437－420＝17 437至少减少17，同时是2，3，5的倍数。 故答案为：D 3．淘气和妈妈在小区运动，淘气骑滑板车一圈需要4分钟，妈妈快走一圈需要10分钟，两人同时从起点同向出发，他们（    ）分钟后可以在起点第一次相遇。 A．4 B．10 C．20 D．40 【答案】C 【分析】两人在起点相遇的条件是所用时间同时是淘气骑一圈和妈妈快走一圈所用时间的倍数，要知道“几分钟后可以在起点第一次相遇”，需要求这两个时间的最小的相同倍数。 【解答】淘气骑一圈要4分钟，所以他回到起点的时间是：4分钟、8分钟、12分钟、16分钟、20分钟、24分钟……； 妈妈快走一圈要10分钟，所以她回到起点的时间是：10分钟、20分钟、30分钟、40分钟……； 对比两个时间，第一个共同出现的时间是20分钟，这说明20分钟时，淘气刚好骑完5圈（4×5＝20分钟），妈妈刚好走完2圈（10×2＝20分钟），两人同时回到起点。 即他们在20分钟后可以在起点第一次相遇。 故答案为：C 4．科技社团做了42个太阳能小车模型和28个风力小船模型。老师要把这两种作品分别装进若干个相同且足够大的展示盒里，要求每盒装的个数相同且尽可能多。那么每盒最多能装（    ）个模型。 A．4 B．7 C．14 D．28 【答案】C 【分析】根据题意，要求每盒装的个数相同且尽可能多，那么每盒最多能装模型的数量，就是42和28的最大公因数。42和28分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数，即可得解。 【解答】42＝2×3×7 28＝2×2×7 42和28的最大公因数是：2×7＝14 所以每盒最多能装14个。 故答案为：C 5．著名的“哥德巴赫猜想”有一个命题是：每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数的和。下面式子中体现这个猜想的是（    ）。 A．18＝17＋1 B．8＝2＋6 C．20＝3＋17 D．6＝2＋4 【答案】C 【分析】根据题意，每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和，偶数：能被2整除的数是偶数；奇数：不能被2整除的数是奇数；质数：只有1和它本身两个因数的数是质数；合数：除了1和它本身，没有其它因数的数是合数。据此即可判断。 【解答】A．1是奇数，但不是质数，所以它不是奇质数，不符合题意； B．2和6都是偶数不是奇数，同时6是合数，不是质数，不符合题意； C．3和17都是奇质数，符合题意； D．2和4都是偶数不是奇数，同时4是合数，不是质数，不符合题意。 故答案为：C 6．下面选项正确的是（    ）。 A．2的倍数都是偶数，3的倍数都是奇数 B．一个数除以一个小数，商一定比被除数大 C．任何自然数不是质数就是合数 D．平移前后，图形的大小、形状不变，位置改变 【答案】D 【分析】A．不能被2整除的数叫做奇数，能被2整除的数叫做偶数；2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。据此举例解答。 B．一个非0数，除以大于1的数，商小于被除数；一个非0数，除以小于1的数，商大于被除数，据此举例解答。 C．在数物体的个数时，用来表示物体个数的1、2、3、4、5、…叫做自然数，一个物体也没有，用“0”表示；一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身还有其他因数，这样的数叫做合数；据此举例解答。 D．根据平移特征：平移前后，图形的大小、形状不变，位置改变，据此解答。 【解答】A．6是偶数，6是3的倍数，所以2的倍数都是偶数，3的倍数，不一定是奇数，原说法错误。 B．3÷1.5＝2，因为3＞2，所以一个数除以一个小数，商不一定比被除数大，原说法错误。 C．1是自然数，1既不是质数，也不是合数，原说法错误。 D．平移前后，图形的大小、形状不变，位置改变，原说法正确。 正确的是平移前后，图形的大小、形状不变，位置改变。 故答案为：D 7．数学课上，五（1）班要开展小组活动，无论是4人一组还是6人一组，都多1人，五（1）班可能有（    ）。 A．24人 B．49人 C．64人 D．36人 【答案】B 【分析】根据题干中不论4人一组还是6人一组都多1人，则五（1）班人数是4和6的公倍数再加1人，通过分解质因数求出4、6的最小公倍数是12，即人数是12的倍数加1，分析四个选项选出符合条件的即可。 分解质因数通常用短除法，通常从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止，分解质因数的方法叫短除法。 【解答】 4和6的最小公倍数是：2×2×3＝12 五（1）班人数是12的倍数多1； A．24人，24是12的2倍，不符合条件； B．49人，49是12的4倍多1，符合条件； C．64人，64是12的5倍多4，不符合条件； D．36人，36是12的3倍，不符合条件； 故答案为：B 8．齐白石是近代中国绘画大师，世界文化名人，他画的虾栩栩如生。兵兵是个国画爱好者，他临摹了一幅画，画整体是长方形，长和宽都是整分米数且都是质数，并且周长是36分米，这幅画的面积最小是（    ）平方分米。 A．77 B．65 C．45 D．32 【答案】B 【分析】质数：只有1和它本身2个因数的数；长方形的周长＝（长＋宽）×2，据此先用长方形的周长除以2求出这幅画的长、宽之和，再根据质数的概念及长、宽之和推导出长方形的长和宽，再根据长方形的面积＝长×宽求出长方形的面积，最后把得出的面积进行比较并且确定出最小的面积即可。 【解答】36÷2＝18（分米） 18＝5＋13＝7＋11 13×5＝65（平方分米） 11×7＝77（平方分米） 65＜77 这幅画的面积最小是65平方分米。 故答案为：B 二、填空题 9．学校购置了36条跳绳和24个足球，要平均分给一些班级，且都没有剩余。若这些班级个数在10到15之间。那么，这些班级有（ ）个，每班分得（ ）根跳绳，每班分得（ ）个足球。 【答案】12 3 2 【分析】利用短除法求出跳绳的条数36和足球的个数24的公因数，在10到15之间的公因数即为班级的个数，平均每个班级分跳绳的根数等于跳绳的总根数除以分的班级个数；平均每个班级分足球的个数等于足球的总个数除以分的班级个数。 短除法运算方法是先用一个除数除以能被它除尽的一个质数，以此类推，除到商是质数为止。 把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，直到得出的商只有公因数1为止。然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。 【解答】 36和24的最大公因数是2×2×3＝12，这些班级有12个； 36÷12＝3（根） 24÷12＝2（个）。 这些班级有12个，每班分得3根跳绳，每班分得2个足球。 10．用2，0，4三个数字组成的三位数中，同时是2，3，5的倍数的最大三位数是（ ）。 【答案】420 【分析】同时是2，3，5的倍数的特征：个位数字是0且各个数位上的数字之和能被3整除。要使得由2，0，4三个数字组成的三位数同时是2，3，5的倍数的最大三位数，这个三位数的个位数字是0，因为4＞2，那么百位上的数字是最大的数字4，十位上的数字是2，所以这个最大三位数是420。 【解答】根据分析： 用2，0，4三个数字组成的三位数中，同时是2，3，5的倍数的最大三位数是420。 11．五（1）班的学生超过40人，接近50人，数学老师在课堂上让学生分组合作交流时，发现按照3人一组或者4人一组都刚好分完。这个班有学生（ ）人。 【答案】48 【分析】“按3人一组或4人一组都刚好分完”，说明总人数是3和4的公倍数。互质的两个数，它们的最小公倍数就是这两个数的乘积，即3×4＝12。因此，班级人数必然是12的倍数。根据“超过40人，接近50人”的条件，我们从12的倍数（12、24、36、48、60…）中筛选，只有48符合这个范围，所以班级人数是48人。 【解答】3×4＝12 12×1＝12 12×2＝24 12×3＝36 12×4＝48 40＜48＜50 所以这个班有学生48人。 12．在献爱心活动中，五（1）班共向贫困山区捐款1□8□元，这个四位数同时是2、3、5的倍数，并且是最大的一个。五（1）班共捐款（ ）元。 【答案】1980 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 2、5的倍数特征：个位上是0的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【解答】这个四位数是2、5的倍数，则个位上一定是0； 同时是3的倍数，是最大的一个，如果百位上是9，则各个数位上的数字之和是： 1＋9＋8＋0＝18，是3的倍数； 所以，五（1）班共捐款1980元。 13．爸爸和笑笑在同一个环形跑道上跑步，爸爸跑一圈用4分，笑笑跑一圈用6分。两人从同一起点同时同方向起跑，他们（ ）分后可以在起点第一次相遇，这时爸爸跑了（ ）圈。 【答案】12 3 【分析】两人从同一起点同时同方向起跑，要在起点第一次相遇，意味着爸爸和笑笑都刚好跑了整数圈，所用时间必须是爸爸跑一圈时间（4分钟）和笑笑跑一圈时间（6分钟）的公倍数，而“第一次相遇”对应的就是最小公倍数。先把4和6分解成质数相乘的形式，取公有的质因数一次，再乘上各自独有的质因数，相乘就是它们的最小公倍数。求出相遇时间后，用总时间除以爸爸跑一圈需要的时间，求出爸爸跑的圈数。 【解答】4＝2×2 6＝2×3 2×2×3 ＝4×3 ＝12 所以最小公倍数是12，即他们12分后可以在起点第一次相遇。 12÷4＝3（圈） 所以这时爸爸跑了3圈。 14．用0、2、7三个数字组成三位数，分别满足以下的条件。 （1）同时是2、3的倍数的最大的三位数：（ ）。 （2）同时是5、3的倍数的最小的三位数：（ ）。 （3）同时是2、3和5的倍数的最大的三位数：（ ）。 【答案】（1）720 （2）270 （3）720 【分析】（1）既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 （2）既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 （3）2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【解答】（1）同时是2、3的倍数的最大的三位数：720。 （2）同时是5、3的倍数的最小的三位数：270。 （3）同时是2、3和5的倍数的最大的三位数：720。 15．韩信点兵：有兵一队，若每五人一排，则余三人：若每六人一排，则余三人；若每七人一排，则余三人。已知兵数在六百至七百之间，则一共有兵（ ）人。 【答案】633 【分析】题目中 “每五人一排余三人、每六人一排余三人、每七人一排余三人”，说明兵的总数减去 3 后，是 5、6、7 的公倍数。先求出 5、6、7 的最小公倍数，再找到 600 至 700 之间符合条件的数，最后加 3 得到兵的总数。 【解答】5，6，7的最小公倍数是210 （人） 韩信点兵：有兵一队，若每五人一排，则余三人：若每六人一排，则余三人；若每七人一排，则余三人。已知兵数在六百至七百之间，则一共有兵633人。 16．猜猜我是谁。 （1）我是比3大，比7小的奇数，我是（ ）。 （2）我和另一个数都是质数，我们的和是15，我是（ ），另一个数是（ ）。 （3）我是一个偶数，也是一个两位数，十位数字与个位数字的积是18。这个数是（ ）或（ ）。 【答案】（1）5 （2）2 13 （3）36 92 【分析】（1）整数中，不是2的倍数的数叫做奇数。找出比3大，比7小的奇数即可。 （2）一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。先找出15以内的所有质数，再看哪两个质数相加，和是15即可。 （3）整数中，是2的倍数的数叫做偶数。先把18分解成哪两个数相乘，再根据偶数的意义，把2的倍数放在个位，另一个数放在十位，由此得出这个两位数。 【解答】（1）我是比3大，比7小的奇数，我是（5）。 （2）15以内的质数有：2、3、5、7、11、13； 2＋13＝15 我是（2），另一个数是（13）或我是（13），另一个数是（2）。 （3）18＝2×9＝3×6 这个数是（36）或（92）。 三、计算题 17．请你用自己喜欢的方法，求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 24和36                60和42                 50和125 【答案】最大公因数是12，最小公倍数是72；最大公因数是6，最小公倍数是420；最大公因数是25，最小公倍数是250 【分析】分解质因数法是把每个数分解成质因数相乘的形式，最大公因数是两个数公有的质因数的乘积，最小公倍数是公有的质因数与各自独有的质因数的乘积。下面用分解质因数法来求解。 24和36，分解质因数：24＝2×2×2×3，36＝2×2×3×3。公有的质因数是2、2、3，所以最大公因数为2×2×3。公有的质因数是2、2、3，24独有的质因数是2，36独有的质因数是3，所以最小公倍数为2×2×3×2×3。 60和42，分解质因数：60＝2×2×3×5，42＝2×3×7。公有的质因数是2、3，所以最大公因数为2×3＝6。公有的质因数是2、3，60独有的质因数是2、5，42独有的质因数是7，所以最小公倍数为2×3×2×5×7。 50和125，分解质因数：50＝2×5×5，125＝5×5×5。公有的质因数是5、5，所以最大公因数为5×5。公有的质因数是5、5，50独有的质因数是2，125独有的质因数是5，所以最小公倍数为2×5×5×5。 【解答】24和36：24＝2×2×2×3，36＝2×2×3×3 最大公因数：2×2×3＝12 最小公倍数：2×2×3×2×3＝72 60和42：60＝2×2×3×5，42＝2×3×7 最大公因数：2×3＝6 最小公倍数：2×3×2×5×7＝420 50和125：50＝2×5×5，125＝5×5×5 最大公因数：5×5＝25 最小公倍数：2×5×5×5＝250 24和36的最大公因数是12，最小公倍数是72；60和42的最大公因数是6，最小公倍数是420；50和125的最大公因数是25，最小公倍数是250。 18．在下面的数中圈出质数，并把合数分解质因数。 17  39  20  23  41  121  57  49 【答案】见详解 【分析】自然数中，只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身还有其他因数的数是合数，把一个合数分解成若干个质因数相乘的形式叫做分解质因数。据此解答。 【解答】17＝1×17，17是质数； 39＝1×39＝3×13，39是合数； 20＝1×20＝2×10＝4×5，20是合数； 23＝1×23，23是质数； 41＝1×41，41是质数； 121＝1×121＝11×11，121是合数； 57＝1×57＝3×19，57是合数； 49＝1×49＝7×7，49是合数； 综上，17，23，41是质数，39，20，121，57，49是合数。 39＝3×13 20＝2×2×5 121＝11×11 57＝3×19 49＝7×7 四、操作题 19．画一个面积是的长方形，可以画出（    ）种不同的长方形，请在下面的方格图中把它们都画出来。（长、宽都是整厘米数） 【答案】3，画图见详解。 【分析】画一个面积是的长方形，根据乘法算式找出18的因数，即是长方形的长和宽， 当长是18厘米，宽是1厘米，面积是平方厘米； 当长是9厘米，宽是2厘米，面积是平方厘米； 当长是6厘米，宽是3厘米，面积是平方厘米；共3种画法，据此画图。 【解答】画一个面积是的长方形，可以画出3种不同的长方形，画图如下： 五、解答题 20．猜一猜：小红家的电话号码是多少？从左边数，第一位是最小的质数，第二位的因数只有1和3，第三位既不是合数也不是质数，第四位是最小的合数，第五位的最大的因数是8，第六位是最小的自然数，第七位是既是奇数又是合数。 【答案】2304809或2314809 【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；当a×b＝c（a、b、c为非0自然数）我们说c是a和b的倍数，a和b是c的因数。一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身；0和1既不是质数，也不是合数，据此解答。 【解答】最小的质数的质数是2，因数只有1和3的数是3，既不是合数也不是质数是0或1，最小的合数是4，最大的因数是8的数是8，最小的自然数0，既是奇数又是合数的数是9。 所以小红家的电话号码是2304809或2314809。 【点评】本题考查了质数、合数、因数、奇数的认识。 21．缫丝工需要操作缫丝机，将熟茧制成生丝。张师傅将48位缫丝工分成人数相等的小组（每组人数大于1，不止1组），可以分几组？列表写出所有方案。 【答案】见详解 【分析】先列举48的所有因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。已知每组人数大于1、组数不止1组，排除因数1（每组人数需大于1）和48（若每组48人则只有1组，不符合“不止1组”的要求），剩余有效因数为：2、3、4、6、8、12、16、24。根据“每组人数＝总人数÷分组数”的数量关系，依次选取符合条件的分组数，分别计算对应的每组人数。将计算得出的分组数与每组人数一一对应，最终通过列表形式整理出所有满足题意的分组方案，清晰呈现结果。 【解答】48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。 因为每组人数大于1且不止1组，所以分组数不能是1和48。 当分组数为2组时，每组人数为48÷2＝24（人）； 当分组数为3组时，每组人数为48÷3＝16（人）； 当分组数为4组时，每组人数为48÷4＝12（人）； 当分组数为6组时，每组人数为48÷6＝8（人）； 当分组数为8组时，每组人数为48÷8＝6（人）； 当分组数为12组时，每组人数为48÷12＝4（人）； 当分组数为16组时，每组人数为48÷16＝3（人）； 当分组数为24组时，每组人数为48÷24＝2（人）。 列表如下： 组数 每组人数 2 24 3 16 4 12 6 8 8 6 12 4 16 3 24 2 答：可分的组数为：2组、3组、4组、6组、8组、12组、16组、24组。 22．母亲生日这天，小红买了一些康乃馨和百合花，她付给营业员50元，营业员找回13元，小红立刻指出营业员找回的钱数不对，你知道小红是怎么判断的吗？请你写出你的思考过程。 种类 康乃馨 百合花 价格 5元/枝 10元/枝 【答案】见详解 【分析】根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数；据此分析解答。 【解答】因为一枝康乃馨的价钱是5的倍数，一枝百合花的价钱也是5的倍数，所以无论怎么购买，买花的总钱数一定是5的倍数，50是5的倍数，找回的钱数也必定是5的倍数，而13不是5的倍数。 23．小芳、小丽和小玉三人的年龄正好是三个连续的奇数，她们的年龄总和是45岁，她们中最小的是多少岁？最大的是多少岁？ 【答案】13岁；17岁 【分析】相邻的奇数之间相差2，三人的年龄总和÷3＝中间年龄，中间年龄－2＝最小年龄，中间年龄＋2＝最大年龄。 【解答】45÷3＝15（岁） 15－2＝13（岁） 15＋2＝17（岁） 答：她们中最小的是13岁，最大的是17岁。 24．广东的龙舟竞渡是极具特色的传统民俗活动，实验小学五年级的同学们要以班级为单位排练龙舟操，需要将各班学生平均分成人数相等的小组（每个小组人数大于1），便于队列整齐。哪几个班可以？哪几个班不可以？为什么？ 班级 1班 2班 3班 4班 人数 37 41 39 40 【答案】3班、4班可以；1班、2班不可以；因为39和40是合数，37和41是质数。 【分析】如果人数是合数就能平均分成人数相等的小组，如果是质数就不能平均分成人数相等的小组。据此解答。 【解答】37＝1×37 41＝1×41 39＝1×39＝3×13 40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8 答：3班、4班可以分成人数相等的小组，1班、2班不可以，因为39和40是合数，37和41是质数。 25．学校图书馆购进一批新书，总数在100本到150本之间。如果把这些书平均分给6个班，正好分完；如果平均分给8个班，也正好分完。这批新书最少有多少本？最多有多少本？ 【答案】120本；144本 【分析】因为书平均分给6个班或8个班都正好分完，所以书的总数是6和8的公倍数。先找出6和8的最小公倍数：对6和8分解质因数，6和8的最小公倍数就是它们公有的质因数和各自独有的质因数的乘积。然后用6和8的最小公倍数从乘1开始找6和8的公倍数，找出6和8在100到150之间的公倍数，从而确定这批新书最少和最多的本数。 【解答】6＝2×3 8＝2×2×2 2×2×2×3＝24 [6，8]＝24 24×1＝24 24×２＝48 24×3＝72 24×4＝96 24×5＝120 24×6＝144 24×7＝168 100＜120＜144＜150 答：这批新书最少有120本，最多有144本。 26．3月8日是国际劳动妇女节，又称“联合国妇女权益日”和“国际和平日”或“三八节”，是全世界劳动妇女团结战斗的光辉节日。为庆祝这个节日，阳光社区购来下面两种鲜花来扎成同样的花束（正好用完，没有剩余）。 （1）最多能扎成多少束？ （2）每束中每种鲜花各有多少枝？ 【答案】（1）12束 （2）康乃馨6枝；百合5枝 【分析】（1）从题意可知：两种鲜花来扎成同样的花束（正好用完，没有剩余），则花束的数量就是72和60的公因数，最多能扎成多少束，就是求72和60的最大公因数。 （2）分别用康乃馨、百合的枝数除以束数（最大公因数），即可求出每束中每种鲜花各有多少枝。 【解答】（1）72＝2×2×2×3×3 60＝2×2×3×5 72和60的最大公因数：2×2×3＝12 答：最多能扎成12束。 （2）康乃馨：72÷12＝6（枝） 百合：60÷12＝5（枝） 答：每束中康乃馨有6枝，百合有5枝。 27．有一面长方形墙（示意图如图），如果用一种边长是整分米数的正方形瓷砖把这面墙贴满（瓷砖为整块），那么可以选择边长是多少分米的瓷砖？瓷砖边长最长是多少分米？ （1）瓷砖边长的分米数必须是40和24的（    ）数。 （2）试着写下你的解决方案。 （3）在图中，请你试着将你的解决方案在图里画一画，沿着长方形的长能贴（    ）块，宽能贴（    ）块，一共可以贴（    ）块。 【答案】（1）公因； （2）见详解； （3）画图见详解；5；3；15 【分析】由题意可知，如果瓷砖为整块，那么瓷砖的边长同时是长方形墙长和宽的因数，求瓷砖的最长边长就是求长和宽的最大公因数，先按顺序列举出40的因数和24的因数，再找出它们的公因数和最大公因数，长方形的长需要瓷砖的块数＝长方形的长÷瓷砖的边长，长方形的宽需要瓷砖的块数＝长方形的宽÷瓷砖的边长，最后把块数相乘求出需要瓷砖的总块数，据此解答。 【解答】（1）分析可知，瓷砖边长的分米数必须是40和24的公因数。 （2）40的因数有：1，2，4，5，8，10，20，40。 24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24。 40和24的公因数有：1，2，4，8，其中最大公因数是8。 答：可以选择边长是1分米、2分米、4分米、8分米的瓷砖，瓷砖边长最长是8分米。 （3） 40÷8＝5（块） 24÷8＝3（块） 5×3＝15（块） 所以，沿着长方形的长能贴5块，宽能贴3块，一共可以贴15块。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $