第三章 因数与倍数 知识归纳与题型突破（知识清单）-2024-2025学年五年级数学下册单元速记·巧练（苏教版）

第三章 因数与倍数 知识归纳与题型突破 01 思维导图 02 知识速记 一、因数和倍数 1.因数和倍数的意义：在 a×b＝c(a、b、c均是非0自然数)中，a和b是c的因数，c是a和b的倍数。 2.求一个数的因数的方法： (1)找一个数的因数的方法：①列乘法算式。有序地写出两个整数相乘得这个数的所有乘法算式，相乘的两个数都是这个数的因数。②列除法算式。有序地写出用这个数分别除以大于或等于1且小于或等于它本身的所有整数，所得的商是整数且没有余数的所有除法算式，这些除数和商都是这个数的因数。 (2)表示一个数的因数的方法： ①列举法。②集合法。 (3)一个数的因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 3.求一个数的倍数的方法： (1)找一个数的倍数的方法：用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积都是这个数的倍数。 (2)表示一个数的倍数的方法：①列举法。②集合法。 (3)一个数的倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 二、5，2，3的倍数特征 1.个位上是5或0的数是5的倍数；个位上是2，4，6，8或0的数是2的倍数。 2.个位上是0的数既是2的倍数，又是5的倍数。 3.是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数。 4.一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就一定是3的倍数。 四、质数和合数 1.一个数只有1和它本身两个因数，像这样的数叫作质数(或素数)；一个数除了1和它本身还有别的因数，像这样的数叫作合数。 2.1既不是质数，也不是合数。 3.判断一个数是质数还是合数，只需要看这个数除了1和它本身两个因数外，是否还有其他因数。如果没有，这个数就是质数；如果有，这个数就是合数。 五、质因数和分解质因数 1.如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。 2.把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。 3.分解质因数的方法：枝状图分解法和短除法。 4.分解质因数的书写方法：把要分解的数写在等号的左边，把分解得到的质数用连乘的形式写在等号的右边。 六、公因数和最大公因数 1.公因数的意义： （1）几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数。 （2）因为一个数的因数的个数是有限的，所以几个数的公因数的个数也是有限的，它们既有最小的公因数，也有最大的公因数。 2.求两个数的公因数和最大公因数的方法： （1）几个数公有的因数，叫作它们的公因数，其中最大的公因数叫作这几个数的最大公因数。 （2）求两个数的公因数，可以用列举法分别找出每个数的因数，再找出两个数的公因数；也可以先找出一个数的因数，再从这些因数中找出另一个数的因数，从而找出这两个数的公因数。 七、公倍数和最小公倍数 求两个数的公倍数和最小公倍数，可以分别列举出这两个数的若干个倍数，再从中找出这两个数的公倍数，其中最小的就是它们的最小公倍数；也可以先列举出较大数的若干个倍数，再从这些倍数中找出较小数的倍数，从而找出这两个数的公倍数，其中最小的就是它们的最小公倍数。 八、探索规律：和与积的奇偶性 1.两个自然数相加：偶数＋偶数＝偶数　奇数＋奇数＝偶数　奇数＋偶数＝奇数 2.几个自然数相加，当加数中奇数的个数是奇数时，和是奇数；当加数中奇数的个数是偶数时，和是偶数。 3.几个自然数相乘，乘数都是奇数，积也是奇数；乘数中只要有一个偶数，积就是偶数。 03 题型归纳 题型一　因数、公因数和最大公因数 例1．（2024•京口区）数学辩论题． 观察下面的数学现象：3与5互质，5与8互质，3与8也互质；4与7互质，7与9互质，4与9也互质……正方：根据上述现象，可得出这样一个结论：若A与B互质，B与C互质，则A与C一定互质． 你（作为反方）是否认同正方观点？如果不同意，请举例予以辩论． 巩固训练 1．（2023春•溧阳市期中）在圈里填上所有合适的数。 2．（2024•五华区）观察下面数学现象： 3与5互质，5与8互质，3与8也互质； 4与7互质，7与9互质，4与9也互质…… 聪聪：根据上述现象，可得出这样一个结论：若A与B互质，B与C互质，则A与C一定互质。 你是否同意他的观点？如果不同意，请举例予以反驳。 3．（2022春•城关区期末）已知a＝2×3×3×5，b＝2×2×3×3×5，你能求出a与b的公因数和最大公因数吗？ 题型二　公倍数和最小公倍数 例2．（2024•仪征市）先在4的倍数上画“〇”，在6的倍数上画“△”，再填写如图。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 巩固训练 1．（2023春•太康县期中）找出既是6的倍数又是9的倍数的数，把相应的图案涂色。 2．（2021秋•阜南县期末）把50以内6和8的倍数、公倍数分别填在下面的圈里，说一说它们的最小公倍数是多少． 3．（2022春•岳池县期末）星星小学五（1）班的同学做广播操，班长在前面领操，其它学生排成每行8人或10人都正好是整行．已知这个班的人数不超过50人，五（1）班共有学生多少人？ 题型三　合数分解质因数 例3．（2024•许昌）把20、26、33、35、39、42、44、55、91这九个数分成三组，使每组数的乘积相等。（请写出思考方法和分组结果） 巩固训练 1．（2024春•宁阳县期中）用短除法分解质因数。 ①24 ②56 ③65 ④78 2．（2019•衡阳模拟）把下面的数分解质因数（从上到下，从左到右填写）． 3．（2022•吴忠模拟）（1）用短除式把140分解质因数． （2）用短除式求56和42的最大公约数和最小公倍数． 题型四　奇数与偶数 例4．（2024春•柳州期末）用6颗珠子在计数器上拨一个四位数，它一定是 　 　的倍数。如果个位不拨珠，这个数就是（奇数偶数）。（圈出正确答案） 巩固训练 1．（2024春•郧阳区期中）五年级64名学生参加植树活动，平均分成若干组（至少分2组），要使每组的人数都是偶数，有几种分法？请你填一填。 平均分的组数 每组的人数 2．（2024春•内乡县期中）两个相邻的奇数的和是96，这两个数分别是多少？ 3．（2024春•抚州期中）小明、小红、小刚三人的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄总和是48岁，他们中最小的是多少岁？最大的是多少岁？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 因数与倍数 知识归纳与题型突破 01 思维导图 02 知识速记 一、因数和倍数 1.因数和倍数的意义：在 a×b＝c(a、b、c均是非0自然数)中，a和b是c的因数，c是a和b的倍数。 2.求一个数的因数的方法： (1)找一个数的因数的方法：①列乘法算式。有序地写出两个整数相乘得这个数的所有乘法算式，相乘的两个数都是这个数的因数。②列除法算式。有序地写出用这个数分别除以大于或等于1且小于或等于它本身的所有整数，所得的商是整数且没有余数的所有除法算式，这些除数和商都是这个数的因数。 (2)表示一个数的因数的方法： ①列举法。②集合法。 (3)一个数的因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 3.求一个数的倍数的方法： (1)找一个数的倍数的方法：用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积都是这个数的倍数。 (2)表示一个数的倍数的方法：①列举法。②集合法。 (3)一个数的倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 二、5，2，3的倍数特征 1.个位上是5或0的数是5的倍数；个位上是2，4，6，8或0的数是2的倍数。 2.个位上是0的数既是2的倍数，又是5的倍数。 3.是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数。 4.一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就一定是3的倍数。 四、质数和合数 1.一个数只有1和它本身两个因数，像这样的数叫作质数(或素数)；一个数除了1和它本身还有别的因数，像这样的数叫作合数。 2.1既不是质数，也不是合数。 3.判断一个数是质数还是合数，只需要看这个数除了1和它本身两个因数外，是否还有其他因数。如果没有，这个数就是质数；如果有，这个数就是合数。 五、质因数和分解质因数 1.如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。 2.把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。 3.分解质因数的方法：枝状图分解法和短除法。 4.分解质因数的书写方法：把要分解的数写在等号的左边，把分解得到的质数用连乘的形式写在等号的右边。 六、公因数和最大公因数 1.公因数的意义： （1）几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数。 （2）因为一个数的因数的个数是有限的，所以几个数的公因数的个数也是有限的，它们既有最小的公因数，也有最大的公因数。 2.求两个数的公因数和最大公因数的方法： （1）几个数公有的因数，叫作它们的公因数，其中最大的公因数叫作这几个数的最大公因数。 （2）求两个数的公因数，可以用列举法分别找出每个数的因数，再找出两个数的公因数；也可以先找出一个数的因数，再从这些因数中找出另一个数的因数，从而找出这两个数的公因数。 七、公倍数和最小公倍数 求两个数的公倍数和最小公倍数，可以分别列举出这两个数的若干个倍数，再从中找出这两个数的公倍数，其中最小的就是它们的最小公倍数；也可以先列举出较大数的若干个倍数，再从这些倍数中找出较小数的倍数，从而找出这两个数的公倍数，其中最小的就是它们的最小公倍数。 八、探索规律：和与积的奇偶性 1.两个自然数相加：偶数＋偶数＝偶数　奇数＋奇数＝偶数　奇数＋偶数＝奇数 2.几个自然数相加，当加数中奇数的个数是奇数时，和是奇数；当加数中奇数的个数是偶数时，和是偶数。 3.几个自然数相乘，乘数都是奇数，积也是奇数；乘数中只要有一个偶数，积就是偶数。 03 题型归纳 题型一　因数、公因数和最大公因数 例1．（2024•京口区）数学辩论题． 观察下面的数学现象：3与5互质，5与8互质，3与8也互质；4与7互质，7与9互质，4与9也互质……正方：根据上述现象，可得出这样一个结论：若A与B互质，B与C互质，则A与C一定互质． 你（作为反方）是否认同正方观点？如果不同意，请举例予以辩论． 【分析】若A与B互质，B与C互质，则A与C不一定互质，并举例说明即可． 【解答】解：若A与B互质，B与C互质，则A与C不一定互质， 例如：3与5互质，5与9互质，但3与9不互质，3和9的公因数有：1、3． 【点评】此题主要考查了合数与质数的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：若A与B互质，B与C互质，则A与C不一定互质． 巩固训练 1．（2023春•溧阳市期中）在圈里填上所有合适的数。 【分析】分别找出30和45的因数，然后再找出30和45的公因数，把公因数填在公共部分，再把各自独有的因数填在各自独有的部分。 【解答】解：30的因数：1、2、3、5、6、10、15、30； 45的因数：1、3、5、9、15、45。 30和45的公因数有：1、3、5、15。 【点评】本题考查了求一个数的因数和公因数的方法。 2．（2024•五华区）观察下面数学现象： 3与5互质，5与8互质，3与8也互质； 4与7互质，7与9互质，4与9也互质…… 聪聪：根据上述现象，可得出这样一个结论：若A与B互质，B与C互质，则A与C一定互质。 你是否同意他的观点？如果不同意，请举例予以反驳。 【分析】若A与B互质，B与C互质，则A与C不一定互质，并举例说明即可。 【解答】解：若A与B互质，B与C互质，则A与C不一定互质， 例如：3与5互质，5与9互质，但3与9不互质，3和9的公因数有：1、3。 【点评】此题主要考查了合数与质数的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：若A与B互质，B与C互质，则A与C不一定互质。 3．（2022春•城关区期末）已知a＝2×3×3×5，b＝2×2×3×3×5，你能求出a与b的公因数和最大公因数吗？ 【分析】两个数的公有因数叫做这两个数的公因数，两个数的最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，据此求解． 【解答】解：a＝2×3×3×5，b＝2×2×3×3×5， 则a、b的公因数有：1、2、3、5、2×3＝6、3×3＝9、2×5＝10、3×5＝15、2×3×3＝18、2×3×5＝30、3×3×5＝45、2×3×3×5＝90， 最大公因数是2×3×3×5＝90； 答：a与b的公因数是1、2、3、5、6、9、10、15、18、30、45、90，最大公因数是90． 【点评】本题考查了求两个数的最大公因数与公因数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数． 题型二　公倍数和最小公倍数 例2．（2024•仪征市）先在4的倍数上画“〇”，在6的倍数上画“△”，再填写如图。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 【分析】（1）找一个数的倍数，就用这个数分别乘以自然数1，2，3，4，5，......，所得积就是它们的倍数，由此用“〇”画出4的倍数，用“△”画出6的倍数； （2）联系公倍数的概念，找出既是4的倍数又是6的倍数的数，即可写出表中两个数的公倍数。 【解答】解： 1 2 3 4〇 5 6△ 7 8〇 9 10 11 12〇△ 13 14 15 16〇 17 18△ 19 20〇 21 22 23 24〇△ 25 26 27 28〇 29 30△ 【点评】此题需要学生熟练掌握求一个数倍数的方法。 巩固训练 1．（2023春•太康县期中）找出既是6的倍数又是9的倍数的数，把相应的图案涂色。 【分析】根据求两个数的最小公倍数的方法，把两个数分解质因数，公有质因数和各自独有质因数的连乘积计算它们的最小公倍数，据此求出6和9的最小公倍数，进而求出6和9的公倍数。然后对照下面的数进行选择即可。 【解答】解：6＝2×3 9＝3×3 所以6和9的最小公倍数是2×3×3＝18。 在24、27、36、42、45、54、63、72中，6和9的公倍数有36、54、72。 【点评】此题考查的目的是理解掌握求两个的公倍数、最小公倍数的方法及应用。 2．（2021秋•阜南县期末）把50以内6和8的倍数、公倍数分别填在下面的圈里，说一说它们的最小公倍数是多少． 【分析】求一个数的倍数的方法：用这个数分别乘以自然数1，2，3，4，5…，所得积就是这个数的倍数，据此写出6和8的倍数，然后填在相应的圈里． 【解答】解：如图所示： 它们的最小公倍数是24． 【点评】本题主要考查求一个倍数的方法：用这个数分别乘以自然数1，2，3，4，5…，所得积就是这个数的倍数． 3．（2022春•岳池县期末）星星小学五（1）班的同学做广播操，班长在前面领操，其它学生排成每行8人或10人都正好是整行．已知这个班的人数不超过50人，五（1）班共有学生多少人？ 【分析】根据题意，班长在前面领操，其它学生排成每行8人或10人都正好是整行．也就是这个班的学生人数比8和10的最小公倍数多1人，因此，首先求出8和10的最小公倍数，然后再加1即可． 【解答】解：8和10的最小公倍数是： 8＝2×2×2， 10＝2×5， 所以8和10的最小公倍数是：2×2×2×5＝40； 五（1）共有学生： 40+1＝41（人）． 答：五（1）班共有学生41人． 【点评】此题属于运用求最小公倍数的方法解决有关的实际问题，解答关键是抓住重点句子“班长在前面领操，其它学生排成每行8人或10人都正好是整行”，意思是不包括班长，其它学生排成每行8人或10人都正好是整行．根据求两个数的最小公倍数的方法解答． 题型三　合数分解质因数 例3．（2024•许昌）把20、26、33、35、39、42、44、55、91这九个数分成三组，使每组数的乘积相等。（请写出思考方法和分组结果） 【分析】将所给数据分解质因数，再分成个数相等的三组，使每组所含相同质因数的个数相等即可。 【解答】解：20＝2×2×5 26＝2×13 33＝3×11 39＝3×13 42＝2×3×7 44＝2×2×11 55＝5×11 91＝7×13 包含6个2，3个3、5、7、11、13 分成三组：26×42×55＝22×33×91＝35×39×44。 答：把20、26、33、35、39、42、44、55、91这九个数分成三组：26×42×55＝22×33×91＝35×39×44，每组数的乘积相等。 【点评】解答本题主要利用分解质因数的方法，把这些数分成三组质因数乘积相等的数即可。 巩固训练 1．（2024春•宁阳县期中）用短除法分解质因数。 ①24 ②56 ③65 ④78 【分析】分解质因数是把一个合数分解成若干个质数的乘积的形式，据此利用短除法将各数分解质因数即可。 【解答】解：①24＝2×2×2×3 ②56＝2×2×2×7 ③65＝5×13 ④78＝2×3×13 【点评】解答本题需熟练掌握分解质因数的意义，灵活利用短除法将一个数分解质因数。 2．（2019•衡阳模拟）把下面的数分解质因数（从上到下，从左到右填写）． 【分析】明确分解质因数就是把一个合数写成几个质因数连乘积的形式，一般先从较小的质数试着分解． 【解答】解：18＝2×3×3 故完成填空如下： 【点评】此题主要考查分解质因数的方法． 3．（2022•吴忠模拟）（1）用短除式把140分解质因数． （2）用短除式求56和42的最大公约数和最小公倍数． 【分析】（1）把一个合数写成几个质数连乘积的形式，叫做把这个合数分解质因数．据此解答； （2）先把56和42分解质因数，再根据求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可． 【解答】解：（1）140＝2×2×5×7 （2）所以56和42的最大公约数是2×7＝14 最小公倍数2×7×4×3＝168． 【点评】（1）此题考查的目的是理解掌握分解质因数的方法； （2）此题主要考查求两个数的最大公因数与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答． 题型四　奇数与偶数 例4．（2024春•柳州期末）用6颗珠子在计数器上拨一个四位数，它一定是 　 　的倍数。如果个位不拨珠，这个数就是（奇数偶数）。（圈出正确答案） 【分析】各个数位上的数相加的和是3的倍数的数是3的倍数；自然数中，是2的倍数的数，叫作偶数；由此解答即可。 【解答】解：用6颗珠子在计数器上拨一个四位数，它一定是 3的倍数。如果个位不拨珠，这个数就是。 故答案为：3，偶数。 【点评】熟练掌握3的倍数的特征及偶数的含义，是解答此题的关键。 巩固训练 1．（2024春•郧阳区期中）五年级64名学生参加植树活动，平均分成若干组（至少分2组），要使每组的人数都是偶数，有几种分法？请你填一填。 平均分的组数 每组的人数 【分析】根据学生总人数＝平均分的组数×每组的人数，先找出64的因数，再根据在自然数中，是2的倍数又叫作偶数，找出含有偶数的分组即可。 【解答】解：64＝1×64 64＝2×32 64＝4×16 64＝8×8 要使每组的人数都是偶数，能买可以分成2组、4组、8组、16组、32组。 平均分的组数 2 4 8 16 32 每组的人数 32 16 8 4 2 【点评】熟练掌握偶数的认识和赵一个数的因数的方法，是解答本题的关键。 2．（2024春•内乡县期中）两个相邻的奇数的和是96，这两个数分别是多少？ 【分析】设较小的奇数为x，那么较大的奇数为（x+2），则这两个数的和是x+（x+2），即可列出方程求得这两个奇数。 【解答】解：设较小的奇数为x，则另一个奇数为（x+2）。 x+x+2＝96 2x＝94 x＝47 47+2＝49 答：这两个数分别是47和49。 【点评】知道两个相邻的奇数相差2是解答此题的关键。 3．（2024春•抚州期中）小明、小红、小刚三人的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄总和是48岁，他们中最小的是多少岁？最大的是多少岁？ 【分析】根据偶数的意义，是2的倍数的数叫做偶数．根据自然数的排列规律，相邻的两个自然数相差1，相邻的两个偶数相差2；先求出这三个连续偶数的平均数，前面的比平均数少2，后面的比平均数多2．由此解答． 【解答】解：48÷3＝16（岁）， 16﹣2＝14（岁）， 16+2＝18（岁）． 答：他们中最小的是14岁，最大的是18岁． 【点评】此题主要根据偶数的意义和偶数的排列规律解决问题．明确：相邻的两个偶数相差2． 学科网（北京）股份有限公司 $$