精品解析：河南省信阳市浉河区信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高三下学期开学数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高三下期03月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于（ ） A. 15 B. -15 C. 20 D. -20 2. 已知正方体的棱长为1，为 上一点，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，既有最小值也有最大值，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，若对任意，关于x的方程无实根，则实数a的范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知， ：函数在区间上存在最大值，则 是 的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知抛物线的焦点 到准线的距离为，过焦点 的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. 若复数，满足，则 B. 若，，则 C. 若复数，，满足，则或 D. 若复数 满足，，则最大值为3 10. 如图，在三棱柱中， ， 分别是线段 ，上的点，且，.设，，，且均为单位向量，若，则下列说法中正确的是（ ） A. 与的夹角为 B. C. D. 11. 已知定义在R上的函数 满足，且为奇函数，则下列选项正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响，则该选手被淘汰的概率为_________． 13. 关于x，y，z的方程（其中x，y，）的解共有______组． 14. 如图，分别为双曲线的右顶点和右焦点，过 作 轴的垂线交双曲线于，且在第一象限，到同一条渐近线的距离分别为，且是和的等差中项，则 的离心率为___________· 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009年至2024年居民存款余额进行统计分析，将2009年看成第1年，依次类推，得到第1~16年的居民存款余额 （单位：万亿元）的散点图，如图所示： （1）已知从2021年开始，居民存款余额超过100万亿元，若从2009年至2024年中任取2年，求这2年中恰有一年居民存款余额超过100万亿元的概率； （2）由散点图知， 和 的关系可用经验回归模型进行拟合，求 关于 的经验回归方程. 参考数据：设，则. 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 16. 已知点在双曲线 ：（ ）上. （1）求双曲线 的方程； （2）是否存在过点的直线与双曲线 相交于 ，两点，且满足是线段 的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 17. 已知 与，点C与点 在直线 的同侧，且边与边 相交于点，为中点，，，. （1）若 平分 ，求 ； （2）若，求. 18. 已知数列的前项和为， 且. （1）求数列的通项公式； （2）令，求函数在 处的导数； （3）若，恒成立，求实数 的取值范围. 19. 如图，在直三棱柱中， 若M，N分别为棱，上的动点，且，点N在平面上的射影为点P，线段 的中点为Q. （1）求证：平面 平面； （2）求点Q的轨迹长度； （3）求直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高三下期03月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于（ ） A. 15 B. -15 C. 20 D. -20 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项展开式二项式系数最大项的性质可得，再根据通项公式求解常数项即可 【详解】由题意，展开式通项为，令，，所以常数项为． 故选：A． 2. 已知正方体的棱长为1， 为 上一点，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由 为 到平面的距离， 所以根据体积法可得，代入数值即可得解. 【详解】 由为正方体， 显然 为 到平面的距离， 所以， 故选：D 3. 已知函数，既有最小值也有最大值，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到或，计算得到答案. 【详解】由题意，函数，既有最小值也有最大值， ①当函数最值取得1，最小值为时， 结合函数图象可得，即； ②当取得最大值为，最小值为－1时， 结合函数图象可得， 解得， 综上所述，实数 的取值范围为或． 故选：D. 4. 已知，若对任意，关于x的方程无实根，则实数a的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的值域，依题意列不等式组，即可求出实数a的范围. 【详解】当 时； 当时. 若对任意，方程无实根，则，解得：. 故选：A． 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的基本关系式得到关于 的方程，再利用倍角公式即可得解. 【详解】因为，又， 所以，则，即， 则，即，所以或（舍去）， 所以. 故选：B. 6. 已知， ：函数在区间上存在最大值，则 是 的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数分析得的单调性，则得到不等式组，解出的范围，再根据必要不充分条件的判断即可得到答案. 【详解】， 当时， ，则 在上单调递增， 当时， ，则 在上单调递减， 且. 若 在区间上存在最大值，则该区间须包含极大值点 ， 且极大值不小于区间右端点的函数值（否则函数在该区间没有最大值），即， 由得，即，分解因式得，解得， 联立，解得， 又因为是的真子集， 是 的必要不充分条件. 故选：C. 7. 已知抛物线的焦点 到准线的距离为，过焦点 的直线 与抛物线交于两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】（方法一）首先求出抛物线 的方程为，设直线 的方程为：，与抛物线 的方程联立，利用根与系数的关系求出的值，再根据抛物线的定义知，，从而求出的最小值即可. （方法二）首先求出，再利用基本不等式即可求解即可. 【详解】（方法一） 因为抛物线 的焦点到准线的距离为，故， 所以抛物线 的方程为，焦点坐标为， 设直线 的方程为：，不妨设， 联立方程，整理得，则， 故， 又，， 则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为. 故选：B. （方法二）由方法一可得，则， 因此 ， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 8. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分析恒成立的条件，再确定参数符号，化简目标式，利用导数法求值域. 【详解】要使对 恒成立，两因式需同号且零点重合. 因式零点：；，所以. 在单调递增，要使两因式同号，需单调递增，得 . 由 及可知 ，令，则，且 ，由得. 则目标式：. 设，求导得，所以在上单调递减. 由单调性知：时，；时，.因此 . 综上，的取值范围为. 故选： B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. 若复数，满足，则 B. 若，，则 C. 若复数，，满足，则或 D. 若复数 满足，，则最大值为3 【答案】CD 【解析】 【分析】利用复数的概念、几何意义、运算法则一一判定选项即可. 【详解】对于B项，复数不能直接比较大小，故B错误； 对于A项，显然若，，则， 但，故A错误； 对于C，不妨设， 则有，两等式同时平方作差得，则， 所以，则或，故C正确； 对于D，设， 则，故D正确. 故选：CD 10. 如图，在三棱柱中， ， 分别是线段 ，上的点，且，.设，，，且均为单位向量，若，则下列说法中正确的是（ ） A. 与的夹角为 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由空间向量的运算法则和空间向量的夹角公式、模长公式、数量积的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，，，，所以与的夹角为，又， 所以与的夹角为，故A错误； 对于B，因为，， 所以， ， ，故B正确； 对于C，，，， ，，， ， ，故C正确； 对于D，， ，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知定义在R上的函数 满足，且为奇函数，则下列选项正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A项，可证明点同时满足 即可；对于B项，可利用，且为奇函数，赋值求解即可；对于C项，由函数关于点 对称，再结合函数关于对称，即可证明；对于D项，应用，可证明，可得，，， ，依次构成等差数列，进而可判断正误. 【详解】对于A项，设点是 图象上任意一点， 则，而， 所以点也是 图象上的点， 所以 的图象关于直线对称，故A项正确； 对于B项，因为为奇函数， 所以，取 ，可知，所以； 又因为，所以， 于是，故B项错误； 对于C项，因为为奇函数，所以， 即，令， 则，， 所以， 因为 的值域为，所以该结论对任意实数都成立， 即，故C项正确； 对于D项，由以上推理知， 所以， 所以； 又因为，， 所以，，，，，，依次构成等差数列，其首项为 ，公差为， 所以，故D项正确； 故选：ACD. 【点睛】解题关键点：灵活应用性质“”与“为奇函数”是解题的关键点，在应用性质时，在判断C项正误中灵活使用，； 在应用为奇函数时，我们顺次采用了；两种形式. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响，则该选手被淘汰的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设事件表示“该选手能正确回答第 轮的问题”，选手被淘汰，考虑对立事件，代入的值，可得结果； 【详解】记“该选手能正确回答第 轮的问题”为事件，则. 该选手被淘汰的概率： 故答案为： 【点睛】求复杂互斥事件概率的两种方法： (1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和； (2)间接法：先求该事件的对立事件的概率，再由求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法． 13. 关于x，y，z的方程（其中x，y，）的解共有______组． 【答案】21 【解析】 【分析】本题可以转化为8个相同的球放入3个不同的盒子，每个盒子不空，利用隔板法结合组合数运算求解. 【详解】本题可以转化为8个相同的球放入3个不同的盒子，每个盒子不空， 则8个球有7个空，7个空中插入2个隔板，共有种不同选择， 所以原方程共有21组解. 故答案为：21. 14. 如图，分别为双曲线的右顶点和右焦点，过 作 轴的垂线交双曲线于，且在第一象限，到同一条渐近线的距离分别为，且是和的等差中项，则 的离心率为___________· 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得点 到渐近线的距离等于 的中点到渐近线的距离，进而将问题转化为过 的中点线和点 的直线与渐近线平行，再结合斜率求解即可. 【详解】因为是和的等差中项，所以 点 到渐近线的距离等于 的中点到渐近线的距离， 由于，，将代入方程易得， 所以 的中点坐标为 所以过 的中点线和点 的直线与渐近线平行，即故 又因为所以 故答案为：. 【点睛】本题考查双曲线的离心率问题，解题的关键在于根据已知条件将问题转化为过 的中点线和点 的直线与渐近线平行，进而利用斜率求解.考查运算求解能力，是中档题. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009年至2024年居民存款余额进行统计分析，将2009年看成第1年，依次类推，得到第1~16年的居民存款余额 （单位：万亿元）的散点图，如图所示： （1）已知从2021年开始，居民存款余额超过100万亿元，若从2009年至2024年中任取2年，求这2年中恰有一年居民存款余额超过100万亿元的概率； （2）由散点图知， 和的关系可用经验回归模型进行拟合，求 关于的经验回归方程. 参考数据：设，则. 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）16年中有4年居民存款余额超过100万亿元，根据组合知识求解概率； （2）两边取对数，再根据公式求出，，从而，故. 【小问1详解】 由题意，16年中有4年居民存款余额超过100万亿元， 故所求概率为. 【小问2详解】 ， 由题知，， ， ， ，故. 16. 已知点在双曲线 ：（ ）上. （1）求双曲线 的方程； （2）是否存在过点的直线 与双曲线 相交于 ， 两点，且满足是线段 的中点？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由点在双曲线 上，可得，求解可得双曲线的方程； （2）设直线 的方程为，且设交点，，先利用点差法求得 ，进而求得直线 的方程，代入双曲线方程消去 可得 的一元二次方程，利用判别式判断方程的根的情况即可得结论. 【小问1详解】 已知点在双曲线 ：（ ）上， 所以，整理得，解得，则， 所以双曲线方程为； 【小问2详解】 由题可知若直线存在，则直线 的斜率存在，故设直线 的方程为， 且设交点，， 则，两式相减得， 由于为 中点，则，， 则， 即有直线 的方程为，即 ， 由，可得， 检验判别式为，方程有实根， 故存在过点的直线 与该双曲线相交于 ， 两点，且满足是线段 的中点. 此时 的方程为 . 17. 已知 与，点C与点 在直线 的同侧，且边与边 相交于点 ， 为中点，，，. （1）若 平分 ，求 ； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线定理判断三角形类型，确定边长关系，再结合余弦定理直接求解 . （2）利用坐标将几何问题代数化，利用向量点积公式计算夹角余弦值，进一步得出正弦值. 【小问1详解】 因为 平分 ，所以， 又因为 为中点，且边与边 相交于点 ， 所以在 中， 是 的平分线且过对边的中点， 故 是等腰三角形，即， 在 中，由余弦定理得：， ， 所以，， 则在 中，，，，由余弦定理得： ，解得， 又因为，则， 所以， 同理，在中，， ，，由余弦定理得： ， ， 所以. 【小问2详解】 以 为原点， 所在直线为 轴，垂直于 的直线为 轴建立平面直角坐标系，如下图所示： 由图可知 坐标为， 因为，，得 坐标为， 又因为 为中点，由中点坐标公式得出 点坐标为， 设 点坐标为，由和，得出 点坐标为, 所以，， 则， 所以， 所以. 18. 已知数列的前项和为， 且. （1）求数列的通项公式； （2）令，求函数在 处的导数； （3）若，恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出数列的递推公式，判断数列类型，进而求解通项公式. （2）先对函数求导，再将 代入求解. （3）先将不等式进行变形，构造函数，通过函数的最值来确定 的取值范围. 【小问1详解】 当 时，已知 ，且， 因为， 所以，解得， 当 时，由①，可得②， 由①式减去②式可得： ， ， ， 即， 又因为，所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以根据等比数列通项公式得出. 【小问2详解】 已知，根据函数求导公式得： ， 将 代入可得： ， 又因为， 所以③， 两边同时乘以3可得： ④ ④式减去③式可得： ， ， 其中是以首项为1，公比为3的等比数列的前项求和， 所以根据等比数列求和公式可得： ， 所以， 所以. 【小问3详解】 因为若，恒成立，即恒成立， 由（1）可知，， 所以恒成立， 令，则，即 小于的最小值， 因为， ， ， 所以当时，，即，单调递减， 当 时，，即， 当时，，即，单调递增， 所以，，，， 比较，，的大小，得出最小值为， 所以的最小值为， 所以， 故 的取值范围为. 19. 如图，在直三棱柱中， 若M，N分别为棱，上的动点，且，点N在平面上的射影为点P，线段 的中点为Q. （1）求证：平面 平面； （2）求点Q的轨迹长度； （3）求直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围. 【答案】（1）在 中，，由余弦定理可得： ， 所以 ，，所以 . 又因为在直三棱柱中，所以 平面 ， 平面 ，所以 . 因为 ， ， ， 平面， 所以 平面，又因为 平面，所以平面 平面. （2）； （3） . 【解析】 【分析】（1）先用勾股定理得 ，再由直棱柱得 ，进而可得 平面，再由面面垂直的判定定理可得； （2）由点Q在 坐标平面内，且，由解析法可得Q点的轨迹方程； （3）先用向量法表示出线面角的正弦值，再结合点的坐标的范围可得正弦值的范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知， ， ， ， 故以所以直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图： 因为M在 上，设 ，又N在上，设 . 点N在平面上的射影为点P，且平面 平面，所以， . 由，得：，即 ， . 因为Q在 坐标平面，设 ，又是线段 的中点， 所以代入上式得： ，且 . 所以点Q的轨迹在 坐标平面内，以C点为圆心，以为半径，以为圆心角的弧，如图： 所以点Q的轨迹长度为 【小问3详解】 设平面 的法向量为 ，且 ， 由，得，令 ，则 ，即 . 而 ，所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ， 而由（2）可知， ，所以 ， 即直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $