5.5　分式方程同步练习2025-2026学年 浙教版数学七年级下册

第5章　分　式 5.5　分式方程 第2课时　分式方程的应用 分值：70分 选择题(每小题3分，共6分)；填空题(每小题3分) 1.为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为(　 　) A.200 B.300 C.400 D.500 2.照相机的成像原理应用了一个重要的公式：(v≠f)，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片(像)到镜头的距离。已知f，v，则u可表示为(　 　) A. B. C. D. 3.(3分)水果店老板用3 000元购进了一批杨梅，以高于进价40%的价格卖出，销售收入为3 500元时店里还剩25千克杨梅。问这批杨梅进价为每千克多少元?设这批杨梅进价为x元/千克，由题意列方程为 。  4.(3分)将公式S＝(a≠0)变形为已知S，a，求b的形式，则b＝ 。  5.(3分)《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间。设规定时间为x天，则根据题意可列出的分式方程是 。  6.(8分)某快递公司为了提高分拣效率，自主设计了全套自动化分拣设备(如图)，该设备每小时分拣的快递量是1个分拣员每小时分拣的快递量的150倍。经过测试，该设备分拣75 000件快递所用时间比1个分拣员分拣1 000件快递所用时间少1小时。1个分拣员每小时分拣多少件快递? 7.(8分)近年来，某市大力发展城市快速交通。市民小王开车从家到公司有两条路线可选，路线A为全程25 km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30 km，走路线B比走路线A的平均速度快50%，能节省 h，求走路线B的平均速度。 8.(3分)将公式y＝(y≠1)变形为用y表示x的形式，则x＝ 。  9.(10分)某商店购买A，B两种商品，购买一个A商品比购买一个B商品少10元，并且花费100元购买的A商品和花费300元购买的B商品的数量相等。 (1)(3分)求购买一个A商品和B商品各需要多少元。 (2)(3分)商店准备购买A，B两种商品共80件，共花费700元。求购买A商品和B商品的数量。 (3)(4分)A商品售价为10元，打八折销售，B商品售价为20元，按原价销售，若某天该商店两种商品的总利润恰好为36元，求这天售出A，B两种商品的总数量。 10.(8分)小明和小军同时从学校出发去相距12千米的博物馆参加志愿者活动，小军全程骑自行车，小明全程乘公交车，小军骑自行车的速度与小明乘公交车的速度比为1∶3，结果小明比小军提前40分钟到达目的地。求小军骑自行车的速度。 11.(8分)某铁路建设公司有甲乙两个施工队，该公司承担一条高速铁路的施工任务，甲工程队单独施工10个月后，为了加快进度，乙工程队也加入施工，这样又用了20个月完成了任务。已知乙工程队单独施工该项任务需要40个月才能完成。 (1)(4分)求甲工程队单独施工完成该项任务需要多少个月? (2)(4分)如果两个施工队从一开始就合作完成此项施工任务，需要多少个月? 12.(10分)[应用意识]在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略。 【洗衣过程】步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干。重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标。 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5 kg水。 浓度关系式：d后＝。其中d前，d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量(单位：kg)。 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%。 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)(4分)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要多少清水? (2)(6分)如果把4 kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标? 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章　分　式 5.5　分式方程 第1课时　分式方程的解法 分值：79分 选择题(每小题3分，共12分)；填空题(每小题3分) 1.下列方程中，属于分式方程的是(　D　) A. B.＝0 C.(x－2)＝x D.＋1＝0 2.解分式方程－2＝，去分母，得(　A　) A.1－2(x－1)＝－3 B.1－2x－2＝－3 C.1－2(x－1)＝3 D.1－2x＋2＝3 3.分式方程的解是(　D　) A.x＝3 B.x＝2 C.x＝ D.x＝ 4.分式方程－3＝的解是(　D　) A.x＝－ B.x＝－1 C.x＝ D.x＝3 5.(3分)若分式的值为2，则a＝　－2　。  6.(3分)已知x＝3是关于x的分式方程＝1的一个根，则k＝　－3　。  【解析】 把x＝3代入方程＝1，得＝1， 解得k＝－3。 7.(3分)若关于x的分式方程存在增根，则增根为　x＝2　。  8.(3分)当x＝ 　时，分式的值与分式的值相等。  9.(12分)解下列方程： (1)(3分)＝1； (2)(3分)－2＝； (3)(3分)； (4)(3分)。 解：(1)方程的两边同乘(x＋1)(x－1)， 得2＋x(x＋1)＝(x＋1)(x－1)， 解得x＝－3。 经检验，x＝－3是原方程的解。 (2)方程的两边同乘(x－4)，得x－2－2(x－4)＝x， 解得x＝3。 经检验，x＝3是原方程的解。 (3)方程的两边同乘2x(x－2)，得 4(x－2)＋2＝5(x－2)， 解得x＝4。 经检验，x＝4是原方程的解。 (4)方程的两边同乘(9x－3)，得 2(3x－1)＋3x＝1， 解得x＝。 经检验，x＝是原方程的增根， ∴原分式方程无解。 10.(8分)小明解方程＝1的过程如下。请指出他在哪几步出现了错误，并写出正确的解答过程。 解：方程的两边同乘x，得1－(x－2)＝1。……① 去括号，得1－x－2＝1。……② 移项，得－x＝1－1＋2。……③ 合并同类项，得－x＝2。……④ 解得x＝－2，……⑤ ∴原方程的解为x＝－2。……⑥ 解：小明的解答有三处错误，步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥缺少检验。 正确的解答过程如下： 方程的两边同乘x，得1－(x－2)＝x。 去括号，得1－x＋2＝x。 移项，得－x－x＝－1－2。 合并同类项，得－2x＝－3。 两边同除以－2，得x＝。 检验：x＝≠0， ∴原方程的解为x＝。 11.(3分)如果关于x的分式方程的解是x＝2，那么a的值是 　。  12.(3分)已知关于x的分式方程＋5有增根，则m的值是　2　。  【解析】 ∵关于x的分式方程＋5有增根， ∴x－1＝0， 解得x＝1。 ＋5， 方程的两边同乘(x－1)，得2x＝m＋5(x－1)， 解得m＝－3x＋5， ∴m＝－3×1＋5＝2。 13.(3分)若关于x的分式方程＝1无解，则k的值为　2或－1　。  【解析】 方程去分母，得3－(kx－1)＝x－2，解得x＝。 ①当x＝2时分母为0，方程无解，即＝2，解得k＝2，∴k＝2时方程无解； ②当k＋1＝0，即k＝－1时，方程无解。 故k的值为2或－1。 14.(8分)已知分式方程＝1，由于印刷问题，有一个数“▲”看不清楚。 (1)(4分)若“▲”表示的数为6，求分式方程的解。 (2)(4分)小华说“我看到答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“▲”代表的数。 解：(1)＝1， 方程两边同乘(x－3)，得6－(x－1)＝x－3， 解得x＝5。 检验：当x＝5时，x－3≠0， ∴x＝5是原分式方程的解。 (2)设▲＝m，方程两边同乘(x－3)，得m－(x－1)＝x－3。 把x＝3代入m－(x－1)＝x－3，得m－2＝0，解得m＝2， ∴原分式方程中“▲”代表的数为2。 15.(8分)已知分式方程－2，请在下列三个条件中任选其中一个，求m的值。 ①若方程有增根； ②若方程无解； ③若方程的解为1。 解：选条件①：去分母，得3＝mx－3－2x－4， 由分式方程有增根，得到x＋2＝0，即x＝－2。 把x＝－2代入整式方程，得3＝－2m－3＋4－4， 解得m＝－3； 选条件②：方程两边同乘(x＋2)，得3＝mx－3－2x－4， ∴x＝。 ∵原方程无解， ∴x＝－2或m－2＝0， ∴－2＝或m－2＝0， ∴m＝－3或2； 选条件③：将x＝1代入原方程，得－2， 解得m＝12， ∴m的值为12。 16.(10分)[推理能力]探索规律： (1)(2分)尝试直接写出计算结果： ＋…＋＝ 　。  (2)(2分)由(1)的计算过程知，可变形为 　。  运用规律： (3)(6分)解方程：。 解：(3)方程可变形为 。 方程的两边同乘3，得 ， ∴。 方程的两边同乘2x(x＋9)，得 2(x＋9)－2x＝9x， 解得x＝2。 经检验，x＝2是原方程的解。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章　分　式 5.5　分式方程 第1课时　分式方程的解法 分值：79分 选择题(每小题3分，共12分)；填空题(每小题3分) 1.下列方程中，属于分式方程的是(　 　) A. B.＝0 C.(x－2)＝x D.＋1＝0 2.解分式方程－2＝，去分母，得(　 　) A.1－2(x－1)＝－3 B.1－2x－2＝－3 C.1－2(x－1)＝3 D.1－2x＋2＝3 3.分式方程的解是(　 　) A.x＝3 B.x＝2 C.x＝ D.x＝ 4.分式方程－3＝的解是(　 　) A.x＝－ B.x＝－1 C.x＝ D.x＝3 5.(3分)若分式的值为2，则a＝ 。  6.(3分)已知x＝3是关于x的分式方程＝1的一个根，则k＝ 。  7.(3分)若关于x的分式方程存在增根，则增根为 。  8.(3分)当x＝ 时，分式的值与分式的值相等。  9.(12分)解下列方程： (1)(3分)＝1； (2)(3分)－2＝； (3)(3分)； (4)(3分)。 10.(8分)小明解方程＝1的过程如下。请指出他在哪几步出现了错误，并写出正确的解答过程。 解：方程的两边同乘x，得1－(x－2)＝1。……① 去括号，得1－x－2＝1。……② 移项，得－x＝1－1＋2。……③ 合并同类项，得－x＝2。……④ 解得x＝－2，……⑤ ∴原方程的解为x＝－2。……⑥ 11.(3分)如果关于x的分式方程的解是x＝2，那么a的值是 。  12.(3分)已知关于x的分式方程＋5有增根，则m的值是 。  13.(3分)若关于x的分式方程＝1无解，则k的值为 。  14.(8分)已知分式方程＝1，由于印刷问题，有一个数“▲”看不清楚。 (1)(4分)若“▲”表示的数为6，求分式方程的解。 (2)(4分)小华说“我看到答案是原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“▲”代表的数。 15.(8分)已知分式方程－2，请在下列三个条件中任选其中一个，求m的值。 ①若方程有增根； ②若方程无解； ③若方程的解为1。 16.(10分)[推理能力]探索规律： (1)(2分)尝试直接写出计算结果： ＋…＋＝ 。  (2)(2分)由(1)的计算过程知，可变形为 。  运用规律： (3)(6分)解方程：。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章　分　式 5.5　分式方程 第2课时　分式方程的应用 分值：70分 选择题(每小题3分，共6分)；填空题(每小题3分) 1.为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为(　B　) A.200 B.300 C.400 D.500 【解析】 设改造后每天生产的产品件数为x，则改造前每天生产的产品件数为(x－100)。 由题意，得， 解得x＝300。 经检验，x＝300是分式方程的解，且符合题意，故改造后每天生产的产品件数为300。 2.照相机的成像原理应用了一个重要的公式：(v≠f)，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片(像)到镜头的距离。已知f，v，则u可表示为(　C　) A. B. C. D. 3.(3分)水果店老板用3 000元购进了一批杨梅，以高于进价40%的价格卖出，销售收入为3 500元时店里还剩25千克杨梅。问这批杨梅进价为每千克多少元?设这批杨梅进价为x元/千克，由题意列方程为 ＝25　。  4.(3分)将公式S＝(a≠0)变形为已知S，a，求b的形式，则b＝ 　。  5.(3分)《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间。设规定时间为x天，则根据题意可列出的分式方程是 ×　。  6.(8分)某快递公司为了提高分拣效率，自主设计了全套自动化分拣设备(如图)，该设备每小时分拣的快递量是1个分拣员每小时分拣的快递量的150倍。经过测试，该设备分拣75 000件快递所用时间比1个分拣员分拣1 000件快递所用时间少1小时。1个分拣员每小时分拣多少件快递? 解：设1个分拣员每小时分拣x件快递，则用设备每小时可分拣150x件快递。 依题意，得－1，解得x＝500。 经检验，x＝500是所列方程的解，且符合题意。 答：1个分拣员每小时分拣500件快递。 7.(8分)近年来，某市大力发展城市快速交通。市民小王开车从家到公司有两条路线可选，路线A为全程25 km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30 km，走路线B比走路线A的平均速度快50%，能节省 h，求走路线B的平均速度。 解：设走路线A的平均速度为x(km/h)，则走路线B的平均速度为1.5x(km/h)。　 由题意，得， 解得x＝50。 经检验，x＝50是所列方程的解，且符合题意。 50×1.5＝75(km/h)。 答：走路线B的平均速度为75 km/h。 8.(3分)将公式y＝(y≠1)变形为用y表示x的形式，则x＝　－　。  【解析】 去分母，得y(x＋1)＝x。 去括号，得xy＋y＝x。 移项，得xy－x＝－y。 两边同除以(y－1)，得x＝－。 9.(10分)某商店购买A，B两种商品，购买一个A商品比购买一个B商品少10元，并且花费100元购买的A商品和花费300元购买的B商品的数量相等。 (1)(3分)求购买一个A商品和B商品各需要多少元。 (2)(3分)商店准备购买A，B两种商品共80件，共花费700元。求购买A商品和B商品的数量。 (3)(4分)A商品售价为10元，打八折销售，B商品售价为20元，按原价销售，若某天该商店两种商品的总利润恰好为36元，求这天售出A，B两种商品的总数量。 解：(1)设购买一个A商品需要x元， 则， 两边同乘x(x＋10)得100(x＋10)＝300x， 解得x＝5。 经检验，x＝5是原分式方程的解， ∴x＋10＝15。 答：购买一个A商品需要5元，购买一个B商品需要15元。 (2)设购买A商品m件，B商品n件， 根据题意，得解得 答：购买A商品50件，B商品30件。 (3)设这天售出A商品a个，售出B商品b个， 由题意可得(0.8×10－5)a＋(20－15)b＝36， ∴3a＋5b＝36。 ∵a，b为正整数， ∴a＝7，b＝3或a＝2，b＝6，∴a＋b＝8或10。 答：这天售出A，B两种商品的总数量为8或10。 10.(8分)小明和小军同时从学校出发去相距12千米的博物馆参加志愿者活动，小军全程骑自行车，小明全程乘公交车，小军骑自行车的速度与小明乘公交车的速度比为1∶3，结果小明比小军提前40分钟到达目的地。求小军骑自行车的速度。 解：设小军骑自行车的速度为x千米/时，则小明乘公交车的速度为3x千米/时。 由题意，得，解得x＝12。 经检验，x＝12是所列方程的解，且符合题意。 答：小军骑自行车的速度为12千米/时。 11.(8分)某铁路建设公司有甲乙两个施工队，该公司承担一条高速铁路的施工任务，甲工程队单独施工10个月后，为了加快进度，乙工程队也加入施工，这样又用了20个月完成了任务。已知乙工程队单独施工该项任务需要40个月才能完成。 (1)(4分)求甲工程队单独施工完成该项任务需要多少个月? (2)(4分)如果两个施工队从一开始就合作完成此项施工任务，需要多少个月? 解：(1)设甲工程队单独完成此项工程需要x个月， 根据题意，得×20＝1，解得x＝60。 经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意。 答：甲工程队单独完成此项工程需要60个月。 (2)1÷＝1÷＝24(月)。 答：如果两队一开始就合作完成此项工程，需要24个月。 12.(10分)[应用意识]在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略。 【洗衣过程】步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干。重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标。 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5 kg水。 浓度关系式：d后＝。其中d前，d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量(单位：kg)。 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%。 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)(4分)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要多少清水? (2)(6分)如果把4 kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标? 解：(1)把d后＝0.01%，d前＝0.2%代入d后＝，得0.01%＝， 解得w＝9.5，经检验符合题意， ∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要9.5 kg清水。 (2)第一次漂洗：把w＝2 kg，d前＝0.2%代入d后＝， ∴d后＝＝0.04%，第二次漂洗：把w＝2 kg，d前＝0.04%代入d后＝， ∴d后＝＝0.008%，而0.008%＜0.01%，∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标。 学科网（北京）股份有限公司 $