4.3　用乘法公式分解因式 同步练习 2025-2026学年浙教版七年级数学下册

第4章　因式分解 4.3　用乘法公式分解因式 第2课时　完全平方公式 分值：87分 选择题(每小题3分，共15分) 1.下列各式中，可以用完全平方公式进行因式分解的是(　 　) A.a2－1 B.a2＋2a－1 C.x3＋x2＋x D.a2－6a＋9 2.如图是一个正方形被分成四部分，其面积分别是a2，ab，ab，b2，则原正方形的边长为(　 　) A.a2＋b2 B.a＋b C.a－b D.a2－b2 3.下列因式分解中，错误的是(　 　) A.a2－4a＋4＝(a－2)2 B.x2＋2xy＋y2＝(x＋y)2 C.a2b－2ab＋b＝b(a－1)2 D.－a2－12a－9＝－(a＋3)2 4.多项式x2－1与多项式x2－2x＋1的公因式为　(　 　) A.x－1 B.x＋1 C.x2－1 D.(x－1)2 5.(3分)若多项式x2＋1加一个单项式后可变为完全平方式，则所加的单项式可以是 (写出一个即可)。  6.(4分)分解因式： (1)(1分)x2＋2x＋1＝ ；  (2)(1分)2x2－4x＋2＝ ；  (3)(1分)3x2－18x＋27＝ ；  (4)(1分)(x＋2)(x＋4)＋1＝ 。  7.(3分)9x2－ ＋4y2＝(3x－2y)2。  8.(6分)分解因式： (1)(2分)4x2－12x＋9； (2)(2分)(a＋b)2－6(a＋b)＋9； (3)(2分)3x2y－6xy＋3y。 9.(8分)用简便方法计算： (1)(4分)992＋198＋1； (2)(4分)1982－396×202＋2022。 10.(8分)(1)(3分)若x2－6x＋k是完全平方式，求k的值。 (2)(3分)若x2＋kx＋4是完全平方式，求k的值。 (3)(2分)若4x2＋8xy＋m2是完全平方式，则m＝ 。  11.已知长方形的长为a，宽为b，周长为16，两边的平方和为34，则它的面积是(　 　) A.8 B.12 C.15 D.16 12.(12分)分解因式： (1)(3分)(a2＋1)2－4a2； (2)(3分)(x2＋4)2－16x2； (3)(3分)(a2＋3a)2－(a－1)2； (4)(3分)4a2b2－(a2＋b2－c2)2。 13.(9分)分解因式： (1)(3分)9(2x－1)2－6(2x－1)＋1； (2)(3分)(x＋y)2＋4－4(x＋y)； (3)(3分)(x2－1)2－6(x2－1)＋9。 14 .(9分)分解因式： (1)(3分)(x－y)2－4(x－y－1)； (2)(3分)(x＋y)(x＋y＋18)＋81； (3)(3分)(a2－4a＋2)(a2－4a＋6)＋4。 15. (10分)[创新意识]阅读材料： 把x4＋4分解因式。 分析：这个多项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢? 19世纪的法国数学家苏菲·热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式的特点，发现要使用完全平方公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4＋4＝x4＋4x2＋4－4x2＝(x2＋2)2－4x2＝(x2＋2)2－(2x)2＝(x2＋2x＋2)(x2－2x＋2)。 人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫作“热门定理”。 请根据“热门定理”将下列各式分解因式： (1)(5分)x4＋4y4。 (2)(5分)x4＋4x2＋16。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章　因式分解 4.3　用乘法公式分解因式 第1课时　平方差公式 分值：98分 选择题(每小题3分，共12分) 1.下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是(　B　) A.x2－xy B.x2－y2 C.x2＋xy D.x2＋y2 2.下列因式分解中，错误的是(　C　) A.4x2－25＝(2x＋5)(2x－5) B.a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b) C.4x2－y2＝(2x＋1)(2x－1) D.x2y－9y＝y(x＋3)(x－3) 3.如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形。根据图形的变化过程写出的一个正确的等式为(　D　) A.a2－2ab＋b2＝(a－b)2 B.a2－ab＝a(a－b) C.a2－b2＝(a－b)2 D.a2－b2＝(a＋b)(a－b) 4.a3－9a分解因式的结果是(　A　) A.a(a－3)(a＋3) B.a(a2＋9) C.(a－3)(a＋3) D.a2(a－9) 5.(5分)分解因式： (1)(1分)2a2－2＝　2(a＋1)(a－1)　；  (2)(1分)2x2－8＝　2(x＋2)(x－2)　；  (3)(1分)9x2－1＝　(3x＋1)(3x－1)　；  (4)(1分)2mx2－32my2＝　2m(x＋4y)(x－4y)　；  (5)(1分)3y4－3x4＝　3(y2＋x2)(y＋x)·(y－x)　。  6.(3分)已知x，y满足方程组则x2－4y2的值为　－15　。  【解析】 x2－4y2＝(x－2y)·(x＋2y)＝5×(－3)＝－15。 7.(6分)分解因式： (1)(2分)25x2－49y2； (2)(2分)－4x2＋1； (3)(2分)(a＋2b)2－(3a＋b)2。 解：(1)原式＝(5x＋7y)(5x－7y)。 (2)原式＝1－4x2 ＝(1＋2x)(1－2x)。 (3)原式＝(a＋2b＋3a＋b)(a＋2b－3a－b) ＝(4a＋3b)(b－2a)。 8.(6分)分解因式： (1)(2分)2a3－8ab2； (2)(2分)4x2－(y－2)2； (3)(2分)m2(m－n)＋n2(n－m)。 解：(1)原式＝2a(a2－4b2)＝2a(a＋2b)(a－2b)。 (2)原式＝(2x＋y－2)(2x－y＋2)。 (3)原式＝(m－n)(m2－n2)＝(m－n)2(m＋n)。 9.(8分)用简便方法计算： (1)(4分)49.62－50.42； (2)(4分)。 解：(1)原式＝(49.6＋50.4)×(49.6－50.4) ＝100×(－0.8) ＝－80。 (2)原式＝× ＝2×。 10.(8分)先化简，再求值：(2a＋3b)2－(2a－3b)2，其中ab＝1。 解：原式＝(2a＋3b＋2a－3b)(2a＋3b－2a＋3b)＝4a·6b＝24ab。 当ab＝1时，原式＝24ab＝24。 11.(8分)用简便方法计算： (1)(4分)8×7582－2582×8； (2)(4分)。 解：(1)原式＝8×(7582－2582) ＝8×(758＋258)×(758－258) ＝8×1 016×500＝4 064 000。 (2)原式＝ ＝。 12.(8分)如图，在一块边长为a(cm)的正方形纸板的四角，各剪去一个边长为b(cm) 的正方形，利用因式分解计算当a＝13.2，b＝3.4时的剩余部分的面积。 解：剩余部分的面积为a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)。 当a＝13.2，b＝3.4时， 原式＝(13.2＋2×3.4)×(13.2－2×3.4) ＝20×6.4＝128(cm2)。 答：剩余部分的面积为128 cm2。 13.(8分)有四个式子：4a2，(x＋y)2，x＋y，9b2，请你从中选出两个，使两者之差能按照以下要求进行因式分解，并写出因式分解的结果。 (1)(4分)利用提公因式法。 (2)(4分)利用平方差公式。 解：(1)选取：(x＋y)2与(x＋y)， (x＋y)2－(x＋y)＝(x＋y)(x＋y－1)。 (2)选取：4a2与9b2， 4a2－9b2＝(2a＋3b)(2a－3b)。 (答案不唯一：(x＋y)2，4a2，9b2任意两项的差均可) 14.(8分)先分解因式，再求值：4x2(a－2)＋a2(2－a)，其中x＝1，a＝102。 解：原式＝(a－2)(4x2－a2)＝(a－2)(2x＋a)·(2x－a)。 当x＝1，a＝102时， 原式＝(102－2)×(2＋102)×(2－102) ＝100×104×(－100) ＝－1 040 000。 15.(8分)观察下列式子因式分解的做法： ①x2－1＝(x－1)(x＋1)； ②x3－1＝(x－1)(x2＋x＋1)； ③x4－1＝(x－1)(x3＋x2＋x＋1)。 (1)(2分)观察规律，尝试对x5－1进行因式分解： x5－1＝　(x－1)(x4＋x3＋x2＋x＋1)　。  (2)(2分)观察(1)中的结果，猜想xn－1＝　(x－1)(xn－1＋xn－2＋…＋x＋1)　(n为正整数)。  (3)(4分)试求26＋25＋24＋23＋22＋2＋1的值。 解：(3)根据题中规律，可得27－1＝(2－1)(26＋25＋24＋23＋22＋2＋1)， ∴26＋25＋24＋23＋22＋2＋1＝27－1＝127。 16.(10分)[几何直观]许多正整数都能表示为两个连续奇数的平方差，例如：8＝32－12，16＝52－32，24＝72－52。 (1)(2分)42能表示成两个连续奇数的平方差吗?2 024呢? (2)(4分)设2n－1和2n＋1是两个连续奇数(其中n取正整数)，如果数a能表示成2n＋1和2n－1的平方差，那么a是8的倍数吗?为什么? (3)(4分)如图，拼叠的正方形边长分别是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积。 解：(1)42不能表示成两个连续奇数的平方差，2 024能表示为两个连续奇数的平方差。 (2)是。理由如下： ∵a＝(2n＋1)2－(2n－1)2＝(2n＋1＋2n－1)·(2n＋1－2n＋1)＝4n·2＝8n， ∴a是8的倍数。 (3)S阴影部分＝992－972＋952－932＋912－892＋…＋72－52＋32－12 ＝(99＋97)(99－97)＋(95＋93)(95－93)＋(91＋89)(91－89)＋…＋(7＋5)(7－5)＋(3＋1)(3－1) ＝(99＋97＋95＋…＋3＋1)×2 ＝×2 ＝5 000。 学科网（北京）股份有限公司 $第4章 因式分解 4.3用乘法公式分解因式 分值：87分 第2课时 完全平方公式 选择题（每小题3分，共15分） A掌握基本知识 落实4基 1.下列各式中，可以用完全平方公式进行因式分解的是(D) A.a2-1 B.a2+2a-1 C.x3+x2+x D.a2-6a+9 2.如图是一个正方形被分成四部分，其面积分别是a2,ab,ab,b2,则原正方形 的边长为(B) ab 2 ab A.a2+b2 B.a+b C.a-b D.a2-b2 3.下列因式分解中，错误的是(D) A.a2-4a+4=(a-2)2 B.x2+2xy+y2=(x+y)2 C.a2b-2ab+b=b(a-1)2 D.-a2-12a-9=-(a+3)2 4.多项式x2-1与多项式x2-2x+1的公因式为(A) A.x-1 B.x+1 C.x2-1 D.(x-1)2 【解析】，x2-1=化-1)x+1),x2-2x十1=(x-1)2, .公因式为x一1。 5.(3分)若多项式x2+1加一个单项式后可变为完全平方式，则所加的单项式可以 是2x(答案不唯一)（写出一个即可）。 6.(4分)分解因式： (11分)x2+2x+1=x+12 (2)1分)2x2-4x+2=2c-12: (3)1分)3x2-18x+27=3x-3)2 (4)1分)x+2)x+4)+1=x+32。 7.(3分)9x2-12x+4y2=(3x-2y)2。 8.(6分)分解因式： (1)2分)4x2-12x+9: (2)2分)a+b)2-6(a+b)+9; (3)2分)3x2y-6xy+3y。 解：(1)原式=(2x-32。 (2)原式=(a+b-3)2。 (3)原式=3y(x2-2x十1)=3y(x-12。 9.(8分)用简便方法计算： (1)(4分)992+198+1： (2)(4分)1982-396×202+2022。 解：(1)原式=992+2×99×1+12 =(99+1)2 =1002 =10000。 (2)原式=1982-2×198×202+2022 =(198-2022 =(-4)2 =16。 10.(8分)1)3分)若x2-6x十k是完全平方式，求k的值。 (2)3分)若x2+十4是完全平方式，求k的值。 (3)2分)若4x2+8xy+m2是完全平方式，则m=2y或-2y。 解：(1k=()=9。 2k=2XV4=4或k=2X(-V4)=-4。 B提升关键能力 练就4能 11.已知长方形的长为a,宽为b,周长为16，两边的平方和为34，则它的面积 是(C) A.8 B.12 C.15 D.16 【解析】由题意，得a+b=16÷2=8, ∴.(a+b)2=a2+2ab+b2=64。 又.2+b2=34, ∴.ab=15, 即此长方形的面积是15。 12.(12分)分解因式： (1)3分)a2+1)2-4a2; (2)3分)x2+4)2-16x2; (3)3分)(a2+3a)2-(a-1)2; (4)3分)4a2b2-(a2+b2-c22。 解：(1)原式=(a2+1+2a)a2+1-2a0)=(a十1(a-1)2。 (2)原式=(x2+4-4x)x2+4+4x)=(x-22·(c+2)2。 (3)原式=(a2+3a+a-1)(2+3a-a+1) =(2+4a-1)(2+2a+1) =(2+4a-1)(a+1)2。 (4)原式=[2ab-(a2+b2-c2)]·[2ab+(a2+b2-c2)] =[-(a2+b2-2ab)+c2][(a+b)2-c2] =[c2-(a-b2][(a+b2-c2] =(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)。 13.9分)分解因式： (1)3分)9(2x-1)2-6(2x-1)+1; (2)3分)x+y)2+4-4(x+y): (3)3分)x2-1)2-6(x2-1)+9。 解：(1)原式=[3(2x-1)-1]2 =(6x一4)2=43x-2)2。 (2)原式=(x+y-2)2。 (3)原式=(x2-1-32 =x2-42 =(x+2)2(x-2)2 14.(9分)分解因式： (1)3分)x-y)2-4(x-y-1)为 (2)3分)x+yx+y+18)+81; (3)3分)(a2-4a+2)(a2-4a+6)+4。 解：(1)原式=(x一y2-4x一y)+4=(xy-2)2。 (2)原式=(x+y)[(x+y)+18]+81 =(x+y)2+18(x+y)+81 =(x+y+9)2。 (3)原式=[(2-4m+2][(2-4a)+6]+4 =(2-4a)2+8(2-4a)+16 =[(2-4a)+4]2 =(2-4a+4)2 =(a-2)4。 ©]发展核心素养 培养3会 15.(10分)[创新意识]阅读材料： 把x4十4分解因式。 分析：这个多项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲·热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式 的特点，发现要使用完全平方公式就必须添一项4x2,随即将此项4x2减去，即 可得x4+4=x4+4x2+4-4x2=(x2+2)2-4x2=(x2+2)2-(2x)2=(x2+2x+2(x2- 2x+2)。 人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫作“热门定理”。 请根据“热门定理”将下列各式分解因式： (1)5分)x4+4y4。 (2)(5分)x4+4x2+16。 解：(1)原式=x4+4x2y2+4y4-4x2y2 =(x2+222-4x3y2 =(x2+2y2+2x)x2+2y2-2y) (2)原式=x4+8x2+16-4x2 =(x2+4)2-4x2 =(x2+2x+4)x2-2x+4) 第4章　因式分解 4.3　用乘法公式分解因式 第1课时　平方差公式 分值：98分 选择题(每小题3分，共12分) 1.下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是(　 　) A.x2－xy B.x2－y2 C.x2＋xy D.x2＋y2 2.下列因式分解中，错误的是(　 　) A.4x2－25＝(2x＋5)(2x－5) B.a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b) C.4x2－y2＝(2x＋1)(2x－1) D.x2y－9y＝y(x＋3)(x－3) 3.如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形。根据图形的变化过程写出的一个正确的等式为(　 　) A.a2－2ab＋b2＝(a－b)2 B.a2－ab＝a(a－b) C.a2－b2＝(a－b)2 D.a2－b2＝(a＋b)(a－b) 4.a3－9a分解因式的结果是(　 　) A.a(a－3)(a＋3) B.a(a2＋9) C.(a－3)(a＋3) D.a2(a－9) 5.(5分)分解因式： (1)(1分)2a2－2＝ ；  (2)(1分)2x2－8＝ ；  (3)(1分)9x2－1＝ ；  (4)(1分)2mx2－32my2＝ ；  (5)(1分)3y4－3x4＝ 。  6.(3分)已知x，y满足方程组则x2－4y2的值为 。  7.(6分)分解因式： (1)(2分)25x2－49y2； (2)(2分)－4x2＋1； (3)(2分)(a＋2b)2－(3a＋b)2。 8.(6分)分解因式： (1)(2分)2a3－8ab2； (2)(2分)4x2－(y－2)2； (3)(2分)m2(m－n)＋n2(n－m)。 9.(8分)用简便方法计算： (1)(4分)49.62－50.42； (2)(4分)。 10.(8分)先化简，再求值：(2a＋3b)2－(2a－3b)2，其中ab＝1。 11.(8分)用简便方法计算： (1)(4分)8×7582－2582×8； (2)(4分)。 12.(8分)如图，在一块边长为a(cm)的正方形纸板的四角，各剪去一个边长为b(cm) 的正方形，利用因式分解计算当a＝13.2，b＝3.4时的剩余部分的面积。 13.(8分)有四个式子：4a2，(x＋y)2，x＋y，9b2，请你从中选出两个，使两者之差能按照以下要求进行因式分解，并写出因式分解的结果。 (1)(4分)利用提公因式法。 (2)(4分)利用平方差公式。 14.(8分)先分解因式，再求值：4x2(a－2)＋a2(2－a)，其中x＝1，a＝102。 15.(8分)观察下列式子因式分解的做法： ①x2－1＝(x－1)(x＋1)； ②x3－1＝(x－1)(x2＋x＋1)； ③x4－1＝(x－1)(x3＋x2＋x＋1)。 (1)(2分)观察规律，尝试对x5－1进行因式分解： x5－1＝ 。  (2)(2分)观察(1)中的结果，猜想xn－1＝ (n为正整数)。  (3)(4分)试求26＋25＋24＋23＋22＋2＋1的值。 16.(10分)[几何直观]许多正整数都能表示为两个连续奇数的平方差，例如：8＝32－12，16＝52－32，24＝72－52。 (1)(2分)42能表示成两个连续奇数的平方差吗?2 024呢? (2)(4分)设2n－1和2n＋1是两个连续奇数(其中n取正整数)，如果数a能表示成2n＋1和2n－1的平方差，那么a是8的倍数吗?为什么? (3)(4分)如图，拼叠的正方形边长分别是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积。 学科网（北京）股份有限公司 $