4.3 用乘法公式分解因式（1） 课件 2024-2025学年浙教版数学七年级下册

浙教新版七年级《数学》下册 4.3用乘法公式分解因式(1) 一座公园建筑的示意图如图所示.环形绿化带的外圆半径为7.5m, 内圆半径为5.5m, 这个环形绿化带的面积是多少?怎样计算比较简便? 7.52π—5.52π 如何求解呢? 问题情境 对比分析 平 方差公式： 整式乘法 (a+b)(a—b)=a²—b² 两个数的和与两个数的差的乘积，等于这两个 数的平方差. a²—b²=(a+b)(a—b) 因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个 数的差的积. a²—b²=(a+b)(a—b) 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数 的差的积. 怎样的多项式才能用平方差公式分解因式： m²-16=m²-4²=(m+4)(m-4) a²-b²=(a+b)(a-b) 对比分析 先说出下面各式a,b 分别表示什么?再进行因式分解. (1)x²—1; (2)m²—9; (3)x²—4y² . (1)a 表示x, b表示1, x²—1=(x+1)(x-1). (2)a 表示m,b 表示3, m²—9=(m+3)(m—3). (3)a 表示x,b 表示2y,x²—4y²=(x+2y)(x—2y). ①左边两个数的平方差；只有两项 ②右边两数的和与差的积 形象地表示为： □²一△²=(□+△)(□一△) 平方差公式：a²—b²=(a+b)(a—b) 相同项 相反项 体 验 新 知 (3) (4)(x+z)² 一(y+z)² =[(x+z)+(y+z)][(x+z) 一(y+z)] =(x+y+2z)(x—y) 注意：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分 解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. 例1把下列各式分解因式： (1)16a²—1 =(4a)²—1² =(4a+1)(4a—1). (2)—m²n²+4P =(2D²—(mn)² =(2l+mn)(2l—mn) 平方差公式：a²—b²=(a+b)(a—b) 例题精讲 分解因式，必须进行到 每一个多项式因式都不 能再分解为止. 分解因式时，一般先用提 公因式法，再用公式法. 例2 分解因式：4x³y—9xy³ 解：4x³y—9xy³ =xy(4x²—9y²) =xy[(2x)² 一(3y)²] =xy(2x+3y)(2x—3y) 例题精讲 下列各式能用平方差公式分解因式吗?若可以，应当怎样分解? (1)x²+y² 不能 (2)x²-y² =(x+y)(x-y) (3)-x²+y²=y²-x²=(y+x)(y-x) (4)-x²-y² 不能 (5)x²-(-y)²=x²-y²=(x+y)(x-y) 深度理解 1.运用平方差公式分解因式： (1)4—x² =(2+x)(2—x) (3)a⁴—81 =(a²+9)(a+3)(a—3) (2)4x²—25y² =(2x+5y)(2x—5y) (4)a³b—ab =ab(a+1)(a-1) 知 识 运 用 2.一座公园建筑的示意图如图所示.环形绿化带的外圆半径为7.5m, 内 圆 半径为5.5m , 这个环形绿化带的面积是多少?怎样计算比较简便? 7.52π—5.52π =(7.5²—5.52)π =(7.5+5.5)(7.5—5.5)π = 13×2π =26π 答：这个环形绿化带的面积是26πm². 知识运用 3.若m+n=120,m—n=-1, 求4m²—4n²的值 . 解：原式=(2m+2n)(2m—2n) =2(m+n)2(m—n) =4(m+n)(m—n) 当m+n=120,m—n=—1 时， 原式=4×120×(一1)=-480. 知 识 运 用 1.下列能用平方差公式分解因式的是(C) A.a²+ (一b)² B.x²+4y² C. 一x²+9 D. 一x²—y² 课堂检测 (2)4—a² (2+a)(2—a) (4)9a²—4b² (3a+2b)(3a—2b) (6)—a⁴+16 (4+a²)(2+a)(2—a) 2.分解因式 (1)a²—36 (a+6(x—6) (5)x²y—4y y(x+2)(x—2) 课 堂 检 测 (3) 3.如图，在一块边长为a cm的正方形纸板四角，各剪去一个边长 为b cm的正方形，利用因式分解计算当a=13.2,b=3.4 时的剩余 部分的面积. 解：剩余部分的面积为： a²—4b²=(a+2b)(a—2b) 当a=13.2,b=3.4 时， (a+2b)(a—2b)=(13.2+2×3.4)×(13.2—2×3.4)=20×6.4=128, 即剩余部分的面积为128 cm². 课 堂 检 测 课 堂 检 测 4.试说明：n为整数， (2 n+1)²—25 能被4整除. 解：原式=(2n+1+5)(2n+1-5) =(2n+6(2n—4) =2(n+3)×2(n—2) =4(n+3)(n—2). 所以(2n+1)²—25 能被4整除. $$