4.3 第2课时 完全平方公式（配套word）-【全效学习】2024-2025学年七年级下册数学（浙教版·新教材）

本讲义聚焦完全平方公式的应用，构建从基础识别（如判断多项式能否用公式因式分解）、几何直观理解（通过正方形面积四部分推导边长），到基本因式分解（如x²+2x+1）、综合应用（求参数k、长方形面积问题），再到拓展延伸（配方法、“热门定理”分解）的学习支架。 资料通过几何图形（第2题面积）培养几何直观，借助简便计算（99²+198+1）提升运算能力与推理意识，结合“热门定理”等拓展题发展创新意识。课中助力教师分层教学，课后帮助学生巩固基础、查漏补缺，强化知识应用。

第2课时　完全平方公式 1.下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是(　A　) A.x2＋6x＋9 B.x2－2x－1 C.4x2＋2x＋1 D.4x2＋1 2.如图是一个正方形被分成四部分，其面积分别是a2，ab，ab，b2，则原正方形的边长为(　B　) 第2题图 A.a2＋b2 B.a＋b C.a－b D.a2－b2 3.下列因式分解中，错误的是(　D　) A.a2－4a＋4＝(a－2)2 B.x2＋2xy＋y2＝(x＋y)2 C.a2b－2ab＋b＝b(a－1)2 D.－a2－12a－9＝－(a＋3)2 4.多项式x2－1与多项式x2－2x＋1的公因式为　(　A　) A.x－1 B.x＋1 C.x2－1 D.(x－1)2 【解析】 ∵x2－1＝(x－1)(x＋1)，x2－2x＋1＝(x－1)2， ∴公因式为x－1。 5.若多项式x2＋1加一个单项式后可变为完全平方式，则所加的单项式可以是　2x(答案不唯一)　(写出一个即可)。  6.分解因式： (1)x2＋2x＋1＝　(x＋1)2　；  (2)2x2－4x＋2＝　2(x－1)2　；  (3)3x2－18x＋27＝　3(x－3)2　；  (4)(x＋2)(x＋4)＋1＝　(x＋3)2　。  7.9x2－　12xy　＋4y2＝(3x－2y)2。  8.分解因式： (1)4x2－12x＋9； 解：原式＝(2x－3)2。 (2)(a＋b)2－6(a＋b)＋9； 解：原式＝(a＋b－3)2。 (3)3x2y－6xy＋3y。 解：原式＝3y(x2－2x＋1)＝3y(x－1)2。 9.用简便方法计算： (1)992＋198＋1； 解：原式＝992＋2×99×1＋12 ＝(99＋1)2 ＝1002 ＝10 000。 (2)1982－396×202＋2022。 解：原式＝1982－2×198×202＋2022 ＝(198－202)2 ＝(－4)2 ＝16。 10.(1)若x2－6x＋k是完全平方式，求k的值。 (2)若x2＋kx＋4是完全平方式，求k的值。 (3)若4x2＋8xy＋m2是完全平方式，则m2＝(　2y或－2y　)2。  解：(1)k＝＝9。 (2)k＝2×＝4或k＝2×(－)＝－4。 11.已知长方形的长为a，宽为b，周长为16，两边的平方和为34，则它的面积是(　C　) A.8 B.12 C.15 D.16 【解析】 由题意，得a＋b＝16÷2＝8， ∴(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝64。 又∵a2＋b2＝34， ∴ab＝15， 即此长方形的面积是15。 12.分解因式： (1)x4－8x2y2＋16y4； 解：原式＝(x2－4y2)2＝(x＋2y)2(x－2y)2。 (2)(a2＋4)2－16a2。 解：原式＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2。 13.观察如下因式分解的过程并解决问题： x2－120x＋3 456 ＝x2－2×60x＋602－602＋3 456 ＝(x－60)2－144＝(x－60)2－122 ＝(x－60＋12)(x－60－12) ＝(x－48)(x－72)。 (1)请你按照上面的方法分解因式：x2－140x＋4 756。 (2)已知一个长方形的面积为a2＋8ab＋12b2，宽为a＋2b，求这个长方形的长。 解：(1)x2－140x＋4 756＝x2－2×70x＋702－702＋4 756 ＝(x－70)2－144＝(x－70)2－122＝(x－70＋12)(x－70－12)＝(x－58)(x－82)。 (2)∵a2＋8ab＋12b2＝a2＋2·a·4b＋(4b)2－(4b)2＋12b2＝(a＋4b)2－4b2＝(a＋4b－2b)(a＋4b＋2b)＝(a＋2b)(a＋6b)， ∴这个长方形的长为a＋6b。 14. 阅读材料： 把x4＋4分解因式。 分析：这个多项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢? 19世纪的法国数学家苏菲·热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式的特点，发现要使用完全平方公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4＋4＝x4＋4x2＋4－4x2＝(x2＋2)2－4x2＝(x2＋2)2－(2x)2＝(x2＋2x＋2)(x2－2x＋2)。 人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫作“热门定理”。 请根据“热门定理”将下列各式分解因式： (1)x4＋4y4。 (2)x4＋4x2＋16。 解：(1)原式＝x4＋4x2y2＋4y4－4x2y2 ＝(x2＋2y2)2－4x2y2 ＝(x2＋2y2＋2xy)(x2＋2y2－2xy)。 (2)原式＝x4＋8x2＋16－4x2 ＝(x2＋4)2－4x2 ＝(x2＋2x＋4)(x2－2x＋4)。 15. [推理能力]已知(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc，如：(x＋2y－3z)2＝x2＋4y2＋9z2＋4xy－6xz－12yz。 请利用上面的等式分解因式： (1)x2＋y2＋1－2xy＋2x－2y。 (2)4a2＋9b2＋c2－12ab＋4ac－6bc－1。 解：(1)原式＝x2＋(－y)2＋12＋2x·(－y)＋2×1×x＋2×1×(－y)＝(x－y＋1)2。 (2)原式＝(2a－3b＋c)2－12＝(2a－3b＋c＋1)(2a－3b＋c－1)。 学科网（北京）股份有限公司 $