精品解析：吉林省长春市力旺实验初级中学2025-2026学年九年级下学期数学假期作业验收大练习

数学假期作业验收大练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于“0”的说法正确的是（　　） A. 0是正数 B. 0是最小的整数 C. 0是绝对值最小的数 D. 0不是有理数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查0的性质，包括正负性、整数、绝对值和有理数的定义．根据0既不是正数也不是负数，整数没有最小值，0的绝对值最小，以及0是有理数，逐一判断选项． 【详解】解：∵0既不是正数也不是负数， ∴A错误； ∵整数包括正整数、负整数和0，没有最小的整数， ∴B错误； ∵绝对值表示数到原点的距离，0的绝对值为0，其他数的绝对值均大于0， ∴0是绝对值最小的数，C正确； ∵有理数包括整数和分数，0是整数， ∴0是有理数，D错误． 故选：C． 2. 一个直角三角形纸板绕它的一条直角边所在直线旋转一周可以得到的几何体是（ ） A. 球 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 正方体 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点线面体，熟记各种平面图形旋转得到的立体图形是解题的关键．根据直角三角形绕直角边旋转是圆锥，可得答案． 【详解】解：将一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周得到的几何体是圆锥． 故选：C． 3. “x与2的差的3倍是非负数”，用不等式可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据“非负数”的含义是大于等于0，即可根据题意列出不等式． 【详解】解：x与2的差可表示为， x与2的差的3倍可表示为， ∵该式子是非负数， ∴． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解： 根据题意得， ． 【点睛】重点掌握幂的运算． 5. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据二次根式被开方数为非负数，列不等式求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数是非负数， ∴二次根式中，被开方数满足， 解不等式得． 6. 如图，两条宽度均为的矩形长纸条，相交成角，则重叠部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作于点E，由题意易得四边形是平行四边形，，，然后根据三角函数可得，进而问题可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点E， 由题意得：，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 7. 将四边形按如图所示的折纸方法展开后，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据折叠性质得出，得出，证明，即可得出结论． 【详解】解：由折叠得：， ，故A、B都一定正确； ， ， ， ， ，故C一定正确； 无法得出，故D不一定正确． 8. 如图，已知的顶点A在反比例函数的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接交于点E．若，，则k的值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 根据平行四边形的性质，结合三角形及平行四边形面积公式可得，则设，得到方程，解得，再根据反比例函数k的几何意义得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 设， ∵若，， ∴， 解得， ∵顶点A在反比例函数的图象上， ， ， 故答案为：10． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 计算：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 请写出一个大于且小于的无理数_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的概念，由于所求无理数大于且小于，则该数的平方大于小于，所以可选其中的任意一个数开平方即可． 【详解】， ， 写出一个大于且小于的无理数是， 故答案为：（答案不唯一） 11. 的余角等于______． 【答案】 【解析】 【分析】利用互余两角之和为的性质，结合度分秒的换算规则求解即可． 【详解】的余角为：． 12. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为______ 【答案】 【解析】 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为． 13. 如图，四边形是正方形，曲线…叫做“正方形渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按A，B，C，D循环．当时，曲线的长度为______（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】由正方形的性质得到，，然后求出各段弧的半径，进而根据弧长计算公式可进行求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴曲线的长度为． 14. 如图，正方形的边长为4，点E、F分别在边上，且，与相交于点G，连接给出下列四个结论： ①； ②； ③C、G两点之间的最小值为； ④当最大时，． 上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用正方形的性质证明，可判断①②，再找到点的运动轨迹，即可判断③，最后根据当与相切时，最大，由切线的性质求出，再利用勾股定理即可判断④． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 如图，取中点，正方形的中心为，连接， ∵点E、F分别在边上， 当两点重合，两点重合时，交于点，此时两点重合， ∴点在以为直径的圆上运动，且运动轨迹为劣弧， ∵，即， 当三点共线时，， 此时，有最小值， ∴，故③错误； 当与相切时，最大， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∴， 连接交于点， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 则正确的结论有①②④． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先利用完全平方公式展开，合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当时， 原式 16. 将一枚质地均匀硬币掷三次，用画树状图的方法，求落地后出现两个正面和一个反面朝上的概率． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图，共有8种等可能的结果，其中落地后出现两个正面和一个反面朝上的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下: 共有8种等可能的结果，其中落地后出现两个正面和一个反面朝上的结果有3种， ∴落地后出现两个正面和一个反面朝上的概率是． 17. 如图，在中，对角线，E为的中点，分别延长和交于点F；连接、．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】要证明四边形是矩形，需先证明其为平行四边形，再证明有一个内角为直角．利用平行四边形的对边平行且相等性质，结合三角形全等得到对边相等且平行以证平行四边形；再依据及平行线的性质得到直角，从而完成矩形的证明． 【详解】证明：∵ 四边形是平行四边形， ∴，（平行四边形对边平行且相等）． 又∵ 点在的延长线上， ∴， ∴，（两直线平行，内错角相等）． ∵ E为的中点， ∴． 在和中， ∴， ∴． 又∵， ∴ 四边形是平行四边形． ∵， ∴． 又∵（平行四边形性质）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵ 四边形是平行四边形，且， ∴ 四边形是矩形． 18. 今年，小明的年龄是爷爷年龄的．小明发现，12年后，他的年龄将变成爷爷年龄的．试求出小明今年的年龄． 【答案】小明今年12岁. 【解析】 【分析】设小明今年的年龄是x岁，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设小明今年的年龄是x岁，依据题意得： 解得： 答：小明今年的年龄是岁． 19. 图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点，其中A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定网格中按下列要求作图． （1）在图①中，画出过点A、B、C的圆的圆心O； （2）在图②中，在劣弧上确定一点P，使； （3）在图③中，点D是圆上一点，画出弦，使． 【答案】（1）见详解； （2）见详解； （3）见详解 【解析】 【小问1详解】 解：连接与格线的交点O，即为所求； 【小问2详解】 解：连接，取格点E，连接交格线于点D，连接交圆于点P，即为所求点 ∵， ∴， ∴， 设每个小正方形的边长为1， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 【小问3详解】 解：连接交格线于点F，连接并延长交圆于点E，连接，则 由圆的对称性可知：， ∴ 20. 为了解某年级200名学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理描述和分析．下面给出了部分信息： a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）： b．A课程成绩在这一组的是： 80 81 83 84 85 85 85 c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下： 课程 平均数 中位数 众数 A 80 m 85 B 79.9 84 86 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为________； （2）在此次测试中，学生甲的A课程成绩为83分，B课程成绩为83分，这名学生成绩排名更靠前的课程是______；（填“A”或“B”）； （3）若该年级200名学生都参加此次测试，若成绩不低于85分为优秀，估计A课程成绩优秀的学生有多少人． 【答案】（1）82 （2）A （3）估计A课程成绩优秀的学生为80人 【解析】 【分析】（1）根据中位数的概念直接进行计算即可； （2）根据成绩和中位数的关系即可知道排名更靠前的课程； （3）用总人数200乘以抽取的学生中A课程成绩为优秀的比例即可． 【小问1详解】 解：∵A课程总人数为人， ∴中位数为第10、11个数据的平均数，而第10、11个数据均在这一组， ∴中位数在这一组， ∵这一组的是：80 81 83 84 85 85 85， ∴A课程的中位数为分，即； 【小问2详解】 解：∵A课程的中位数是82分， B课程的中位数是84分， ∵学生甲的A课程成绩为83分，B课程成绩为83分， ∴该学生的A课程成绩大于A课程的中位数，B课程成绩小于B课程的中位数， ∴这名学生成绩排名更靠前的课程是A； 【小问3详解】 解：抽取的20名学生中，A课程成绩优秀的学生为8人． ∴（人） 答：估计A课程成绩优秀的学生为80人． 21. 某服务区有甲、乙两种品牌的充电桩．甲品牌充电桩每分钟收费0.3元．甲、乙两品牌的充电桩收费y（元）与使用时间，x（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）a的值为______； （2）当时，求乙充电桩收费y与x之间的函数表达式； （3）已知两种品牌的充电桩的平均充电速度为每小时3千瓦时，若小明的电车需要4.5千瓦时的电量，通过计算说明小明选择哪个品牌的充电桩更省钱． 【答案】（1）6； （2）； （3）乙品牌的充电桩更省钱 【解析】 【分析】（1）先求出甲充电桩收费的函数解析式，进而即可求解； （2）根据函数图象，用待定系数法求解即可； （3）分别求出两种品牌充电桩的费用，即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵甲品牌充电桩每分钟收费0.3元， ∴甲充电桩收费， 当时，； 【小问2详解】 解：设乙充电桩收费y与x之间的函数表达式为：, 把代入上式：，解得：， ∴； 【小问3详解】 解：（小时）（分钟）， 甲品牌充电桩收费：， 乙品牌充电桩收费：， ， 答：乙品牌的充电桩更省钱． 22. 【问题呈现】如图①，是的内接正三角形，点是劣弧上一点，连接、、．求证：． 【问题解决】小明利用旋转，将绕点按顺时针的方向旋转至，如图②，可知，． ∵、、、四点共圆， ∴． ∴． ∴、、三点共线． 证明过程缺失 请你补全余下的证明过程． 【拓展应用】已知是的内接正三角形，点是劣弧上一点． （1）将绕点按顺时针的方向旋转至，使的面积最大，用圆规和无刻度的直尺在图③中依据题意补全图形；（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑）； （2）若的半径为，则四边形周长的最大值为_____ 【答案】问题解决：见解析；拓展应用：（1）见解析；（2）． 【解析】 【分析】问题解决：利用旋转性质得到，为等边三角形，结合、、共线，得到，进而证得． 拓展应用：（1）当为直径时，的面积最大，此时将绕点顺时针旋转得到，的面积也最大． （2）将旋转得到，可知，四边形的周长为，当为直径时，周长最大． 【详解】问题解决：解：由题意可知，． ∵、、、四点共圆， ∴． ∴． ∴、、三点共线． ∵绕点顺时针旋转至， ∴，． ∴是等边三角形． ∴． ∵、、三点共线， ∴． ∵， ∴． 拓展应用：解：（1）作射线交于点．以为一边，在外作，在上取，连接、，则此时、、三点共线，为所求； 证明：过点作于点． ∵，是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴，， 在中，， ∵，， ， ∴， ∵，为定值， ∴当取最大值时，取最大值． ∵是的弦， ∴当为直径时，取得最大值． ∵当为直径时，， ∴． ∴当时，的面积最大． （2）解：如图，过点作于，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由问题解决可知． ∴四边形． ∵为的弦， ∴当为直径时，最大，最大值为． ∴． 23. 如图，点A、B分别在的边上，，，垂足为点B，．点P是线段上一点，作交射线于点M，当点M不与点B重合时，作点M关于的对称点N，点Q是的中点． （1）线段的长为______； （2）求证：； （3）当时，求的长； （4）当以P、Q、M、N为顶点的四边形有一组对边平行时，直接写出的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）先求出，再利用勾股定理求解即可； （2）证明，即可证明； （3）由对称的性质结合，求出，再利用相似三角形的性质即可求解； （4）分，两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵，即 ∴； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即； 【小问3详解】 解：∵点M与点N关于对称，， ∴， 由（1）知， ∵， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：当时，如图， 则， ∴， ∴， ∵点Q是的中点， ∴， ∴， ∵点M与点N关于的对称，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， ∴， ∵点Q是的中点， ∴， ∴， ∵点M与点N关于的对称，， ∴， 设，则， 由（2）知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，当以P、Q、M、N为顶点的四边形有一组对边平行时，的长为或． 【点睛】注意分情况讨论，不要遗漏． 24. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点，点P在抛物线上，横坐标为m，作轴于点Q，将线段绕点O旋转得到线段，作四边形． （1）求该抛物线所对应的函数表达式； （2）当M、N两点关于该抛物线的对称轴对称时，求四边形的面积； （3）当，抛物线在四边形内部的图象（包括边界）记为G，若图象G的点的纵坐标y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为8，求m的值； （4）当线段与该抛物线只有一个交点时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）24 （3） （4）或或 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线表达式，求得a即可； （2）根据（1）中所求结果得到抛物线的对称轴，以及用m表示出点、的坐标，然后根据题意可知点和点，点和点分别关于原点对称，四边形为平行四边形，且，从而表示出点、的坐标，结合、两点关于该抛物线的对称轴对称，即可解答； （3）根据二次函数的图象与性质可知，图象G一定包含抛物线的顶点部分，即图象G的最低点的纵坐标为，从而得到图象G的最高点的纵坐标，即为点P的纵坐标，即可求得此时的m值； （4）根据（2）中点P、Q、M、N的坐标表达式，分别求得当过抛物线的顶点、点在抛物线上、点在抛物线上时，对应的m值，结合图象，利用数形结合的思想方法即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意，将点代入抛物线， 得， 解得， ∴该抛物线所对应的函数表达式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点P在抛物线上，横坐标为m，作轴于点Q， ∴，， ∵将线段绕点O旋转得到线段， ∴点和点，点和点分别关于原点对称，且，， ∴，，四边形为平行四边形，且， 又∵M、N两点关于该抛物线的对称轴对称，且点在y轴上， ∴点M在对称轴的右侧， ∴， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴四边形的面积； 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线在四边形内部的图象（包括边界）记为G，图象G的点的纵坐标y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大， ∴图象G一定包含抛物线的顶点部分，即图象G的最低点的纵坐标为，如下图所示， 又∵图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为8， ∴图象G的最高点的纵坐标为， ∴点P的纵坐标为5， ∴， 解得， ∵， ∴； 【小问4详解】 解：由（2）可知，，，，， ①当时，如图，当经过抛物线的顶点， 则， 解得，（舍去）， 如图，当点在抛物线上时， 则， 解得，（舍去）； 如图，当点在抛物线上时， 则， 解得，（舍去）， ∴当或时，线段与该抛物线只有一个交点； ②当时，如图，当点在抛物线上时， 同理可得，， 如图，当点在抛物线上时， 同理可得，， ∴当时，线段与该抛物线只有一个交点； 综上所述，当或或时，线段与该抛物线只有一个交点． 【点睛】应用分类讨论和数形结合的思想方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学假期作业验收大练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于“0”的说法正确的是（　　） A. 0是正数 B. 0是最小的整数 C. 0是绝对值最小的数 D. 0不是有理数 2. 一个直角三角形纸板绕它的一条直角边所在直线旋转一周可以得到的几何体是（ ） A. 球 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 正方体 3. “x与2的差的3倍是非负数”，用不等式可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，两条宽度均为的矩形长纸条，相交成角，则重叠部分的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 将四边形按如图所示的折纸方法展开后，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知的顶点A在反比例函数的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接交于点E．若，，则k的值为______． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 计算：______． 10. 请写出一个大于且小于的无理数_______． 11. 的余角等于______． 12. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为______ 13. 如图，四边形是正方形，曲线…叫做“正方形渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按A，B，C，D循环．当时，曲线的长度为______（结果保留） 14. 如图，正方形的边长为4，点E、F分别在边上，且，与相交于点G，连接给出下列四个结论： ①； ②； ③C、G两点之间的最小值为； ④当最大时，． 上述结论中，正确结论的序号有______． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 将一枚质地均匀硬币掷三次，用画树状图的方法，求落地后出现两个正面和一个反面朝上的概率． 17. 如图，在中，对角线，E为的中点，分别延长和交于点F；连接、．求证：四边形是矩形． 18. 今年，小明的年龄是爷爷年龄的．小明发现，12年后，他的年龄将变成爷爷年龄的．试求出小明今年的年龄． 19. 图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点，其中A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定网格中按下列要求作图． （1）在图①中，画出过点A、B、C的圆的圆心O； （2）在图②中，在劣弧上确定一点P，使； （3）在图③中，点D是圆上一点，画出弦，使． 20. 为了解某年级200名学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理描述和分析．下面给出了部分信息： a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）： b．A课程成绩在这一组的是： 80 81 83 84 85 85 85 c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下： 课程 平均数 中位数 众数 A 80 m 85 B 79.9 84 86 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为________； （2）在此次测试中，学生甲的A课程成绩为83分，B课程成绩为83分，这名学生成绩排名更靠前的课程是______；（填“A”或“B”）； （3）若该年级200名学生都参加此次测试，若成绩不低于85分为优秀，估计A课程成绩优秀的学生有多少人． 21. 某服务区有甲、乙两种品牌的充电桩．甲品牌充电桩每分钟收费0.3元．甲、乙两品牌的充电桩收费y（元）与使用时间，x（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）a的值为______； （2）当时，求乙充电桩收费y与x之间的函数表达式； （3）已知两种品牌的充电桩的平均充电速度为每小时3千瓦时，若小明的电车需要4.5千瓦时的电量，通过计算说明小明选择哪个品牌的充电桩更省钱． 22. 【问题呈现】如图①，是的内接正三角形，点是劣弧上一点，连接、、．求证：． 【问题解决】小明利用旋转，将绕点按顺时针的方向旋转至，如图②，可知，． ∵、、、四点共圆， ∴． ∴． ∴、、三点共线． 证明过程缺失 请你补全余下的证明过程． 【拓展应用】已知是的内接正三角形，点是劣弧上一点． （1）将绕点按顺时针的方向旋转至，使的面积最大，用圆规和无刻度的直尺在图③中依据题意补全图形；（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑）； （2）若的半径为，则四边形周长的最大值为_____ 23. 如图，点A、B分别在的边上，，，垂足为点B，．点P是线段上一点，作交射线于点M，当点M不与点B重合时，作点M关于的对称点N，点Q是的中点． （1）线段的长为______； （2）求证：； （3）当时，求的长； （4）当以P、Q、M、N为顶点的四边形有一组对边平行时，直接写出的长． 24. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点，点P在抛物线上，横坐标为m，作轴于点Q，将线段绕点O旋转得到线段，作四边形． （1）求该抛物线所对应的函数表达式； （2）当M、N两点关于该抛物线的对称轴对称时，求四边形的面积； （3）当，抛物线在四边形内部的图象（包括边界）记为G，若图象G的点的纵坐标y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为8，求m的值； （4）当线段与该抛物线只有一个交点时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $