第十九章 二次根式 化简求值 典型题型归纳专项练 2025-2026学年数学人教版（2024）八年级下册

第十九章二次根式化简求值典型题型归纳专项练 2025-2026学年下学期初中数学人教版(2024)八年级下册 一、先化简后直接代入求值 1.先化简，再求值.如果a=2-5,=26求-2ab+的值， 2.先化简，再求值：2-20.(2a-)-(a+1(a- a2-1 2,其中a=2-1. a-1 3.先化简，再求值： 1、2) a+2a2+4a+4,其中a=V2-2. a ÷ 4.先化简，再求值： 2÷-1-5,其中x=5-1. (x+1xx2+x 21-1】 a2+a a+2a+4a+4'其中a=5. 1 5.先化简，再求值：已知x= 2·求1)√x2-4x+4的值 x-1 x-2 6.先化简，再求值： ()(x+y2-(x+3y(x-3y÷2y,其中x=1,y=1. ②m+3-四=}m:2m,其中m=2 m-3m2-3m 7.先化简，再求值：(x-2)2+4x,其中x=√2. 8.先化简，再求值： ÷x+2-5）】 3-x x-2 -2}其中x=5-3. 9.已知a=2-V5,化简求值1-2a+a2_a2+2a+11 a-1 a2+a a 二、己知条件式，化简求值 0化简，求恤：已如m日保丹+网 1 `√m-√n√m-3vn 1.化简求值：已知a=2-5,求1-2a+口-a-2a+1的值. a-1 a2-a 11 12.先化简再求值，己知x=√2+1，y=√2-1；求一-二的值 13先化简，得求价，已知=2-，=25，宋+月儿+的能 11 14.已知x= y3-2√2’求下列代数式的值。 3+22’y=, (1)x2+xy+y2 Q+ 15.已知：a-b-5=0,求代数式 2a-1÷ d2-2ab+的值. a+b a+b 1 16.已知a 2+5,求a-2a+1 √a2-2a+1的值 a-1 a--a 17.已知m+2n=√5，求代数式 4n+2 m-2n m3一4n的值. m x 18.己知x+y=-6,xy=6. 三、利用二次根式的非负性化简求值 19.二次根式的双重非负性体现在以下两个方面：一是二次根式中的被开方数必须满足非负 条件，二是二次根式的运算结果始终是非负的.已知实数m满足等式 2025-m+√m-2026=m.请利用上述性质解答： (1)求m的取值范围； (2)小智求出m-20252的值为2026，他的答案正确吗？为什么？ 20.二次根式√a的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果√a≥0，利用√a的双重 非负性解决以下问题： (1)已知实数m,n(n≠0)满足2m-4+√2n+6=0,求m-n的值； (②)若x,y为实数，且x2=√y-3+√3-y+64,求x+y的值. (3)已知：a、b、c满足(a-⑧+Vb-5+c-3W2=0,以a、b、c为边能否构成三角形？ 若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由 21.二次根式√a的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果√a≥0，利用√a的双重 非负性解决以下问题： (1)已知√a-1+3+b=0,则a+b的值为； (2)若，y为实数，且x2=5-y+Vy-5+4,求x+y的值. 22.【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平 方，如： 5-26=(2+3)-22x3=(V2)°+5°-22×5=(V2-5, 8+45=(2+6)+212=(+(6+2W2x6=(N2+6), 【类比归纳】 (1)仿照小明的方法将7-210化成另一个式子的平方：7-2√10=； (2)请运用小明的方法化简：√3-40. (3)将式子化成平方的形式：x+5+4Vx+1= (4)已知a,b为非负实数，：a+b-2ab=(a+V6)-2a万=(a-b≥0， a+b≥2√ab,当且仅当“a=b”时，等号成立.这个结论就是著名的均值不等式”.请利 用均值不等式解决：当x为何值时，+3+2+5有最小值？求出该最小值. Vx+2+1 四、利用二次根式的整数部分和小数部分求值 整数部分是a,小数部分是b,那么公 24.先化简，再求值：(m+n+(2m+n(2m-n-m(m+n,其中m、n分别为√5的整数 部分和小数部分. 25.a,b分别是3-√2的整数部分和小数部分，求3a-b的值. 26.阅读材料：因为2<√6<3，所以√6的整数部分为2，√6的小数部分为√6-2. 解决问题：若√7的整数部分为m,小数部分为n,求n(m+n)的值. 参考答案 1.a-b,23 先对b分母有理化，计算出a-b的值，再整体代入√a2-2ab+b2=V(a-b)2即可求解 1 2+V3 解：b= =2+V3, 2-√3(2-√3)2+V3) .a-b=2-V3-(2+V5)=2-V5-2-V5=-25, :i.Va2-2ab+b2=(a-b)=a-b=23. 本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，二次根式的性质，注意：√云· 2.-1,2 a+1’ 2 本题主要考查了分式的化简求值问题，二次根式的混合运算，在化简的过程中运用平方差公 式，注意运算的结果要化成最简分式或整式.最后再代入数值进行分母有理化即可. 解：原式= a(a-2).(2a-)-(a2-l） (a+l)(a-1) a-1 a(a-2）).(2a-1)-a2+1 （a+1)(a-1) a-1 .a(a-2）a-1 （a+1)(a-1)-a2+2a a(a-2）a-1 (a+1)(a-1）-a(a-2) 、1 a+11 当a=√2-1时，原式=- 1=-2 V2-1+12 3.a+2,√2 本题主要考查了分式的化简求值，完全平方公式，运用相关公式、法则正确进行分式的化简 是解题的关键.先根据分式的混合运算法则进行化简，然后将α=√2-2代入计算即可. 解：1-2】 a a+2a2+4a+4 =0+22） a (a+2a+2(a+22, =ax(a+22 a+2 a =a+2; 将a=√2-2代入，原式=√2-2+2=√2. 4.41-5,23 x+1 3 (2a+2,3+25 a 3 本题主要考查了分式的化简求值，平方差公式和完全平方公式，二次根式的化简，解题的关 键是掌握以上运算法则. (1)先对分式进行化简，然后代数求值即可； (2)先对分式进行化简，然后代数求值即可. (1)解： (21-1-5 x+1 xx2+x 品 xx+1) 2.x -5 （x+1)(x-1x-1 -2x--6 (x+1(x-1 =15 x+1 将x=√万-1代入上式得， 1 原式= -5=2 V3-1+1 3 =0+1xa+2 a+2 a(a+1) =0+2 a 将a=√5代入上式得， 原式=5+23+2V5 5 3 5. √2-3 本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的性质是关键，根据分式的性质化简，代入计算即 可 1 √2-1 解：x=2+1(2+12-1 =√2-1， .x-2<0, -刘+R-4x+4 x-1 x-2 -x-1x-2 x-1x-2 =x-1+-x-2) x-2 =x-1-1 =x-2, 把x=√2-1代入，原式=√2-1-2=√2-3. 6.(1)x+5y,6 (2)m2 本题主要考查了整式的化简与求值，分式的化简求值. (1)先计算括号里面的整式乘法，再合并同类项，然后除以单项式，最后代入数值计算即 可 (2)先计算括号里面的分式，再把括号外面的除法转化成乘法，然后约分计算，最后再代 入数值计算即可. (1)解：(x+y)-(x+3y(x-3y)÷2y =[x2+2xy+y2-(x2-9y2)】÷2y =(x2+2xy+y2-x2+9y2)÷2y =(2xy+10y2)÷2y =x+5y, 当x=1,y=1时， 原式=1+5×1=6. (2)解：m+3-m-9）÷m2-2m+1 m-3°m2-3m =m2-9m-9 (m-1)2 m-3m-3 m(m-3) =m(m-m(m-3) m-3 (m-1)2 s、m2 m-1' 当m=2, 原式= 4 m-12-4 7.x2+4,6 本题考查完全平方公式的应用，整式的化简运算，二次根式的代入求值，掌握完全平方公式 是解题关键， 先利用完全平方公式展开(x-2),再通过合并同类项将代数式化为最简形式，最后代入 x=√2计算结果 解：化简：(x-2)2+4x =x2-4x+4+4x =x2+4, 当x=√2时，原式=(2)2+4=6. x+3’ 3 本题考查了分式的化简求值问题，解题的关键是注意计算的准确性.先根据分式混合运算法 则进行化简，然后代入数据求值即可， 解：3=x+2-5 x-2( x-2 =3-xx2-45） x-2"x-2x-2 =3-xx2-9 x-2x-2 =3-x x-2 x-2（x+3(x-3 、1 x+3) :x=V3-3, 15 :原式=5-3+355 1 9.a-2-2,4-35 a 本题主要考查了分式化简求值，先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行求 值即可. 解：1-2a+a2a2+2a+11 a-1 a'+aa =1-a(a+121 a-1 a(a+1 a _(a-2(a+121 a-1 a(a+1 a =(a-1)-a+1_1 aa =(a-1)-1-11 aa =a-2-2, a :a=2-5, :原式=2-5-2 2-5~2 =-3- 2 2-5 2×2+V3） =-V5 (2-5x2+3 =-5-4-25=-4-3V5. 0.2-2,号9 本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则. 先对分子进行因式分解化简，再代入求值即可. 解：m-+m+9n-6√mn √m-√n√m-3Wn (m+n)(m-n）(m-3n)(m-3m Wm-√n m-3/n =m+√n+√m-3n =2Vm-2√n 2 42 11.a-1+1,3 a 本题考查的是二次根式的化简求值，根据二次根式的性质、分式的约分法则把原式化简，代 入计算得到答案， 解：：a=2-√5， .a-1=2-3-1=1-√5<0， :1-2a+a2 Va2-2a+1 a-1 a--a =(a-2a-1 a-1 a(a-1) a1--(a-) a(a-1) sa-1+ a 当a-1=1-3时， 原式=1-V3+、1 T2-V5 =1-5+2+V5 =3. 12.2 本题主要考查了分式的化简求值、二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握相关运算法则是 解题的关键。 先运用二次根式的混合运算法则求得x一y=2、xy=1,再运用分式的加减运算法则化简