17.3一元二次方程根的判别式（教学课件）数学新教材沪科版八年级下册

17.3 一元二次方程根的判别式 第十七章 一元二次方程 沪科版 · 新教材 · 八年级下册 学 习 目 标 1 2 3 能用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况,会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围. 经历探索一元二次方程根的判别式与根的情况之间联系的过程,通过自学、思考、交流、展示等方式主动获取知识,培养逻辑思维能力. 渗透分类讨论的数学思想,体验数学的简洁美;培养学生的协作精神. 知识回顾 思考：回顾求根公式，回想方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 有实数根的条件是什么？何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？ 探究新知 得到了一元二次方程 ax2 +bx+c=0 (a≠0)的求根公式： 方程有两个不相等的实数根： 前面，通过配方， 因为 a≠0， 所以 (1) 当 b2-4ac>0 时， 是正实数， 因此， 探究新知 方程有两个相等的实数根： (2) 当 b2-4ac=0 时 ， 因此， (3) 当 b2-4ac＜0 时， 在实数范围内无意义, 因此方程没有实数根. 得到了一元二次方程 ax2 +bx+c=0 (a≠0)的求根公式： 前面，通过配方， 概念学习 我们把 b2-4ac 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)的根的判别式， 由 b2-4ac 来确定. 可见， 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0) 的根的情况 通常用符号“△”来表示，即 △=b2-4ac. 一般地，一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）， 特别指出： 特别指出： 反过来， 有两个不相等的实数根； 有两个相等的实数根； 没有实数根. 当 ∆≥0时， 有两个实数根. ∆＞0； ∆= 0； ∆＜0. 当方程有两个实数根时， ∆≥0. 当∆＝0时， 当∆＜0时， 当∆＞0时， 当方程没有实数根时， 当方程有两个相等的实数根时， 当方程有两个不相等的实数根时， 探究新知 (1) 5x2-3x-2=0 例 1 不解方程，判别下列方程根的情况： 解：(1) ∵ △=b2-4ac= (-3)2-4×5×(-2) =49 ＞0 ∴ 原方程有两个不相等的实数根. (2) 25y2+4=20y 知识拓展： 利用一元二次方程根的判别式时， 一定要把方程化为标准形式. ∵ △=b2-4ac= 4×25×4 (-20)2 - =0 原方程有两个相等的实数根. ∴ (2) 整理，得 25y2-20y+4=0 探究新知 (3) 解：(3) ∵ △=b2-4ac= -4×2×1 =-5 ∴ 原方程没有的实数根. ＜0 例 1 不解方程，判别下列方程根的情况： (4) x2-2kx+4(k-1)=0 (k为常数) (4) ∵ △=b2-4ac= (-2k)2-4×1×4(k-1) =4k2-16k+16 ∴ 原方程有两个实数根. =(2k-4)2 ≥ 0 当方程系数中含有字母时， 将 △=b2-4ac 配方后判断. 知识拓展： 探究新知 例 1 不解方程，判别下列方程根的情况： (5) x2-(2+m)x+2m-1=0 (m为常数) 解： ∵ △=b2-4ac= [-(2+m)]2-4×1×(2m-1) ∴ 原方程有两个不等实根 =m2-4m+4-4+8 =m2-4m+8 =(m-2) 2 +4 > 0 当方程系数中含有字母时， 将 △=b2-4ac 配方后判断. 知识拓展： 归纳总结 利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的一般步骤： ① 将方程化成标准形式 ax2+bx+c=0，并确定 a，b， c 的值； ② 计算 △=b2-4ac 的值； ③ 根据 △与0的大小关系 判别一元二次方程根的情况 . 知识拓展： 当方程系数中含有字母时， 将 △=b2-4ac 配方后判断 巩固练习 1、已知关于 x 的方程 x2-3x+k=0，问 k 取何值时，这个方程： (1) 有两个不相等的实数根？ (2) 有两个相等的实数根？ (3) 有实数根？ (4) 没有实数根？ K< K= K≤ K 巩固练习 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.根的情况无法确定 A 2、在一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0) 中，若 a 与 c 异号，则方程（ ） △=b²-4ac a与c异号， 方程有两个不相等的实数根 即 ac ＜ 0 ＞0 巩固练习 3、关于 x 的一元二次方程 (m-1)x2-2mx+m＝0 有实数根，则 m 的取值为 . m ≥ 0且m≠1 变式 1：关于 x 的方程 (m-1)x2-2mx+m＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值为 . m＞0且m≠1 变式 2：关于 x 的方程 (m-1)x2-2mx+m＝0 有实数根，则 m 的取值为___________. m≥0 巩固练习 4、已知关于 x 的一元二次方程 x2-(2k+1)x+4(k- )=0. 证明 : (1) ∵ △=b2-4ac= [-(2k+1)]2 - 无论k取何值，方程总有实数根 ∴ 4×4(k- ) =4k2+4k+1 - 16k - 8 ≥0 (1) 求证：无论 k 取何值，方程总有实数根； (2) 若等腰三角形 ABC 的一边长为 a=4，另两边 b、c 恰好是这个方程的两个根，求 △ABC 的周长. =4k2-12k+9 =（2k-3）2 巩固练习 解：(2) ∵ ∆=[-3(m-1)]2-4m(2m-3) ∴ =(m-3)2 ≥0 ∴ ∴ 无论m为何值，方程总有一个固定的根是1. 5、已知：关于x的一元二次方程 mx2-3(m-1)x+2m-3=0 (m为实数) (1) 若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围； (3) 若 m 为整数，且方程的两个根均为正整数，求m的值. (2) 求证：无论 m 为何值，方程总有一个固定的根； 巩固练习 解：(2) ∵ ∆=[-3(m-1)]2-4m(2m-3) ∴ =(m-3)2 ≥0 ∴ ∴ 无论m为何值，方程总有一个固定的根是1. 5、已知：关于x的一元二次方程 mx2-3(m-1)x+2m-3=0 (m为实数) (1) 若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围； (3) 若 m 为整数，且方程的两个根均为正整数，求m的值. (2) 求证：无论 m 为何值，方程总有一个固定的根； 巩固练习 解：(3) ∵ m为整数，且方程的两个根均为正整数 ∴ 必为整数 m=±1 或 m=±3 ∴ 当 m=1 时 ，x1=-1； ∴ 当 m=-1 时 ，x1=5； 当 m=3 时 ，x1=1； 当 m=-3 时 ，x1=3； m=1 或 m=±3 ∴ 5、已知：关于x的一元二次方程 mx2-3(m-1)x+2m-3=0 (m为实数) (1) 若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围； (3) 若 m 为整数，且方程的两个根均为正整数，求m的值. (2) 求证：无论 m 为何值，方程总有一个固定的根； 感谢聆听! $