专题17.3一元二次方程根的判别式（高效培优讲义，知识&6题型精讲+强化训练）数学新教材沪科版八年级下册

专题17.3一元二次方程根的判别式 教学目标 1.理解一元二次方程根的判别式的概念，明确对于一元二次方程（），其判别式为，能准确识别方程中、、的值并计算判别式。 2.熟练掌握判别式与一元二次方程根的情况的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，能直接运用判别式判断方程根的情况。 3.能运用根的判别式解决简单问题，包括根据根的情况求方程中字母系数的取值范围、判断含字母系数的一元二次方程根的情况，为后续学习一元二次方程根与系数的关系、二次函数奠定基础 教学重难点 教学重点 1.根的判别式的概念理解：明确判别式的定义（），掌握判别式的计算方法，能准确区分一元二次方程中、、的取值（注意符号）。 2.判别式与一元二次方程根的情况的对应关系：熟练掌握三种情况下（、、）方程根的特点，能直接运用对应关系判断具体方程根的情况。 3.基础应用：能运用判别式解决简单的基础题型，包括判断具体一元二次方程根的情况、计算判别式的值，为后续复杂应用（求字母系数取值范围）奠定基础。 教学难点 1.判别式概念的推导与理解：难点在于理解“为什么可以用判断方程根的情况”，即结合平方根的性质（正数有两个不相等的平方根、0的平方根是0、负数没有平方根）。 2.含字母系数的一元二次方程中，运用判别式求字母取值范围：学生容易忽略“一元二次方程的前提条件”，在求解过程中出现漏解、错解；同时，在处理二次项系数、一次项系数含字母的情况时，难以准确计算判别式并结合根的情况列不等式（组）求解。 3.判别式的逆向应用：即根据一元二次方程根的情况（如“有两个不相等的实数根”“没有实数根”），反向推导判别式的取值范围，进而求字母系数的取值，需要学生灵活运用分类讨论思想，避免思维片面性（如忽略二次项系数不为0的限制）。 4.正确理解“当时，方程没有实数根”：学生容易混淆“没有实数根”与“无解”的概念。 知识点 一元二次方程根的判别式 1. 定义一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)根的情况由b2-4ac 来确定. 我们把b2-4ac 叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ=b2-4ac. 2. 一元二次方程根的情况与根的判别式的关系 (1)Δ>0 ⇔方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)有两个不相等的实数根. (2)Δ=0 ⇔方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)有两个相等的实数根. (3)Δ<0 ⇔方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)没有实数根. 【即学即练】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．必有两个相等的实数根 B．必有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．必有实数根 题型01 不解方程判断一元二次方程根的情况 【例1】（24-25八年级下·安徽池州·期末）一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【变式1-1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有三个实数根 【变式1-2】（24-25八年级下·安徽淮北·月考）下列方程没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25八年级下·安徽亳州·期末）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】（22-23八年级下·安徽滁州·月考）已知关于x的一元二次方程． (1)判断方程的根的情况； (2)若为等腰直角三角形，且其两条边长恰好是该方程的根，求m的值． 题型02 由根的判别式确定字母的取值范围 【例2-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【例2-2】（24-25八年级下·安徽宣城·期末）若方程没有实数根，则m的值可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25八年级下·安徽淮北·期中）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____ 【变式2-2】（24-25八年级下·安徽·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若此方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (2)若此方程有两个相等实数根，请求出这个实数根． 【变式2-3】（23-24八年级下·安徽蚌埠·月考）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)当取最大整数值时，求方程的根． 题型03 由根的判别式确定字母之间的关系 【例3】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根且实数a，b，c互不相等，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）若a是关于x的一元二次方程的一个根 (1)求m的取值范围； (2)若是关于x的一元二次方程的一个根； ①请用含a、b的式子表示n； ②若，且，求b的值． 题型04 用根的判别式证明方程根的情况 【例4】（23-24八年级下·安徽亳州·期中）已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，该方程一定有实数根，并用含有的代数式表示方程的根． 【变式4-1】（24-25八年级下·安徽淮北·月考）已知关于的方程， (1)求证：无论取何实数值，方程总有实数根； (2)若方程有两个相等的实数根，求的值． 【变式4-2】（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 【变式4-3】（24-25八年级下·安徽淮北·月考）已知关于x的方程． (1)若该方程的一个根为，求m的值； (2)求证：不论m取何实数，该方程总有实数根． 题型05 由根的判别式确定三角形的形状 【例5】已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若中，，和的长是方程的两根，判断的形状并说明理由． 【变式5-1】已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． (2)如果是等边三角形，试判断1是否是这个一元二次方程的根． 【变式5-2】已知关于的方程有两个相等的实数根，且方程有一个根为． (1)判断以、、为边的三角形的形状，并说明理由； (2)若方程的两根为、，求的值． 题型06 与根的判别式有关的分类讨论 【例6】已知关于的一元二次方程为常数，请判断方程根的情况． 【变式6-1】（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）已知关于的一元二次方程有两个实数根，若，求的值． 【变式6-2】（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边、的长是方程的两个实数根，第三边的长为4，当是等腰三角形时，求k的值． 【变式6-3】（24-25八年级下·安徽六安·期中）对于关于的代数式，若存在实数，使得当时代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． (1)关于的代数式的不动值是_______． (2)判断关于代数式是否有不动值，若有请求出，没有则说明理由． (3)已知关于的代数式． ①若此代数式仅有一个不动值，求的值； ②若此代数式的不动值至少有一个是整数，求出正整数的值． 【变式6-4】（24-25八年级下·安徽蚌埠·月考）关于的一元二次方程有两个实数根，且一个根比另一个根小，那么称这样的方程为邻根方程，例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是邻根方程． (1)通过计算，判断下列方程是否是邻根方程：． (2)已知关于的一元二次方程（是常数）是邻根方程，求的值． 1．（24-25八年级下·安徽六安·月考）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 2．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A． B．6 C．或 D．或 3．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 4．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）已知关于x的方程无实数根． (1)求m的取值范围； (2)判断方程的根的情况． 5．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）已知关于x的一元二次方程 (1)当 时，求这个方程的根； (2)若此方程一定有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 6．（23-24八年级下·安徽蚌埠·月考）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若m是符合条件的最大整数，求上述方程的实数根． 7．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）已知关于x 的方程． (1)若原方程有两个不相等的实数根，求n 的取值范围． (2)若n 为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的5倍，求m的值． 8．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）若关于的方程是一元二次方程． (1)求的值； (2)若该方程有两个相等的实数根，求的值． 9．（24-25八年级下·安徽六安·月考）已知关于的方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根． 10．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的一个根为，求a的值； (2)若，求方程的两个根； (3)若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值． 11．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若是方程的一个实数根，且满足，求的值． 12．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知：关于的一元二次方程 (1)求证：方程有两个实数根． (2)若是方程的一个根，求方程的另一个根； 13．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)若是方程的一个根，求的值． 14．（2024·安徽合肥·二模）将两个大小相同的正方形如图①摆放，重叠部分形成一个小正方形，按照此规律摆下去，得到下面一组图形： (1)请填写下表： 图形编号 ① ② ③ … 大正方形/个 2 ________ ________ … 小正方形/个 1 ________ ________ … (2)第100个图形中，有________个正方形；若第n个图形中小正方形的个数是大正方形的2倍，则________； (3)是否存在一个图形，这个图形中小正方形的个数是大正方形个数的平方？如果存在，求出图形的编号；如果不存在，请说明理由． 15．（24-25八年级下·安徽六安·期末）阅读材料：我们把叫做一元二次方程根的判别式，用表示．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．例如：方程，的值是一个完全平方数，但是该方程的根不都为整数；方程的两根都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是_______； ②若该全整根方程的“关爱码”是，则的值为________； (2)若关于的全整根方程是（均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17.3一元二次方程根的判别式 教学目标 1.理解一元二次方程根的判别式的概念，明确对于一元二次方程（），其判别式为，能准确识别方程中、、的值并计算判别式。 2.熟练掌握判别式与一元二次方程根的情况的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，能直接运用判别式判断方程根的情况。 3.能运用根的判别式解决简单问题，包括根据根的情况求方程中字母系数的取值范围、判断含字母系数的一元二次方程根的情况，为后续学习一元二次方程根与系数的关系、二次函数奠定基础 教学重难点 教学重点 1.根的判别式的概念理解：明确判别式的定义（），掌握判别式的计算方法，能准确区分一元二次方程中、、的取值（注意符号）。 2.判别式与一元二次方程根的情况的对应关系：熟练掌握三种情况下（、、）方程根的特点，能直接运用对应关系判断具体方程根的情况。 3.基础应用：能运用判别式解决简单的基础题型，包括判断具体一元二次方程根的情况、计算判别式的值，为后续复杂应用（求字母系数取值范围）奠定基础。 教学难点 1.判别式概念的推导与理解：难点在于理解“为什么可以用判断方程根的情况”，即结合平方根的性质（正数有两个不相等的平方根、0的平方根是0、负数没有平方根）。 2.含字母系数的一元二次方程中，运用判别式求字母取值范围：学生容易忽略“一元二次方程的前提条件”，在求解过程中出现漏解、错解；同时，在处理二次项系数、一次项系数含字母的情况时，难以准确计算判别式并结合根的情况列不等式（组）求解。 3.判别式的逆向应用：即根据一元二次方程根的情况（如“有两个不相等的实数根”“没有实数根”），反向推导判别式的取值范围，进而求字母系数的取值，需要学生灵活运用分类讨论思想，避免思维片面性（如忽略二次项系数不为0的限制）。 4.正确理解“当时，方程没有实数根”：学生容易混淆“没有实数根”与“无解”的概念。 知识点 一元二次方程根的判别式 1. 定义一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)根的情况由b2-4ac 来确定. 我们把b2-4ac 叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ=b2-4ac. 2. 一元二次方程根的情况与根的判别式的关系 (1)Δ>0 ⇔方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)有两个不相等的实数根. (2)Δ=0 ⇔方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)有两个相等的实数根. (3)Δ<0 ⇔方程ax2+bx+c=0(a ≠ 0)没有实数根. 【即学即练】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．必有两个相等的实数根 B．必有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．必有实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算判别式Δ的值即可判断根的情况，熟知当时，方程无实数根是解答的关键． 【详解】解：方程可化为，其中，，， 判别式， ，因此该方程没有实数根， 故选：C． 题型01 不解方程判断一元二次方程根的情况 【例1】（24-25八年级下·安徽池州·期末）一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式；首先求出根的判别式的值，然后根据判别式的意义得出答案． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 【变式1-1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有三个实数根 【答案】B 【分析】通过计算一元二次方程根的判别式的值，根据其值与的大小关系来判断方程根的情况．本题主要考查了一元二次方程根的判别式（，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程有两个相等实数根；当时，方程没有实数根 ），熟练掌握根的判别式的计算和其与根的情况的对应关系是解题的关键． 【详解】∵一元二次方程，其中，，． ∴ ∴ 该一元二次方程有两个相等的实数根 故选：B ． 【变式1-2】（24-25八年级下·安徽淮北·月考）下列方程没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的根与判别式的关系求解即可． 【详解】解：A、中，， 即方程有两个相等的实数根，不符合题意； B、中，， 即方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C、中，， 即方程有两个相等的实数根，不符合题意； D、中，， 即方程没有实数根，符合题意． 故选：D． 【变式1-3】（24-25八年级下·安徽亳州·期末）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，理解并掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．利用一元二次方程的根的判别式进行求解判断即可． 【详解】A． 方程中，，，． 判别式，方程有两个相等实数根． B． 方程中，，，． 判别式，方程无实数根． C． 方程中，，，． 判别式，方程无实数根． D． 方程中，，，． 判别式，方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 【变式1-4】（22-23八年级下·安徽滁州·月考）已知关于x的一元二次方程． (1)判断方程的根的情况； (2)若为等腰直角三角形，且其两条边长恰好是该方程的根，求m的值． 【答案】(1)方程有两个不相等的实数根 (2) 【分析】（1）先计算根的判别式的值得到 ，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况，即可解答； （2）先利用求根公式解方程得到，，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）∵， ∴， ∴，． ∵该方程的根恰好是等腰直角三角形ABC的两边， ∵， ∴， 整理得：， 解得或（舍去）， ∴m的值为． 题型02 由根的判别式确定字母的取值范围 【例2-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式． 根据一元二次方程有两个实数根的条件，需满足二次项系数不为0且判别式为非负数计算即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴ 解得， ∴的取值范围是且， 故选：C． 【例2-2】（24-25八年级下·安徽宣城·期末）若方程没有实数根，则m的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据根的判别式的意义得到，然后对各选项进行判断． 【详解】解：对于方程，其判别式为． 若方程无实数根，则需满足，即， 解得． 故选：D． 【变式2-1】（24-25八年级下·安徽淮北·期中）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____ 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式，由一元二次方程的定义可得，由根的判别式可得，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 故答案为：且． 【变式2-2】（24-25八年级下·安徽·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若此方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (2)若此方程有两个相等实数根，请求出这个实数根． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）根据一元二次方程根的定义和判别式得出，，根据二次根式有意义的条件得出，解不等式即可； （2）根据方程有两个相等的实数根得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：原方程可变为， ∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 又，， 解得，， ∴且； （2）解：根据题意知：， 解得：， 则方程为，即， 则， ∴， 解得． 【变式2-3】（23-24八年级下·安徽蚌埠·月考）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)当取最大整数值时，求方程的根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程： （1）根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于0，列出不等式进行求解即可； （2）根据（1）中的结果，确定的值，进而求解即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 即，解得：； （2）为最大整数， ， 原方程为． 或． ． 题型03 由根的判别式确定字母之间的关系 【例3】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根且实数a，b，c互不相等，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，解题关键是掌握求一元二次方程根的情况的方法． 根据一元二次方程有两个相等的实数根且实数a，b，c互不相等，列出式子求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式3-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义． 根据题意得出，，，再根据判别式的意义可知，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，． ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项A结论正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项B结论正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项C结论正确，不符合题意； ∵，，． ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，选项D结论错误，符合题意． 故选：D． 【变式3-2】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）若a是关于x的一元二次方程的一个根 (1)求m的取值范围； (2)若是关于x的一元二次方程的一个根； ①请用含a、b的式子表示n； ②若，且，求b的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程解的定义，因式分解的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）由题意易得，然后求解即可； （2）①先根据a是关于x的一元二次方程的一个根得出，再根据是关于x的一元二次方程的一个根，得出，然后把代入求出结果即可； ②根据，，得出，因式分解得出，根据，得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可知：关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：； （2）解：①∵a是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得：， ∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 把代入得： ， ∴ 解得：； ②∵，， ∴， 整理得：， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， 解得：． 题型04 用根的判别式证明方程根的情况 【例4】（23-24八年级下·安徽亳州·期中）已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，该方程一定有实数根，并用含有的代数式表示方程的根． 【答案】证明见解析，， 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，掌握根的根的判别式和解一元二次方程的方法是解题的关键． 先把方程整理为一般形式，求出的值，证明这个值大于或等于零，再用求根公式求出方程的根． 【详解】原方程整理，得， ∵， ∴该方程一定有实数根； 方程的根为：， ，． 【变式4-1】（24-25八年级下·安徽淮北·月考）已知关于的方程， (1)求证：无论取何实数值，方程总有实数根； (2)若方程有两个相等的实数根，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程的根的判别式判断根的情况，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个实数根，所以只需证明即可． （2）先求出，得出方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：证明： ， 无论取何实数值，都有，即， 无论取何实数值，方程总有实数根； （2）若方程有两个相等的实数根，则， ， 关于的方程是，即， ． 【变式4-2】（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)，方程的另一个根为 【分析】本题围绕一元二次方程展开，（1）通过根的判别式证明方程根的情况；（2）利用根的定义和方程求解（或韦达定理）得出和另一根，核心是对一元二次方程根的相关知识（判别式、根的定义、韦达定理 ）． （1） 根的判别式应用：通过计算得：，利用平方数非负性，证明无论取何值，，以此判定方程总有两个不相等实数根，重点考查对根的判别式概念及作用的理解． （2）方程根的定义与求解：已知根，代入方程可求出的值，再回代方程求解另一根；或结合韦达定理，利用根与系数关系求另一根，考查对“方程的根满足方程”这一基本定义，以及韦达定理（根与系数关系）的运用，体现“代入求值”“方程求解”的解题思路． 【详解】（1）证明：由题意得：， 则：， 无论取何值，，则， 不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． （2）解：将代入方程可得，解得， 当时，原方程为，解得：， 即方程的另一个根为． 【变式4-3】（24-25八年级下·安徽淮北·月考）已知关于x的方程． (1)若该方程的一个根为，求m的值； (2)求证：不论m取何实数，该方程总有实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）把代入得出关于m的方程，再解关于m的方程即可； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【详解】（1）解：将代入原方程可得： ， 解得：； （2）解：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∴不论m取何实数，该方程总有实数根． 题型05 由根的判别式确定三角形的形状 【例5】已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若中，，和的长是方程的两根，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)且； (2)是等边三角形，理由见详解 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程以及等边三角形的定义； （1）根据根的判别式列出不等式即可求解； （2）先求出k的值，再求出一元二次方程的根，进而即可得到答案 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且，解得：且； （2）解：把代入得：，解得：， ∴，解得：， ∴和的长分别是：2，2， ∴，即是等边三角形 【变式5-1】已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． (2)如果是等边三角形，试判断1是否是这个一元二次方程的根． 【答案】(1)是等腰三角形   见解析 (2)是 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义、等腰三角形与等边三角形的性质，掌握代入法验证方程根的方法和三角形边长的性质是解题的关键． （1） 将代入方程，化简后得到与的数量关系，根据等腰三角形的定义判断的形状； （2） 根据等边三角形三边相等的性质，代入方程化简，再将代入检验等式是否成立，判断是否为方程的根． 【详解】（1）解：是等腰三角形．理由如下： ∵把代入方程，得， ， ， 的形状是等腰三角形． （2）解：∵是等边三角形， ． ， ， 即． ∵是的边长， ∴， ∴． 当时，左边右边， 是这个一元二次方程的根． 【变式5-2】已知关于的方程有两个相等的实数根，且方程有一个根为． (1)判断以、、为边的三角形的形状，并说明理由； (2)若方程的两根为、，求的值． 【答案】(1)等边三角形，见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程根的判别式与根的关系，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． （1）由方程有两个相等的实数根，可得，再结合方程有一个根为得，联立即可求出a，b，c的关系；（2）根据（1）求出的a，b的关系，可以得出方程有两个相等的实数根，由即可求出m． 【详解】（1）解：等边三角形．理由如下： ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，即：， ∴， ∵方程有一个根为， ∴把代入得：， 联立①②，解得：， ∴以a、b、c为边的三角形是等边三角形． （2）解：方程的两根为a、b， 由（1）可知，， ∴方程有两个相等的实数根， ∴，即：， 化简得：， 解得：． 当时，方程变为，则，即，此时与方程有一个根为矛盾，舍去. 当时，方程变为，则，符合题意. 所以. 题型06 与根的判别式有关的分类讨论 【例6】已知关于的一元二次方程为常数，请判断方程根的情况． 【答案】当时，，方程有两个相等的实数根；当时，，方程有两个不相等的实数根， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，依据题意，由，根据根的判别式，再分类讨论即可判断得解．解题时要熟练掌握并能分类讨论是关键． 【详解】解： ， 当时，，方程有两个相等的实数根； 当时，，方程有两个不相等的实数根， 【变式6-1】（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）已知关于的一元二次方程有两个实数根，若，求的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、一元二次方程的解、一元二次方程的根的判别式等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系成为解题的关键． 由可得或，然后分和，两种情况分别根据方程的解以及一元二次方程的判别式解答即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， 当时，将代入方程可得：，解得：， 此时方程为：，即， ∴，即方程有两个不等的实数根， ∴符合题意； 当时，方程有两个相等的实数根， ∴，解得：． 综上，k的值为或． 【变式6-2】（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边、的长是方程的两个实数根，第三边的长为4，当是等腰三角形时，求k的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)或 【分析】本题考查了解一元二次方程，也考查了根的判别式，解题的关键是熟练掌握因式分解求方程的解，以及具有分类讨论的思想． （1）计算判别式的值得到即可证明； （2）利用因式分解法解方程得到，求出方程的两个解为，再进行分类讨论即可． 【详解】（1）证明：． 方程有两个不相等的实数根； （2）解：由， 得， 即、的长为， 当时，即 ，满足三角形构成条件； 当时，，解得 ，满足三角形构成条件． 综上所述，或 ． 【变式6-3】（24-25八年级下·安徽六安·期中）对于关于的代数式，若存在实数，使得当时代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． (1)关于的代数式的不动值是_______． (2)判断关于代数式是否有不动值，若有请求出，没有则说明理由． (3)已知关于的代数式． ①若此代数式仅有一个不动值，求的值； ②若此代数式的不动值至少有一个是整数，求出正整数的值． 【答案】(1)4或 (2)没有不动值，理由见解析 (3)①；②1或3或5 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）根据可得只需要判断出方程是否有解即可； （3）①根据题意可得关于的一元二次方程有两个相等的实数根，据此利用判别式求解即可； ②根据题意可得方程，解方程可得或，再根据方程的解至少有一个为整数即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，则， ∴， ∴或， 解得或， ∴关于的代数式的不动值是4或； （2）解：关于代数式没有不动值，理由如下： 当时，则， ∴， ∴原方程无解， ∴不成立， ∴关于代数式没有不动值； （3）解：①∵关于的代数式仅有一个不动值， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； ②当时，则， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∵原代数式的不动值至少有一个是整数， ∴或是整数， ∴a的值可以是1或3或5． 【变式6-4】（24-25八年级下·安徽蚌埠·月考）关于的一元二次方程有两个实数根，且一个根比另一个根小，那么称这样的方程为邻根方程，例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是邻根方程． (1)通过计算，判断下列方程是否是邻根方程：． (2)已知关于的一元二次方程（是常数）是邻根方程，求的值． 【答案】(1)方程是“邻根方程”，理由见解析 (2)的值为或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，新定义“邻根方程”，理解该新定义是解题关键． （1）先利用公式法求出方程的两个根，再求出两个根的差，最后根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）利用因式分解法解该方程，可得，，然后根据“邻根方程”的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 方程是“邻根方程”； （2） 或 解得：，，                              关于的一元二次方程是“邻根方程”， 或， 解得：或， 即的值为或． 1．（24-25八年级下·安徽六安·月考）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程根的判别式．，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程没有实数根．熟练掌握是解决问题的关键． 根据方程，得，即可得到答案． 【详解】解：∵方程 中， ，，， ∴ ． ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 2．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A． B．6 C．或 D．或 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键．根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，求出的值即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 即， 开方得：或， 解得：或． 故选：D． 3．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式．一元二次方程根的判别式．一元二次方程有两个不相等的实数根，；一元二次方程有两个相等的实数根，；一元二次方程没有实数根，．熟练掌握是解决问题的关键． 根据一元二次方程有实数根，求解，结合即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，． ∴，且． 故答案为：且． 4．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）已知关于x的方程无实数根． (1)求m的取值范围； (2)判断方程的根的情况． 【答案】(1) (2)当时，有一个实数根；当且时，有两个不相等的实数根． 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，对于一般形式有：（1）当时，方程有两个不相等的实数根；（2）当时，方程有两个相等的实数根；（3）当时，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程的判别式求解即可； （2）根据题意分和且两种情况讨论，然后利用一元二次方程的判别式求解即可． 【详解】（1）∵关于x的方程无实数根 ∴ 解得； （2）∵方程 ∴当时，即时，方程为 ∴方程为一元一次方程，有一个实数根， 当且时，方程为一元二次方程 ∴ ∵ ∴ ∴一元二次方程有两个不相等的实数根； 综上，当时，有一个实数根；当且时，有两个不相等的实数根． 5．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）已知关于x的一元二次方程 (1)当 时，求这个方程的根； (2)若此方程一定有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）将代入方程，，解方程即可求出方程的解； （2）根据根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】（1）将代入方程， 得， 解得； （2）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，且， 解得：且． 的取值范围为且． 6．（23-24八年级下·安徽蚌埠·月考）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若m是符合条件的最大整数，求上述方程的实数根． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式的意义，解一元二次方程； （1）根据一元二次方程的定义可得，根据有实数根可得，据此列式求解即可； （2）根据m的取值范围可知，则该方程为，解方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，， 解得：且； （2）由（1）得且， ∵m是符合条件的最大整数， ∴， ∴该方程为，即， 解得：． 7．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）已知关于x 的方程． (1)若原方程有两个不相等的实数根，求n 的取值范围． (2)若n 为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的5倍，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程： （1）根据根的判别式得到，解之即可得到答案； （2）先求出，进而解原方程得到或，根据题意可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵方程， ∴， ∵原方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵，n 为符合条件的最小整数， ∴， ∴原方程为，即， ∴，即， 解得或， ∵该方程的较大根是较小根的5倍， ∴， ∴． 8．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）若关于的方程是一元二次方程． (1)求的值； (2)若该方程有两个相等的实数根，求的值． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查了一元二次方程（为常数）的概念，根的判别式与根的个数．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由于是关于的一元二次方程，只含有一个未知数，未知数最高次数是2，由此得到，，即得解． （2）第一问的值已求，根据有两个相等实数根，即可求出的值. 【详解】（1）解： 关于的方程是一元二次方程， ， 由①得，， 由②得，或， ． （2）解： ， 关于的一元二次方程为 ， 该方程有两个相等的实数根， ，解得， ． 9．（24-25八年级下·安徽六安·月考）已知关于的方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）根据判别式的意义得到，然后解关于的方程得到，则原方程变形为，然后利用因式分解法解此一元二次方程． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得：； （2）解：根据题意得， 解得：， 原方程变形为， ∴， 所以． 10．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的一个根为，求a的值； (2)若，求方程的两个根； (3)若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值． 【答案】(1) (2)， (3)1，2 【分析】本题考查一元二次方程的根的应用、求解方程的根以及根据方程根的情况求参数取值，解题关键是熟练运用方程根的性质代入计算、选择合适方法解方程以及利用判别式建立不等式求解参数 ． （1）把代入方程求出a即可． （2）将代入方程，解一元二次方程即可； （3）由题意可得，根据不等式，求出的取值范围，再结合是正整数求解． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得； （2）代入方程得 ， 解得， ． （3）解：∵方程有实数根， ∴， 即， ， ， ． ∵又因为是正整数且， ∴所以满足条件的正整数的值为，． 11．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式，因式分解法解一元二次方程，掌握方程根的情况与跟的判别式的关系是解题的关键． （1）由方程根的情况，根据判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围； （2）由方程根的定义，可用表示出，代入已知等式可得到关于的方程，则可求得的取值范围． 【详解】（1）根据题意，得， ， ； （2）解：是方程的一个实数根， ， 则， ， ， ， 解得或（舍） ． 12．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知：关于的一元二次方程 (1)求证：方程有两个实数根． (2)若是方程的一个根，求方程的另一个根； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的根的判别式，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握知识点，正确计算是解题的关键． （1）计算根的判别式即可证明； （2）先将代入，求出，再解一元二次方程即可． 【详解】（1）证明：， ∴方程有两个实数根； （2）解：∵是方程的一个根， ∴， 解得：， ∴方程为： 解得：，， ∴方程的另一个根为． 13．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)若是方程的一个根，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)的值为 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程的解，掌握知识点的应用是解题的关键． （）求出，从而得证； （）将代入方程得：，然后求出的值即可． 【详解】（1）证明：， ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：将代入方程得：， 解得：， ∴的值为． 14．（2024·安徽合肥·二模）将两个大小相同的正方形如图①摆放，重叠部分形成一个小正方形，按照此规律摆下去，得到下面一组图形： (1)请填写下表： 图形编号 ① ② ③ … 大正方形/个 2 ________ ________ … 小正方形/个 1 ________ ________ … (2)第100个图形中，有________个正方形；若第n个图形中小正方形的个数是大正方形的2倍，则________； (3)是否存在一个图形，这个图形中小正方形的个数是大正方形个数的平方？如果存在，求出图形的编号；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)3，4，4，7 (2)399；4 (3)不存在一个图形，这个图形中小正方形的个数是大正方形个数的平方，理由见解析 【分析】本题考查图形变化的规律，解一元二次方程，能根据所给图形用含n的代数式表示出第n个图形中小正方形和大正方形的个数是解题的关键． （1）依次求出图形中小正方形和大正方形的个数即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）假设存在，且编号为m，则可建立方程，看方程是否有解即可得到结论。 【详解】（1）解：由所给图形可知，第①个图形中小正方形的个数为：，大正方形的个数为：2； 第②个图形中小正方形的个数为：，大正方形的个数为：3； 第③个图形中小正方形的个数为：，大正方形的个数为：4； …， 故答案为：3，4，4，7． （2）解：由（1）发现可知，第k个图形中小正方形的个数为个，大正方形的个数为个． ∴当时，共有个正方形； ∵第n个图形中小正方形的个数是大正方形的2倍， ∴， 解得， 故答案为：399；4； （3）解：不存在，理由如下： 假设存在，设这个图形的编号为m， 由题意得，， 整理得：， ∵， ∴此时方程无解， ∴不存在一个图形，这个图形中小正方形的个数是大正方形个数的平方． 15．（24-25八年级下·安徽六安·期末）阅读材料：我们把叫做一元二次方程根的判别式，用表示．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．例如：方程，的值是一个完全平方数，但是该方程的根不都为整数；方程的两根都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是_______； ②若该全整根方程的“关爱码”是，则的值为________； (2)若关于的全整根方程是（均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和解一元二次方程，熟练掌握新定义和解一元二次方程是关键． （1）①根据新定义进行解答即可；（2）根据新定义和因式分解法解一元二次方程进行解答即可； （2）由新定义得到，由即可得到答案． 【详解】（1）①当时，， ∴ ∴或， 解得 ∴是“全整根方程”， ∵ 即当时，该全整根方程的“关爱码”是； ②∵该全整根方程的“关爱码”是， ∴，， 解得， 当时，， 当时，， 故答案为：或 （2）由题意可得， ∴ ∵均为正整数， ∴， ∴， 解得 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $