17.3 一元二次方程根的判别式（题型专练，3基础题型+5提升题型+培优）数学新教材沪科版八年级下册

17.3 一元二次方程根的判别式 题型一 利用判别式判断根的情况 1．一元二次方程 的根的判别式的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的计算是关键．根据一元二次方程根的判别式直接计算即可． 【详解】解：由题意知，，，， ． 故选：A． 2．下列一元二次方程中，无实根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，直接将各方程系数代入根的判别式计算并比较计算结果与0的大小即可． 【详解】解：A、，故原方程有实数根， B、原方程变形为：，其中，故原方程有实数根， C、原方程变形为：，其中，故原方程有实数根， D、，故原方程无实数根， 故选：D． 3．方程的根的情况是（    ） A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，掌握相关知识是解决问题的关键．通过计算一元二次方程根的判别式，判断根的情况． 【详解】解：∵ 方程 中，，，， ∴ ， ∴ 方程有两个相等的实数根． 故选：B． 4．当时，方程的根的情况是（） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．以上结论都不对 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算方程的判别式，根据判别式的符号判断根的情况． 【详解】解：∵方程的判别式， 又∵，即， ∴， ∴方程没有实数根． 故选：B． 5．在八年级学习一元二次方程时，数学老师对小明提出了以下的问题：请说出关于的一元二次方程的根的情况，小明的回答是：原方程有 实数根． 【答案】有两个不相等的 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的． 6．已知关于x的一元二次方程的一个根，且，则此方程的另一个根 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用根的判别式判断一元二次方程根的情况； 根据判别式等于0，可知一元二次方程有两个相等的实数根，从而求得答案. 【详解】解：∵一元二次方程满足， ∴一元二次方程有两个相等的实数根. ∴. 故答案为：． 7．若一元二次方程有实数根的话，则 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解当方程有两个不相等的实数根，当方程有两个相等的实数根，当方程没有实数根是解答关键． 根据当方程有两个不相等的实数根，当方程有两个相等的实数根来求解． 【详解】解：一元二次方程有实数根， ． 故答案为：． 题型二 证明方程有无实数根 1．已知关于的一元二次方程，求证：该方程一定有两个实数根． 【答案】见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的与判别式的关系，理解一元二次方程的判别式与根的关系是解答关键． 先求出一元二次方程的判别式，再来判断根的情况． 【详解】证明：，，， ， 该方程一定有两个实数根． 2．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+k＝0．求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根． 【答案】见解析. 【分析】利用一元二次方程的根的判别式证明即可. 【详解】 ∴无论k取何值时，方程总有两个不相等实数根. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，对于一般形式有：（1）当，方程有两个不相等的实数根；（2）当，方程有两个相等的实数根；（3）当，方程没有实数根. 3．求证：无论取何值时，关于的一元二次方程都没有实数根. 【答案】见解析. 【分析】根据根的判别式即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：△=4-4（k2+4k+7） =4-4k2-16k-28 =-4k2-16k-24 =-4（k2+4k+6）， ∵k2+4k+6=k2+4k+4+2=（k+2）2+2＞0， ∴△＜0， ∴无论k取何值时，该方程都没有实数根． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练运用一元二次方程根的判别式，属于基础题型． 4．在关于x的方程中，求证： (1)若，则原方程有实根． (2)若a与c异号，则原方程有两异实根． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）证明根的判别式即可； （2）证明根的判别式即可． 【详解】（1）证明：若，则方程为， ， 原方程有实根； （2）证明：、异号，， ， ， 原方程有两异实根． 题型三 根据方程根的情况求参数的值 1．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式；根据一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，求得k的取值范围，再结合各选项中的值即可判断． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 即； ∵选项A中的值，而选项B、C、D中的值均大于2.25， ∴ k的值可能是2． 故选：A． 2．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的值可以是（  ） A．1 B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 根据一元二次方程的定义和根的判别式，方程有两个不相等的实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于零求出m的取值范围即可．． 【详解】∵ 方程 有两个不相等的实数根， ∴ ，   解得， ∴ 且 ． 故选B． 3．已知关于的一元二次方程的两个根，满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个相等的实数根可得判别式为零． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根，满足， ∴， 解得． 故答案为：． 4．关于的一元二次方程有两个实数根，请写出一个符合条件的的值： ． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据判别式的意义得到，解不等式得到的范围，然后在此范围内取一个值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， ∴当取3时，方程有两个相等的实数根． 故答案为：3（答案不唯一）． 5．若关于x的方程有两个相等的实数根，则的值为 【答案】1 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根据判别式为零，得到关于的方程，再化简所求代数式，利用的关系式代入计算． 【详解】根据题意可知关于的方程的判别式，即 ． 变形，得 ． 移项，得 化简，得 将代入，得 原式． 故答案为： 题型一 新定义问题与根的判别式 1．定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．无实数根 【答案】A 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，根据定义运算将方程转化为标准一元二次方程，计算判别式判断根的情况． 【详解】由题意得方程，即 ． 整理得： 计算判别式： 由于，方程有两个不相等的实数根． 故选A． 2．定义新运算．例如，则关于x的方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与根的关系，先根据题中新定义得到方程，再根据根的判别式的大小可得结论． 【详解】解：由题意，关于x的方程可转化为方程， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 3．对于任意实数、，定义新运算：．例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算，一元二次方程根的判别式． 根据新运算的定义，将方程化为标准二次方程，利用判别式大于零求解． 【详解】解：∵， ∴， 即． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴判别式， ∴， ∴． 故选：A． 4．我们定义一种新运算：对于任意实数p、q，规定，若关于x的方程（m为常数）有两个相等的实数根，则m的值为 ． 【答案】5或1 【分析】本题考查新定义运算与一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据新运算将方程转化为标准一元二次方程，再利用判别式求解． 先根据新运算定义将方程转化为一元二次方程，再利用一元二次方程有两个相等实数根时判别式为0的性质求解的值． 【详解】根据新运算， 将方程转化为， 整理得， 此方程的判别式， 因方程有两个相等实数根，故， 即， 提取公因式得， 解得或， 验证可知或均满足条件． 故答案为：1或5． 5．定义新运算“”：对于任意实数，，都有，例：，若关于的方程，则此方程 （填“有两个不相等”“有两个相等”“没有”）实数根． 【答案】没有 【分析】本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的根的判别式：当判别式，方程有两个不相等的实数根；当判别式，方程有两个相等的实数根；当判别式，方程没有实数根．根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴， ∴此方程没有实数根， 故答案为：没有． 6．定义新运算：对于任意实数、都有，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：． 根据以上知识解决问题： (1)，求； (2)若的值小于0，请判断方程：的根的情况． 【答案】(1) (2)方程有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查新定义，根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根． （1）根据新定义得出，解之可得答案； （2）由2☆的值小于0知，解之求得．再在方程中由可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ，即， ∴ 解得：，， ∴的值为； （2）解：∵的值小于0， ， 解得：． 在方程中，， 方程有两个不相等的实数根． 7．我们定义一种新运算“※”：对于任意实数、，都有．例如：．已知关于的方程． (1)先将按照新定义运算展开并化简，得到关于的一元二次方程； (2)求解这个一元二次方程． 【答案】(1) (2)此方程无实数根 【分析】本题考查定义新运算，一元二次方程的判别式． （1）根据新运算列出一元二次方程； （2）计算得到判别式小于零，进而得到方程无解． 【详解】（1）解：按照新定义运算展开： ， 所以得到关于的一元二次方程为； （2）解：对于一元二次方程， 其中，，     判别式．     所以此方程无实数根． 8．定义新运算：对于任意实数m，n，都有等式右边是常用的加法、乘法及乘方运算． 例如： 根据以上知识解决下列问题： (1)若，求x的值． (2)若的值小于0，请判断方程∶的根的情况． 【答案】(1) (2)方程有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查根的判别式，一元二次方程的解法，解一元一次不等式，正确理解新运算是解决问题的关键． （1）根据新运算，列出方程，即可求解； （2）根据新运算，列出不等式，可得到a的取值范围，再结合新运算，列出方程，根据一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：∵的值小于0， ∴， 解得：， ， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 9．观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：，方程的两个根分别是． 第2个方程：，方程的两个根分别是． 第3个方程：，方程的两个根分别是． 第4个方程：，方程的两个根分别是． …… (1)请按照此规律写出一元二次方程的两个根，分别是___________． (2)定义：如果关于的一元二次方程满足．那么我们称这样的方程为“归零方程” ①一元二次方程 （填“是”或“不是”）“归零方程”； ②试说明“归零方程”有实数根． (3)已知关于的方程是“归零方程”，且是这个“归零方程”的一个根，求的值． 【答案】(1) (2)①是，②见解析 (3) 【分析】本题主要考查一元二次方程的根的规律，“归零方程”的定义，理解新定义以及解二次方程是解题的关键． （1）根据规律直接写出结果即可； （2）①观察即可； ②由“归零方程”的定义，可得，代入判别式并化简，证明其非负即可说明； （3）利用“归零方程”的定义和已知条件，联立关于m的方程求解即可． 【详解】（1）根据题意，得到方程的根为， 的根为， 故答案为：； （2）①，一元二次方程是“归零方程”， 故答案为：是； ②， ， ， “归零方程”有实数根． （3）是“归零方程”， ， ， ． 是这个“归零方程”的一个根， ， 解得． 题型二 根据一元二次方程根的情况求参数的取值范围 1．关于x的方程有实根，则（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的知识，需掌握一元二次方程的根与之间的关系是解此题的关键．本题分两种情况进行讨论：①，是一元一次方程，必有实数根；②，是一元二次方程，可得判别式，继而可得：，解此不等式即可求得答案． 【详解】解：分两种情况： ①若，则方程为，必有实数根； ②若，则方程是一元二次方程，那么， 解得：． 综上可知，当时，关于x的方程有实根． 故选：B． 2．若关于x的一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和利用根的判别式判断方程根的情况． 根据一元二次方程的定义和根的判别式，得二次项系数不为零且判别式非负，联立求解即可． 【详解】解：∵方程为一元二次方程， ∴二次项系数 ，即 ， 又∵方程有实数解， ∴， 解得 ， 综上所述：关于x的一元二次方程有实数解，则m的取值范围是 且 ． 故选C． 3．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式的应用，解题的关键是同时满足一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别式大于0的条件． 先根据一元二次方程的定义确定二次项系数；再由方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式计算的取值范围，最后结合两者得到的最终范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴； ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得； 综上，且． 故选：D． 4．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有两个实数根的条件，判别式非负且二次项系数不为零，列不等式求解即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程且有两个实数根， ∴且， ∴， 解得， 又∵， ∴的取值范围是且． 故选：C． 5．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，求一元一次方程的解，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 分、两种情况讨论，分别求得的取值范围． 【详解】解：当时，原方程为，有实数根，符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， ∵关于x的方程有实数根， ∴，解得：， 综上所述，的取值范围是， 故答案为：． 6．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程有实数根的条件，以及对完全平方非负性的理解． 原方程左边为完全平方形式，右边为常数表达式，由于左边，因此右边满足即可，无需展开方程计算判别式． 【详解】解：， 要使该方程有实数根，则， ． 故答案为：． 7．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式；根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零；同时，方程有实数根需满足判别式非负，由此建立条件不等式组求解即可． 【详解】解：方程 是一元二次方程， ， 一元二次方程有实数根， ， 解得 ， 故 的取值范围是 且 ． 8．关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围是 【答案】/ 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此由求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 9．关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，由一元二次方程有实数根，得判别式非负，同时考虑二次根式的被开方数非负，即可求解． 【详解】解：方程 有实数根， 其中，，， ， 解得， 又二次根式要求被开方数非负， ， 即， 综上的取值范围是， 故答案为：． 题型三 根的判别式与整数问题 1．若关于的一元二次方程有两个实数根，则可取最大整数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了根的判别式、解一元一次不等式等知识，对于一元二次方程，则有方程有两个实数根，方程有两不等的实数根，方程有两相等的实数根，方程没有实数根． 根据一元二次方程的定义和根的判别式即可得到 k 的取值范围，即可求出答案． 【详解】解：， 根据题意知且， 解得且， 故可取的最大整数是． 故选：B． 2．方程没有实数根，则k的最小整数值是（　　） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，将原方程变形为，根据题意且，求得，即可得出答案，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∵没有实数根， ∴且， 解得：， ∴k的最小整数值是， 故选：B． 3．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的最小正整数值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查根的判别式、一元二次方程的定义、解不等式等知识点，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根得出，结合一元二次方程的定义知求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且， ∴k的最小正整数值是2． 故答案为：2． 4．关于x的一元二次方程有实数根，则k的整数值可以为 （填一个）． 【答案】答案不唯一（且的整数），如4 【分析】此题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟知有实根即为根的判别式大于等于0． 根据一元二次方程根的定义及判别式即可求解 【详解】解：依题意可得 ，解得且， 故答案为：4（答案不唯一） 5．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．写出的一个整数值 ． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式；熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程有两个不相等的实数根可知，然后解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：根据题意知， 解得：， 故k的取值范围是， 故答案为：0（答案不唯一）． 6．若关于的一元二次方程无实数根，则的最小整数值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了根的判别式，根据一元二次方程无实数根的条件，判别式小于零，求出的取值范围，再取最小整数值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴， 解得：， ∴整数的最小值为， 故答案为：． 7．若整数a使得关于x的一元二次方程有实数根，且关于x的不等式组最多有6个整数解，则符合条件的整数a的个数有 个． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元一次不等式组的整数解和根的判别式等知识点． 由一元二次方程有实数根的条件求得a的取值范围，再由不等式组的整数解个数条件求得a的取值范围，综合可得整数a的值，并统计个数． 【详解】解：对于一元二次方程，有实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于等于零， ∴且， 解得 且， ∵对于不等式组，整数解个数为（当时），要求最多有6个整数解， ∴， 解得， 综合可得的取值范围为且的整数，即，共5个， 故答案为：5． 题型四 对序号进行判断 1．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，①当时，方程有根，但判别式可能等于0；②由有两个不等实根得出，从而原方程判别式大于0；③当c是根时，，但时不一定为0；④由求根公式直接推导成立． 【详解】解：①∵当时，是方程根， ∴，但不一定大于0，故①错误； ②∵方程有两个不等实根， ∴， 对于方程，， ∴有两个不等实根，故②正确； ③∵c是方程的根， ∴，即； 当时，不一定为0，故③错误； ④∵是一元二次方程的根， ∴； ∴； ∴，故④正确． ∴正确的是②④． 故选：D． 2．定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“友好方程”，如：一元二次方程的两根为，，且，所以一元二次方程为“友好方程”．关于x的一元二次方程，有以下两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有3个整数p满足要求，对于这两个结论判断正确的是（    ） A．①②都错误 B．①②都正确 C．①错误，②正确 D．①正确，②错误 【答案】D 【分析】本题考查了新定义方程，解一元二次方程，根的判别式，把代入方程，求出方程的根，再根据“友好方程”的定义即可判断①；利用因式分解法解方程得，或，，分两种情况，根据“友好方程”的定义求出的取值范围，进而可判断②；理解新定义方程是解题的关键． 【详解】解：①当时，方程为， 解得，， ∴， ∵，且， ∴该方程是“友好方程”，故①正确； ②∵， ∴， ∴或， ∴，或，， ∵该方程是“友好方程”， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 当，时， ∵， ∴， 解得， ∵有且仅有个整数满足要求， ∴此时的值不存在； 当，时，， 解得， 又∵， ∴此时满足要求的整数的值只有，两个，故②错误； 综上，结论①正确，②错误， 故选：D． 3．对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（　　） A．只有①② B．只有①②④ C．只有②③④ D．只有②③ 【答案】B 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解．利用根的判别式，方程的解使方程成立，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则方程有一个根为，则；故①正确； 若方程有两个不相等的实根，则：， 则：的判别式为， ∴方程必有两个不相等的实根；故②正确； 若是方程的一个根，则， 当时，，故③错误； 若是一元二次方程的根，则：， ∴， ∴；故④正确； 故选B． 4．若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有公共解． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根．上述结论正确的有 ．（填序号即可） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及根的判别式．根据倒方程的定义和一元二次方程根的定义对①进行判断；一元二次方程与它的倒方程有公共解，可以判定②正确；利用倒方程的定义和根的判别式的意义对③④进行判断． 【详解】解：①的倒方程为， 把代入方程得， 解得，所以原说法错误； ②一元二次方程与它的倒方程有公共解，公共解是， 原说法正确； ③若一元二次方程无解，则其判别式小于0，而倒方程的判别式和原方程的判别式相同，则其值也小于0，故它的倒方程也无解，原说法正确，； ④当时，一元二次方程的根的判别式， 也为一元二次方程，此方程的根的判别式， 所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以④正确，符合题意； 故答案为：②③④． 5．一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式，（其中p，q，c均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 （说明：a，b，m，n，，均为常数） 有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②若，则；③若有且只有一个x的值，使代数式的值为0，则；④若，则c的值不可能是．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法，熟练掌握配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后根据配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法可依次排除答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， ①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故正确； ②∵， ∴， 解得：， ∴；故错误； ③由题意可知：当时，方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴；故错误； ④当，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，所以c的值不可能是，说法正确； 综上所述：正确的结论有①④； 故答案为①④． 题型五 根的判别式在几何问题中的应用 1．已知等腰的一条边长为7，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（    ） A．4 B．4或1 C．2 D．2或4或10 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质、一元二次方程的根及三角形三边关系，注意分类讨论和检验．分7为底边或腰两种情况讨论是解题的关键． 当7为底边时，方程有相等实根，但需满足三角形不等式；当7为腰时，代入求解，并检验三角形边长是否有效． 【详解】等腰一边长为7，其余两边为方程的两根， 分两种情况： ①当7为底边时，方程有两相等实根， ， 解得． 当时，方程化为，根为， 此时三边为3，3，7， ，不满足三角形三边关系， 舍去． ②当7为腰，则是方程的一个根， 代入得：， 即， 整理得， 解得或． 当时，方程化为， 根为或， 三边为7，7，15， ，不满足， 舍去． 当时，方程化为， 根为或， 三边为3，7，7， ，，，均成立， 有效． 综上，的值为4． 故选A． 2．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； (2)若等腰三角形的底边长为4，且腰长恰好是这个方程的根，求该三角形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)该三角形的周长为10 【分析】本题主要考查根的判别式，等腰三角形的性质，熟练掌握根的判别式是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）根据题意可得方程有两个相等的实数根，从而得到m的值，即可求解． 【详解】（1）证明： 无论m取任何实数，方程总有实数根． （2）解：∵腰长恰好是这个方程的根， ∴方程有两个相等的实数根， ，即， ，此时方程即为，解得， 3，3，4能构成三角形， 该三角形的周长为10． 3．关于x的一元二次方程． (1)判定此方程根的情况； (2)等腰的两边 的长是方程的两个实数根，第三边的长为5，求k的值． 【答案】(1)方程有两个实数根 (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，也考查了根的判别式． （1）计算判别式的值得到即可得解； （2）利用公式法求出方程的两个解为，，再根据三角形的三边关系，结合等腰三角形的定义进行分类讨论即可． 【详解】（1）证明：． 方程有两个实数根； （2）解：由，且， 得 ∴，， 即、的长为，， 当时，三边为5，5，1，满足三角形构成条件，此时 ，解得； 当时，三边为5，1，1，不满足三角形构成条件． 综上所述，． 4．已知 的两边的长恰好是关于的方程的两个实数根，第三边的长为． (1)求证： (2)当是多少时，是等腰三角形． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)当或时，是等腰三角形 【分析】（1）运用一元二次方程根的判别式即可求解； （2）运用等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵的长是关于的方程的两个实数根， ∴ ， ∴关于的方程有两个不相等的实数根， ∴． （2）解：由（1）可知，关于的方程有两个不相等的实数根，即，的第三边的长为， ∴当时，是等腰三角形，即方程的一个根， ∴，整理得，， ∴， ∴，， ∴当或时，是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的运用，根的判别式的运用，等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键． 5．在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3． (1)设矩形的相邻两边中一边为x，则另一边用x表示为 ； (2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？ 【答案】(1) (2)圆圆的说法不对，方方的说法对，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的判别式，理解题意是本题的关键． （1）直接利用矩形面积求法进而得出另一边； （2）直接利用的值结合根的判别式得出答案． 【详解】（1）∵当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3， ∴面积为， 设矩形的相邻两边中一边为x， ∴另一边用x表示为； （2）一个矩形的周长为6， ， 整理得：， ， 矩形的周长不可能是6， ∴圆圆的说法不对； 有一个矩形的周长为10， ， 整理得：， ， 矩形的周长可能是10， 所以方方的说法对． 6．如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡合的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个宽的门． (1)矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为？ (2)鸡舍面积能否达到？ 【答案】(1)矩形鸡舍的长为，宽为 (2)不能，见解析 【分析】（1）设矩形鸡舍垂直于房墙的边为，矩形鸡舍的另一边长为，根据正方形面积的公式列式求出答案； （2）当，列出后进行整理得，最后根据判别式判断一元二次方程根的情况． 【详解】（1） 解：设矩形鸡舍垂直于房墙的一边长为，则矩形鸡舍的另一边长为． 依题意，得， 解得，． 当时，（舍去）， 当时，． 答：矩形鸡舍的长为，宽为； （2） 解：当， 则， 整理得：， 则， 故所围成鸡舍面积不能为86平方米． 1．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 其中正确的：（    ） A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④ 【答案】D 【分析】根据一元二次方程解的含义、一元二次方程根的判别式等知识逐个分析即可． 【详解】由，表明方程有实数根﹣1，表明一元二次方程有实数解，则，故①正确； ∵方程有两个不相等的实根， ∴方程有两个不相等的实根， 即a与c异号． ∴-ac>0， ∴， ∴方程必有两个不相等的实根； 故②正确； ∵是方程的一个根， ∴， 即 当时，一定有成立； 当c=0时，则不一定成立，例如：方程，则； 故③错误； ∵是一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解等知识，熟练掌握这些知识是解答本题的关键． 2．如果关于x的方程的根都是整数，那么符合条件的整数的值有 ． 【答案】3，6，7，9，15 【分析】本题考查了含待定字母的一元二次方程的整数解，求解待定字母的取值．熟练掌握一元二次方程和一元一次方程解的整数性，分情况进行求解，是解答本题的关键． 分、和三种情况考虑，当或9时求出x的值，以此确定或9是否合适；当（，利用分解因式法找出的值，根据以及a均为整数，找出a的值．综上即可得出结论． 【详解】解：∵， 当，即 时， 原方程为， 解得：， ∴合适； 当，即时， 原方程为， 解得， ∴合适； 当，即且 时, ∵， ∴原一元二次方程有有理根， ∵， ∴，， ∴，， ∵x是整数，a是整数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴a的值符合的有： 3，7，15． 综上，符合条件的整数的值有3，6，7，9，15． 3．已知关于的方程有两个相等的实数根，且方程有一个根为． (1)判断以、、为边的三角形的形状，并说明理由； (2)若方程的两根为、，求的值． 【答案】(1)等边三角形，见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程根的判别式与根的关系，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． （1）由方程有两个相等的实数根，可得，再结合方程有一个根为得，联立即可求出a，b，c的关系；（2）根据（1）求出的a，b的关系，可以得出方程有两个相等的实数根，由即可求出m． 【详解】（1）解：等边三角形．理由如下： ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，即：， ∴， ∵方程有一个根为， ∴把代入得：， 联立①②，解得：， ∴以a、b、c为边的三角形是等边三角形． （2）解：方程的两根为a、b， 由（1）可知，， ∴方程有两个相等的实数根， ∴，即：， 化简得：， 解得：． 当时，方程变为，则，即，此时与方程有一个根为矛盾，舍去. 当时，方程变为，则，符合题意. 所以. 4．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“好根方程”． (1)下列方程中，是“好根方程”的是 ______（填序号）． ①；②；③． (2)若是“好根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（为常数）为“好根方程”，直接写出的数值． 【答案】(1)①③ (2)的值为或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，理解题意“好根方程”的定义是解题关键． （1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“好根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“好根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根、，根据“好根方程”的定义求解关于的方程即可． 【详解】（1）解：①③是“好根方程” 解方程得， ，， 因为， 所以方程①是“好根方程”． 解方程得， ， 因为， 所以方程②不是“好根方程”． 解方程得， ，， 因为， 所以方程③是“好根方程”． （2）解方程得， ，． 因为此方程是“好根方程”， 所以或， 解得或， 所以的值为或． （3）解方程（为常数）得， ， 因为此方程是“好根方程”， 所以， 整理得， 所以． 5．阅读下列材料： 若设关于x的一元二次方程的两根为，，那么由根与系数关系得：， ∵， ∴． 于是二次三项式可分解为．这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题： (1)请用上面方法分解二次三项式； (2)如果关于x的二次三项式能用上面方法分解因式，求m的取值范围； (3)若关于x的方程的两个根为c，d，请直接写出关于x的方程的两个根（用含a，b的代数式表示）． 【答案】(1) (2)且 (3)， 【分析】此题考查了分解因式，根的判别式及根与系数的关系，理解题意，掌握求根法是解题的关键． ()令多项式等于，得到一个一元二次方程，利用公式法求出方程的两解，代入 中即可把多项式分解因式； ()因为此二次三项式在实数范围内能利用上面的方法分解因式，所以令此二次三项式等于，得到的方程有解，即大于等于，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的取值范围； ()根据()的方法求得两根，再用换元法即可得到结论； 【详解】（1）解：令， ∵，，， ， ∴， ∴，， ∴； （2）解：令 ， 由二次三项式能用上面的方法分解因式，则可得方程有解， ∴， 整理得，， 解得， 又∵且， ∴且； （3）解：∵方程的两根是， ∴， ∴， ∵当时，代入上式，得， ∴是方程的一个根， 同理，也是方程 的一个根， ∴方程的两个根为 或， 在方程中，设， 得， ∴或， ∴或， 解得， ， ∴方程的根是，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 17.3 一元二次方程根的判别式 题型一 利用判别式判断根的情况 1．一元二次方程 的根的判别式的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．下列一元二次方程中，无实根的是（    ） A． B． C． D． 3．方程的根的情况是（    ） A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程没有实数根 D．无法确定 4．当时，方程的根的情况是（） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．以上结论都不对 5．在八年级学习一元二次方程时，数学老师对小明提出了以下的问题：请说出关于的一元二次方程的根的情况，小明的回答是：原方程有 实数根． 6．已知关于x的一元二次方程的一个根，且，则此方程的另一个根 ． 7．若一元二次方程有实数根的话，则 题型二 证明方程有无实数根 1．已知关于的一元二次方程，求证：该方程一定有两个实数根． 2．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+k＝0．求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根． 3．求证：无论取何值时，关于的一元二次方程都没有实数根. 4．在关于x的方程中，求证： (1)若，则原方程有实根． (2)若a与c异号，则原方程有两异实根． 题型三 根据方程根的情况求参数的值 1．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的值可以是（  ） A．1 B． C．5 D．6 3．已知关于的一元二次方程的两个根，满足，则的值为 ． 4．关于的一元二次方程有两个实数根，请写出一个符合条件的的值： ． 5．若关于x的方程有两个相等的实数根，则的值为 题型一 新定义问题与根的判别式 1．定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．无实数根 2．定义新运算．例如，则关于x的方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 3．对于任意实数、，定义新运算：．例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．我们定义一种新运算：对于任意实数p、q，规定，若关于x的方程（m为常数）有两个相等的实数根，则m的值为 ． 5．定义新运算“”：对于任意实数，，都有，例：，若关于的方程，则此方程 （填“有两个不相等”“有两个相等”“没有”）实数根． 6．定义新运算：对于任意实数、都有，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：． 根据以上知识解决问题： (1)，求； (2)若的值小于0，请判断方程：的根的情况． 7．我们定义一种新运算“※”：对于任意实数、，都有．例如：．已知关于的方程． (1)先将按照新定义运算展开并化简，得到关于的一元二次方程； (2)求解这个一元二次方程． 8．定义新运算：对于任意实数m，n，都有等式右边是常用的加法、乘法及乘方运算． 例如： 根据以上知识解决下列问题： (1)若，求x的值． (2)若的值小于0，请判断方程∶的根的情况． 9．观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：，方程的两个根分别是． 第2个方程：，方程的两个根分别是． 第3个方程：，方程的两个根分别是． 第4个方程：，方程的两个根分别是． …… (1)请按照此规律写出一元二次方程的两个根，分别是___________． (2)定义：如果关于的一元二次方程满足．那么我们称这样的方程为“归零方程” ①一元二次方程 （填“是”或“不是”）“归零方程”； ②试说明“归零方程”有实数根． (3)已知关于的方程是“归零方程”，且是这个“归零方程”的一个根，求的值． 题型二 根据一元二次方程根的情况求参数的取值范围 1．关于x的方程有实根，则（    ） A． B． C．且 D．且 2．若关于x的一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 3．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 4．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 5．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围为 ． 6．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 7．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 8．关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围是 9．关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 题型三 根的判别式与整数问题 1．若关于的一元二次方程有两个实数根，则可取最大整数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．方程没有实数根，则k的最小整数值是（　　） A． B．2 C．3 D．4 3．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的最小正整数值是 ． 4．关于x的一元二次方程有实数根，则k的整数值可以为 （填一个）． 5．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．写出的一个整数值 ． 6．若关于的一元二次方程无实数根，则的最小整数值为 ． 7．若整数a使得关于x的一元二次方程有实数根，且关于x的不等式组最多有6个整数解，则符合条件的整数a的个数有 个． 题型四 对序号进行判断 1．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 2．定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“友好方程”，如：一元二次方程的两根为，，且，所以一元二次方程为“友好方程”．关于x的一元二次方程，有以下两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有3个整数p满足要求，对于这两个结论判断正确的是（    ） A．①②都错误 B．①②都正确 C．①错误，②正确 D．①正确，②错误 3．对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（　　） A．只有①② B．只有①②④ C．只有②③④ D．只有②③ 4．若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有公共解． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根．上述结论正确的有 ．（填序号即可） 5．一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式，（其中p，q，c均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 （说明：a，b，m，n，，均为常数） 有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②若，则；③若有且只有一个x的值，使代数式的值为0，则；④若，则c的值不可能是．其中所有正确结论的序号是 ． 题型五 根的判别式在几何问题中的应用 1．已知等腰的一条边长为7，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（    ） A．4 B．4或1 C．2 D．2或4或10 2．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； (2)若等腰三角形的底边长为4，且腰长恰好是这个方程的根，求该三角形的周长． 3．关于x的一元二次方程． (1)判定此方程根的情况； (2)等腰的两边 的长是方程的两个实数根，第三边的长为5，求k的值． 4．已知 的两边的长恰好是关于的方程的两个实数根，第三边的长为． (1)求证： (2)当是多少时，是等腰三角形． 5．在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3． (1)设矩形的相邻两边中一边为x，则另一边用x表示为 ； (2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？ 6．如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡合的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个宽的门． (1)矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为？ (2)鸡舍面积能否达到？ 1．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 其中正确的：（    ） A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④ 2．如果关于x的方程的根都是整数，那么符合条件的整数的值有 ． 3．已知关于的方程有两个相等的实数根，且方程有一个根为． (1)判断以、、为边的三角形的形状，并说明理由； (2)若方程的两根为、，求的值． 4．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“好根方程”． (1)下列方程中，是“好根方程”的是 ______（填序号）． ①；②；③． (2)若是“好根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（为常数）为“好根方程”，直接写出的数值． 5．阅读下列材料： 若设关于x的一元二次方程的两根为，，那么由根与系数关系得：， ∵， ∴． 于是二次三项式可分解为．这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题： (1)请用上面方法分解二次三项式； (2)如果关于x的二次三项式能用上面方法分解因式，求m的取值范围； (3)若关于x的方程的两个根为c，d，请直接写出关于x的方程的两个根（用含a，b的代数式表示）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $