精品解析：山东省聊城市莘县某校2025-2026学年八年级上学期期末模拟数学试题

八年级数学期末模拟 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列命题为真命题的有（ ） ①内错角相等；②对顶角相等；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．⑤有理数与数轴上的点一一对应． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列式子从左到右的变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 根据下列已知条件，能够画出唯一的是( ) A. B. C. D. 4. 下列各组线段是成比例线段的是（ ） A. 2，3，4，5 B. 2，4，6，12 C. 3，6，8，12 D. 2，4，6，8 5. 如图，若，射线与东西方向的夹角为，则点相对于点的方向为（ ） A. 北偏东 B. 东偏北 C. 北偏东 D. 北偏西 6. 若点坐标可表示为，其中为任意实数，点不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 在综合实践课上，小华先画了一个，然后利用尺规作出了，且．如图是他的作图过程，则可判定的依据是（ ） A. B. C. D. 8. 某农场开挖一条长360米的水渠，开工后每天效率是原计划每天效率的1.5倍，结果少花3天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知平分，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，是的中线，点E是的三等分点（点E靠近A），F是延长线上一点，，连接、、，G是的中点，连接．下列说法：①；②；③和的面积相等；④与的面积之比是．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 将命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：______． 12. 若数使关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为________． 13. 当________时，方程会产生增根． 14. 关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为__________． 15. 如图是嘉嘉画的类似“燕子”的图形，平分，平分．若，，则的度数为________ ． 16. 小聪在研究实数a，b，c的关系时得到如下5个命题： ①若，则；②若，则；③若，则；④若则；⑤若，则 上述命题中，属于真命题的有__________（填写命题的序号）． 三、解答题 17. （1）计算： （2）解方程： （3）解不等式组： 18. 先化简，再求值：，并在，0，1，2中选择一个你喜欢的数代入求值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）在x轴上找一点P，连接、，使得周长最小，求周长的最小值． 20. 如图，在四边形ABCD中，E是边BC上一点，且，．试说明：． 21. 如图，中，垂直平分，交于点，交于点，，垂足为，且，连接． （1）求证：点为的中点； （2）若，的周长为，求的长； 22. 为了更好治理涪江的水质，遂宁市污水处理公司计划购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如下表： A型 B型 价格（万元/台） m n 处理污水量（吨/月） 250 200 经调查，买一台A型比B型多3万元，买2台A型比3台B型少5万元； （1）求m，n的值； （2）经预算，购买设备资金不超过117万元，且每月要求处理污水不低于2050吨，你认为有哪几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，为节约资金，请你为公司设计一种最省钱方案． 23. 在中，，，点D为直线上的一个动点（点D不与点B、C重合），以为边作，，，连接． （1）发现问题：如图①，当点D在边上时， ①请判断和之间的数量关系为 ，位置关系为 ；并完成证明； ②请直接写出三者之间的数量关系 ； （2）尝试探究：如图②，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期末模拟 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列命题为真命题的有（ ） ①内错角相等；②对顶角相等；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．⑤有理数与数轴上的点一一对应． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线性质、对顶角性质、平面内垂直与平行公理、实数与数轴的对应关系，逐项判断，即可求解． 【详解】解：内错角相等只有在两直线平行的条件下成立，故①为假命题； 对顶角相等是对顶角的固有性质，故②为真命题； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③为真命题； 平行公理要求点在已知直线外，若点在已知直线上，不存在直线与已知直线平行，故④为假命题； 只有实数与数轴上的点一一对应，有理数不能与数轴上的点一一对应，故⑤为假命题； 综上可知，②和③为真命题，真命题共2个． 2. 下列式子从左到右的变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．根据分式的基本性质判断即可，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 【详解】解：A、当时，左边，右边，不相等，故A不符合题意． B、当时，分式无意义，故B不符合题意． C、当时，左边，右边，不相等，故C不符合题意． D、分子和分母同除以2（），分式的值不变，故D符合题意． 故选：D． 3. 根据下列已知条件，能够画出唯一的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定方法． 能够确定唯一三角形的条件包括、、、等，而和不能保证唯一三角形． 【详解】解：选项A：已知， ， ，为两边和其中一边的对角， 不能保证唯一三角形． 选项B：已知， ， ，同样为， 不能保证唯一三角形． 选项C：已知， ， ，为两角和夹边， 能画出唯一． 选项D：已知， ， ，为三个角， 只能确定形状，不能确定大小，不能画出唯一三角形． 故选：C． 4. 下列各组线段是成比例线段的是（ ） A. 2，3，4，5 B. 2，4，6，12 C. 3，6，8，12 D. 2，4，6，8 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了比例线段，在四条线段中，如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：A、，故A选项不符合题意； B、，故B选项符合题意； C、，故C选项不符合题意； D、，故D选项不符合题意． 故选：B． 5. 如图，若，射线与东西方向的夹角为，则点相对于点的方向为（ ） A. 北偏东 B. 东偏北 C. 北偏东 D. 北偏西 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角的余角相等，得到射线与正北方向的夹角为，解答即可． 本题考查了方向角的应用，余角的性质，熟练掌握方向角的计算是解题的关键． 【详解】解：根据同角的余角相等，得到射线与正北方向的夹角为， 故点相对于点的方向为北偏东， 故选：A． 6. 若点坐标可表示为，其中为任意实数，点不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断点所在象限，求出点在各个象限内时，的范围进行判断即可． 【详解】解：点的坐标为 ． 第一象限要求且，即且，解得，有解； 第二象限要求且，即且，解得，有解； 第三象限要求且，即且，即且，无解； 第四象限要求且，即且，解得，有解． 点不可能在第三象限． 故选：C． 7. 在综合实践课上，小华先画了一个，然后利用尺规作出了，且．如图是他的作图过程，则可判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据作图过程，判断三角形全等的依据，由作图过程可知，，，即可解答． 【详解】解：根据作图过程可知，，，可知判定的依据是， 故选B． 8. 某农场开挖一条长360米的水渠，开工后每天效率是原计划每天效率的1.5倍，结果少花3天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题的关键描述语是：“结果少花3天完成任务”；等量关系为：原计划用时−实际用时． 根据题意，原计划每天挖x米，实际每天挖1.5x米，水渠总长360米．关键等量关系是原计划用时减去实际用时等于3天． 【详解】解：设原计划每天挖x米，则原计划用时为天，实际用时为天， 又∵少花3天完成任务， ∴， 故选A． 9. 如图，已知平分，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 根据角平分线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，再求出，然后利用全等三角形的性质求即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 10. 如图，是的中线，点E是的三等分点（点E靠近A），F是延长线上一点，，连接、、，G是的中点，连接．下列说法：①；②；③和的面积相等；④与的面积之比是．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形全等的判定和性质和三角形的中线，灵活运用知识点是解决本题的关键． 根据三角形中线可得，再根据全等三角形判定定理及性质可判断①；根据全等三角形性质可得，根据角之间的关系，结合三角形内角和定理可判断②；根据三角形面积之间的关系及全等三角形性质可判断③；根据三角形中线求三角形面积即可求出答案． 【详解】解：①∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，①正确， ②∵， ∴， ∴ ，②正确 ③， ∵， ∴， ∴，③正确； ④∵点E是的三等分点（点E靠近A），是的中线， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵G是的中点， ∴， ∴与的面积之比是，④错误． 综上所述，正确的有①②③，共3个． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 将命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：______． 【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【解析】 【分析】找出原命题的题设与结论即可完成改写． 【详解】解：原命题“同角的余角相等”中， 改写为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 12. 若数使关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为________． 【答案】a<6且a≠2 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数确定出a的范围即可． 【详解】解：去分母得： ， 解得：， 由分式方程的解为正数，得到，且， 解得：a＜6且a≠2， 故答案为：a＜6且a≠2． 【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 13. 当________时，方程会产生增根． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根． 增根是分式方程化为整式方程后产生的使分母为零的根，令分母得，代入整式方程求解． 【详解】解：原方程两边同乘最简公分母， 得整式方程， 整理得． 当增根时， 代入得， 解得． 故答案为：． 14. 关于x的不等式组的解为，则a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数，解题关键是掌握一元一次不等式组的解法． 先分别解不等式组中的每个不等式，再根据不等式组的解集确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：． 故答案为：． 15. 如图是嘉嘉画的类似“燕子”的图形，平分，平分．若，，则的度数为________ ． 【答案】##25度 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的知识，推导出∠A+∠AOC＝∠C+∠ADC是解题的关键． 设交于点F，由平分，平分，且，，求得，，由，得，即可解答． 【详解】解：设交于点F， ∵平分，平分，且，， ∴，， ∵，且， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 小聪在研究实数a，b，c的关系时得到如下5个命题： ①若，则；②若，则；③若，则；④若则；⑤若，则 上述命题中，属于真命题的有__________（填写命题的序号）． 【答案】②③⑤ 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，命题．逐一分析每个命题的真假性：命题①可通过反例判断为假；命题②利用不等式性质推导为真；命题③根据平方非负性和不等式性质判断为真；命题④通过反例证明为假；命题⑤通过不等式性质验证为真． 【详解】解：命题①，取反例，，满足，但，故命题①为假命题，不符合题意； 命题②，由，两边同乘，再两边加1得，故命题②为真命题，符合题意； 命题③，由得，由于， 当时，两边同除得， 当时前提不成立， 故命题③为真命题，符合题意； 命题④，取反例，满足，但，不满足，故命题④为假命题，不符合题意； 命题⑤，由，可得，展开得，即，故命题⑤为真命题，符合题意； 故答案为：②③⑤． 三、解答题 17. （1）计算： （2）解方程： （3）解不等式组： 【答案】(1) (2) (3) 【解析】 【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得； （2）根据分式方程的解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解； （3）根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）去分母，得， 去括号，得 移项，得， 合并同类项，得，即， 系数化为1，解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解； （3） 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为． 18. 先化简，再求值：，并在，0，1，2中选择一个你喜欢的数代入求值． 【答案】；． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，考虑分式无意义的情况是解题的关键． 按照分式的化简法则，将分式化简，再根据分式无意义的条件，选择合适的值，代入求值即可． 【详解】解： ； ∵计算过程中出现的分母以及除数不能为0， ∴，且， ∴的取值为， 故原式 ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）在x轴上找一点P，连接、，使得周长最小，求周长的最小值． 【答案】（1） 如图，就是所求作的三角形； （2）如图， 周长的最小值为 【解析】 【分析】本题考查了在平面直角坐标系中作轴对称图形，轴对称的性质，熟练掌握在平面直角坐标系中作轴对称图形及轴对称的性质是关键． （1）分别作的三个顶点关于x轴的对称点，再连接三个点组成三角形即可； （2）连接，根据轴对称的性质可知，，再根据两点之间线段最短，即可求出最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点关于x轴的对称点为点，连接， 由轴对称的性质可知，， 的周长为， 当点P在线段上时，周长最小，最小值为的长， ，， ，． 周长的最小值为． 20. 如图，在四边形ABCD中，E是边BC上一点，且，．试说明：． 【答案】 解：∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】先利用平角的定义和三角形内角和定理，推导出；再结合已知的边和角，证明与全等，从而得到． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定（AAS），掌握通过角的关系推导相等角，结合AAS判定三角形全等是解题的关键． 21. 如图，中，垂直平分，交于点，交于点，，垂足为，且，连接． （1）求证：点为的中点； （2）若，的周长为，求的长； 【答案】（1） 证明：垂直平分， ， ， ， 为等腰三角形， ， ， 点为的中点． （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键． （1）由垂直平分线的性质，得，结合题意证为等腰三角形，再根据等腰三角形的三线合一，即可求证； （2）根据，，可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，的周长为， ， ，， ， ． 22. 为了更好治理涪江的水质，遂宁市污水处理公司计划购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如下表： A型 B型 价格（万元/台） m n 处理污水量（吨/月） 250 200 经调查，买一台A型比B型多3万元，买2台A型比3台B型少5万元； （1）求m，n的值； （2）经预算，购买设备资金不超过117万元，且每月要求处理污水不低于2050吨，你认为有哪几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，为节约资金，请你为公司设计一种最省钱方案． 【答案】（1）， （2）有两种购买方案∶方案一，购买A型设备1台，B型设备9台；方案二，购买A型设备2台，B型设备8台 （3）最省钱的购买方案为购买A型设备1台，B型设备9台 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据题意列出方程组求解； （2）根据题意列出不等式组求解，并求得正整数解； （3）通过计算、比较，再作出决策． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得：， 故，； 【小问2详解】 解：设购买A型x台，则B型台， 由题意得：， 解得：， 所以或， 所以有两种购买方案∶ 方案一，购买A型设备1台，B型设备9台； 方案二，购买A型设备2台，B型设备8台； 【小问3详解】 解：方案一需要资金：万元， 方案二需要资金：万元， 方案一更省钱， 即最省钱的购买方案为购买A型设备1台，B型设备9台． 23. 在中，，，点D为直线上的一个动点（点D不与点B、C重合），以为边作，，，连接． （1）发现问题：如图①，当点D在边上时， ①请判断和之间的数量关系为 ，位置关系为 ；并完成证明； ②请直接写出三者之间的数量关系 ； （2）尝试探究：如图②，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） ①，证明如下： ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，； ② （2） 解：不成立，， 理由：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）①根据三角形内角和定理可得，证明即可得出和之间的关系；②根据全等三角形的性质，即可得到； （2）证明，得出，再根据，即可得到． 【小问1详解】 解：①略 ②∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $